Physik III Übung 4 - Lösungshinweise

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1 Physik III Übung 4 - Lösungshinweise Stefan eutter WiSe 202 Moritz Kütt Stand: Franz Fujara Aufgabe [P] Diskussion: Motoren (schon wieder!) Wir hatten ja schon in der letzten Übung einen Motor diskutiert. Nun gibt es aber noch eine ganze eihe anderer. Diskutiert (kurz!) Gleichstrommotoren und Wechselstrommotoren. Was ist das grundlegende Prinzip? Was sind Vorteile und Nachteile bzw. unterschiedliche Bauformen? Benötigt man für Motoren immer Permanentmagnete? Grundlegendes Prinzip: Drehendes magnetisches Feld, erzeugt von einem ruhenden Stator oder einem drehenden otor. Bei Gleichstrommotoren hat man oft einen Elektromagneten als otor, und einen Permanentmagneten als Stator. Das Magnetfeld bzw. der Stromfluss im otor wird dann mithilfe von otorbürsten (drehbaren Kontakten) umgepolt. Alternativ kann die Umpolung auch mit elektronischer Steuerung erfolgen. Natürlich ist es auch möglich, einen Permanentmagneten als otor zu haben und das äußere Feld umzupolen. Bei Wechselstrommotoren und Drehstrommotoren wechselt schon die Spannung, daher ist das dort etwas einfacher. Einige Vor- und Nachteile (nur kleine, unvollständige Auswahl): Bürsten haben hohe Abnutzung, viele Wechselstrommotoren können nur mit einer festen Frequenz laufen, Elektromotoren haben in der egel immer ein großes Anlaufdrehmoment... Permanentmagnete: Werden fast nie benötigt. Man kann sie häufig im otor etwa durch Kurzschlussspulen ersetzen, oder aber statische Elektromagnete etwa beim Gleichstrommotor als Außen-Magnete nutzen Aufgabe 2 [P] Diskussion: Ferritkerne? An Kabeln von Computer-Peripherie-Geräten sind häufig Ferritkerne an den Enden angebracht (Diese runden Dinger vor den Steckern). Warum? Die Ferritkerne verhindern/absorbieren unerwünschte hochfrequente Signale außerhalb des Kabels. Wie? Ein Kabel hat oft eine lange Abschirmung. Diese kann für hochfrequente Störungen als Antenne dienen. Das geht sowohl für Störungen von außerhalb, die vom Kabel empfangen

2 werden, oder auch für Störungen in den Geräten, die vom Kabel gesendet werden. Durch den Ferritkern erhält das Kabel quasi eine Induktivität mit einer (bzw. einer halben) Wicklung, und wie in der Vorlesung gezeigt sind Induktivitäten insbesondere bei hohen Frequenzen als hohe Widerstände zu betrachten. Die erwünschten Signale im Kabel sind oft auch hochfrequent, jedoch davon nicht betroffen - in der egel gibt laufen sie über zwei Adern, jeweils in entgegengesetzte ichtungen - damit heben sich die erzeugten Magnetfelder auf. Aufgabe 3 [P] Der LC-Schwingkreis L C In der Abbildung auf der linken Seite ist ein LC-Schwingkreis dargestellt. Er besteht aus einem Widerstand, einer Spule mit Induktivität L und einem Kondensator der Kapazität C. a) Bestimme eine DGL für den Stromfluss in diesem Stromkreis, löse sie allgemein und bestimme die Kreisfrequenz. b) Der Kondensator trage nun zu Beginn (t = 0) die Ladung Q = 0.0 C. Bestimme, nach welcher Zeit t die maximale Spannung im Stromkreis unter U = 0 V abgesunken ist. ( = 00Ω, L = 200mH, C = 00µF). Etwas unüblich war hier (wie auch in der Hausaufgabe) nach einer DGL für den Strom gefragt. (Typischer ist eher die DGL für die Ladung). Nach Kirchhoff schen egeln gilt: U L + U C + U =0 U L =Lİ U =I U C = Q C Nun kann man einsetzen: Lİ + I + Q C =0 Gefragt war eine DGL für den Strom - daher leiten wir das ganze noch mal ab. LÏ + İ + I C =0 Ï + L İ + LC I =0 2

