Aufgaben aus Zentralen Klassenarbeiten Mathematik (Baden-Württemberg) zu Logarithmen und Wachstum

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1 Aufgben us Zenrlen Klssenrbeien Mhemik (Bden-Würemberg) zu Logrihmen und Wchsum ZK 96 ) Besimme mi Hilfe der Definiion des Logrihmus : ) 6 b) c) d) ) Es is 0, 6. Berechne dmi ) b) 0. ) ) Herr Schmid gewinn K DM im Loo. Er leg dieses Geld bei seiner Bnk zu 6% Zinseszins fes n. Wie groß is sein Guhben nch Jhren? In welcher Zei würde sich sein Guhben verdoppeln? b) Fru Kern leg ihren Loogewinn T 0 ebenflls zu 6% Zinseszins n. In welcher Zei würde sich ihr Guhben verdoppeln? ZK 97 ) Besimme mi > 0: ) 6 b) 0, c) d) 6 + ) Es is, 0,7969. Berechne dmi Näherungswere für ) (,) b) 7, b ) Es is b. Vereinfche dmi (b) + ( ) (b ). + ) Ds Schubild der Funkion f() b geh durch die Punke P(0/ ) und Q(/ ). 9 Unersuche durch Rechnung, ob es uch durch R(/ ) geh. ZK 9 ) Berechne mi > 0: ) b) 7 c) d) ) Für,, y > 0 und > y gele: ( + y) und ( y) Berechne dmi ) ( y ) b) ( + y + y ) c) ( + y) d) y ) ) Eine Kolonie von 000 Bkerien verdoppel sich uner Lborbedingungen jeweils in 6 Sunden. In welcher Zei verzehnfch sie sich? ( Runde uf volle Tge. )

2 b) Die Kolonie von 000 Bkerien wächs zunächs 9 Tge lng uner den Lborbedingungen us Teilufgbe ). Dnch werden die Bedingungen so veränder, dss sich die Anzhl der Bkerien äglich hlbier. Nch wie vielen Tgen ( von Anfng n gerechne ) is die ursprüngliche Anzhl von 000 Bkerien wieder erreich? ZK 99 ) Besimme us ) b) ) Fru Müller möche Geld bei einer Bnk zu einem Jhreszinssz von p% nlegen, dmi sie späer einschließlich der Zinseszinsen ew 000 DM zur Verfügung h. ) Eine Bnk empfiehl ihr,,70 DM uf ein Sprkono mi % einzuzhlen. Welchen Berg häe sie dnn nch vier Jhren? b) Bei einer nderen Bnk müsse sie 07, DM nlegen, um nch Jhren ein Guhben von 000,00 DM zu besizen. Welchen Jhreszinssz gewähr diese Bnk? c) Auf wie viele Jhre müsse sie 6, DM nlegen, um bei % ein Guhben von 000,00 DM zu erzielen? ZK 990 ) Berechne us ) b) c), 7 ) ) Fru Schild gewinn 00 DM im Loo. Sie leg dieses Geld bei der Bnk zu einem jährlichen Zinssz von % n. Wie hoch is ihr Guhben nch Jhren ( einschließlich Zinseszins )? b) Fru Schild erfähr, dss bei einer nderen Bnk ein Kpil von 00 DM in Jhren um 60 DM nwchsen würde.welcher Zinssz gil bei dieser Bnk? c) Wie lnge muss Fru Schild wren, bis ihr Loogewinn von 00 DM bei dem Zinssz von % uf ein Guhben von 600 DM ngewchsen sein wird? ZK 99 ) Berechne us ) 6 b) 7 c) ( ) ; > 0. ) Es is u und w ; > 0. Berechne ) (uw) b) u ) Eine Bkerienkulur umfss nfngs 0000 Bkerien; die Anzhl der Bkerien wächs eponeniell. Die Anzhl vergrößer sich lle 0 Minuen um 0%. ) Wie viele Bkerien sind es nch Sunden? b) Nch welcher Zei sind es 0 Millionen Bkerien?

