Algorithmen und Datenstrukturen SS09

Transkript

1 Foliensatz 1 Michael Brinkmeier Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik Sommersemester 2009

2 Einiges Vorweg

3 Organisatorisches Hörer: Vorlesung: Übungen: Homepage: Prüfungsstoff: Prüfung: Studierende der Informatik (2. FS) und Ingenieurinformatik (4. FS) wöchentlich Dienstag 13:00-14:30 Uhr, Hu-HS Informatik: wöchentlich Ingenieurinformatik: 14-tägig Dort finden Sie Folien, Übungsblätter usw. Vorlesungen und Übungen 90 minütige Klausur nach Vorlesungsende und Bonusprogramm

4 Organisatorisches Termine der Übungen: Dienstag (G) 15:00-16:30 Uhr, Sr HU 117 Dr. Elke Hübel Mittwoch 11:00-12:30 Uhr, Sr HU 202 Dr. Michael Brinkmeier Mittwoch 15:00-16:30 Uhr, Sr H 1520b Dr. Elke Hübel Donnerstag 15:00-16:30 Uhr, Sr HU 201 Dr. Elke Hübel

5 Das Bonusprogramm Zwei 15 minütige Kurzklausuren in der Vorlesung 12. Mai 23. Juni Die in diesen Klausuren gesammelten Punkte werden als 10 prozentiger Bonus auf die in der Prüfungsklausur erreichten Punkte aufgeschlagen, d.h. Gesamtpunkte = n + N 10 n1 + n 2 N 1 + N 2. n = in der Prüfungsklausr erreichte Punkte N = erreichbare Punkte in der Prüfungsklausur n i = in der i-ten Zwischenklausur erreichten Punkte, i = 1, 2 N i = erreichbare Punkte in der i-ten Zwischenklausur erreichbaren Punkte,

6 Das Bonusprogramm Zwei 15 minütige Kurzklausuren in der Vorlesung 12. Mai 23. Juni Die in diesen Klausuren gesammelten Punkte werden als 10 prozentiger Bonus auf die in der Prüfungsklausur erreichten Punkte aufgeschlagen, d.h. Gesamtpunkte = n + N 10 n1 + n 2 N 1 + N 2. n = in der Prüfungsklausr erreichte Punkte N = erreichbare Punkte in der Prüfungsklausur n i = in der i-ten Zwischenklausur erreichten Punkte, i = 1, 2 N i = erreichbare Punkte in der i-ten Zwischenklausur erreichbaren Punkte,

7 Literatur (Auswahl) G. Schäfer, Lehrmaterialien zur Vorlesung Algorithmen und Programmierung, WS 2008/09. Wird vorausgesetzt! T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, Second Edition, MIT Press T. Ottmann, P. Widmayer, Algorithmen und Datenstrukturen, Spektrum Akademischer Verlag, 4. Auflage, 2001 R. Sedgewick, Algorithmen, 2. Auflage, Pearson, 2002 R. H. Güting, S. Dieker, Datenstrukturen und Algorithmen, 2. Auflage, Teubner K. Mehlhorn, P. Sanders, Data Structures and Algorithms A Basic Toolbox, Springer, 2008 U. Schöning, Algorithmik, Spektrum Akademischer Verlag, 2001 M. T. Goodrich, R. Tamassia, Data Structures and Algorithms in Java, 2. Auflage, Wiley, 2003

8 Inhalte Algorithmen Analyse und Laufzeit Korrektheit Einfache Datenstrukturen: Listen, Stacks, Queues, Mengen, Bäume Einfache und balancierte Suchbäume Hashtabellen Sortieralgorithmen Graphen

9 Algorithmen und Probleme

10 Etymologie des Begriffes Algorithmus Übersetzung aus Al-Khwarizmi, ein persischer Astronom und Mathematiker, schrieb 825 n.chr. eine Abhandlung mit dem Titel Über das Rechnen mit indischen Ziffern. Es wurde im 12. Jahrhundert unter dem Titel Algoritmi de numero Indorum ins Lateinische übersetzt, was wahrscheinlich Algoritmi über die Ziffern der Inder bedeuten sollte. Dabei war Algoritmi die Übertragung des Autorennamens in das Lateinische; Aber Leser, die den Titel mißverstanden, behandelten das Wort Algoritmi als lateinischen Plural, was zum Begriff Algorithmus (Latein: algorismus) in der Bedeutung Rechenmethode führte. Das th wurde wahrscheinlich auf Grund einer angenommenen falschen Verwandschaft zu arithmos (Griechisch für Zahl) eingefügt.

