mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 12 Nichttechnik - A II - Lösung
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- Elsa Schneider
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1 mthphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule Mthemtik Nichttechnik - A II - Lösung Teilufgbe. Der Grph G f einer gnzrtionlen Funktion f dritten Grdes besitzt den Extrempunkt E( / ), 7 schneidet die y-achse im Punkt ( / ) und ht n der Stelle x W = einen Wendepunkt. Teilufgbe. (9 BE) Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x). [ Mögliches Ergebnis: f( x) = x 7x 8x ] Allgemeiner Funktionsterm: f( xb c d) x bx cx d d. Ableitung: f' ( x b c d) dx f( xb c d) d. Ableitung: f'' ( x b c d) dx f' ( x b c d) x b 6 b x x c Bedingungen einsetzen: Gleichungssystem lösen: L f( b c d) = f' ( b c d) = f( b c d) = f'' 7 b c d = 6 8 b 8b d = c d = c = b = Lösungen heruslesen L b L c L d L b c d Konkreter Funktionsterm: f x b c d x x x Zwischenergebnis: f( x) x 7x 8x AP, Mthemtik Nichttechnik. Klsse, A II - Lösung Seite von 8
2 mthphys-online Teilufgbe. ( BE) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f mit Vielfchheiten. Nullstelle x ist us. beknnt. Polynomdivision: px ( ) x 7x 8x x prfrc x x Weitere Nullstellen: px ( ) = x x = uflösen x einfche Nullstelle ( / ) und zweifche Nullstelle (/) Teilufgbe. ( BE) Bestimmen Sie Art und Koordinten der reltiven Extrempunkte des Grphen G f uf zwei Nchkommstellen genu.. Ableitung: f' ( x) x x 8 Horizontle Tngenten: f' ( x) = 9x x 8 = uflösen x Art der Extrempunkte über ds Monotonieverhlten: f.7 Hochpunkt H(.67 /.7) f'(x) pos neg pos G f sms smf sms HP TP f( ) Tiefpunkt T( / ) AP, Mthemtik Nichttechnik. Klsse, A II - Lösung Seite von 8
3 mthphys-online Teilufgbe. ( BE) Zeichnen Sie den Grphen G f im Bereich. x mithilfe vorliegender und weiterer geeigneter Funktionswerte in ein Koordintensystem. Mßstb uf beiden Achsen: LE= cm Tbelle "x-werte" "y-werte" y-achse 6 6 x-achse Grph Gf von f Punkte von Gf AP, Mthemtik Nichttechnik. Klsse, A II - Lösung Seite von 8
4 mthphys-online Teilufgbe. Gegeben sind die reellen Funktionen g ( x) Der Grph wird mit G g bezeichnet. = 8 x x mit IR. Teilufgbe. (7 BE) Ermitteln Sie die Koordinten sämtlicher Punkte mit wgrechter Tngente des Grphen G g und deren Art. Allgemeiner Funktionsterm: gx ( ) 8 x x. Ableitung: g' ( x ). Ableitung: g'' ( x ) 8 x x 8 x x Horizontle Tngenten: g' ( x ) = x x = uflösen x g ( ) x = ist zweifche Nullstelle von g', deshlb Terrssenpunkt Te(/) von G g g 7 8 g'' 9 positiv, lso ist TP 7 Tiefpunkt von G g Teilufgbe. (7 BE) Bestimmen Sie die mximlen Krümmungsintervlle und die Koordinten der Wendepunkte des Grphen G g. g'' ( x ) = x x = uflösen x Wendepunkte: x Te = x W = AP, Mthemtik Nichttechnik. Klsse, A II - Lösung Seite von 8
5 mthphys-online Grph der. Ableitung: Terrssenpunkt: Te( ) g''(x) pos neg pos G g lk rk lk g Wendepunkt Te W W Teilufgbe. ( BE) Berechnen Sie so, dss die Grphen G f us Teilufgbe. und G bei x = einen g gemeinsmen Punkt besitzen. [ Ergebnis: = ] g ( ) = = uflösen Teilufgbe. ( BE) Zeichnen Sie den Grphen der Funktion g mit g ( x). 8 x = x im Bereich x. mit Hilfe vorliegender Ergebnisse in ds vorhndene Koordintensystem ein. gx ( ) gx ( ) x 8 x 7 Tiefpunkt: T Terrssenpunkt: Te( ) Wendepunkt: W ( ) Nullstelle: N ( ) AP, Mthemtik Nichttechnik. Klsse, A II - Lösung Seite von 8
6 mthphys-online 8 6 y-achse 6 6 x-achse Grph Gf von f Punkte von Gf Grph Gg von g Punkte von Gg Teilufgbe. ( BE) Die Grphen G f und G g schließen im. und. Qudrnten zusmmen mit der y-achse ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Mßzhl seines Flächeninhlts. Differenzfunktion: f( x) gx ( ) x x 8 x x Stmmfunktion: Dx ( ) f( x) gx ( ) dx x 6 x 7x x x Obere Grenze: D ( ) 7. Untere Grenze: D ( ) Flächenberechnung: A D( ) D ( ) A 7. AP, Mthemtik Nichttechnik. Klsse, A II - Lösung Seite 6 von 8
7 mthphys-online Teilufgbe. Eine Biogsnlge besteht us einem zylinderförmigen, oben offenen Grundkörper, ds Dch der Höhe h ist kegelförmig (siehe nebenstehende Skizze des Querschnitts). Die Mntellänge s des Kegels beträgt m. Die folgenden Rechnungen werden ohne Einheiten durchgeführt. Teilufgbe. (6 BE) Stellen Sie die Mßzhl V des Volumens der gesmten Biogsnlge in Abhängigkeit von der Höhe h dr und geben Sie eine im gegebenen Schzusmmenhng sinnvolle Definitionsmenge der Funktion Vh ( ) n. [ Mögliches Teilergebnis: Vh ( ) = 7h h ] π Zielfunktion: V = V Zylinder V Kegel = r π h r πh = r πh Nebenbedingung: r h = s s = r h = Auflösen nch r: r h = r = h Negtive Wurzel nicht sinnvoll Einsetzen in die Zielfunktion: Vh ( ) = h πh Zwischenergebnis: Bedingungen: h Vh ( ) 7h h π r = h = h = Definitionsmenge: ID = ] ; [ AP, Mthemtik Nichttechnik. Klsse, A II - Lösung Seite 7 von 8
8 mthphys-online Teilufgbe. (6 BE) Berechnen Se h so, dss ds Volumen den bsolut größten Wert nnimmt. Runden Sie dbei nicht. Bestimmen Sie uf den nächsten gnzzhligen Wert gerundet den Wert V mx des mximlen Volumens. V' ( h) d dh Vh ( ) π h 7 Horizontle Tngenten: V' ( h) = π h 7 = uflösen h nicht definiert x E x E 8.66 ist definiert π V 68 Vergleich mit den Rndwerten: lim h Vh ( ) lim h Vh ( ) Drstellung der Zielfunkton in der Prüfung nicht verlngt π Volumen V Höhe h AP, Mthemtik Nichttechnik. Klsse, A II - Lösung Seite 8 von 8
1 x x2 3 mit D f = IR. Teilaufgabe 1.1 (5 BE) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und geben Sie das Symmetrieverhalten von G f.
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