Begleitbuch für Mathematik Klasse für die Abiturprüfungen ab 2017 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien. Teilgebiet Analysis

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1 Begleitbuch für Mathematik Klasse 11-1 für die Abiturprüfungen ab 017 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien Teilgebiet Analysis Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg Cleebronn aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: Wichtiger Hinweis: Ich bitte den Eigentümer dieses Buches, weder das gesamte Buch noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand, den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt. Ich bitte um Fairness und danke dafür Alexander Schwarz 1

2 Vorwort Zunächst einmal bedanke ich mich bei euch für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Buches für die Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht habt! Der darin enthaltene Stoff der Analysis ist auf die Abiturprüfungen ab 017 von Baden- Württemberg für berufliche Gymnasien abgestimmt. Dieses Buch dient sowohl zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung als auch auf die Klausuren in der Oberstufe. Ich habe mir zum Ziel gesetzt, alle Themen so verständlich wie möglich darzustellen und auf fachchinesisch zu verzichten (gemäß Albert Einstein: Alles sollte so einfach wie möglich gemacht werden, aber nicht einfacher ). In jedem Kapitel werden die wesentlichen Inhalte zu jedem Thema ausführlich beschrieben. Die vielen Beispielrechnungen und Schaubilder dienen dazu, die Beschreibungen noch konkreter zu erläutern. Die Kapitel 1 9 umfassen den Stoff, der in der 11.Klasse behandelt wird. Die Kapitel enthalten alle Themengebiete der Klassen 1 und 1, wobei als Grundlage natürlich der Stoff aus der 11.Klasse benötigt wird. Wichtige Formeln, die ihr häufig in der Prüfung benötigt oder Rechenverfahren, die ihr auswendig lernen solltet sind in dem Buch grau hinterlegt. Formeln, die auch in der Merkhilfe stehen, die ihr für den zweiten Teil der Abiturprüfung nutzen dürft, sind vermerkt mit dem Hinweis -> MERKHILFE Nach meiner Erfahrung hilft es Schülern, wenn man nicht nur darstellt, wie etwas gemacht wird, sondern auch, wie (und warum) etwas nicht gemacht werden darf. Ich habe daher in dem Buch auch typische Fehler und Irrtümer dargestellt, die Schüler aufgrund meiner langjährigen Erfahrung immer wieder machen. Sie sind durch das entsprechende Symbol am Rand gekennzeichnet. Wer diese "Fettnäpfchen" kennt, kann ihnen besser ausweichen. Um zu prüfen, ob ihr den Stoff auch verstanden habt, sind in diesem Buch über 00 Übungsaufgaben enthalten. Das Durchrechnen der Übungsaufgaben ist auch deshalb wichtig, da sich der Prüfungsstoff der Analysis mit der Abiturprüfung 017 gravierend ändert und somit das Durchrechnen von früheren Abituraufgaben zur Analysis vor Prüfungsvorbereitung nicht mehr möglich ist. Die Musterlösungen aller Übungsaufgaben aus dem Buch werden als pdf-dateien über einen geschlossenen Download-Bereich auf meiner Homepage zur Verfügung gestellt. Ihr habt als Besteller des Buches die Zugangsdaten zu diesem Bereich von mir per Mail erhalten. Den genauen Ablauf der Abiturprüfung ab 017 sowie Musterabituraufgaben vom Regierungspräsidium Baden-Württemberg findet ihr auf meiner Homepage unter Hinweis zum Taschenrechner: Im ersten Teil der Abiturprüfung darf kein Taschenrechner genutzt werden. Im zweiten Teil darf ein "wissenschaftlicher Taschenrechner" (z.b. Casio FX-87 DE Plus oder TI0X Plus Multiview) genutzt werden. Anregungen und konstruktive Kritik zu diesem Buch werden von mir gerne entgegengenommen und bei der nächsten Aktualisierung berücksichtigt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Buches und alles Gute für eure Abiturprüfung! Alexander Schwarz