13 Der Algorithmusbegriff Algorithmus Ein Algorithmus ist eine Handlungs-/Rechenvorschrift zur Lösung eines Problemes, bzw. zum Erreichen eines Zieles. Durch diese Definition wird der Begriff Algorithmus mittels zweier intuitiver Begriffe definiert: Problem Handlungs-/Rechenvorschrift Beide Begriffe hängen dabei wesentlich vom betrachteten Kontext ab. Dazu gehören: die Spezifikation des Problems die Möglichkeiten der handelnden Instanz/Person

16 Die Spezifikation von Problemen Ein (mathematisches) Problem umfasst üblicherweise eine (möglicherweise unendliche) Menge von Situationen, die üblicherweise durch eine Reihe von Parametern beschrieben werden. Eine Fragestellung oder eine Aufgabe, die von den Parametern abhängt. Im Kontext von Computerprogrammen werden häufig die folgenden Bezeichnungen verwendet: Eingabe (Input): Die Belegung der Parameter Ausgabe (Output): Die Antwort auf die Fragestellung

17 Die Spezifikation von Problemen Ein (mathematisches) Problem umfasst üblicherweise eine (möglicherweise unendliche) Menge von Situationen, die üblicherweise durch eine Reihe von Parametern beschrieben werden. Eine Fragestellung oder eine Aufgabe, die von den Parametern abhängt. Im Kontext von Computerprogrammen werden häufig die folgenden Bezeichnungen verwendet: Eingabe (Input): Die Belegung der Parameter Ausgabe (Output): Die Antwort auf die Fragestellung

18 Berechnungsprobleme Auf einer sehr abstrakten Ebene ergibt sich die folgende Definition: Definition (Berechnungsproblem) Eine Berechnunsproblem P = (I, O, f ) besteht aus 1 eine Menge I von möglichen Eingaben (Inputs, Instanzen) 2 einer Menge O von möglichen Ausgaben (Outputs, Lösungen) 3 einer Abbildung f : I 2 O, wobei 2 O die Potenzmenge von O ist, d.h. 2 O = {X O}. Interpretation: Die Elemente in f (x) sind alle möglichen Lösungen zur Eingabe x I. Dabei wird berücksichtigt, dass es unter Umständen mehr als eine Lösung gibt.

19 Berechnungsprobleme Auf einer sehr abstrakten Ebene ergibt sich die folgende Definition: Definition (Berechnungsproblem) Eine Berechnunsproblem P = (I, O, f ) besteht aus 1 eine Menge I von möglichen Eingaben (Inputs, Instanzen) 2 einer Menge O von möglichen Ausgaben (Outputs, Lösungen) 3 einer Abbildung f : I 2 O, wobei 2 O die Potenzmenge von O ist, d.h. 2 O = {X O}. Interpretation: Die Elemente in f (x) sind alle möglichen Lösungen zur Eingabe x I. Dabei wird berücksichtigt, dass es unter Umständen mehr als eine Lösung gibt.

20 Beispiele von Problemen MULT Eingabe: a, b Z Ausgabe: a b I = Z 2 O = Z f (x, y) = {x y} MAX Eingabe: a 1,..., a n Z Ausgabe: Ein a i mit a i a j für alle j = 1,...,n. I = Seq(Z) O = Z f (x) = {a i a i = max{a 1,..., a n }} ARGMAX Eingabe: a 1,..., a n Z Ausgabe: Ein i mit a i a j für alle j = 1,...,n. I = Seq(Z) O = N f (x) = {i a i = max{a 1,...,a n }}

23 Entscheidungsprobleme Falls für P = (I, O, f ) O = {falsch, wahr} und f (x) = 1 für jedes x I gilt, spricht man auch von einem Entscheidungsproblem. Die Bedingungen entsprechen f (x) = {wahr} oder f (x) = {falsch} für alle x I. PRIM Eingabe: a Z Ist a eine Primzahl? I = Z { O = {wahr, falsch} f (x) = wahr falls x prim ist falsch sonst

26 Ein abstrakter Algorithmusbegriff Definition (Algorithmus) P = (I, O, f ) sein ein Berechnungsproblem. Ein (deterministischer) Algorithmus A der P löst ist eine durch einen endlichen Text beschriebene Abbildung A: I O mit A(x) f (x) für alle I. Dabei ist der Text der A beschreibt im Kontext eines Rechenmodelles gegeben. Auf den ersten Blick, entspricht die Funktion f von P einem Algorithmus. Jedoch ist die Einschränkung auf endliche Texte und den Kontext eines Rechenmodelles wesentlich. Diese besteht nicht für die zu berechnende Funktion f von P.

