Einführung in die Graphentheorie. Modellierung mit Graphen. Aufgabe
|
|
- Reiner Egger
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Einführung in die Graphentheorie Modellierung mit Graphen Aufgabe Motivation Ungerichtete Graphen Gerichtete Graphen Credits: D. Jungnickel: Graphen, Netzwerke und Algorithmen, BI 99 G. Goos: Vorlesungen über Informatik, Springer ag-kastens.upb.de/lehre/material/model/ Ein Mann steht mit einem Wolf, einer Ziege und einem Kohlkopf am einen Ufer eines Flusses, den er überqueren will. Er hat ein Boot, das groß genug ist, ihn und ein weiteres Objekt zu transportieren, so dass er immer nur eins der drei mit sich hinübernehmen kann. Falls der Mann allerdings den Wolf und die Ziege oder die Ziege und den Kohlkopf unbewacht an einem Ufer zurücklässt, so wird einer gefressen werden. Ist es möglich, den Fluss zu überqueren, ohne dass die Ziege oder der Kohlkopf gefressen werden? Wie viele Fahrten benötigt man mindestens? (Alkuin, Abt des Klosters St. Martin in Tours, Lehrer und Ratgeber Karls des Großen) Man fängt natürlich sofort an, im Kopf die verschiedenen Möglichkeiten zum Transport durchzuspielen und die sich ergebenden Verteilungen von Mann, Wolf, Ziege und Kohlkopf auf die beiden Ufer zu überprüfen. Wie kann man die Möglichkeiten systematisch durchsuchen? Modellierung der Situationen Modellierung der Übergänge von Situation zu Situation c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-
2 Eine Modellierung des Rätsels Modellierung mit Graphen Eine Situation ist eine mögliche Verteilung von Mann, Wolf, Ziege, Kohlkopf auf die beiden Flussufer. Situationen können modelliert werden durch Paare von Teilmengen von S := {M,W,Z,K}: symbol. Modell Simulation Verhalten Situationen := {(S,S ) S S = S, S S = } Abstraktion Transfer Durch Überqueren des Flusses ggf. mit einem Objekt kann der Mann die Situation verändern. Überquerungen können modelliert werden durch Verbindungen zwischen Zuständen. Die Verbindungen werden beschriftet mit den transportierten Elementen aus S. graph. Modell Simulation Verhalten ({M,W,Z,K},{}) Abstraktion Transfer ({W,Z,K},{M}) ({Z,K},{M,W}) ({W,K},{M,Z}) ({W,Z},{M,K}) ({M,W,K},{Z}) System Experiment Verhalten ({K},{M,W,Z}) ({W},{M,Z,K}) Domäne ({M,K},{W,Z}) ({M,Z,K},{W}) ({M,W,Z},{K}) ({M,W},{Z,K}) ({Z},{M,W,K}) ({M,Z},{W,K}) ({},{M,W,Z,K}) c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-
3 Ungerichteter Graph Beispiele für Graphen Ein (ungerichteter) Graph G =(V,E) ist ein Paar bestehend aus V einer endlichen Menge von Knoten (vertices) und E P(V ) einer Menge von Kanten (edges), i.e. zweielementigen Teilmengen von V. Knoten modellieren Zustände, Situationen, Positionen,... Kanten modellieren Relationen zwischen den Knoten. Für eine Kante e = {v, w} E zwischen den Knoten v V und w V verwendet man folgende Bezeichnungen: v und w heißen inzident zu e, e heißt inzident zu v und w und v und w heißen adjazent. Knoten = Staat; Kante = gemeinsame Grenze Knoten = Bauteil oder Leitungsknoten; Kante = Leitung c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-
4 Verallgemeinerungsmöglichkeiten für ungerichtete Graphen Schlaufen oder Schlingen Eine Kante führt von einem Knoten zu diesem selbst zurück. Maximale Kantenanzahl ungerichteter Graphen Lemma Für jeden ungerichteten Graphen G =(V,E) gilt: E V ( V ) Die Kantenanzahl für Graphen ohne Schlingen ist höchstens V ( V ), da jeder Knoten von V als Anfangs- oder als Endpunkt auftreten kann, aber nicht gleichzeitig Anfangs- und Endpunkt sein darf. Mehrfachkanten Zu zwei Knoten gibt es (eventuell) mehrere Kanten, die sie miteinander verbinden. Die Kantenanzahl für Graphen mit Schlingen ist höchstens V,da jeder Knoten von V als Anfangs- und als Endpunkt auftreten kann. Die Kantenanzahl für Multigraphen ist nicht beschränkt, da zu zwei Knoten von V beliebig viele Kanten inzident sein können. Die Kantenanzahl für Hypergraphen ist höchstens V, da jede Teilmenge von V als Kante auftreten kann. Hypergraphen Kanten sind Paare von Mengen von Knoten. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-7 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-8
5 Datenstrukturen zur Verarbeitung von Graphen Teilgraphen ungerichteter Graphen Für einen Graphen G =(V,E) sei eine lineare Sortierung der Knoten gegeben: V = {v,...,v n } Ein Graph G =(V,E ) ist ein Teilgraph eines Graphen G =(V,E), wenn gilt V V und E E mit E P(V ). Adjazenzmatrix: M G =(a i,j ) i,j {,...,n} { falls {v i,v j } E mit a i,j = 0 sonst Adjazenzliste: L G =((v,al ),...,(v n,al n )) mit al i sortierte Liste der zu v i adjazenten Knoten (bzgl. E) inv. Ein Teilgraph G =(V,E ) eines Graphen G =(V,E) mit V = V heißt erzeugender Teilgraph (spanning subgraph). Beispiel: G =({a, b, c, d}, {{a, b}, {a, d}, {b, c}, {c, d}}) M G = b d Für einen Graphen G =(V,E) und V V heißt der Graph G =(V,E ) mit E := {{v,v } E v,v V } der von V induzierte Teilgraph von G. L G = ( a, (b, d) b, (a, c) c, (b, d) d, (a, c) ) a c c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-9 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-0