3 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung in die Funktionen 1.1 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge. Lineare Funktionen (Geradengleichungen).1 Lösen von linearen Gleichungen und Ungleichungen. Geraden zeichnen. Punktprobe und Schnittpunkte..1 Punktprobe.. Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen.. Schnittpunkt von zwei Geraden.4 Aufstellen einer linearen Funktion (Geradengleichung).5 Besondere Lagen zweier Geraden.6 Steigungswinkel einer Geraden und Schnittwinkel zweier Geraden.7 Länge einer Strecke PQ im Koordinatensystem. Quadratische Funktionen (Parabelgleichungen).1 Binomische Formeln. Lösen von quadratischen Gleichungen. Von der Normalparabel zur allgemeinen Parabel..1 Die Normalparabel.. Streckung in y-richtung.. Verschiebung in y-richtung..4 Verschiebung in x-richtung.4 Scheitelpunktberechnung.5 Schnittpunktberechnung bei Parabeln.5.1 Schnittpunkte einer Parabel mit der x-achse.5. Gegenseitige Lage von Parabeln und Geraden.5. Quadratische Ungleichungen.6 Aufstellen von Parabelgleichungen 4. Polynomfunktionen. und 4. Grades 4.1 Lösen von Polynomgleichungen 4. Eigenschaften von Polynomfunktionen. und 4. Grades 4..1 Symmetrie 4.. Globaler Verlauf der Schaubilder 4. Schnittpunktberechnung bei Polynomfunktionen 4..1 Nullstellen einer Polynomfunktion 4.. Intervallhalbierungsverfahren 4.. Gegenseitige Lage von zwei Kurven 4.4 Aufstellen von Funktionstermen 5. Exponentialfunktionen 5.1 Definition der Exponentialfunktion 5. Die Eulersche Zahl e 5. Die e-funktion 5.4 Logarithmen und Exponentialgleichungen Der natürliche Logarithmus ln 5.4. Exponentialgleichungen 5.5 Asymptoten bei e-funktionen 5.6 Schnittpunktberechnung bei Exponentialfunktionen Nullstellen einer Exponentialfunktion 5.6. Schnittpunkte von zwei Exponentialfunktionen 6. Trigonometrische Funktionen 6.1 Definition der Winkelfunktionen für Winkel von 0 bis Sinus und Kosinus am Einheitskreis

4 6. Einfache trigonometrische Gleichungen 6.4 Schwierige trigonometrische Gleichungen 6.5 Die verallgemeinertes Sinus- und Kosinusfunktion 7. Verschiebung, Spiegelung und Streckung von Schaubildern 8. Umkehrfunktionen 8.1 Bestimmung einer Umkehrfunktion 8. Die Logarithmusfunktion 8. Wurzelfunktion 9. Regression mit Taschenrechner 10. Ableitungsregeln und Bedeutung von Ableitungsfunktionen 10.1 Definition der Ableitungsfunktion mit Differenzenquotient 10. Ableitungsregeln Ableitungsregeln der Grundfunktionen 10.. Produktregel 10.. Kettenregel 10. Interpretation der ersten und zweiten Ableitungsfunktion 10.4 Ableitungen bei Anwendungsaufgaben und Sachzusammenhängen 11. Kurvenuntersuchung 11.1 Extrempunkte 11. Monotonie 11. Wendepunkte und Sattelpunkte 1. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung 1.1 Aufstellen von Tangenten- und Normalengleichungen 1. Schnittwinkel zweier Schaubilder 1. Berührung zweier Schaubilder 1. Aufstellen ganzrationaler Funktionen ( Steckbriefaufgaben ) 14. Modellierung von Optimierungsproblemen 14.1 Absolutes Minimum/Maximum 14. Vorgehen beim Lösen von Extremwertaufgaben 15. Integralrechnung 15.1 Berechnung von Stammfunktionen 15. Integrale 15. Anwendungen der Integralrechnung Flächenberechnung zwischen Schaubildern 15.. Volumen von Rotationskörpern 15.. Mittelwertberechnung bei Funktionen Flächen unterhalb von Änderungsraten-/Geschwindigkeitsfunktionen 15.4 Die Integralfunktion 16. Zusammenhang zwischen Ableitungs- und Stammfunktionen 17. Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall Prozentrechnen 18. Beschränktes Wachstum und beschränkter Zerfall 19. Kostentheorie

