3. Expressions and Definitions Die Struktur von Mathematica-Ausdrücken

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1 3. Expressions nd Definitions Die Struktur von Mthemtic-Ausdrücken Expressions sind die Grundusteine us denen lle Mthemtic-Progrmme ufgeut sind. Die Form, in der Mthemtic Expressions intern drstellt, und die Art und Weise wie Mthemtic Ausdrücke verreitet sind essentiell, um Mthemtic effizient einsetzen zu können. In diesem Kpitel lernen Sie deshl, worus komplexere expressions ufgeut sind und nch welchen Gesetzmäßigkeiten Mthemtic experssions untergliedert. Desweiteren lernen Sie zwei Arten kennen, wie in Mthemtic Vrilen zugewiesen werden, nämlich üer die Funktionen Set und SetDelyed. 3.1 Atoms Es git im wesentlichen 3 Arten von Grundusteinen, die uch ls toms ezeichnet werden, und zwr (1) Symols () Numers (3) Strings Um heruszufinden, worum es sich hndelt, eignet sich die Funktion Hed Symols Hed@SinD Symol Hed@fD Symol Hed@myfunctionD Symol Hed@x1D Symol

2 Symol Jedes Symol eginnt mit einen Buchsten und knn elieig viele nchfolgende Zeichen und Ziffern (ohne Leerzeichen) enthlten. Auch jede Mthemtic-Funktion wie Sin, Integrte, D,... ist ein Symol. Numers Mthemtic unterscheidet wiederum 4 Typen von Numers Hed@11D Integer 5 HedB F 7 Rtionl Hed@3.1415D Rel Hed@3 + 4 äd Complex Bechten Sie folgenden Unterschied Hed@ΠD Hed@N@ΠDD Symol Rel Strings Der dritte Grundustein von expressions sind Strings Hed@"Text"D String Strings ezeichnet eine Afolge von Zeichen, die zwischen zwei Anführungsstrichen eingeschlossen sind. Die Funktionen, mit deren Hilfe Strings erzeugt und mnipuliert werden können, ähneln denen zur Mnipultion von Listen und werden dher im Kpitel 6 (Lists) esprochen.

3 3 Strings ezeichnet eine Afolge von Zeichen, die zwischen zwei Anführungsstrichen eingeschlossen sind. Die Funktionen, mit deren Hilfe Strings erzeugt und mnipuliert werden können, ähneln denen zur Mnipultion von Listen und werden dher im Kpitel 6 (Lists) esprochen. 3. Die Struktur von Ausdrücken Wie ereits erwähnt ist lles in Mthemtic eine expression. Expressions sind entweder tomic (so wie die Beispiele im vorigen Aschnitt 3.1) oder sie sind. Gnz llgemein lässt sich ein elieiger Mthemtic Ausdruck immer in die Form ringen h@e1, e,... en D woei h der Hed des Ausdrucks ist, der us mehreren Elementen e1, e usw. esteht, die ihrerseits entweder toms oder expressions sein können. Als Beispiel etrchten wir folgenden Ausdruck: ++c Um die volle interne Drstellung eines Ausdrucks zu estimmen knn die Funktion FullForm verwendet werden + + c FullForm H* zur Erinnerung: " " meint die PostFix Anwendung einer Funktion *L FullForm@ + + cd; H* ds wäre die normle Form der Anwendung einer Funktion *L Plus@,, cd Wir sehen lso, dss der Hed dieses Ausdrucks die Funktion Plus ist. Hed@ + + cd Plus? Plus x + y + z represents sum of terms. Auch kompliziertere Ausdrücke hen eine ähnliche interne Struktur + x + c FullForm Plus@, xdd Sin@xD I x + x + Power@x, DDD, Sin@xDD Mit TreeForm wird die hierrchische Struktur von Ausdrücken esonders gut sichtr

4 4 I x + x + cm TreeForm Plus c Sin x x Power x Mit der Funktion Length knn die Länge eines Ausdrucks gefrgt werden, mit der Funktion Prt knn uf einzelne Teilusdrücke zugegriffen werden. Wir wählen ls Beispiel den oigen Ausdruck: f = Sin@xD I x + x + cm; Hed@fD Length@fD Wie us der oigen TreeForm-Drstellung erkennr ist, ildet die Funktion den Hed (= 0te Eene) des Ausdrucks (lso die Mulipliktion vom Sinus mit dem Klmmerusdruck). Auf der 1. Eene des Ausdrucks git es Ausdrücke, dher ist die Length =, die einzelnen Teilusdrücke knn mn mit dem Prt-Befehl erhlten. Prt@f, 1D Prt@f, D c + x + x Sin@xD

5 5? Prt or id gives the ith prt of expr. counts from the end. j, i, DD or i, j, D is equivlent to expr@@idd@@ jdd <DD gives list of the prts i1, i, of expr.. expr@@m ;; ndd gives prts m through n. expr@@m ;; n ;; sdd gives prts m through n in steps of s. Eine sehr häufig verwendete, verkürzte Schreiweise der Prt-Funktion ist die Vrinte expr[[i]], lso f@@1dd f@@dd c + x + x Sin@xD Die Prt-Funktion zw. die [[ ]]-Klmmer erlut es nun, uf jeden elieigen Teilusdruck zuzugreifen. f@@1dd f@@1, 3DD f@@1, 3, DD f@@1, 3,, DD c + x + x x x Ds eröffnet die Möglichkeit, Ausdrücke gezielt zu modifizieren. Als Beispiel wollen wir die Hochzhl in dem Ausdruck durch einen nderen Ausdruck ersetzen f@@1, 3,, DD = 3; f Ic + x + x3 M Sin@xD Beispiel: Wir untersuchen die Struktur des folgenden Ausdrucks. () Ersetzen Sie ds x im Argument des Cos durch ein y. () Ändern Sie nschließend die Funktion Tn im Nenner uf Cot.

