1. Es sind einfach zu viele! Varianzanalytische Verfahren.

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1 1. Es sind einfach zu viele! Varianzanalytische Verfahren. In diesem Kapitel behandeln wir die Varianzanalyse (ANOVA). Varianzanalysen kommen in sehr sehr vielen verschiedenen Gestalten einher. Das Ziel ist aber immer mehr oder weniger dasselbe: Wir wollen prüfen, ob einige Mittelwerte gleich oder ungleich sind. Dabei kann es sein, dass diese Mittelwerte von verschiedenen Personengruppen stammen: Z.B. könnte man testen, ob die Lebensfreude in allen Berufsgruppen gleich stark ausgeprägt ist. Es kann auch sein, dass die Mittelwerte von denselben Personen erzeugt werden: Z.B. könnten wir daran interessiert sein, ob sich die Anzahl der sexuellen Beleidigungen über drei Messzeitpunkte hinweg verändert (Bel_T1 bis Bel_T3). Ted ist verwirrt: Warum heißt es Varianzanalyse, wenn wir doch Mittelwerte vergleichen wollen? Molly beruhigt Ted: Das müssen wir in SPSS nicht verstehen, dazu hatten wir ja die Excel- Veranstaltungen Die Benennung von Varianzanalysen Da es so viele verschiedene Varianzanalysen gibt (wir werden in diesem Skript nur einen kleinen Ausschnitt betrachten), ist es wichtig zu wissen, wie man sie bezeichnet: 1. Wie viele Abhängige Variablen (AVs) haben wir? Haben wir mehr als eine, handelt es sich um eine multivariate Varianzanalyse Haben wir genau eine (das wird übrigens bei uns IMMER der Fall sein), handelt es sich um eine univariate Varianzanalyse, dann schreibt man es (weil es der Standardfall ist) häufig nicht mehr explizit dazu 2. Wie viele Unabhängige Variablen (UVs) haben wir? je nachdem, wie viele Gruppierungsvariablen wir für unsere Mittelwerte brauchen, nennen wir unsere Varianzanalyse ein-, zwei- oder mehrfaktoriell. oftmals gibt man im Namen auch an, welche Gruppierungsvariable wie viele Ausprägungen (Gruppen) hat, z.b. wäre eine ANOVA, eine drei- bzw. mehrfaktorielle ANOVA, bei der zwei Faktoren zwei Ausprägungen haben und der dritte Faktor drei Ausprägungen hat. 3. Je nachdem, ob unsere Mittelwerte von verschiedenen Gruppen stammen oder von denselben Personen zu verschiedenen Messzeitpunkten erzeugt wurden 1, haben wir eine Varianzanalyse mit bzw. ohne Messwiederholung (i.d.r. gibt man es nur dann explizit an, wenn man eine Messwiederholung hat). Gerade im englischsprachigen Raum gibt es auch noch den Begriff der mixedanova, wenn sowohl messwiederholte als auch nicht messwiederholte Faktoren in derselben ANOVA vorkommen. 4. Gegebenenfalls wird dann noch angehängt, welche Korrekturformel für die Freiheitsgrade verwendet wurde 2 (z.b. Greenhouse-Geisser, etc ). Diese vier Merkmale werden zum Schluss zu einem Monsternamen kombiniert, z.b.: 1 Für diejenigen, die die t-tests bereits kennen: Das ist dieselbe Unterscheidung wie die zwischen den t-tests für abhängige und unabhängige Stichproben 2 Was genau eine Freiheitsgradkorrektur ist, schauen wir uns weiter unten an

2 Eine univariate zwei-faktorielle ANOVA, eine multivariate einfaktorielle ANOVA mit Messwiederholung und Freiheitsgradkorrektur nach Greenhouse-Geisser, eine univariate mixedanova mit Huynh-Feldt-Korrektur der Freiheitsgrade Die (univariate) Einfaktorielle Varianzanalyse (ohne Messwiederholung) (ANOVA) Der einfachste Fall einer Varianzanalyse ist die einfaktorielle ANOVA. In diesem Falle haben wir nur eine einzige Gruppierungsvariable, auf der sich die Versuchspersonen unterscheiden. Ted sind Beschwerden zu Ohren gekommen, dass nicht amerikanisch stämmige Mitarbeiter unterbezahlt würden. Er möchte daher zunächst testen, ob die Mitarbeiter des Sacred Heart abhängig von ihrer Herkunft unterschiedlich gut Bezahlt werden. Molly rät ihm dazu, eine einfaktorielle ANOVA durchzuführen um herauszufinden, ob die Variable Herkunft einen Einfluss auf das Gehalt hat. Molly weiß aus Erfahrung, dass bei dem vorliegenden Datensatz allerdings noch ein Zwischenschritt notwendig ist: Aus irgendeinem verrückten Grund, muss die Gruppierungsvariable für die einfaktorielle ANOVA numerisch sein, die Variable Herkunft ist allerding eine String-Variable. Molly verwendet schnell den Syntax-Befehl AUTORECODE, um eine Variable Herkunft_num zu erstellen, die die Werte von Herkunft als numerische Werte enthält: Nun findet Ted die einfaktorielle ANOVA unter Analysieren Mittelwerte vergleichen Einfaktorielle Varianzanalyse. Zunächst wählt er das Gehalt als Abhängige Variable aus, die Herkunft_num als Faktor.