5 1. Einführung in die Funktionen Beim Thema "Analysis" stehen Funktionen im Mittelpunkt. Bereits in der Mittelstufe habt ihr euch beim Thema Geraden und Parabeln bereits mit Funktionen beschäftigt. Aber keine Sorge: Ihr braucht nun nicht in alten Unterrichtsaufschrieben stöbern. Geraden und Parabeln werden wir in den Kapiteln und ausführlich wiederholen und gemäß dem Lehrplan von Klasse 11 auch vertiefen. Außerdem werdet ihr in diesem Buch noch andere Funktionen kennen lernen: Polynomfunktionen (Ganzrationale Funktionen) Exponentialfunktionen (e-funktionen) Trigonometrische Funktionen (Sinus- und Kosinusfunktionen) Zunächst schauen wir uns aber mal an, was man unter einer "Funktion" überhaupt versteht. 1.1 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge Eine Funktion können wir uns wie eine Maschine vorstellen, in die wir eine Zahl als x-wert oben reinstecken und die Maschine daraus genau eine Zahl als y-wert produziert (nicht mehrere!). Die Zahlenmenge der x-werte, die wir in die Maschine reinstecken wollen, nennen wir die Definitionsmenge der Funktion. Die Zahlenmenge der y-werte, die wir als "Ergebnisse der Maschine" erhalten, wenn wir alle möglichen x-werte der Definitionsmenge reinstecken, nennen wir die Wertemenge der Funktion. Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, die jeder Zahl x aus einer Definitionsmenge D genau eine Zahl y = f(x) aus der Wertemenge W zuordnet. Die Mathematik hat eine spezielle Fachsprache, daher ist es wichtig, dass ihr euch bestimmte Begriffe merkt und diese auch insbesondere bei Prüfungen richtig benutzt.

6 Einige Bezeichnungen, die im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind: x Variable der Funktion; der x-wert wird häufig auch Stelle genannt, etwas seltener wird auch der Begriff "Argument" oder "Abszisse" benutzt f(x) Funktionswert von x (Funktionswert an der Stelle x); in der Mittelstufe habt ihr anstatt f(x) den Buchstaben "y" geschrieben; in der Oberstufe solltet ihr aber die Schreibweise "f(x)" benutzen; lediglich bei Geradengleichungen (siehe Kapitel ) schreibt man auch in der Oberstufe häufig "y" anstatt f(x). D Definitionsmenge = Menge aller x-werte, die in f eingesetzt werden dürfen K, K Schaubild von f, enthält alle Punkte P(x/y), deren Koordinaten die f Funktionsgleichung erfüllen Um Zahlenmengen anzugeben (zum Beispiel zur Angabe der Definitionsmenge oder Wertemenge) werden entweder Intervallschreibweisen oder Großbuchstaben verwendet. Um zu unterscheiden, ob die Randzahl eines Intervalls noch zur Zahlenmenge dazugehört oder nicht, werden in der Mathematik zwei Sorten von eckigen Klammern verwendet. Zeigt eine eckige Klammer nach außen, gehört die Randzahl nicht mehr zum Intervall dazu; zeigt die eckige Klammer nach innen, gehört die Randzahl zum Intervall zu. Was immer gilt: Die "Zahl" (unendlich) wird stets aus dem Intervall ausgeschlossen. [1;4] : 1 x 4 alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich der Zahlen 1 und 4 [1;4[ : 1 x< 4 alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich 1 aber ohne 4 ]1;4] : 1< x 4 alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich 4 aber ohne 1 ]1;4[ : 1< x< 4 alle Zahlen von 1 bis 4 ohne 1 und ohne 4 ] ;]: x alle Zahlen, die kleiner oder gleich sind ]; [ : x > alle Zahlen, die größer als sind Außerdem gibt es noch Abkürzungen für bestimmte Zahlenmengen -> MERKHILFE R : Menge aller reellen Zahlen (alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl) R \{1} : Menge aller reellen Zahlen mit Ausnahme der Zahl 1 R * : Menge aller reellen Zahlen außer Null, also R* = R \{0} R + : Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen, also R = + [0; + [ R = R \{0}: Menge aller positiven reellen Zahlen * + + Z : Menge aller ganzen Zahlen, also Z = {...-, -, -1, 0, 1,,,...} N : Menge aller natürlichen Zahlen, also N = {0,1,,,...} Damit ihr zu einer Funktion das zugehörige Schaubild zeichnen könnt, benötigt ihr ein Koordinatensystem mit einer x-achse (waagrecht) und einer y-achse (senkrecht). Die einzelnen Punkte im Koordinatensystem werden durch zwei Koordinaten angegeben. Die Koordinatenachsen schneiden sich im Ursprung O(0/0). Beispiel 1.1: a) P(/) ist der Punkt mit dem x-wert und dem y-wert (also vom Ursprung aus zwei nach rechts und nach oben). b) Ein Punkt Q(x/0) liegt immer auf der x-achse, da der y-wert Null ist. c) Ein Punkt R(0/y) liegt immer auf der y-achse, da der x-wert Null ist.