6 Isomorphie von Graphen Knoten- und Kantenmarkierungen Für zwei Graphen G =(V,E ) und G =(V,E ) sei eine totale und bijektive Abbildung f : V V gegeben. f heißt Isomorphismus von V auf V genau dann, wenn für alle Knoten v, w V gilt: {v, w} E {f(v),f(w)} E Offenes Problem der Komplexitätstheorie Gibt es ein effizientes (d.h. polynomielles) Verfahren, um zu entscheiden, ob zwei Graphen G und G isomorph sind? Eine Knotenmarkierung eines Graphen G =(V,E) ist eine Abbildung m : V M die jedem Knoten v eine Markierung m(v) M zuordnet. Eine Kantenmarkierung eines Graphen G =(V,E) ist eine Abbildung m : E M die jeder Kante e eine Markierung m(e) M zuordnet. Dies Problem tritt meist in (vielleicht?) schärferer Form als Teilgraph-Isomorphismus-Problem auf: Gibt es einen Teilgraphen in G, der isomorph zu G ist? Durch Verwendung von Kantenmarkierungen lassen sich Multigraphen auf einfache Graphen zurückführen: Kantenmarkierung = Anzahl paralleler Kanten Identifiziere in einer hydraulischen Anlage die Linearachsen. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-
7 Beispiel: Landkarte Knotengrade Für einen Graphen G =(V,E) und einen Knoten v V heißt der (Knoten-)Grad von v in G. grad(v) := {v V {v, v } E} Der Knotengrad von v in G ist die Anzahl der mit v inzidenten Kanten. Für einen Graphen G =(V,E) heißt der (Knoten-)Grad von G. grad(g) :=max v V grad(v) Knoten = Autobahnkreuze/-dreiecke, nächste Städte Kanten = Autobahnteilstücke Knotenmarkierungen: Name des Autobahnkreuzes/-dreiecks, Name der Stadt,... Kantenmarkierungen: Nummer der Autobahn, Entfernung in Straßenkilometern, Anzahl der parallelen Spuren,... Die Anzahl der Punkte mit ungeradem Grad in einem Graphen ist gerade. Die Summe der Knotengrade aller Knoten ist (Anzahl Kanten), also gerade. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-
8 Wege Wege und Adjazenzmatrix Induktive Sei G =(V,E) ein Graph. Für jeden Knoten v 0 V ist (v 0 ) ein Weg in G von v 0 nach v 0. Für Knoten v 0,...,v n,v n+ V, eine Kante e = {v n,v n+ } E ist mit einem Weg (v 0,...,v n ) von v 0 nach v n in G auch (v 0,...,v n,v n+ ) ein Weg in G und zwar von v 0 nach v n+. Ein Weg ist also eine nicht-leere Folge von Knoten, die durch Kanten miteinander verbunden sind. Beispiel: G =({a, b, c, d}, {{a, b}, {a, d}, {b, c}, {c, d}}) M G = MG = M 0 0 G M G = b a d c Meistens findet man die folgende : Für einen Graphen G =(V,E), n N und Knoten v 0,...,v n V mit {v i,v i+ } E für 0 i<nist (v 0,...,v n ) ein Weg von v 0 nach v n in G. Die Induktion steckt hier in der Verwendung der (induktiv definierten) endlichen Folgen (v 0,...,v n ) von Knoten. Die Länge l eine Weges (v 0,...,v n ) in einem GraphenG ist die Anzahl der Kanten auf dem Weg: Sei G =(V,E) ein Graph mit V = n und Adjazenzmatrix M G. Das Matrixelement a i,j von M G gibt die Anzahl der Wege der Länge von v i nach v j an. Das Matrixelement a i,j von M G gibt die Anzahl der Wege der Länge von v i nach v j an. Für einen Graphen G =(V,E) mit Adjazenzmatrix M G gibt die Matrix MG k die Anzahl der Wege an zwischen Knoten aus V mit genau der Länge k. l((v 0,...,v n )) = n c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-
9 Königsberger Brückenproblem Spezielle Wege Königsberg liegt an den Ufern und zwei Inseln des Pregel. Inseln und Ufer sind mit sieben Brücken miteinander verbunden. Gibt es eine Rundweg in Köningsberg, auf dem man die sieben Brücken jeweils genau einmal überschreitet? Ein Eulerscher Weg in einem Graphen G =(V,E) ist ein Weg, der jede Kante von E genau einmal enthält. Ein Hamiltonscher Weg in einem Graphen G =(V,E) ist ein Weg, der jeden Knoten von V genau einmal enthält. Ein Kreis in einem Graphen G =(V,E) ist ein Weg (v,...,v) von v nach v der Länge l(v,...,v). Die Untersuchung dieser Frage durch Euler im Jahre 7 stellt den Anfangspunkt der modernen Graphentheorie dar. Ein Eulerscher Kreis in G =(V,E) ist ein Kreis, der jede Kante von E genau einmal enthält. Ein Hamiltonscher Kreis in G =(V,E) ist ein Kreis, der jeden Knoten von V genau einmal enthält (ausser Anfangspunkt). c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-7 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-8
10 Beispiele für Wege Aussagen über Wege Kreis in einem Graphen: Lemma Die Länge jedes Weges in einem Graphen G =(V,E) ist beschränkt durch E. Lemma Jeder Wege w in einem Graphen G =(V,E) mit Länge l(w) V enthält einen Kreis. Eulerweg in einem Graphen: Jeder kreisfreie Graph mit n Knoten enthält höchstens n Kanten Ist in einem Graph mit mindestens drei Knoten der Grad jedes Knotens grösser gleich der halben Anzahl von Knoten, dann enthält der Graph einen Hamiltonschen Kreis. Hamiltonweg in einem Graphen: c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-9 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-0