27 Ein abstrakter Algorithmusbegriff Definition (Algorithmus) P = (I, O, f ) sein ein Berechnungsproblem. Ein (deterministischer) Algorithmus A der P löst ist eine durch einen endlichen Text beschriebene Abbildung A: I O mit A(x) f (x) für alle I. Dabei ist der Text der A beschreibt im Kontext eines Rechenmodelles gegeben. Auf den ersten Blick, entspricht die Funktion f von P einem Algorithmus. Jedoch ist die Einschränkung auf endliche Texte und den Kontext eines Rechenmodelles wesentlich. Diese besteht nicht für die zu berechnende Funktion f von P.

28 Rechenmodelle Um ein Problem und eine zugehörige Lösungsvorschrift d.h. einen Algorithmus präzise beschreiben zu können, muss ein Kontext definiert werden, der beschreibt wie die Ein- und Ausgabe repräsentiert werden und... welche Bearbeitungsschritte gemacht werden können. Diesen Kontext liefern uns Rechenmodelle, z.b.: klassische Arithmetik, Geometrie, Algebra und Logik (Axiomensysteme) Endliche Automaten (Vorlesung AFS) Turing-Maschinen (Vorlesung BuK) Random Access Maschinen (RAM, Vorlesung BuK) Quantencomputer... Das Rechenmodell bestimmt dabei wesentlich, wie die Probleme spezifiziert werden müssen und welche Probleme überhaupt lösbar sind (Vorlesungen AFS und BuK).

31 Algorithmen Ist ein Rechenmodell spezifiziert, kann ein Algorithmus häufig als Abfolge von Operationen auf den vorhandenen Daten aufgefasst werden. Im Allgemeinen haben Algorithmen die folgenden Eigenschaften: Endlicher Text Ein Algorithmus für eine (unendliche) Menge von Eingaben x I Hierbei ist die zeitliche Trennung zwischen Formulierung und Ausführung zu beachten. Zur Zeit der Formulierung ist die konkrete Eingabe nicht bekannt. Eine eindeutig vorgeschriebene Abfolge von Schritten, wenn die Eingabe x bekannt ist (deterministischer Algorithmus) Wenn der Algorithmus terminiert, muss die Ausgabe auf eine eindeutig definierte (und einfache) Weise aus den vorliegenden Daten ablesbar sein Es ist explizit nicht verlangt, dass der Algorithmus terminiert

37 Das verwendete Rechenmodell Im Gegensatz zu späteren Vorlesungen (AFS, BuK), verwenden wir in dieser Vorlesung kein explizit formuliertes Rechenmodell. Stattdessen verwenden wir einen Pseudocode, der an die gängigen höheren Programmiersprachen wie z.b. C, C++, Java..., angelehnt ist. Algorithmus MAX Eingabe: a 1,..., a n Z Ausgabe: max{a i i = 1,...,n} Daten: x Z x a 1 ; für i = 2,...,n tue wenn a i > x dann x a i ; Ende zurück x;

40 Analyse von Algorithmen Im Zusammenhang mit Algorithmen stellen sich zwei wesentliche Fragen: Korrektheit Ist ein gegebener Algorithmus A für ein Berechnungsproblem P korrekt, d.h. gilt A(x) f (x) für alle x I? Laufzeit Wieviel Zeit benötigt ein ein gegebener Algorithmus A auf einer Eingabe x? Die Beantwortung dieser beiden Fragen ist einer der Kernbereiche der Informatik.

44 Ein erster Sortieralgorithmus

45 Das Sortierproblem Das Sortierproblem hat als Parameter die Menge, über der sortiert werden soll. (U, <) sei eine total geordnete Menge, d.h. für alle x U gilt x x (Irreflexivität) für alle x, y, z U folgt aus x < y udn y < z auch x < z (Transitivität) für alle x, y U gilt x < y, x = y oder y < x (Totalität) Ferner sei Seq(U) := {(a 1,...,a n ) n N und a 1,..., a n U} die Menge aller endlichen Folgen (Sequenzen) über U und SortSeq(U) := {(a 1,...,a n ) Seq(U) a 1 a 2 a n } die Menge aller sortierten endlichen Folgen über U.