7 Quadranten/Felder im Koordinatensystem Die Koordinatenachsen teilen die Ebene in 4 Felder auf, die gemäß der Abbildung durchnummeriert sind: Eine Funktion kann man in unterschiedlicher Form darstellen: als Funktionsterm: f(x) = x x als Wertetabelle: x y Die x-werte sind in der Wertetabelle beliebig vorgegeben. Die y-werte erhält man durch Einsetzen der x-werte in die Funktionsgleichung. Beispiel für x = -1: f( 1) = ( 1) ( 1) = 1+ 1= Beispiel für x = 1: f(1) = 1 1= 1 1= 0 Der in der Prüfung zugelassene Taschenrechner kann nach Eingabe einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle anzeigen. Wie dies bei dem einzelnen Taschenrechnermodell funktioniert, sollte aus dem Unterricht bekannt sein (oder in der Bedienungsanleitung nachgelesen werden). als Schaubild Bedeutung der Kurzschreibweise f(-1) = 1.) Für den x-wert x = -1 erhält man durch Einsetzen in f(x) den Funktionswert..) Der Punkt A(-1/) liegt auf dem Schaubild von f; A( 1/) Kf.) Die Funktion f nimmt an der Stelle x = -1 den y-wert an.

8 Kommen wir nochmals auf die Begriffe Definitionsmenge und Wertemenge zurück, die weiter oben bereits schon erwähnt wurden. Die Definitionsmenge einer Funktion f(x) umfasst die Menge aller Zahlen, die man für die Variable x einsetzen darf. Beispiel 1.: a) Wir betrachten die Funktion f(x) = 5x + 0 Wir dürfen in die Funktion alle reellen Zahlen für die Variable x einsetzen, z.b. f(0) = = 0 oder f( 0,5) = 5 ( 0,5) + 0= 18,75 oder f() = 5 + 0= 0 Die Funktion f(x) besitzt die Definitionsmenge D = R. Natürlich könnten wir diese Definitionsmenge auch "künstlich" einschränken. Betrachten wir hierzu folgenden Anwendungsfall: Wir werfen einen Stein von einem 0m hohen Turm herunter. Die Variable x sei die Fallzeit (in Sekunden) bis zum Boden und f(x) sei die Höhe des Steines nach x Sekunden. Der Zusammenhang zwischen x und f(x) wird durch die gestrichelte Parabel dargestellt. Die Definitionsmenge wäre hier also D = [0;], da es nicht sinnvoll ist, für die Zeit x negative Zahlen einzusetzen oder Zahlen größer einzusetzen, da der Stein nach Sekunden bereits auf dem Boden angekommen ist. b) Wir betrachten die Funktion g(x) = x. Wir dürfen in die Funktion g(x) keine negativen Zahlen für die Variable x einsetzen, da z.b. g( 1) = 1 nicht berechenbar ist. Die Funktion g(x) besitzt die Definitionsmenge D = [0; + [ oder D = R +. Die Wertemenge einer Funktion f(x) umfasst die Menge aller Zahlen, die als Funktionswerte (y-werte) angenommen werden können. Um die Wertemenge einer konkreten Funktion zu bestimmen, benötigt man das Schaubild der Funktion.

9 Linkes Schaubild: Die Parabel f(x) = x + 1 besitzt als tiefsten Punkt den Scheitelpunkt S(0/1). Die y-werte aller Parabelpunkte sind größer oder gleich 1. Wertemenge W = [1; [ Mittleres Schaubild: Die Gerade g(x) = x+ ist unendlich lang (das heißt Definitionsmenge D = R) und kann alle y-werte annehmen. Wertemenge W = R Rechtes Schaubild: Die Gerade g(x) = x+ beginnt bei x = -1 und endet bei x = (das heißt Definitionsmenge D = [-1;]. Der kleinste y-wert ist 1 und der größte y-wert ist 4. Wertemenge W = [1;4]. ( )

