Lateinische und magische Quadrate
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- Catrin Armbruster
- vor 7 Jahren
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Transkript
1 Überblick I - Lateinische Quadrate Überblick II - Oktober 2006
2 Überblick I - Lateinische Quadrate Überblick II - Überblick I
3 Überblick I - Lateinische Quadrate Überblick II - Überblick I Geschichte
4 Überblick I - Lateinische Quadrate Überblick II - Überblick I Geschichte Bildungsvorschrift
5 Überblick I - Lateinische Quadrate Überblick II - Überblick I Geschichte Bildungsvorschrift Gruppentheorie
6 Überblick I - Lateinische Quadrate Überblick II - Überblick I Geschichte Bildungsvorschrift Gruppentheorie
7 Überblick I - Lateinische Quadrate Überblick II - Überblick II
8 Überblick I - Lateinische Quadrate Überblick II - Überblick II UVR-Eigenschaft
9 Überblick I - Lateinische Quadrate Überblick II - Überblick II UVR-Eigenschaft Geschichte
10 Überblick I - Lateinische Quadrate Überblick II - Überblick II UVR-Eigenschaft Geschichte Bildungsvorschriften
11 Überblick I - Lateinische Quadrate Überblick II - Überblick II UVR-Eigenschaft Geschichte Bildungsvorschriften Wetten, dass...?
12 Überblick I - Lateinische Quadrate Überblick II - Überblick II UVR-Eigenschaft Geschichte Bildungsvorschriften Wetten, dass...? Besondere Eigenschaften
13 Geschichte Bildungsvorschrift Sudoku n n -Matrix
14 Geschichte Bildungsvorschrift Sudoku n n -Matrix Jedes Element kommt nur einmal pro Zeile bzw. Spalte vor.
15 Geschichte Bildungsvorschrift Sudoku n n -Matrix Jedes Element kommt nur einmal pro Zeile bzw. Spalte vor. Häug verwendete Elemente: natürliche Zahlen, Buchstaben, unterschiedliche Farben
16 Lateinische Quadrate De nition Geschichte Bildungsvorschrift Sudoku Geschichte I Leonhard Euler ( ) Abbildung: Leonhard Euler
17 Geschichte Bildungsvorschrift Sudoku Bildungsvorschrift
18 Geschichte Bildungsvorschrift Sudoku Bildungsvorschrift n n n 1 n n 1 n n n 1
19 Geschichte Bildungsvorschrift Sudoku Sudoku Anzahl lateinischer Quadrate der Ordnung n=9: ca. 5, davon ca. Beispiel I , Stück Sudokus Beispiel II A B 3 0 A A B 0 B A A B 9 1
20 Beweis:Lateinisches Quadrat als Gruppentafel Verknüpfungstafel einer endlichen Gruppe darzustellen = lateinisches Quadrat Quasigruppe muss weniger Voraussetzungen als eine Gruppe erfüllen von Quasigruppen Eine Quasigruppe ist eine Menge Q auf der eine innere Verknüpfung (Q,*) deniert wird, wobei folgende Bedingungen erfüllt werden müssen: (Q1) Q (Q2) Für alle a, b Q gilt a x = b sowie y a = b sind eindeutig lösbar. Anwendung von Quasigruppen:Fehlerkorrektur von Datenübertragungen Satz: Die Verknüpfungstafel einer Quasigruppe ist ein lateinisches Quadrat.
21 Beweis:Lateinisches Quadrat als Gruppentafel Beweis:Lateinisches Quadrat als Gruppentafel Beweis: Es seien a 1, a 2,..., a n Elemente einer Quasigruppe und die Verknüfungstafel folgendermaÿen: a 1 a 2... a r... a s... a n a 1 a 11.. a a r.... a rs..... a n a nn a rs ergibt sich durch a r a s. Angenommen wir hätten in der gleichen Zeile einen weiteren Eintrag a rt für den a rs = a rt = b gilt, so hätten wir zwei Lösungen der Gleichung a r x = b, was ein Widerspruch zu den Bedingungen der Quasigruppe steht. Analog schlieÿt man bei zwei Einträgen der selben Spalte, also angenommen wir hätten a rp und a sp so erhält man zwei Lösungen der Gleichung y a p = b.
22 Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten n n Matrix, welche durch Übereinanderlegung zweier lateinischer Quadrate entsteht Bedingung: Jedes der geordneten Paare darf genau einmal vorkommen.
23 Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten n n Matrix, welche durch Übereinanderlegung zweier lateinischer Quadrate entsteht Bedingung: Jedes der geordneten Paare darf genau einmal vorkommen. Beispiel:
24 Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten n n Matrix, welche durch Übereinanderlegung zweier lateinischer Quadrate entsteht Bedingung: Jedes der geordneten Paare darf genau einmal vorkommen. Beispiel: Ergeben übereinander gelegt folgendes orthogonales lateinisches Quadrat: 1,1 2,2 3,3 2,3 3,1 1,2 3,2 1,3 2,1
25 Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten Problem der 36 Oziere: 6 Regimenter je 6 Oziere mit 6 unterschiedlichen Dienstgraden, so anordnen, dass in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Ozier jeden Regiments und jeden Dienstgrades steht
26 Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten Problem der 36 Oziere: 6 Regimenter je 6 Oziere mit 6 unterschiedlichen Dienstgraden, so anordnen, dass in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Ozier jeden Regiments und jeden Dienstgrades steht Keine Lösung!