48 Das Sortierproblem, erste Variante Sei π eine Permutation der Zahlen {1,...,n}, dann sei (a 1,...,a n ) π := (a π(1),... a π(n) ). Damit lässt sich das Sortierproblem über U folgendermaßen spezifizieren: Das Sortierproblem über (U, <) I = Seq(U) O = SortSeq(U) f (a 1,...,a n ) ist die Menge aller (b 1,..., b n ) SortSeq(U) für die eine Permutation π existiert mit (b 1,..., b n ) = (a 1,...,a n ) π (a 1,..., a n ) wird durch π sortiert, wenn (a 1..., a n ) π SortSeq(U).

51 Das Sortierproblem, zweite Variante Alternativ kann man auch die Permutation als Ausgabe betrachten: Das Sortierproblem über (U, <) I = Seq(U) O ist die Menge aller Permutationen von Mengen der Form {1,..., n} mit n 0. f (a 1,...,a n ) ist die Menge aller Permutationen π mit (a 1,...,a n ) π SortSeq(U) Beide Formalisierungen sind äquivalent in dem Sinne, dass jede Lösung der einen Formalisierung eine Lösung in der anderen Formalisierung induziert, und umgekehrt (Übungsaufgabe).

52 Das Sortierproblem, zweite Variante Alternativ kann man auch die Permutation als Ausgabe betrachten: Das Sortierproblem über (U, <) I = Seq(U) O ist die Menge aller Permutationen von Mengen der Form {1,..., n} mit n 0. f (a 1,...,a n ) ist die Menge aller Permutationen π mit (a 1,...,a n ) π SortSeq(U) Beide Formalisierungen sind äquivalent in dem Sinne, dass jede Lösung der einen Formalisierung eine Lösung in der anderen Formalisierung induziert, und umgekehrt (Übungsaufgabe).

53 Straight Insertion Sort Idee Füge a i an der korrekten Stelle in der bereits sortierten Liste a 1,...,a i 1 ein. Straight Insertion Sort Eingabe: Ein Array A[1... n] von Elementen in Z Ausgabe: Das sortierte Feld A[1... n] für i von 2 bis n tue x A[i]; j i; solange j > 1 und x < A[j 1] tue A[j] A[j 1]; j j 1; Ende A[j] x; Ende

54 Straight Insertion Sort Idee Füge a i an der korrekten Stelle in der bereits sortierten Liste a 1,...,a i 1 ein. Straight Insertion Sort Eingabe: Ein Array A[1... n] von Elementen in Z Ausgabe: Das sortierte Feld A[1... n] für i von 2 bis n tue x A[i]; j i; solange j > 1 und x < A[j 1] tue A[j] A[j 1]; j j 1; Ende A[j] x; Ende

55 Die Korrektheit von Straight Insertion Sort Wir wollen im Folgenden die Korrektheit von Straight Insertion Sort beweisen, d.h.: Satz Straight Insertion Sort sortiert jede Eingabe A[1...n] aufsteigend. In der Regel muss man zum Beweis der Korrektheit von Algorithmen auf die Diskrete Mathematik zurückgreifen. Wesentliche Techniken sind dabei: Die Vollständige Induktion bei Schleifen Die Wertverlaufsinduktion bei rekursiven Prozeduren

58 Die Korrektheit von Straight Insertion Sort Satz Straight Insertion Sort sortiert jede Eingabe A[1...n] aufsteigend. Der Satz ist ein Korollar des folgenden Lemma: Lemma Nach dem Durchlauf mit i = k, enthält A[1...k] die ersten k Elemente der Eingabe in aufsteigender Reihenfolge. Beweis Wir beweisen das Lemma mittels vollständiger Induktion über k. Induktionsanfang: i = 1, d.h. vor dem ersten Durchlauf. Zun diesem Zeitpunkt ist A[1... 1] offensichtlich sortiert....

62 Die Korrektheit von Straight Insertion Sort Beweis (Fortsetzung) Induktionsvoraussetzung: Nach dem Durchlauf mit i = k 1 ist A[1...k 1] sortiert. Induktionsschritt: Am Ende der inneren Schleife gilt entweder j = 1 oder j = min{i 1 i k 1 und A[i] > x} Gleichzeitig verschiebt die Schleife alle Einträge A[j...i 1] um eine Position nach rechts. Falls j der kleinste Index eines Wertes in A[1...k 1] echt größer x ist, ergibt sich durch Verschieben von A[j...k 1] und Einfügen von x = A[k] eine sortierte Teilfolge A[1... k]. Falls j = 1 und A[i] > x für alle 1 i k 1, so ergibt sich durch die Verschiebung und das Einfügen von x = A[k] an der Position 1 ebenfalls eine sortierte Teilfolge.