10 4. Polynomfunktionen. und 4. Grades Eine Polynomfunktion. Grades ist eine Funktion der Bauart Eine Polynomfunktion 4. Grades ist eine Funktion der Bauart f(x) = ax + bx + cx+ d. 4 f(x) = ax + bx + cx + dx+ e. Der Grad der Funktion entspricht also der höchsten Hochzahl, die in der Funktion vorkommt. Beispiele für Polynomfunktionen: a) f(x) = x + 4x: Polynomfunktion.Grades b) c) 4 f(x) = 0,5x 6x : Polynomfunktion 4.Grades f(x) = x (x 1) : Polynomfunktion.Grades (erkennbar nach Klammerauflösung) Bei Aufgaben rund um Polynomfunktionen benötigt man als Hilfsmittel das Lösen von Polynomgleichungen Wir werden uns daher im Kapitel 4.1 dem Lösen von Polynomgleichungen beschäftigen, bevor wir uns dann ab Kapitel 4. um Polynomfunktionen selbst kümmern. 4.1 Lösen von Polynomgleichungen Für das Lösen von Polynomgleichungen benötigt man Werkzeuge, die wir bereits schon kennengelernt haben: a-b-c-formel (Mitternachtsformel) Ausklammern von x oder x² Satz vom Nullprodukt Außerdem lernen wir noch das Substitutionsverfahren kennen. Welches der genannten Verfahren anzuwenden ist, hängt von dem konkreten Typ der Gleichung ab. 1.Fall: Typ n x = a Hier können wir die Gleichung direkt nach x auflösen. Bei der Gleichung a > 0: x1, n x = a muss man auf die Werte von n und a achten: n =± a falls n gerade ist a < 0: Gleichung unlösbar, falls n gerade ist MERKHILFE x x n = a falls n ungerade ist n = a falls n ungerade ist Beispiel 4.1: a) x = 54 b) x = 16 c) d) 4 4x = 8 4 x = x = 7 x = 7 = x = 8 x= 8 = 4 4 x = x =± ( Lösungen!) 4 x = 1 diese Gleichung ist nicht lösbar Die Lösung in Beispiel 4.1 b) darf nicht in der Form x= 8 aufgeschrieben werden (auch wenn die meisten Taschenrechner bei dieser Eingabe die Zahl - als Ergebnis ausgeben). 8

11 .Fall: Typ a ( ) ( ) = 0 Hier müssen wir sofort den Satz vom Nullprodukt (siehe Kapitel.) anwenden, ohne die Klammern auszumultiplizieren. Beispiel 4.: a) (x 6) (x+ 8) = 0 Lösung mit dem SvNp Gleichung I) x 6= 0 x1= Gleichung II) x+ 8= 0 x = 8 b) ( ) ( ) 0, x x 8 = 0 Lösung mit dem SvNp Gleichung I) Gleichung II) x = 0 x 8= 0 x = x1, =± x = 8 x,4 =± 8.Fall: Typ ax + bx + cx = 0 bzw. 4 ax + bx + cx = 0 Hier müssen wir x oder x² oder x³ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden. Beispiel 4.: a) b) x + x x = 0 Gleichung I): x1 = 0 Gleichung II): x = x x ausklammern ( ) x x + x = 0 Lösung mit SvNp 1± ± 5 + = = = = und x = 1,5 4 4 MNF x x 0 x, x 1 Gleichung gleich Null setzen: Gleichung I): x = 0 x1, = 0 Gleichung II): x 1= 0 x = 1 x ausklammern x x = 0 x (x 1) = 0 Lösung mit SvNp c) x ausklammern 4 x 9x = 0 x (x 9) = 0 Lösung mit SvNp Gleichung I): x = 0 x1, = 0 Gleichung II): x 9= 0 x = 9 x,4 =± Bei Gleichungen wie in Beispiel 4. b) passiert ab und zu folgender Umformungsfehler: x = x : x x= 1 Vergleicht man diese Lösung mit der Lösung aus dem Beispiel 4. b) fällt auf, dass x = 1 zwar eine Lösung ist, aber die Lösung x = 0 verloren gegangen ist. Dies liegt daran, dass die Gleichung durch x dividiert wurde und diese Umformung für x = 0 nicht zulässig ist. Merke: Dividiere niemals eine Gleichung durch einen Term mit x, da hierdurch Lösungen verloren gehen können.

12 4.Fall: Typ 4 ax + bx + c = 0 Hier können wir die Gleichung nur durch eine Substitution x = u lösen. Die Substitution sorgt dafür, dass wir die gegebene Gleichung in eine quadratische Gleichung au + bu+ c= 0 umwandeln, für die wir die Lösungsformel anwenden können. Beispiel 4.4: 4 x x + = 0 Lösung mit Substitution x = u Die substituierte Gleichung lautet u u+ = 0 ± 9 8 ± 1 Mit der Lösungsformel folgt u1, = = und damit u1 = und u = 1 Mit Hilfe der Rücksubstitution müssen wir die Variable u wieder in x umwandeln. Hierzu setzen wir die Lösungen von u wieder in die Gleichung x = u ein: u = x = x =± 1 1, u = 1 x = 1 x =± 1,4 Wäre in Beispiel 4.4 eine Lösung u= (also negativ) gewesen, so hätte sich bei der Rücksubstitution keine Lösung für x ergeben: u1 = x = ist nicht lösbar. Damit wären zwei der maximal vier möglichen Lösungen weggefallen. Übungsaufgaben Aufgabe 4-1: (TR, MH) Löse die folgenden Gleichungen exakt: 1 4 a) x = 0 b) ( x 4) ( x 9) = 0 c) 9 4 d) x = x e) x x = 0 f) 4 4 x x 9x g) x x + = 0 h) + = 0 i) 16 8 j) 4 x ax a = 0 für a > 0 k) 4 4 tx 1tx + 0t = 0 für t 0 (x 4) (x + 1) = 0 x x 8x= x = x 1 Aufgabe 4-: (TR, MH) 4 Für welchen Wert von a 0 hat die Gleichung 0,5 (x 6x + a) = 0 die Lösung x =? Berechne für diesen Fall die weiteren Lösungen der Gleichung.