11 Traveling Salesman Problem Zusammenhang Optimierungsproblem Gegeben ist ein Menge von Städten, die durch Straßen bekannter Längen verbunden sind. Gesucht ist ein kürzester Rundweg durch alle Städte. Entscheidungsproblem Gegeben ist ein Menge von Städten, die durch Straßen bekannter Längen verbunden sind. Gesucht ist ein Rundweg durch alle Städte, der höchstens eine vorgegebene Länge B hat. Entscheidungsproblem Gegeben ist ein Gitter von n n Prozessoren. Eine Nachricht soll eine sequentiell von Prozessor zu Prozessor weitergegeben werden. Sie soll jeden Prozessor erreichen und zum Initiator zurückkehren. Für welche n ist das möglich? Entscheidungsproblem Gegeben ist ein Graph G =(V,E). Enthält G einen Hamiltonschen Kreis? Ein Knoten w V eines Graphen G =(V,E) ist erreichbar vom Knoten v V aus genau dann, wenn es einen Weg (v,...,w) in G gibt. Ein Graph G =(V,E) heißt zusammenhängend, wenn für alle v, w V gilt, w ist von v aus erreichbar. Eine Zusammenhangskomponente eines Graphen G =(V,E) ist der von einer maximalen Knotenmenge V V induzierte Teilgraph von G, so dass G zusammenhängend ist, d.h. der durch Hinzufügen eines weiteren Knotens v V \ V von V {v } induzierte Teilgraph von G ist nicht zusammenhängend. Eine Zusammenhangskomponente eines Graphen, die nur aus einem Knoten besteht, heißt auch isolierter Knoten. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-
12 Existenz von Eulerwegen Sätze zum Zusammenhang Beispiel: Das Haus vom Nikolaus Jeder zusammenhängende Graph mit n Knoten enthält mindestens n Kanten. Ein Graph G =(V,E) enthält genau dann einen Eulerschen Weg, wenn G zusammenhängend ist und höchstens zwei Knoten mit ungeradem Grad enthält. Nicht nur ein Eulerweg existiert, sondern sogar mehrere. Was ist, wenn das Haus vom Nikolaus einen Anbau erhält? Für einen zusammenhängenden Graphen G =(V,E) sind folgende Aussagen äquivalent: G enthält einen Eulerschen Kreis. Jeder Knoten in G hat einen geraden Grad. Die Kantenmenge von G kann in Kreise zerlegt werden. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-
13 Verbindungen und Zusammenhang Bäume Ein Knoten v V eines zusammenhängenden Graphen G =(V,E) heißt Schnittknoten in G, falls der von V \{v} induzierte Teilgraph nicht zusammenhängend ist. Eine Kante e E eines zusammenhängenden Graphen G =(V,E) heißt Schnittkante in G, falls der Graph (V,E \{e}) nicht zusammenhängend ist. Schnittknoten und Schnittkanten sind also kritische Knoten bzw. Kanten, da der Graph durch ihre Entfernung in verschiedene Zusammenhangskomponenten zerfällt. Schnittkanten spielen bei der Orientierung von Graphen eine Rolle. Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph G =(V,E). Die Klassenhierarchie des Pakets java.lang in Java bildet einen Baum mit Wurzelklasse Object. Ein Wald ist ein kreisfreier Graph G =(V,E), d.h.die Zusammenhangskomponenten von G sind Bäume. Ein erzeugender Baum (spanning tree) für einen Graphen G =(V,E) ist ein Teilgraph G =(V,E ), der ein Baum ist, d.h. ein Baum, der alle Knoten von G enthält. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-
14 Beispiele für Bäume Sätze über Bäume Vollständiger binärer Baum der Tiefe Für einen Graphen G =(V,E) sind folgende Aussagen äquivalent: G ist eine Baum. G ist zusammenhängend und für jede Kante e E ist der Teilgraph G =(V,E \{e}) nicht zusammenhängend. Wald von vollständigen binären Bäumen G ist kreisfrei und für zwei Knoten v, w V mit {v, w} E ist der Graph G =(V,E {{v, w}}) nicht kreisfrei. Zwischen je zwei Knoten aus V gibt es genau einen Weg. Korollar Für einen Baum G =(V,E) mit V gilt: V = E + Erzeugender Baum für das Nikolaushaus mit Anbau G hat mindestens einen Knoten v V mit Grad grad(v) <. Vom Wurzelknoten des Spannbaumes aus erreicht man jeden Knoten des Graphen über Kanten des Spannbaumes! Meist werden Spannbäume mit zusätzlichen Eigenschaften gesucht, beispielsweise minimales Gesamtgewicht aller Kanten. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-7 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-8
15 Induktive Gewurzelte Bäume () Für jeden Knoten v ist der Graph G =({v}, {}) ein Baum mit Wurzel v. Für ein k N seinen G =(V,E ),..., G k =(V k,e k ) Bäume mit Wurzeln v,..., v k und paarweise disjunkten Knotenmengen V,..., V k und sei v V... V k. Dann ist Wurzel innere Knoten Beispiele für Bäume G =({v} V... V k, {{v, v i } i k} E... E k ) ein Baum mit Wurzel v. Nur so gebildete Graphen sind Bäume. Schränkt man in der die Wahl für k weiter ein, so erhält man spezielle Bäume: Blätter Mit einer anderen Wurzel ergibt sich der folgende Baum: Für k erhält man die Menge der binären Bäume. Für k erhält man die Menge der ternären Bäume. Für festes k N erhält man die Menge der k-ären Bäume. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-9 c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-0
16 Gewurzelte Bäume () Kantorowitsch-Baum Beobachtung Für einen Baum G =(V,E) kann man jeden Knoten w V als Wurzel von G festlegen. In einen Baum G =(V,E) mit Wurzel w heißen für einen Knoten v V sind alle die Knoten v V Nachfolger von v, für die v im kürzesten Weg von w nach v enthalten ist. Knoten ohne Nachfolger heißen Blätter, Knoten mit Nachfolgern heißen innere Knoten. Die Nachfolger v von v mit {v, v } E heißen unmittelbare oder direkt Nachfolger von v. Ein Kantorowitsch-Baum ist ein Baum G =(V,E) mit Wurzel w V sowie einer Knotenmarkierung m : V F V, so dass jeder innere Knoten als Markierung einen Operator hat mit einer Stelligkeit k>0, sowie genau k unmittelbare Nachfolgerknoten hat und jeder Blattknoten als Markierung eine Variabe hat oder einen nullstelligen Operator. Kantorowitsch-Baum für die Formel x( yp(x, f(y, a)) P (x, a)) Für einen Baum G =(V,E) mit Wurzel w V und einen Knoten v V heißt die Länge eines kürzesten Weges von w nach v die Tiefe von v in G. Die Tiefe des Baumes G mit Wurzel w ist die maximale Tiefe eines Knotens in G. Die Tiefe eines Baumes richtet sich also danach, welcher Knoten im Baum als Wurzel festgelegt worden ist. Die Tiefe ist die maximale Länge eines kürzesten Weges von der Wurzel zu einem Knoten. Für n-ärer Baum G =(V,E) mit Wurzel w V heißt vollständiger n-ärer Baum genau dann, wenn jeder innere Knoten genau n Nachfolger besitzt und alle Blätter die gleiche Tiefe haben. x E A y P x f y a x P a c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-