3 Anschließend wählt er unter Post hoc den Scheffé-Test aus und wählt als Signifikanzniveau die üblichen 5% aus. Dann wählt er noch bei den Optionen die Deskriptive Statistik, den Homogenitätstest der Varianzen, den Brown-Forsythe-Test und das Diagramm der Mittelwerte aus. Wozu die einzelnen Häkchen gut sind und warum er sie gesetzt hat, schauen wir uns im Weiteren an. In die Syntax eingefügt sieht die ANOVA dann so aus: Nun geht er mit Molly die wichtigen Tabellen der Ausgabe durch. In der Tabelle der deskriptiven Statistik (das Häkchen bei Deskriptive Statistik wurde ja gesetzt) möchte er zunächst ablesen, ob man bereits an den Mittelwerten eine Tendenz erkennen kann. Es verwirrt ihn zunächst, dass hier statt der Herkunftsländer nur Zahlen stehen 3. Allerdings kann er in der Variablenansicht des Datensatzes ablesen, dass durch den AUTORECODE-Befehl Kanada die 1, LateinAmerkika die 2, Mexiko die 3 und den USA die 4 zugewiesen wurde 4. Er schaut sich mit diesem Wissen die Tabelle erneut an und bemerkt, dass die Lateinamerikaner und Mexikaner offenbar im Schnitt nur die Hälfe 3 Möglicherweise werden in eurer Ausgabe bereits die Herkunftsländer angezeigt, dann habt ihr unter Optionen etwas andere Einstellungen als Ted 4 Die Zahlen werden in alphabethischer Reihenfolge vergeben

4 von dem verdienen, was US-Amerikaner und Kanadier erhalten. (1544$ und 1688$ gegen 3306$ und 3428$). Als nächstes überprüft er, ob die Varianzen der Messwerte in allen 4 Gruppen gleich sind (dies ist nämlich eine der Voraussetzungen dafür, dass die ANOVA interpretiert werden darf) 5. Da er das Häckchen bei Test auf Homogenität der Varianzen gesetzt hat, wird ihm der Levene-Test ausgegeben: Da wir es hier mit einem Homogenitätstest zu tun haben (entgegen aller statistischer Regeln versuchen wir die Nullhypothese zu bestätigen), testen wir nicht auf dem üblichen 5%-Niveau, sondern auf 25%-Niveau. Aber selbst auf 5% wäre unser Levene-Test definitiv signifikant geworden, sein p liegt sogar unter.001. Wie immer bedeutet ein signifikantes Ergebnis eine Abweichung/Unterschiedlichkeit. Beim Levene-Test bedeutet das: Wenn er signifikant wird (so wie hier), sind die Varianzen in den unterschiedlichen Gruppen nicht gleich und die Voraussetzungen für die ANOVA sind verletzt. Dennoch schaut sich Ted die ANOVA-Tabelle an. Die Quadratesummen, Freiheitsgrade (df) und F- Werte sind die gleichen, die wir auch schon in Excel berechnet haben. Die ANOVA ist signifikant (p<.001). Somit würden wir normalerweise folgern, dass die Mittelwerte der Gruppen unterschiedlich sind (oder genauer: Dass zumindest einer von den übrigen abweicht). Allerdings war laut Levene-Test die Varianzhomogenitätsannahme verletzt, wir dürfen also der ANOVA nicht trauen. Stattdessen schauen wir uns den Brown-Forsythe-Test an (diesen bekommen wir, weil Ted das Häkchen bei Brown-Forsythe gesetzt hat): 5 Für diejenigen, die die t-tests bereits kennen: Dies ist die gleiche Voraussetzung wie beim t-test für unabhängige Stichproben

5 Der Brown-Forsythe-Test ist nichts anderes als eine ANOVA, die nicht von Varianzgleichheit ausgeht 6. Wie wir am Signifikanzwert sehen (p<.001) kommt auch der Brown-Forsythe-Test zu dem Ergebnis, dass sich das Gehalt zwischen den Gruppen unterscheidet. Nun sind wir zwar etwas klüger, aber noch nicht viel: Wir wissen zwar, dass sich die Gruppen in irgendeiner Form in ihrem Gehalt unterscheiden, aber wir wissen noch nicht, wo genau die Unterschiede liegen und wie groß sie sind. Um ihre Größe abzuschätzen, können wir uns zunächst das η², die aufgeklärte Varianz, für unseren Gruppenfaktor berechnen. Wenn wir die einfaktorielle ANOVA so gerechnet haben, wie wir es hier getan haben, gibt uns SPSS den Wert leider nicht freiwillig aus, stattdessen berechnen wir ihn per Taschenrechner: Hier lesen wir also ab (aus den blauen Kästchen in der ANOVA-Tabelle): Nach den Varianzaufklärungsregeln von Cohen (.2,.5,.8) ist das ein sehr kleines. Es scheint also noch wesentlich wichtigere Faktoren für das Gehalt zu geben, als die Herkunft. Dennoch schauen wir uns an, wo die Unterschiede zwischen den Gruppen im Einzelnen liegen. Hierzu ziehen wir als posthoc Test den Scheffé-Test hinzu (ihn bekommen wir, weil Ted unter Post hoc das Häkchen bei Scheffé gesetzt hat): Der Scheffé-Test tut hier zwei Dinge: Zum einen testet er den Mittelwert jeder Gruppe gegen den Mittelwert jeder anderen Gruppe (die Zahlen 1 4 stehen dabei wieder für die Gruppen 1 4, die Labels dafür, also welche Zahl für welche Gruppe steht, entnehmen wir dem Datensatz). Die erste 6 Wieder für diejenigen, die die t-tests bereits kennen: Der Brown-Forsythe-Test ist somit für die ANOVA das, was für den unabhängigen t-test der Welch-Test ist.