13 4. Eigenschaften von Polynomfunktionen. und 4. Grades Typische Schaubilder für Polynomfunktionen.Grades: f(x) = x x + f(x) = 0,5x + x Typische Schaubilder für Polynomfunktionen 4.Grades: 4 f(x) = x 4x 4 f(x) = 1,5x + x 4..1 Symmetrie Bei der Symmetriebetrachtung eines Schaubildes unterscheiden wir die folgenden Symmetrien: Achsensymmetrie zur y-achse Punktsymmetrie zum Ursprung Um die Symmetrie rechnerisch nachzuweisen, sind folgende Formeln erforderlich: Das Schaubild von f(x) ist symmetrisch zur y-achse, wenn gilt: f( x) = f(x) Das Schaubild von f(x) ist symmetrisch zum Ursprung, wenn gilt: f( x) = f(x)

14 Symmetrie zur y-achse: f( x) = f(x) Symmetrie zum Ursprung: f( x) = f(x) Der rechnerische Symmetrienachweis erfolgt mit den obigen Formeln. Beispiel 4.5: a) Weise nach dass das Schaubild von f(x) = 0,5x + x symmetrisch zum Ursprung ist. Es gilt f( x) = 0,5 ( x) + ( x) = 0,5x x und f(x) = ( 0,5x + x) = 0,5x x Da f( x) = f(x) gilt, ist das Schaubild symmetrisch zum Ursprung. b) Weise nach dass das Schaubild von 4 f(x) = x 4x symmetrisch zur y-achse ist 4 4 Es gilt f( x) = ( x) 4 ( x) = x 4x Da f( x) = f(x) gilt, ist das Schaubild symmetrisch zur y-achse. Bei Polynomfunktionen gibt es noch eine einfachere Möglichkeit, die Symmetrie des Schaubildes auch ohne Verwendung der Formeln an der Funktionsgleichung abzulesen. Symmetrieregel für Polynomfunktionen Eine Polynomfunktion ist symmetrisch zum Ursprung, wenn alle Hochzahlen der Variablen x ungerade sind. (-> ungerade Funktion ) (siehe Beispiel 4.5 a)) Eine Polynomfunktion ist symmetrisch zur y-achse, wenn alle Hochzahlen der Variablen x gerade sind. (-> gerade Funktion ) (siehe Beispiel 4.5 b)) Eine ganzrationale Funktion ist weder symmetrisch zum Ursprung noch zur y-achse, wenn die Variable x sowohl gerade als auch ungerade Hochzahlen besitzt. Folgende beliebte Fehler können bei Symmetrieuntersuchungen auftreten: 1.) Das Schaubild von f (x) = x³ + x+ 7ist nicht symmetrisch zum Ursprung. 1 0 Begründung: Ausführlich kann man die Funktion so aufschreiben: f(x) = x + x + 7x Es treten sowohl ungerade Hochzahlen ( und 1) als auch gerade Hochzahlen (0) auf. Die Zahl ohne x darf somit bei der Hochzahluntersuchung nicht ignoriert werden..) Das Schaubild von f (x) = (x+ )² ist nicht symmetrisch zur y-achse, obwohl nur eine gerade Hochzahl vorkommt. Dies liegt daran, dass sich die Hochzahl nicht auf die Variable x bezieht, sondern auf einen Klammerausdruck. Um die Symmetrie zu untersuchen, muss die Funktionsgleichung ausmultipliziert vorliegen: f(x) = x + 6x+ 9. Aufgrund der geraden und ungeraden Hochzahlen liegt keine Symmetrie vor.