17 Sätze über k-äre Bäume Bipartite Graphen Ein vollständiger k-ärer Baum G =(V,E) mit Wurzel w V und Tiefe n, k, n N,k >0 hat genau k n Blätter und genau k i=0 ki innere Knoten. Die Gesamtzahl der Knoten ist also für k N,k > n n k i + k n = k i = kn+ k i=0 i=0 Der Beweis des es wird durch eine Induktion über den Aufbau k-ärer Bäume geführt. Ein k-ärer Baum G =(V,E) mit Wurzel w V und Tiefe n, k, n N,k >0 hat höchstens kn+ Knoten. k Ein Graph G =(V,E) heißt bipartit, wenn es zwei disjunkte Knotenmengen V,V V (also V V = gibt, so dass E {{v,v } v V,v V } gilt. Die Knotenmenge von G kann also in zwei disjunkte Mengen aufgeteilt werden, so dass Kanten immer mit je einem Knoten aus jeder dieser Mengen inzident sind. Ein bipartiter Graph wird auch mit (V V,E) beschrieben, wenn gilt E {{v,v } v V,v V } und zusätzlich V V. Ein Matching (Korrespondenz) in einem bipartiten Graph G =(V V,E) ist eine Menge von Kanten, die paarweise keine gemeinsamen Knoten haben. Für jeden Knoten aus v i V i gehört also maximal eine mit v i inzidente Kante zu einem Matching (i =, ). Ein Matching in einem bipartiten Graph G =(V V,E) heißt vollständig, wenn jeder Knoten aus V mit einer Kante des Matching inzident ist. (Beachte hierbei V V.) Ein Matching heißt perfekt, wenn alle Knoten aus V V mit einer Kante des Matchings inzident sind. c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-
18 Modellierung mit bipartiten Graphen Färbung von Graphen (P. Hall 9) In einem bipartiten Graph G =(V V,E) mit V V gibt es genau dann ein vollständiges Matching, wenn es für jede Menge J V gilt {v V v J : {v,v } E} J also mindestens J Knoten aus V zu den Knoten aus J adjazent sind. Falls V = V gilt, dann ist ein vollständiges Matching auch ein perfektes Matching und umgekehrt. Beispiel: Heiratsproblem Es sei eine endliche Menge V von Damen und eine endliche Menge V von Herren gegeben. Die pref Funktion : V Pgibt zu jedem Herren die Menge der Damen an, die zu ehelichen er bereit ist. Außerdem sei V V. Nach dem von Hall gibt es ein vollständiges Matching, wenn für jede Teilmenge J von Herren die Menge v J pref(v) mindestens J Elemente enthält. Wenn die Herren nicht zu wählerisch sind, bekommt jeder eine Dame ab. Eine Färbung eines Graphen G =(V,E) ist eine Knotenmarkierung m : V M, die jedem Knoten eine Farbe aus M zuordnet, so dass für adjazente Knoten v, w V gilt m(v) m(w). Ein Graph heißt k-färbbar, falls eine Färbung des Graphen mit k Farben existiert, d.h. mit M = k. Eine Färbung eines Graphen mit einer beschränkten Anzahl Farben nennt man auch eine konfliktfreie Knotenmarkierung. Anwendungen sind: Knoten Kante Farbe / Marke Staat auf gemeinsame Grenze Farbe Partygast verfeindet Zuordnung auf Tisch Kursus haben gemeinsame Teilnehmer Termin Prozess benötigen gleiche Ressource Ausführungszeitpunkt Variable im Programm gleichzeitig lebendig Registerspeicher Die chromatische Zahl χ(g) ist die minimale Anzahl von Farben, mit der eine Färbung des Graphen G möglich ist. Für jeden Graphen G gilt χ(g) +Grad(G). c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI- c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-
19 Vierfarbenproblem Ist jede Landkarte mit maximal vier Farben färbbar? (Länder = Knoten, Kante = gemeinsame Grenze) Ja! (Appel & Haken 977) c LETTMANN 00/0 Modellierung Graphentheorie VI-7
symbol. Verhalten Modell graph. Verhalten Modell System Verhalten Domäne Einführung in die Graphentheorie Modellierung mit Graphen
Einführung in die Graphentheorie Modellierung mit Graphen Aufgabe Motivation Ungerichtete Graphen Gerichtete Graphen Credits: D. Jungnickel: Graphen, Netzwerke und Algorithmen, BI 99 G. Goos: Vorlesungen
MehrEinführung in die Graphentheorie. Modellierung mit Graphen. Aufgabe
Einführung in die Graphentheorie Modellierung mit Graphen Aufgabe Motivation Ungerichtete Graphen Gerichtete Graphen Credits: D. Jungnickel: Graphen, Netzwerke und Algorithmen, BI 99 G. Goos: Vorlesungen
MehrGraphentheorie Graphentheorie. Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke
Graphen Graphentheorie Graphentheorie Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke 2 Was ist ein Graph? Ein Graph ist in der Graphentheorie eine abstrakte Struktur,
MehrAnwendungen von Graphen
Anwendungen von Graphen Strassen- und Verkehrsnetze Computernetzwerke elektrische Schaltpläne Entity-Relationship Diagramme Beweisbäume endliche Automaten Syntaxbäume für Programmiersprachen Entscheidungsbäume
MehrBäume und Wälder. Definition 1
Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt
Mehr= n (n 1) 2 dies beruht auf der Auswahl einer zweielementigen Teilmenge aus V = n. Als Folge ergibt sich, dass ein einfacher Graph maximal ( n E = 2
1 Graphen Definition: Ein Graph G = (V,E) setzt sich aus einer Knotenmenge V und einer (Multi)Menge E V V, die als Kantenmenge bezeichnet wird, zusammen. Falls E symmetrisch ist, d.h.( u,v V)[(u,v) E (v,u)
MehrBemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1)
Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1) 2 Kanten. Bew: Abzählen! Definition 111. Graphen mit n paarweise zyklisch verbundenen Kanten heißen Kreise (vom Grad n) und werden mit C n bezeichnet. Beispiel
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen)
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon
MehrDiskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie
Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 6: Graphentheorie Lang 6 Beutelspacher 8.1-8.5 Meinel 11 zur Vertiefung: Aigner 6, 7 (7.4: Algorithmus von Dijkstra) Matousek
MehrDiskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008
Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Informatik 15 Computergraphik & Visualisierung Prof. Dr. Rüdiger Westermann Dr. Werner Meixner Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt 9
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik
Mehr1. Einführung. Grundbegriffe und Bezeichnungen. Beispiele. gerichtete Graphen. 1. Einführung Kapitelübersicht
1. Einführung Kapitelübersicht 1. Einführung Grundbegriffe und Bezeichnungen Beispiele Bäume gerichtete Graphen Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 15 Das Königsberger Brückenproblem Beispiel
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/42 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon an vielen Stellen
MehrGraphen und Bäume. A.1 Graphen
Algorithmen und Datenstrukturen 96 A Graphen und Bäume A.1 Graphen Ein gerichteter Graph (auch Digraph) G ist ein Paar (V, E), wobei V eine endliche Menge und E eine Relation auf V ist, d.h. E V V. V heißt
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche
MehrWS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
MehrZentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza)
WS 2013/14 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2013ws/ds/uebung/ 22. Januar 2014 ZÜ DS ZÜ XIII
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen SS09. Foliensatz 16. Michael Brinkmeier. Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik
Foliensatz 16 Michael Brinkmeier Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik Sommersemester 2009 TU Ilmenau Seite 1 / 45 Graphen TU Ilmenau Seite 2 / 45 Graphen 1 2 3 4 5 6 7 8
MehrFreie Bäume und Wälder
(Martin Dietzfelbinger, Stand 4.6.2011) Freie Bäume und Wälder In dieser Notiz geht es um eine besondere Sorte von (ungerichteten) Graphen, nämlich Bäume. Im Gegensatz zu gerichteten Bäumen nennt man diese
MehrNachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz
Nachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz Definition Eigenschaften von Graphen Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. 1 Die Nachbarschaftschaft Γ(u) eines Knoten u V ist Γ(u) := {v V {u, v} E}. 2 Der Grad
MehrGraphen. Graphen und ihre Darstellungen
Graphen Graphen und ihre Darstellungen Ein Graph beschreibt Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge von Objekten. Die Objekte werden als Knoten des Graphen bezeichnet; besteht zwischen zwei Knoten
MehrGraphen. Leonhard Euler ( )
Graphen Leonhard Euler (1707-1783) 2 Graph Ein Graph besteht aus Knoten (nodes, vertices) die durch Kanten (edges) miteinander verbunden sind. 3 Nachbarschaftsbeziehungen Zwei Knoten heissen adjazent (adjacent),
MehrLösungen zu Kapitel 5
Lösungen zu Kapitel 5 Lösung zu Aufgabe : (a) Es gibt derartige Graphen: (b) Offensichtlich besitzen 0 der Graphen einen solchen Teilgraphen. Lösung zu Aufgabe : Es sei G = (V, E) zusammenhängend und V
MehrZentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr)
WS 2011/12 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2011ws/ds/uebung/ 25. Januar 2012 ZÜ DS ZÜ XIII
MehrGraphentheorie. Formale Grundlagen (WIN) 2008S, F. Binder. Vorlesung im 2008S
Minimale Graphentheorie Formale Grundlagen (WIN) Franz Binder Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Minimale Inhalt
Mehr6. Planare Graphen und Färbungen
6. Planare Graphen und Färbungen Lernziele: Den Begriff der Planarität verstehen und erläutern können, wichtige Eigenschaften von planaren Graphen kennen und praktisch einsetzen können, die Anzahl von
MehrProgrammiertechnik II
Graph-Algorithmen Anwendungsgebiete "Verbundene Dinge" oft Teilproblem/Abstraktion einer Aufgabenstellung Karten: Wie ist der kürzeste Weg von Sanssouci nach Kunnersdorf? Hypertext: Welche Seiten sind
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrProgrammiertechnik II
Graph-Algorithmen Anwendungsgebiete "Verbundene Dinge" oft Teilproblem/Abstraktion einer Aufgabenstellung Karten: Wie ist der kürzeste Weg von Sanssouci nach Kunnersdorf? Hypertext: Welche Seiten sind
Mehr3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme
3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i
MehrVollständiger Graph. Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete).