6 Zeile zum Beispiel enthält den Scheffé-Test der Gruppe 1 (I, Kanadier) gegen die Gruppe zwei (J, Latein-Amerikaner). Zum anderen passt der Scheffé-Test automatisch das Signifikanzniveau an: Würden wir einfach nur wild jeden Mittelwert gegen jeden anderen testen, hätten wir das Problem der Alpha-Inflation: Die Wahrscheinlichkeit mindestens ein falsch-positives Ergebnis zu erhalten (und somit fälschlicherweise anzunehmen, dass es einen Unterschied zwischen den Gruppen gibt), wäre wesentlich höher als unsere angestrebten 5%, ganz einfach weil wir bei JEDEM Test eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% haben. Der Scheffé-Test kontrolliert auf mystische Weise für dieses Problem und gibt uns p-werte aus, die wir mit dem üblichen 5%-Niveau vergleichen können, ohne eine Alpha-Inflation zu erhalten. Um die riesige Tabelle etwas zu vereinfachen, stellt uns SPSS den Test auch noch in einer anderen Form, den homogenen Subsets dar: SPSS macht hier folgendes: Es erstellt uns Listen für Gruppen, die sich nicht signifikant voneinander unterscheiden und packt sie in ein Subset. Hier haben wir zwei davon: Die Latein-Amerikaner und Mexikaner haben ähnliche Werte (Subset 1), sowie die Kanadier und US-Amerikaner (Subset 2). Gaaaaaanz wichtig: Wir dürfen diese Subsets nicht überbewerten! Sie dienen nur der Übersichtlichkeit. Molly warnt Ted eindringlich: Wir dürfen NIE von nicht- Signifikanz auf Gleichheit schließen! Das gilt gaaaaaanz besonders bei post-hoc Tests, da diese sehr konservativ testen und somit von Hause aus kaum signifikant werden. Um das Ganze noch anschaulicher zu machen werfen wir noch einen Blick auf die Grafik. Wir bekommen sie, weil wir in den Optionen das Häkchen bei Diagramm der Mittelwerte ausgewählt haben: Auch hier sehen wir: Kanadia und USA haben ähnliche Mittelwerte, sowie LateinAmerika und Mexiko. Bitte, bitte fügt so eine Grafik niemals in einen Bericht für Dr. Bob Kelso ein! Nicht nur, dass SPSS Grafiken allgemein, nicht besonders hübsch sind: Dieser hier fehlen noch dazu die Fehlerbalken, die eigentlich essentiell sind, um eine solche Mittelwertsgrafik zu interpretieren! Wenn schon SPSS- Diagramme, dann bitte über die Diagrammerstellung. Diese Grafik hier hilft uns nur, die Mittelwerte auch grafisch einzuordnen. Zu beachten ist hier auch, dass SPSS bei allen Grafiken die Y-Achse immer so skaliert, dass es nach einem riesigen Effekt aussieht.

7 Nun kann Ted endlich seinen Bericht schreiben: Zur Überprüfung von Gehaltsunterschieden zwischen Mitarbeitern mit verschiedener Herkunft, wurde eine Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) durchgeführt. Diese zeigte einen signifikanten Effekt der Herkunft auf das Gehalt, F(3;324)=13.93, p<.001, η²=.11. Das η² ist nach den Richtlinien von Cohen allerdings nur als sehr klein bis nicht vorhanden einzustufen. Da ein Levene-Test auf heterogene Varianzen hinwies (p<.001), wurde zur Überprüfung der gefundenen Unterschiede ein Brown-Forsythe-Test berechnet. Dieser bestätigte den signifikanten Einfluss der Herkunft auf das Gehalt, F(3; )=13.74, p<.001. Um den gefundenen Effekt näher zu untersuchen, wurden post hoc sämtliche Gruppenmittelwerte per Scheffé-Test gegeneinander getestet. Dieser ergab zwei homogene Subsets: Mitarbeiter aus Kanada oder den USA verdienen mehr als Mitarbeiter aus Mexiko oder Lateinamerika.

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