3 ZK 99 ) Besimme mi Hilfe der Definiion des Logrihmus : ) ( ) b) 7 c) - d) ) Birgi besiz zwei Sprbücher. Auf Sprbuch I sind 00 DM zu,% jährlich ngeleg, uf Sprbuch II 900 DM zu,%. Einzhlungen und Abhebungen erfolgen keine. ) Berechne ds Guhben uf Sprbuch I nch 7 Jhren. b) Bei welchem Zinssz würde sich ds Guhben uf Sprbuch I in Jhren verdoppeln? c) Nch wie viel Jhren is ds Guhben uf Sprbuch II ersmls höher ls ds Guhben uf Sprbuch I? ZK 99 ) Berechne us ) b) c) - d) lg(+0). ) Ein Disrik in einem Enwicklungslnd he Ende des Jhres 9 rund 0000 Einwohner ; die Bevölkerungszhl nimm lu Sisik jährlich um,% zu. ) Wie viele Einwohner wird dnch dieser Disrik Ende des Jhres 000 vorussichlich hben? b) Die Lndwirschf dieses Disriks konne zum Jhresende 9 nur 0000 Menschen ernähren. Ein Enwicklungsprogrmm soll bis zum Ende des Jhres 000 die lndwirschfliche Produkion um insgesm 70% erhöhen. Wie viele Menschen sind demnch rechnerisch im Jhre 000 noch uf eine Nhrungsmieleinfuhr ngewiesen, wenn sie nich hungern sollen? c) In welchem Jhr könne der Disrik lle seine Bewohner selbs ernähren, wenn die für ds Jhr 000 errechnee Lebensmielprodukion von d n jährlich um % seig?

4 Lösungen us Zenrlen Klssenrbeien Mhemik (Bden-Würemberg) zu Logrihmen und Wchsum Lösung us ZK 96: ) ) 6 6 b) c) d) ( 0 ) ) 0,6 ) 0,6 0, 07 b) 0 ( ) + 0,6 +, 6 ) ) Guhben nch Jhren : K 0.000,06., 6 DM Verdoppelungszei Zeiduer, bis der Berg uf DM ngewchsen is : ,06,06,06,9 Jhre.,06 Ds Guhben verdoppel sich ungefähr lle Jhre. b) Ds Anfngskpil is nun unbeknn. Nch n Jhren besiz Fru Kern ein Kpil von n K n T0, 06 Verdoppelungszei Zeiduer, bis der Berg uf T0 ngewchsen is: n n T T,06,06 n,9 Jhre (siehe ) ) 0 0 Die Verdoppelungszei von knpp Jhren is unbhängig von der Höhe des Anfngskpils Lösung ZK 97 : ) ) , b) 0, c)

5 d) ) Es is, 0,7969. Berechne dmi Näherungswere für ) (,) +, +, + 0,9, 9 b) 7, (,) +, + 0,7969, 7969 b ) (b) + ( ) + (b ) + b + b + b + + b + + b + 0 ) Einsezen von P: f(0) b Einsezen von Q: b 9 f () b lso f() 9 9 Lieg R uch uf dem Schubild? Punkprobe: ergib keine whre Aussge, lso lieg R nich uf dem Schubild von f. Lösung ZK 9: ) ), b) , 7 c) d) ) ) ( y ) ( + y)( y) ( + y) + ( y) + 7 b) ( + y + y ) ( + y) ( + y) c) ( + y) ( + y) + ( + y) + d) ( y) 0,, y ) ) Aufgrund der ngegebenen Verdoppelungszei lieg ein eponenielles Wchsum vor. B() B(0) wobei die Zei in Sunden is. B() 000 Nch 6 Sunden sind 000 Bkerien vorhnden: , 09 Wchsumsgleichung: B() 000,09 0 Verzehnfchung: ,09 9, Sunden,09 Eine Verzehnfchung ergib sich nch c. Tgen.