Vollständiger Graph Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete). Mit K n wird der vollständige Graph mit n Knoten bezeichnet. Bemerkung
Mehr1. Einige Begriffe aus der Graphentheorie
. Einige Begriffe aus der Graphentheorie Notation. Sei M eine Menge, n N 0. Dann bezeichnet P n (M) die Menge aller n- elementigen Teilmengen von M, und P(M) die Menge aller Teilmengen von M, d.h. die
MehrZentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen
WS 2010/11 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2010ws/ds/uebung/ 2. Februar 2011 ZÜ DS ZÜ XIII 1. Übungsbetrieb:
MehrGrundlagen: Begriffe zu Graphen
l o a UNIVERSITÄT KONSTANZ September 18 LEHRSTUHL FÜR PRAKTISCHE INFORMATIK Prof Dr D Wagner / Annegret Liebers Grundlagen: Begriffe zu Graphen Das erste Lehrbuch zur Graphentheorie war [K ön6 (Der Nachdruck
MehrEinführung in die Informatik 2
Einführung in die Informatik 2 Bäume & Graphen Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz E 202 Sven.Kosub@uni-konstanz.de Sprechstunde: Freitag, 12:30-14:00 Uhr, o.n.v. Sommersemester
MehrEinheit 11 - Graphen
Einheit - Graphen Bevor wir in medias res (eigentlich heißt es medias in res) gehen, eine Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Notationen für Graphen. Graphen bestehen aus Knoten (vertex, vertices)
MehrKapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrGraph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten
Graphentheorie Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten gerichteter Graph (DiGraph (directed graph) E: Teilmenge E
MehrKapitel 5: Graphen und Graphalgorithmen
LUDWIG- MAXIMILIANS- UNIVERSITY MUNICH DEPARTMENT INSTITUTE FOR INFORMATICS DATABASE Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 5: Graphen und Graphalgorithmen Skript zur Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Mehr15 G R A P H E N gerichtete graphen
15 G R A P H E N In den bisherigen Einheiten kamen schon an mehreren Stellen Diagramme und Bilder vor, in denen irgendwelche Gebilde durch Linien oder Pfeile miteinander verbunden waren. Man erinnere sich
MehrFerienkurs Propädeutikum Diskrete Mathematik
Ferienkurs Propädeutikum Diskrete Mathematik Teil 3: Grundlagen Graphentheorie Tina Janne Schmidt Technische Universität München April 2012 Tina Janne Schmidt (TU München) Ferienkurs Propädeutikum Diskrete
MehrKnotenfärbung. Def.: Eine Knotenfärbung eines Graphen G=(V,E) mit k Farben ist eine Abbildung c:v {1,...,k}, so dass c(u) c(v) für alle {u,v} E.
Knotenfärbung Def.: Eine Knotenfärbung eines Graphen G=(V,E) mit k Farben ist eine Abbildung c:v {1,...,k}, so dass c(u) c(v) für alle {u,v} E. Die chromatische Zahl χ(g) eines Graphen G ist die minimale
MehrGraphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung.
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. November 2007 1 / 22 2 / 22 Gliederung eulersche und semi-eulersche Graphen Charakterisierung eulerscher Graphen Berechnung eines
MehrKapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung
Kapitel : Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar -
Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar - Dominic Rose Bioinformatics Group, University of Leipzig Sommersemster 2010 Outline 1. Übungsserie: 3 Aufgaben, insgesamt 30 28 Punkte A1 Spannbäume (10 8
MehrFür die Anzahl der Kanten in einem vollständigen Graphen (und damit für die maximale Anzahl von Kanten in einem einfachen Graphen) gilt:
Der K 4 lässt sich auch kreuzungsfrei zeichnen: Für die Anzahl der Kanten in einem vollständigen Graphen (und damit für die maximale Anzahl von Kanten in einem einfachen Graphen) gilt: ( ) n n (n 1) E
MehrKapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung
Kapitel : Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen 2. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Wege. Traveling
Mehr8 Diskrete Optimierung
8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von
Mehr6. Übung zur Linearen Optimierung SS08
6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl
Mehr3. Die Datenstruktur Graph
3. Die Datenstruktur Graph 3.1 Einleitung: Das Königsberger Brückenproblem Das Königsberger Brückenproblem ist eine mathematische Fragestellung des frühen 18. Jahrhunderts, die anhand von sieben Brücken
MehrVorlesung Datenstrukturen
Vorlesung Datenstrukturen Graphen (1) Darstellung Traversierung Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 441 Generalisierung von Bäumen Verallgemeinerung (von Listen zu Graphen)
MehrFormale Grundlagen. bis , Lösungen. 1. Beweisen Sie, daß die Summe aller Grade der Knoten stets gerade ist.