3 Man kann dies nun mit DGL-Wissen aus vorigen Semestern lösen. Wir machen es hier noch einmal explizit: Ansatz I(t) =Ae λt İ(t) =Aλe λt Ï(t) =Aλ 2 e λt Setzt man das ein: Aλ 2 e λt + A L eλt + A LC eλt =0 λ 2 + L λ + LC =0 λ,2 = 2L ± i LC 2L 2 Hier wurde schon ein Minus in der Wurzel herausgezogen, daher das i davor. Wir wissen noch, dass es hier drei Fälle zu unterscheiden gilt, je nach Vorzeichen des adikanden - im Schwingfall muss > 2 LC 2L sein. Diesen Fall betrachten wir hier. Die Kreisfrequenz ist dann auch ω = LC Die Lösung der DGL ist nun eine Linearkombination aus dem Ansatz mit beiden λ. 2L 2 I(t) = A e λ t + A 2 e λ 2t Wir können nun eine Funktion für die Ladung daraus integrieren Q(t) = A λ e λ t + A 2 λ 2 e λ 2t Um A und A 2 zu bestimmen, benötigt man sinnvolle Anfangsbedingungen. Wir nehmen mal an, dass Q(0) = Q 0 und I(0) = 0 (entspricht einem geladenen Kondensator). I(0) =0 = C + C 2 Q(0) =Q 0 = C λ + C 2 λ 2 3

4 Daraus ergibt sich C = Q 0λ λ 2 λ λ 2 C 2 = Q 0λ λ 2 λ λ 2 Und nun für I(t): I(t) = Q 0λ λ 2 λ λ 2 e λ t + Q 0λ λ 2 λ λ 2 e λ 2t = Q 0λ λ 2 e ( 2L iω)t e ( 2L +iω)t λ λ 2 = Q 0 Nun für die Ladung einsetzen LC iω e 2L t e iωt e iωt = Q 0 i LCω e 2L t (cos ωt i sin ωt cos ωt i sin ωt) = Q 0 2LCω e 2L t sin ωt Q(t) = Q 0λ 2 λ λ 2 e λ t + Q 0λ λ λ 2 e λ 2t iω e 2L t = Q 0 2L =Q 0 e 2L t cos ωt + e iωt e iωt + iω e iωt + e iωt sin ωt 2Lω Die Spannung ist natürlich unterschiedlich an den verschiedenen Teilen der Schaltung (unglück in Aufgabenstellung). Wir betrachten die Spannung am Kondensator, dort wissen wir U = Q/C. U(t) = Q(t) C = Q 0 C e 2L t cos ωt + sin ωt 2Lω Man kann das ganze auch lösen, wenn man einen Ansatz für Q(t) macht, und dann für I(t) ableitet. Es kommt das gleiche raus! b) Wir nehmen aus a) U(t). Diese Funktion hat zwei Faktoren: eine Exponentialfunktion und eine Summe von trigonometrischen Funktionen. Wir sind am Maximum der Spannung bzw. der Amplitude interessiert - daher schauen wir nur den ersten Faktor an. 4

5 U a (t s )! =0V 0V = Q 0 C e 2L t 0VC ln = Q 0 2L t 0VC t = ln Q 0 2L = 9.2ms Aufgabe 4 [P] Schwere Impedanz Z L Betrachte die Schaltung links mit einer sinusförmigen Eingangsspannung. U Z C 2 a) Berechne die Impedanz der Schaltung. b) Zeichne ein Zeigerdiagramm für den durch die Schaltung fließenden Strom. Ermittle daraus die Phasendifferenz zwischen dem Gesamtstrom und der Versorgungsspannung Am einfachsten ist, die Impedanzen in Polardarstellung zu schreiben. Z = + ix C = Z e iφ Z 2 = 2 + ix L = Z 2 e iφ 2 Wobei φ = arctan X C und φ 2 = arctan 2 X L jeweils die Polarwinkel sind. Die beiden invers addieren ergibt Z = Z + Z 2 = Z Z 2 Z + Z 2 = Z Z 2 e i (φ +φ 2) Z e iφ + Z 2 e iφ 2 5