66 Laufzeitanalyse

67 Laufzeitanalyse Idee der Laufzeitanalyse Analysiere die vom Algorithmus A auf Eingabe x benötigte Rechenzeit. Um die benötigte Zeit abzuschätzen, wird nicht die tatsächlich benötigte Zeit auf einem realen Rechner gemessen (wäre nur mit Experimenten und auf einzelnen Eingaben möglich), sondern es wird gezählt wieviele und welche Elementaroperationen der Algorithmus auf einer Eingabe benötigt. Da die genau Zahl von Elementaroperationen unter Umständen stark von der Eingabe abhängt, wird in der Regel versucht, eine obere Schranke in Abhängigkeit von der anzugeben. Eingabegröße x

70 Elementaroperationen Was Elementaroperationen sind hängt wesentlich vom Rechenmodell ab. Im Wesentlichen: Arithmetische Grundoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) Vergleiche Sprünge Zuweisungen Zeiger- und Indexauswertungen (Speicherzugriff) Wesentliche Einflüsse: Prozessor Programmiersprache und Compiler Hauptspeichertyp Cachestruktur...

71 Elementaroperationen Was Elementaroperationen sind hängt wesentlich vom Rechenmodell ab. Im Wesentlichen: Arithmetische Grundoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) Vergleiche Sprünge Zuweisungen Zeiger- und Indexauswertungen (Speicherzugriff) Wesentliche Einflüsse: Prozessor Programmiersprache und Compiler Hauptspeichertyp Cachestruktur...

72 Elementaroperationen A B + C umfasst im Pseudocode 2 Elementaroperationen - eine Addition und eine Zuweisung. Implementiert man sie in Assembler auf einem x86 Prozessor, ergibt sich: mov add mov EAX,<B> EAX, <C> <A>, EAX (Naive) Annahme Jede Elementaroperation im Pseudocode lässt sich mittels einer konstanten Anzahl von Elementaroperationen eines anderen Rechenmodells realisieren.

75 Rechenzeit und Elementaroperationen Zu jeder Elementaroperation op existiert eine Konstante C op, so dass das Ausführen von op höchstens Zeit C op benötigt. Technische Unterschiede des Rechenmodells können bei der Festlegung der Konstanten berücksichtigt werden. Die Konstanten C op sind in der Regel unbekannt, bzw. werden nicht explizit genannt.

78 Rechenzeit und Elementaroperationen Definition (Kosten) k op sei die Anzahl der Ausführungen der Elementaroperation op bei der Ausführung eines Algorithmus A auf Eingabe x. Dann sind die Kosten t A (x) von A auf x definiert als t A (x) := op k op (x) C op, wobei über alle möglichen Elementaroperationen summiert wird. Die Kosten sind ein ungefähres Maß für die von A benötigte Rechenzeit. Daher sagt man auch häufig Rechenzeit statt Kosten.

79 Rechenzeit und Elementaroperationen Definition (Kosten) k op sei die Anzahl der Ausführungen der Elementaroperation op bei der Ausführung eines Algorithmus A auf Eingabe x. Dann sind die Kosten t A (x) von A auf x definiert als t A (x) := op k op (x) C op, wobei über alle möglichen Elementaroperationen summiert wird. Die Kosten sind ein ungefähres Maß für die von A benötigte Rechenzeit. Daher sagt man auch häufig Rechenzeit statt Kosten.

80 Worst- und Best-Case Definition Worst- und Best-Case-Kosten A sei ein Algorithmus mit Eingabemenge I. Ferner sei für n N I n := {x I x = n}. Die Worst-Case-Kosten von A sind und die Best-Case-Kosten sind T A (n) := max {t A (x) x I n } T A,best (n) := min {t A (x) x I n }

81 Eine vorläufige Vereinfachung Um die Kosten, bzw. die Rechenzeit von Straight Insertion Sort abzuschätzen, machen wir eine vorläufige Vereinfachung: Die Konstanten C op für die Laufzeit der Elementaroperationen sind alle gleich, d.h. C op = C für alle op Alternativ, können wir die C op durch die größte Konstante abschätzen: C := max { C op op ist eine Elementaroperation } Mit diesen Vereinfachungen ergeben sich die Kosten als t A (x) = C k op = C #Elementaroperationen op