Formale Grundlagen 4. Übungsaufgaben bis 2011-06-03, Lösungen 1. Beweisen Sie, daß die Summe aller Grade der Knoten stets gerade ist. 2. Finden Sie einen Eulerschen Weg im Briefumschlag, d.h. in: { ((1,
MehrGraphenalgorithmen I
enalgorithmen I Tobias Pröger 21. Dezember 2016 Erklärung: Diese Mitschrift ist als Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Wir erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit. Wir sind froh über
Mehr15. Elementare Graphalgorithmen
Graphen sind eine der wichtigste Modellierungskonzepte der Informatik Graphalgorithmen bilden die Grundlage vieler Algorithmen in der Praxis Zunächst kurze Wiederholung von Graphen. Dann Darstellungen
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen
Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen Bernhard Ganter WS 2013/14 1 Eulersche Graphen Kantenzug Ein Kantenzug in einem Graphen (V, E) ist eine Folge (a 0, a 1,..., a n ) von Knoten
MehrEulerweg, Eulerkreis. Das Königsberger Brückenproblem. Definition 3.1. Ein Weg, der jede Kante von G genau einmal
3. Kreis- und Wegeprobleme Kapitelübersicht 3. Kreis- und Wegeprobleme Eulerweg, Eulerkreis Charakterisierung von eulerschen Graphen Bestimmung von eulerschen Wegen und Kreisen Hamiltonsche Graphen Definition
MehrEinführung in die Graphentheorie. Monika König
Einführung in die Graphentheorie Monika König 8. 11. 2011 1 Vorwort Diese Seminararbeit basiert auf den Unterkapiteln 1.1-1.3 des Buches Algebraic Graph Theory von Chris Godsil und Gordon Royle (siehe
MehrWeitere NP-vollständige Probleme
Weitere NP-vollständige Probleme Wir betrachten nun folgende Reduktionskette und weisen dadurch nach, daß alle diese Probleme NP-hart sind (sie sind auch in NP und damit NP-vollständig). SAT p 3-SAT p
MehrHausarbeit aus. Graphentheorie Formale Grundlagen Professor Franz Binder. zum Thema. Herbert Huber k Seite 1 von 21
Hausarbeit aus 368.712 Formale Grundlagen Professor Franz Binder zum Thema Graphentheorie Herbert Huber k0455780 Seite 1 von 21 Inhaltsverzeichnis Graphen Grundlagen und Begriffsdefinitionen...3 Graphenstrukturen...6
Mehr4. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Eckengraden und der Anzahl der Kanten eines ungerichteten Graphen?
Kapitel 7 Graphentheorie Verständnisfragen Sachfragen 1. Was ist ein ungerichteter Graph? 2. Erläutern Sie den Begriff Adjazenz! 3. Erläutern Sie den Eckengrad in einem Graphen! 4. Welchen Zusammenhang
Mehr3-Färbbarkeit. Korollar: Zu Entscheiden, ob ein Graph k-färbbar ist mit k 3, ist NP-vollständig.
3-Färbbarkeit Wir wissen bereits, dass in polynomieller Zeit entschieden werden kann, ob ein Graph 2-färbbar ist. Satz: Zu Entscheiden, ob ein Graph 3-färbbar ist, ist NPvollständig. Beweis: Reduktion
MehrIsomorphie von Bäumen
Isomorphie von Bäumen Alexandra Weinberger 23. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Einige Grundlagen und Definitionen 2 1.1 Bäume................................. 3 1.2 Isomorphie..............................
MehrGraphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007
Graphentheorie Rainer Schrader Organisatorisches Zentrum für Angewandte Informatik Köln 23. Oktober 2007 1 / 79 2 / 79 Organisatorisches Organisatorisches Dozent: Prof. Dr. Rainer Schrader Weyertal 80
MehrKürzeste Wege in Graphen. Orte mit Straßenverbindungen. Coma I Rolf Möhring
Kürzeste Wege in Graphen Orte mit Straßenverbindungen Orte als Knoten eines Graphen Straßenverbindungen als Kanten eines Graphen Ungerichteter Graph G = (V,E) Kanten Knoten Knotenmenge V = {,,n} oder {,,n
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?
Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V
MehrVier-Farben-Vermutung (1)
Vier-Farben-Vermutung (1) Landkarten möchte man so färben, dass keine benachbarten Länder die gleiche Farbe erhalten. Wie viele Farben braucht man zur Färbung einer Landkarte? Vier-Farben-Vermutung: Jede
MehrAlgorithmische Graphentheorie
Algorithmische Graphentheorie WS 2008/2009 Vorlesung: Dr. Felix Brandt, Dr. Jan Johannsen Übung: Markus Brill, Felix Fischer Institut für Informatik LMU München Organisatorisches Vorlesung Donnerstag,
MehrEinführung in die Informatik 2
Einführung in die Informatik 2 Bäume & Graphen Sven Kosub AG Algorithmik/Theorie komplexer Systeme Universität Konstanz http://www.inf.uni-konstanz.de/algo/lehre/ss08/info2 Sommersemester 2008 Sven Kosub
MehrAlgorithmische Graphentheorie
Algorithmische Graphentheorie Vorlesung 4: Suchstrategien Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. April 2017 HALBORDNUNG TOPOLOGISCHE ORDNUNG TOPOLOGISCHES
Mehr4. Kreis- und Wegeprobleme
4. Kreis- und Wegeprobleme Kapitelübersicht 4. Kreis- und Wegeprobleme Charakterisierung von eulerschen Graphen Bestimmung von eulerschen Wegen und Kreisen Hamiltonsche Graphen Abstände in Graphen Berechnung
Mehr2. Repräsentationen von Graphen in Computern
2. Repräsentationen von Graphen in Computern Kapitelinhalt 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Matrizen- und Listendarstellung von Graphen Berechnung der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge zwischen
MehrWie wird ein Graph dargestellt?