27 Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten Problem der 36 Oziere: 6 Regimenter je 6 Oziere mit 6 unterschiedlichen Dienstgraden, so anordnen, dass in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Ozier jeden Regiments und jeden Dienstgrades steht Keine Lösung! Eulers Vermutung: Für n = 6 gibt es kein solches Quadrat, d.h. für alle n=4(mod 2) (also, z. B. 2, 6, 10) gibt es keine Lösungen
28 Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten Problem der 36 Oziere: 6 Regimenter je 6 Oziere mit 6 unterschiedlichen Dienstgraden, so anordnen, dass in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Ozier jeden Regiments und jeden Dienstgrades steht Keine Lösung! Eulers Vermutung: Für n = 6 gibt es kein solches Quadrat, d.h. für alle n=4(mod 2) (also, z. B. 2, 6, 10) gibt es keine Lösungen Für n=2 ist Eulers Vermutung richtig
29 Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten Problem der 36 Oziere: 6 Regimenter je 6 Oziere mit 6 unterschiedlichen Dienstgraden, so anordnen, dass in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Ozier jeden Regiments und jeden Dienstgrades steht Keine Lösung! Eulers Vermutung: Für n = 6 gibt es kein solches Quadrat, d.h. für alle n=4(mod 2) (also, z. B. 2, 6, 10) gibt es keine Lösungen Für n=2 ist Eulers Vermutung richtig Beweis der Eulerschen Vermutung für n=6 gelang 1901 von A. Tarry
30 Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten Anwendungen von orthogonalen lateinischen Quadraten Problem der 36 Oziere: 6 Regimenter je 6 Oziere mit 6 unterschiedlichen Dienstgraden, so anordnen, dass in jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Ozier jeden Regiments und jeden Dienstgrades steht Keine Lösung! Eulers Vermutung: Für n = 6 gibt es kein solches Quadrat, d.h. für alle n=4(mod 2) (also, z. B. 2, 6, 10) gibt es keine Lösungen Für n=2 ist Eulers Vermutung richtig Beweis der Eulerschen Vermutung für n=6 gelang 1901 von A. Tarry Der Fall n=10: Euler ist am Ende! Gegenbeispiel gefunden: Abbildung: Gegenbeispiel zu Eulers Vermutung
31 Geschichte Bildungsvorschrift Wetten, dass...? Besondere Eigenschaften Streng: n n Matrix mit Einträgen einer Menge von aufeinanderfolgenden Zahlen von 1 bis n 2. Dabei muss die Summe jeder einzelnen Zeile, Spalte und der beiden Diagonalen gleich sein magische Zahl oder Konstante = = =15 =15 =15 =15 kx i=1 X 2 n i=1 i = k(k + 1) 2 i = n2 (n 2 + 1) 2 Daraus folgt die magische Summe: S = n2 2 (n +1) = n3 +n 2n 2 (1) (2)
32 Geschichte Bildungsvorschrift Wetten, dass...? Besondere Eigenschaften Streng: n n Matrix mit Einträgen einer Menge von aufeinanderfolgenden Zahlen von 1 bis n 2. Dabei muss die Summe jeder einzelnen Zeile, Spalte und der beiden Diagonalen gleich sein magische Zahl oder Konstante Allgemeiner: Zahlen müssen nicht aufeinanderfolgend sein = = =15 =15 =15 =15 kx i=1 X 2 n i=1 i = k(k + 1) 2 i = n2 (n 2 + 1) 2 Daraus folgt die magische Summe: S = n2 2 (n +1) = n3 +n 2n 2 (1) (2)
33 Geschichte Bildungsvorschrift Wetten, dass...? Besondere Eigenschaften Das Loh-Shu-Quadrat - Das Dürer-Quadrat Das älteste bekannte magische Quadrat, etwa 2800 v. Chr.
34 Geschichte Bildungsvorschrift Wetten, dass...? Besondere Eigenschaften Bildungsvorschrift Fertiges magisches Quadrat mit n=5:
35 Geschichte Bildungsvorschrift Wetten, dass...? Besondere Eigenschaften Wetten, dass...? Bildungsvorschrift: p+21k p+21k p+k 1k 12k 7k p+21k 11k 8k p 2k p+21k 5k 10k 3k p+3k p+21k 4k p+2k 6k 9k p+21k p+21k p+21k p+21k p+21k Magische Zahl: Mit S = k = Für p erhielt er p = S 21k = =
36 Geschichte Bildungsvorschrift Wetten, dass...? Besondere Eigenschaften Besondere Eigenschaften Die Eigenschaften von magischen Quadraten können sehr unterschiedlich sein. Im folgendem seien nur die wichtigsten genannt 1 : pandiagonal symmetrisch konzentrisch eingebettet selbstkomplementär ultramagisch vollkommen-perfekt zusammengesetzt bimagisch 1 nach:
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