6 Wir rechnen noch ein bisschen weiter und erweitern komplex konjugiert. Die dritte Zeile reicht eigentlich als Ergebnis, die letzten beiden Zeilen sind nur zum Vergleich aufgeführt. Z = Z Z 2 e i (φ +φ 2) Z e iφ + Z 2 e iφ 2 Z + Z 2 2 = Z 2 Z 2 e iφ 2 + Z 2 2 Z e iφ Z + Z 2 2 = Z 2 Z 2 + Z 2 2 Z Z + Z ωc = = (ωl)2 + i ωl ωc (ωl) ωc + i 2 ωl ωl + ωc ωc 2 2 ωl 2 2 +(ωl)2 + ωl ωc ωc 2 ωc 2 (ωl) 2 ωc b) Bei dieser Aufgabe haben wir leider Zahlenwerte vergessen, deswegen kann man den zweiten Teil nicht gut machen. Das Vorgehen für das Zeigerdiagramm ist wie folgt: Zuerst holen wir uns die Impedanzen Z und Z 2 für die beiden Äste. Dann nehmen wir deren Kehrwert, addieren diese und nehmen dann wieder den Kehrwert. Zur Veranschaulichung wählen wir folgende Zahlenwerte: = 20 Ω, 2 = 30 Ω, X C = 20 Ω und X L = 40 Ω X L Z 2 2 X C Z Den Kehrwert bekommt man, indem man den Zeiger an der x-achse spiegelt (der Polarwinkel geht auf φ) und den Kehrwert des Betrags nimmt. Den Betrag kann man geometrisch messen 6

7 oder ausrechnen. Z = 0 8 Ω = 28 Ω, Z 2 = 50 Ω. Die Koordinatensysteme sollte man jeweils geeignet skalieren. Z Z 2 Z Als Phasenverschiebung ergibt sich für die Zahlenwerte etwa -3. Allgemein kann man einfach den Winkel aus dem Zeigerdiagramm ablesen. echnerisch ist tan φ das Verhältnis aus Imaginärteil zu ealteil der Impedanz. Aufgabe 5 [H] Induktivität a) Eine Spule mit Selbstinduktivität L = 0 H werde von einem Strom der Stärke I = 3 A durchflossen, der sich nun mit einer Geschwindigkeit von 200 A/s ändere. Berechne den magnetischen Fluss am Anfang und die Induktionsspannung in der Spule. b) Die Spule wird nun von einem sinusförmigen Strom der Frequenz ν durchflossen. Berechne und skizziere den magnetischen Fluss und die induzierte Spannung über der Zeit. a) b) Die Formeln sind die gleichen wie in a) φ = LI = 30 Wb U ind = L di dt = 2 kv 7

8 UΦ Aufgabe 6 [H] Motoranlauf In Gleichstrommotoren schaltet man mitunter beim Anfahren einen Widerstand in eihe zur otorspule. Nachdem der otor eine gewisse Drehzahl erreicht hat, wird dieser abgeschaltet. Betrachte einen Motor, der einen Widerstand von Ω hat und bei einer Spannung von 230 V einen Strom von.5 A aufnimmt. a) Erkläre, warum man einen solchen Widerstand benötigt und warum man ihn während des späteren Betriebes abschalten kann. b) Wie groß muss er für einen Motor mindestens sein, der einen maximalen Strom von 23 A aushält? a) Der otorstromkreis hat eine gewisse Zeitkonstante L. Während des Betriebs wird der otor normalerweise deutlich schneller als diese Zeitkonstante umgepolt. Die Selbstinduktion sorgt dann dafür, dass bis dahin nur eine geringe Spannung anliegt und damit auch nur ein recht kleiner Strom fließt. Der otor wird also umgepolt, bevor signifikante Ströme fließen können. Das Bild unten illustriert die Situation. ot ist die anliegende Spannung, Blau ist die tatsächliche Spannung, gestrichelt der Verlauf im Gleichstromfall. 8