Wie wird ein Graph dargestellt? Für einen Graphen G = (V, E), ob gerichtet oder ungerichtet, verwende eine Adjazenzliste A G : A G [i] zeigt auf eine Liste aller Nachbarn von Knoten i, wenn G ungerichtet
MehrAndré Krischke Helge Röpcke. Graphen und Netzwerktheorie Grundlagen Methoden Anwendungen
André Krischke Helge Röpcke Graphen und Netzwerktheorie Grundlagen Methoden Anwendungen 8 Grundbegriffe der Graphentheorie für die Kante, die die beiden Knoten und verbindet. Der linke Graph in Bild. kann
MehrMotivation Kap. 6: Graphen
Motivation Kap. 6: Graphen Warum soll ich heute hier bleiben? Graphen sind wichtig und machen Spaß! Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS Fakultät für Informatik, TU Dortmund Was gibt es
Mehr(a, b)-bäume / 1. Datenmenge ist so groß, dass sie auf der Festplatte abgespeichert werden muss.
(a, b)-bäume / 1. Szenario: Datenmenge ist so groß, dass sie auf der Festplatte abgespeichert werden muss. Konsequenz: Kommunikation zwischen Hauptspeicher und Festplatte - geschieht nicht Byte für Byte,
MehrMinimal spannende Bäume
http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen
MehrStudientag zur Algorithmischen Mathematik
Studientag zur Algorithmischen Mathematik Eulertouren, 2-Zusammenhang, Bäume und Baumisomorphismen Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 22. Mai 2011 Outline
MehrEcken des Zuordnungsproblems
Total unimodulare Matrizen Ecken des Zuordnungsproblems Definition.6 Ein Zuordnungsproblem mit den Vorzeichenbedingungen 0 apple x ij apple für i, j =,...,n statt x ij 2{0, } heißt relaxiertes Zuordnungproblem.
MehrGraphentheorie. Zusammenhang. Zusammenhang. Zusammenhang. Rainer Schrader. 13. November 2007
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 13. November 2007 1 / 84 2 / 84 Gliederung stest und Schnittkanten älder und Bäume minimal aufspannende Bäume Der Satz von Menger 2-zusammenhängende
MehrAnmerkungen zur Übergangsprüfung
DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung
MehrWiederholung zu Flüssen
Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:
MehrSatz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,...
Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,..., k, so dass gilt M = k c i P i i=1 k c i = r. i=1 Diskrete Strukturen 7.1 Matchings
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Martin Lercher Institut für Informatik Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Teil 10 Suche in Graphen Version vom 13. Dezember 2016 1 / 2 Vorlesung 2016 / 2017 2 /
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
MehrBäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann
Bäume und Wälder Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Ida Feldmann 2-Fach Bachelor Mathematik und Biologie 6. Fachsemester Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1. Bäume
MehrBipartite Graphen. Beispiele
Bipartite Graphen Ein Graph G = (V, E) heiÿt bipartit (oder paar), wenn die Knotenmenge in zwei disjunkte Teilmengen zerfällt (V = S T mit S T = ), sodass jede Kante einen Knoten aus S mit einem Knoten
Mehrw a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2
1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba
MehrGibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert?
Graphentheorie Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? Königsberger Brückenproblem Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man
Mehr8. Übung zu Algorithmen I 15. Juni 2016
8. Übung zu Algorithmen I 15. Juni 2016 Lisa Kohl Lisa.Kohl@kit.edu (mit Folien von Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag, Christian Staudt und Christoph Striecks) Nachtrag: Quicksort, alternative
MehrModellierung. Prof.Dr. Hans Kleine Büning, Prof.Dr. Johannes Blömer. Paderborn, 6. Februar Universität Paderborn Institut für Informatik
Modellierung Prof.Dr. Hans Kleine Büning, Prof.Dr. Johannes Blömer Universität Paderborn Institut für Informatik Paderborn, 6. Februar 2015 J. Blömer 1/19 Vorbereitung auf die Klausur 1 Vorlesungsinhalte
MehrGraphen und Algorithmen
Graphen und Algorithmen Vorlesung #8: Färbungsprobleme Dr. Armin Fügenschuh Technische Universität Darmstadt WS 2007/2008 Übersicht Knotenfärbung (vs. Kanten- & Kartenfärbung) Satz von Brooks Algorithmen
Mehrdurch Einfügen von Knoten konstruiert werden kann.
Satz von Kuratowski Definition Unterteilung eines Graphen Sei G = (V, E) und e = {u, v} E. 1 Das Einfügen eines neuen Knoten w in die Kante e führt zum Graphen G = (V {w}, E \ e {{u, w}, {w, v}}). 2 Der
MehrVon den Kanten von Gewicht 4 wird nur noch eine ausgewählt, die zu dem letzten nicht ausgewählten Knoten führt: 1. Juni
CHAPTER. GRAPHEN.. B Ä UME.. Bäume Ein schlichter Graph ohne Kreise heisst Wald, ist er noch zusätzlich zusammenhängend so wird er Baum genannt. Bevor wir Bäume genauer beschreiben ein kleines LEMMA...
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63
Kapitel 6 Graphen Beziehungen zwischen Objekten werden sehr oft durch binäre Relationen modelliert. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit speziellen binären Relationen, die nicht nur nur besonders
Mehr4.2 Minimale Spannbäume: Der Algorithmus von Jarník/Prim Definition 4.2.1
Allgemeines. Minimale Spannbäume: Der Algorithmus von Jarník/Prim Definition.. (a) Ein Graph G =(V, E) heißt kreisfrei, wenn er keinen Kreis besitzt. Beispiel: Ein kreisfreier Graph: FG KTuEA, TU Ilmenau
Mehr