84 Die Laufzeit von Straight Insertion Sort Straight Insertion Sort Eingabe: Ein Array A[1...n] von Elementen in Z Ausgabe: Das sortierte Feld A[1... n] für i von 2 bis n tue x A[i]; j i; solange j > 1 und x < A[j 1] tue A[j] A[j 1]; j j 1; Ende A[j] x; Ende } wird n-mal ausgeführt wird (n 1)-mal ausgeführt } Bis zu (i 1) Durchläufe } wird (n 1)-mal ausgeführt

88 Die Laufzeit von Straight Insertion Sort Die Anweisungen der äußeren Schleife ergeben somit n + 3(n 1) Elementaroperationen Die Zahl der Operationen, die während der Durchläufe der inneren Schleife ausgeführt werden, hängt von der Anzahl der Durchläufe ab. Im Maximum sind es in der Runde für i = i genau i 1 Durchläufe. k i sei die Anzahl der Durchläufe der inneren Schleife für i = i. Da die innere Schleife auf jeden Fall den letzten Test der Schleifenbedingung benötigt, ergibt sich die Gesamtzahl der Elementaroperationen als n + 3 (n 1) + (n 1) + 3 n k i. i=2

89 Die Laufzeit von Straight Insertion Sort Die Anweisungen der äußeren Schleife ergeben somit n + 3(n 1) Elementaroperationen Die Zahl der Operationen, die während der Durchläufe der inneren Schleife ausgeführt werden, hängt von der Anzahl der Durchläufe ab. Im Maximum sind es in der Runde für i = i genau i 1 Durchläufe. k i sei die Anzahl der Durchläufe der inneren Schleife für i = i. Da die innere Schleife auf jeden Fall den letzten Test der Schleifenbedingung benötigt, ergibt sich die Gesamtzahl der Elementaroperationen als n + 3 (n 1) + (n 1) + 3 n k i. i=2

90 Die Laufzeit von Straight Insertion Sort Bei näherer Betrachtung der Anzahl der Durchläufe der inneren Schleife für i = i, stellt man fest, das jedes Element in A[1,...i 1] mit A[j] > A[i] einen Durchlauf erzwingt, d.h. (Übungsaufgabe) Notation k i = {j j < i und A[i] < A[j]}. Für eine Menge X sei X die Anzahl der Elemente in X. Wir schreiben X =, wenn X unendlich viele Elemente enthält.

91 Die Laufzeit von Straight Insertion Sort Bei näherer Betrachtung der Anzahl der Durchläufe der inneren Schleife für i = i, stellt man fest, das jedes Element in A[1,...i 1] mit A[j] > A[i] einen Durchlauf erzwingt, d.h. (Übungsaufgabe) Notation k i = {j j < i und A[i] < A[j]}. Für eine Menge X sei X die Anzahl der Elemente in X. Wir schreiben X =, wenn X unendlich viele Elemente enthält.

92 Die Laufzeit von Straight Insertion Sort Der Worst Case (schlechtester Fall) k i = i 1 für alle i. Beispiel: x = (6, 5, 4, 3, 2, 1) Damit gilt n k i = i=2 n n 1 (i 1) = i = i=2 i=1 und die Gesamtzahl der Operationen ist n + 4 (n 1) + 3 n (n 1) 2 n (n 1) 2 = ( ) n 2 = 3 2 n n 4.

93 Die Laufzeit von Straight Insertion Sort Der Best Case (bester Fall) k i = 0 für alle i. Beispiel: x = (1, 2, 3, 4, 5, 6) Gesamtzahl der Operationen: n + 4 (n 1) = 5n 4. Worst Case (zur Erinnerung) 3 2 n n 4

96 Laufzeitanalyse Beobachtungen Fazit Selbst Für eine feste Implementierung eines Algorithmus A auf einer festen Maschine und eine feste Eingabegröße n = x kann die Zahl der benötigten Elementaroperationen höchst unterschiedlich sein. Verschiedene Rechenmodelle oder Rechnerarchitekturen führen zu unterschiedlichen Konstanten Der Begriff Laufzeit von Algorithmus A auf Eingaben x der Größe n = x ist nur sehr eingeschränkt nutzbar. Deutlich sinnvoller sind die Angaben von oberen und unteren Schranken Außerdem sollten die konstanten Faktoren nicht berücksichtigt werden. asymptotische Notation (O- und Ω-Notationen)

102 Weiter geht es mit Asymptotischen Notationen