6 b) Aus ): B() 000,09 Besnd nch 9 Tgen (6 Sunden) B(6) 000, Bkerien Nun hlbier sich der Besnd pro Tg: B() B(0) 0, wobei die Zei in Tgen is. Nun sei 6 der Anfngsbesnd und es wird ermiel, wie lnge es duer, bis wieder 000 Bkerien vorhnden sind: 0, , 0,076 0, 6 Tge 0, Von Beginn n gerechne duer es Tge, bis wieder 000 Bkerien erreich sind. Lösung ZK 99: ) ) b) ) Fru Müller möche Geld bei einer Bnk zu einem Jhreszinssz von p% nlegen, dmi sie späer einschließlich der Zinseszinsen ew 000 DM zur Verfügung h. ) Einzhlung,70 DM, Zinssz % ergib B(),70,0 Nch Jhren: B(),70,0 000DM Fru Müller häe nch Jhren genu 000 DM zur Verfügung. b) B() 07, Nch Jhren ergeben sich 000 DM: ,,, 0 Der Zinssz bei der nderen Bnk beräg,%. c) B() 6,,0, ,,0,79,0 Jhre,0 Lösung ZK 990: ) ) 7 7 b), 0, c), 6 6

7 ) ) Ds Geld vermehr sich gemäß dem Modell des eponeniellen Wchsums. B() 00,0 Kpil nch Jhren: B() 00,0 09, DM b) Fru Schild besiz nch Jhren ein Guhben von 760 DM. B() 00 B() Der Zinssz beräg % ,0 c) Wchsumsgleichung: B() 00,0 600 Duer bis 600 DM erreich sind: ,0 00,0 Fru Schild muss Jhre wren. Lösung ZK 99: ) ) 6 6 b) c) ( ) ) ) (uw) u + w + 9 b) u u ) ) Wchsumsgleichung: B() 0000 Nch 0 Minuen umfss die Kulur 0000, Bkerien Also gil B(0) , Wchsumgleichung: B() 0000,0096 ( in Minuen) Besnd nch Sunden (0 Minuen) B(0) 0000, Nch Sunden sind es 09 Bkerien. b) Zei, bis es 0 Mio. Bkerien sind: , Minuen 9 h min,0096 7

8 Lösung ZK 99 ) ) ( ) b) c) d) ) ) Wchsumsgleichung Sprbuch I: B() 00,0 in Jhren Guhben nch 7 Jhren: B(7) 00,0 7 67, 79 DM b) Gesuch is nun der Wchsumsfkor : B() 00 Nch Jhren soll ds Guhben 00 DM bergen: 00 00,00 lso is der Zinssz,0%. c) Aufgrund der höheren Verzinsung uf Sprbuch II wird ds Guhben uf Sprbuch II irgendwnn höher sein ls ds uf Sprbuch I. Zunächs wird ermiel, nch wie viel Jhren uf beiden Sprbüchern ds Guhben gleich hoch is. Die Berechnung erfolg durch Gleichsezen der Wchsumsfunkionen: 00,0,0 00,0 900,0 9 0, 900,0 9,0,0,0 Nch 0, Jhren is uf beiden Sprbüchern ds gleiche Sprguhben, lso is nch Jhren ds Guhben uf Sprbuch II höher. Lösung ZK 99: ) ) 0, 0, 0,, b) c) d) lg( + 0)

9 ) ) Die Einwohnerzhl nimm nch dem eponeniellen Wchsumsmodell zu: B() B(0) B() 0000,0 in Jhren sei 9 Einwohnerzhl im Jhr 000: B() 0000,0 67 Einwohner b) Anzhl der Menschen, die im Jhr 000 versorg werden sollen: 0000, Menschen Es sind noch Menschen uf Nhrungsmieleinfuhr ngewiesen. c) Wchsumsgleichung für die Lebensmielprodukion: B() 6000,0 in Jhren sei 000 Wchsumsgleichung für die Bevölkerung: B() 67,0 in Jhren sei 000 Der Disrik knn lle seine Bewohner selbs ernähren, wenn sich die Schubilder für die Lebensmielprodukion und für die Bevölkerung schneiden: 67, ,0 67,0 6000, Jhre,0 6000,0,0 Ab dem Jhr 0 knn der Disrik seine Bewohner selbs ernähren. 9