15 ( ) 11. Kurvenuntersuchung In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Berechnung von Extrempunkten und Wendepunkten sowie der Ermittlung der Monotonieintervalle eines Schaubildes Extrempunkte Die Extrempunkte eines Schaubildes sind die Punkte, bei denen ein lokales Maximum oder lokales Minimum existiert. lokal bedeutet, dass dieser Punkt der höchste bzw. tiefste Punkt in einer kleinen Umgebung um den Punkt herum ist, aber nicht unbedingt der höchste oder tiefste Punkt des kompletten Schaubildes sein muss. Alle Hoch- und Tiefpunkte eines Schaubildes haben eine gemeinsame Eigenschaft: Sie besitzen eine waagrechte Tangente, die Steigung in den Punkten ist gleich Null. Im nebenstehenden Schaubild gilt f (1) = 0 und f () = 0 Wenn wir Extrempunkte berechnen wollen, ist es erforderlich, dass wir zunächst alle Punkte des Schaubildes bestimmen, die eine waagrechte Tangente besitzen. Falls es solche Punkte nicht gibt, besitzt die Funktion keine Extrempunkte. Bei Aufgabenstellungen muss man zwischen den Begriffen Extrempunkt und Extremstelle unterscheiden. Die Extremstelle ist lediglich der x-wert des Extrempunktes. Im obigen Schaubild sind H(1/1) und T(/-) Extrempunkte und x = 1 bzw. x = sind die Extremstellen. Zur Berechnung von Extremstellen muss die folgende Bedingung erfüllt sein: Notwendige Bedingung für eine Extremstelle: Befindet sich bei x = a eine Extremstelle, dann gilt f (a) = 0. -> MERKHILFE "Notwendig" bedeutet, dass diese Bedingung bei einer Extremstelle immer erfüllt sein muss.

16 Aus nebenstehendem Schaubild können wir erkennen, dass an der Stelle x = 1 zwar auch eine waagrechte Tangente vorliegt (es gilt f (1) = 0) - trotzdem gibt es dort keinen Extrempunkt, sondern einen Sattelpunkt (genaueres zu Sattelpunkten folgt in Kapitel 11.) Was bedeutet das nun? Selbst wenn die notwendige Bedingung f (a) = 0erfüllt ist (das heißt es existiert eine waagrechte Tangente an der Stelle x = a) kann man daraus noch nicht sofort folgern, dass die Funktion dort einen Extrempunkt besitzt. Sie könnte dort auch einen Sattelpunkt besitzen. Damit wir prüfen können, ob an einer Stelle mit waagrechter Tangente ein Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt vorliegt, brauchen wir eine hinreichende Bedingung. Es gibt zwei Varianten für hinreichende Bedingungen bei der Berechnung von Extremstellen. Erste hinreichende Bedingung für Extremstellen mit der.ableitung f : Wenn f (a) = 0 ist und f (a) < 0 ist, dann hat f an der Stelle x = a ein lokales Maximum. Wenn f (a) = 0 ist und f (a) > 0 ist, dann hat f an der Stelle x = a ein lokales Minimum. Zweite hinreichende Bedingung für Extremstellen mit Vorzeichenwechsel (VZW) von f : Wenn f (a) = 0 ist und f an der Stelle x = a einen VZW von - nach + hat, dann hat f an der Stelle x = a ein lokales Minimum. Wenn f (a) = 0 ist und f an der Stelle x = a einen VZW von + nach - hat, dann hat f an der Stelle x = a ein lokales Maximum. MERKHILFE Wie dies rechnerisch umgesetzt werden muss, wird in folgendem Diagramm dargestellt: Setze f (x) = 0 und berechne die Lösungen der Gleichung. Annahme: x = 1 sei eine Lösung Prüfung mit f (x) : Prüfung mit Vorzeichenwechsel von f (x) f (1) < 0 lokales Maximum bei x = 1 Prüfe, welches Vorzeichen f (x) links f (1) > 0 lokales Minimum bei x = 1 rechts von x = 1 besitzt: f (1) = 0 keine Aussage möglich f (0) < 0 und f () > 0 (VZW von - nach +) Kontrolle mit VZW von f (x) lokales Minimum bei x = 1 f (0) > 0 und f () < 0 (VZW von + nach -) lokales Maximum bei x = 1 f (0) > 0 und f () > 0 Sattelpunkt f (0) < 0 und f () < 0 Sattelpunkt