9 U Beim Einschalten jedoch dreht sich der otor zunächst so langsam, dass quasi der Gleichstromfall I = U erreicht wird. Um den Strom (und die Leistung) zu begrenzen, schaltet man also einen Widerstand hinzu. b) Im Extremfall wird die von außen angelegte Spannung erreicht. Es gilt dann das Ohmsche Gesetz U = I max = M + I max = U M = 9 Ω I max Aufgabe 7 [H] LC-Schwingkreis L C In der Abbildung auf der linken Seite ist ein LC-Schwingkreis dargestellt. Er besteht aus einer Spule mit Induktivität L und einem Kondensator der Kapazität C. Es gibt keinen Widerstand, dies ist eine idealisierte Vorstellung! a) Bestimme eine DGL für den Stromfluss in diesem Stromkreis, löse sie allgemein und bestimme die Kreisfrequenz. b) Der Kondensator hat eine Induktivität von C = 50µF. Wie viele Windungen muss eine mit Luft gefüllte zylinderförmige Spule mit adius r = 2 cm und Länge l = 50 cm haben, damit der Schwingkreis mit einer Kreisfrequenz von ω = 000s schwingt? a) Grundsätzlich gilt (Kirchhoff sche egeln): U c + U L =0 9

10 Die Aufgabenstellung sagte etwas von DGL für den Strom. Das ist nicht ganz üblich, aber geht so: Lİ =U L U C = Q C Lİ + Q C =0 Das muss man nun noch mal ableiten, um auf eine Gleichung für den Strom zu kommen: LÏ + Q C = 0 LÏ + I C = 0 Ï + LC I = 0 Ein Lösungsansatz für diese DGL ist wie schon häufiger ein Sinus oder Kosinus: mit I(t) = I 0 sin ωt ω = Natürlich geht das ganze auch über die Ladungen: LC U C = Q C U L =Lİ = L Q Q C + L Q =0 LC Q + Q =0 Q(t) =Q 0 cos ωt I(t) = dq(t) dt = Q 0 ω sin ωt b) ω = LC L = ω 2 C 0

11 Für lange, luftgefüllte Spulen gilt näherungsweise: L = µ 0N 2 A l mu 0 N 2 A = l ω 2 C l N = µ 0 ACω 2 N = l µ 0 πr 2 Cω Aufgabe 8 [H] Transformator Ein Transformator hat 400 Primär- und 8 Sekundärwindungen. a) Vergrößert oder verkleinert er die Spannung? b) Um welchen Faktor? c) Welche Leerlaufspannung liegt an der Sekundärseite an, wenn die Primärwicklung mit 230 V betrieben wird? d) Wie groß ist der Sekundärstrom bei einem Primärstrom von 0. A? Man kann alles in einen Satz packen: Der Trafo verringert (a) die Spannung um einen Faktor N 2 N = 50 (b) auf 4.6 V(c), erhöht dafür aber den Strom um einen Faktor 50 auf 5 A(d). Aufgabe 9 [H] Leichte Impedanz a) Berechne den Blindwiderstand einer Spule der Induktivität mh bei einer Frequenz von 50 Hz. b) Bei welcher Frequenz ist der Blindwiderstand eines Kondensators der Kapazität 0 µf gleich dem einer Spule mit Induktivität mh? c) Der Kondensator und die Spule aus b) werden bei dieser Frequenz in eihe geschaltet. Dahinter wird noch ein Widerstand von 0 Ω in eihe geschaltet. Fertige ein Zeigerdiagramm für die Impedanz des Stromkreises an. d) Der Kondensator und die Spule aus b) werden bei dieser Frequenz parallel geschaltet. Dazu wird noch ein Widerstand von 20 Ω parallel geschaltet. Fertige ein Zeigerdiagramm für den Strom an.

12 Der Blindwiderstand ist der Imaginärteil der komplexen Impedanz. Für eine Spule ist er X L = ωl, für einen Kondensator X C = ωc. a) X L = 2πν L 0.3 Ω b) X C = ωc = ωl = X L ω = LC = 0 s.6 khz c) Die Impedanzen der Spule und des Kondensators addieren sich. Der Strom ist bei beiden Bauteilen gleich, die x-achse zeigt also in Stromrichtung X L I Z X C Die beiden Impedanzen von Spule und Kondensator wurden gerade so gewählt, dass sie sich wegaddieren. Es bleibt also als Gesamtimpedanz nur noch übrig. d) Das geht ähnlich wie in c), allerdings addieren sich die Impedanzen nun invers, d.h. die Ströme addieren sich. Bezugsgröße für die x-achse ist hier die Spannung, die an Spule und Kondensator gleich ist. Wie man sieht, heben sich die Ströme durch Spule und Kondensator bei dieser Frequenz gerade auf und der resultierende Strom fließt nur durch den Widerstand. 2

13 I C I L U I I 3