6 6 + CosAx + ye f= ; Exp@D - Tn@D TreeForm@fD Plus Cos Sin Plus x Power x y Power Plus Power ã -1-1 Tn f@@1, 1, 1, 1, 1DD = y;h* tuscht ds x im Cos durch ein y us *L f Cos@y + y D + Sin@xD ã - Tn@D f@@, 1,,, 0DD = Cot; H* die PrtSpezififiktion 0 ezieht sich uf den "Hed" des jeweiligen Ausdrucks *L f Cos@y + y D + Sin@xD ã - Cot@D Beispiel: Zum Aschluss dieses Kpitels gehen wir uch den umgekehrten weg, ds heißt wir strten mit der FullForm und üerlegen und die dzugehörige TrditionlForm Plus@Power@, xdd + c x

7 - DDD + x + c x 3.3 Definitionen In diesem Aschnitt ehndeln wir die Funktionen Set und SetDelyed, die dzu verwendet werden, um einer Vrilen (einem Symol) einen Ausdruck (expression) zuzuweisen.? Set lhs = rhs evlutes rhs nd ssigns the result to e the vlue of lhs. From then on, lhs is replced y rhs whenever it ppers. 8l1, l, < = 8r1, r, < evlutes the ri, nd ssigns the results to e the vlues of the corresponding li.? SetDelyed lhs := rhs ssigns rhs to e the delyed vlue of lhs. rhs is mintined in n unevluted form. When lhs ppers, it is replced y rhs, evluted fresh ech time. Ws der Unterschied dieser zwei Zuweisungsrten = für Set und := für SetDelyed ist, soll nhnd von einem Beispiel verdeutlicht werden. Die Funktion RndomRel[] erzeugt eine Zufllszhl zwischen 0 und 1. = RndomRel@D; H* Die volle Form dieser Zeile lutet: Set@,RndomRel@DD *L := RndomRel@D; H* Die volle Form dieser Zeile lutet: SetDelyed@,RndomRel@DD *L Hier wird in der 1. Zeile der Vrile mir der Funktion Set (=) eine Zufllszhl zugewiesen, und in der. Zeile der Vrile mit der Funktion SetDelyed (:=). Der Unterschied wird deutlich, wenn mn nch dem ktuellen Wert von und frgt:

8 Ds heißt, die Zuweisung mittels Set ht der Vrile einmlig eine estimmen Zufllszhl zugewiesen (die rechte Seite wurde ktuell usgewertet). Demgegenüer ewirkt SetDely, dss ei jeder neuerlichen Verwendung der Vrile, die unter SetDely getroffene Zuweisung erneut usgewertet wird. Diese unterschiedlichen Zuweisungsrten werden uch so deutlich:?? Glol` = Glol` := RndomRel@D Mit der Funktion Cler knn eine Zuweisung wieder gelöscht werden Cler@, D?? Glol` Glol` Wir schließen diesen Aschnitt mit einem weiteren Beispiel, ds die Wirkungswesie von Set und SetDelyed verdeutlichen soll. =1 1 c = + ; d := + ;

9 c d = c d 3 4 Ds heißt, dss ei einer neuerlichen Auswertung von c=+ (Set), der ktuelle Werte von nicht erücksichtigt wird, während ei d:=+ (SetDelyed), ei jeder Verwendung des Symols d die Definition d:=+ neuerlich usgewertet wird, und somit ein geänderter Wert von erücksichtigt wird.?c?d Glol`c c= Glol`d d := + Üungsufgen Ü3.1: Bestimmen Sie den Hed der folgenden Ausdrücke Π Π+ã 1 +ä. 9

10 10 8,, c, d< ++c+d **c*d Ü3.: Geen Sie die volle (interne) Form des folgenden Ausdrucks n (ohne die Funktion FullForm) zu verwenden I + x M Ü3.3: Üersetzen Sie die folgende FullForm eines Mthemtic-Ausdrucks in seine TrditionlForm (ohne SHIFT-ENTER zu drücken Power@, DD, xdd, - 1DD Ü3.4: Betrchten Sie die Struktur des folgenden Ausdrucks, und nehmen Sie folgende Änderungen vor, indem Sie mit der Prt-Funktion uf die entsprechenden Teilusdrücke zugreifen: () Ersetzen Sie ds Symol w durch den Ausdruck Sin[w] () Ersetzen Sie ds Produkt durch eine Summe + (c) Ersetzen Sie die Hochzhl durch die Vrile Ix + ym z w+1 Ü3.5: Üerlegen Sie sich ds Ergenis der folgenden Berechnungen für die Vrile d, und üerprüfen Sie nschließend Ihre Erwrtungen durch drücken von SHIFT-ENTER ;-) c d d = ; = 1; = + ; := c + ; = 3;