17 Erklärung zur hinreichende Bedingung mit der.ableitung: (linker Kasten) Wenn wir die Lösung der Gleichung f (x) = 0 in f (x) einsetzen, können wir aufgrund des Vorzeichens der. Ableitung entscheiden, ob an dieser Stelle ein lokales Maximum (Hochpunkt) oder ein lokales Minimum (Tiefpunkt) existiert. Begründung: Das Vorzeichen der.ableitung gibt an, ob an dieser Stelle das Schaubild rechtsgekrümmt ( f (x) < 0) oder linksgekrümmt ( f (x) > 0) ist. Ein Punkt mit waagrechter Tangente und Rechtskrümmung ist ein Hochpunkt. Ein Punkt mit waagrechter Tangente und Linkskrümmung ist ein Tiefpunkt. Nimmt f (x) den Wert Null an, dürfen wir nicht fälschlicherweise davon ausgehen, dass dort automatisch ein Sattelpunkt vorliegt. Diese Möglichkeit besteht zwar, aber es könnte sich auch weiterhin um einen Hoch- oder Tiefpunkt handeln. In diesem Fall hilft uns die Prüfung mit f (x) überhaupt nicht weiter. Wir müssen eine andere Kontrollmöglichkeit nutzen nämlich die Prüfung des Vorzeichenwechsels von f (x). Erklärung zur hinreichende Bedingung mit dem VZW von f (x) :(rechter Kasten) Ist zum Beispiel x = 1 eine Lösung der Gleichung f (x) = 0, dann gibt es die folgenden vier Möglichkeiten, welche Sorte von Punkt bei x = 1 existieren kann. Die Möglichkeiten unterscheiden sich im Steigungsverhalten links und rechts von der Stelle x = 1: Tiefpunkt: f (Steigung) wechselt das Hochpunkt: f (Steigung) wechselt das Vorzeichen von nach + Vorzeichen von + nach Liegt kein Vorzeichenwechsel bei f vor, existiert kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt (dies ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, siehe Kapitel 11.). Wie man die Vorzeichenwechselprüfung konkret durchführt, werden wir in Beispiel 11. sehen. Nun folgen zunächst Beispiele, bei denen f (x) als hinreichende Bedingung genutzt wird.

18 Beispiel 11.1: a) Untersuche das Schaubild von f(x) = x x auf Extrempunkte. Hinreichende Bedingung: f (x) = 0 und f (x) 0 Es gilt f (x) = x und f (x) = 6x f (x) = 0: x = 0 x = 1 x= 1 und x= 1 Es gilt f (1) = 6 > 0 relatives Minimum bei x = 1 Tiefpunkt T(1/f(1)), also T(1/-) Es gilt f ( 1) = 6< 0 relatives Maximum bei x = -1 Hochpunkt H(-1/f(-1)) also H(-1/) b) Untersuche das Schaubild von f(x) = sin(x) 4 auf Extrempunkte in 0 x π. Hinreichende Bedingung: f (x) = 0 und f (x) 0 Es gilt f (x) = cos(x) und f (x) = sin(x) π f (x) = 0: cos(x) = 0 cos(x) = 0 x1= und x = π π π π π f ( ) = sin( ) = < 0 relatives Maximum bei x= Hochpunkt H ( / 1) f ( π ) = sin( π ) = > 0 relatives Minimum bei x= π Tiefpunkt T( / 7) π Hinweis: Wir könnten in diesem Fall die Extrempunkte auch ohne Ableitungsfunktion π bestimmen. Das Schaubild von g(x) = sin(x) besitzt den Hochpunkt H ( /1) und den Tiefpunkt T( / 1) (das sollte man sich durch Aufzeichnen der Sinuskurve selbst π herleiten können). Die Funktion f(x) besitzt die Amplitude (das heißt die y-werte werden verdreifacht) und ist noch um 4 nach unten verschoben (das heißt die dreifachen y-werte werden wieder um 4 reduziert) π π Daraus folgt für das Schaubild von f(x) als Hochpunkt H ( /1 4) = H( / 1) und als Tiefpunkt T( π/ 1 4) = T( π/ 7) x x c) Untersuche das Schaubild von f(x) = e + e auf Extrempunkte. Hinreichende Bedingung: f (x) = 0 und f (x) 0 Es gilt x = + f (x) 6e e x + ; : und x = + f (x) 1e x x x x f (x) = 0: 6e e 0 e 6e + 1 = 0; Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt + = ( ) x x Da weder die Gleichung e = 0 noch die Gleichung 6e + 1= 0 lösbar ist, ist die notwendige Bedingung niemals erfüllt. Das Schaubild besitzt keine Extrempunkte. Die Untersuchung von f (x) ist nicht mehr erforderlich. e x

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