Mathematik Warm Up - Beispielsammlung
|
|
- Regina Becker
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Mathematik Warm Up - Beispielsammlung T. Steinberger, P. Reiter, U. Dietrich FH Vorarlberg Mengenlehre 1. Um welche Zahlenmengen handelt es sich bei N, Z, Q, R, C und welche Rechenoperationen sind auf den jeweiligen Mengen durchführbar ohne sie zu verlassen? 2. Was bedeuten die Symbole:,, \,,,,,? 3. Beispiel: Schreiben Sie die Buchstaben Ihres Vornamens und Nachnamens als Mengen V und N. Bilden Sie V N, V N, V \ N, und N \ V. 4. Beispiel: Venn-diagramme a) Zeichnen Sie ein Mengendiagramm für die Mengen A und B, wenn gilt a1) A B = A, a2) A B = A, a3) A B = {}, a4) A \ B = A b) Zeichnen Sie ein Mengendiagramm für die Mengen A, B und C, wenn gilt b1) A B = B und B C = {}, b2) A C und B C und A B = {} 5. Beispiel: Seien A = { R 2 < 3} und B=[1, 5). Ist A ein Intervall? Zeichnen Sie die beiden Mengen auf der Zahlengerade R. Bilden und zeichnen Sie A B, A B, A \ B, B \ A, A N, und B Z. 6. Schreiben Sie die Mengen M 1 = { R : 0 < 4} und M 2 = { R : 2 < < 2} in Intervallschreibweise und bilden Sie M 1 M 2, M 1 M 2 und M 1 \ M Bestimmen Sie die durch 3n 15 4 definierte Teilmenge von N in aufzählender und beschreibender Form. 1
2 Grundrechnungsarten 8. Beispiel: Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: a) 4 (i + 1), b) i= 1 6 a 2, c) a=3 10 k=1 2k, d) 3 g= 2 g 9. Beispiel: Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens: a) b) ( 1)n 1 n Binomisch Formeln: a) (a + b) 2 =? b) (a b) 2 =? c) a 2 b 2 =? d) (a + b) 3 =? e) (a b) 3 =? 11. Beispiel: Fassen Sie folgende Brüche zu einem Bruch zusammen, bzw. vereinfachen Sie so weit wie möglich: a) , b) 1 t + 1 t 6 t 1 4 t, c) , d) : Beispiel: Kürzen Sie so weit wie möglich: a) 84m2 168mn 144n 72m = b) 2a+a2 +1 2a 2 2 = c) ( )(180 18) = 13. Beispiel:(Polynomdivision) a) Berechnen Sie ( ) : ( ). b) Berechnen Sie ( ) : ( ). c) Stellen Sie fest, ob 1, 2, 1 Nullstellen von sind. 14. Welche Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen kennen Sie? 15. Beispiel: Berechnen Sie: a) (a 4 b 4 ) 2 (a 4 + b 4 ) 2 = b) 3 2 y 3 (5 1 y 2 ) 2 = c) = 2
3 16. Beispiel: Vereinfachen Sie die folgenden Terme und geben Sie an für welche Werte der Variablen die jeweiligen Terme definiert sind. a) b) c) d) ( e) 3 2 ( 2 ) ( 1 ) 2 3 y + y a a b b a+b a a+b + b a b 4 y 2 (z 2 3 ) y 6 3 z 4 ) Wie ist log b der Logarithmus zur Basis b (b > 0, b 1) von ( > 0) definiert? 18. Leiten Sie die Logarithmengesetze aus den Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen ab. 19. Warum gilt log b () = log a () log b (a)? 20. Berechnen Sie (ohne Taschenrechner): a) log( ) = b) ln(e 0.5 ) = c) log 0.5 ( 1 ) = 32 d) log 3 (1) = e) ln ( 1 3 e 2 ) = Gleichungen 21. Beispiel: Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen und Tetaufgaben in R. a) 5 4 = 5 + b) (a )( + c) = 2c(a ) (b )(c ) c) + = d) = e) Zwei Bahnstationen A und B sind 30 km voneinander entfernt. Von A aus fährt ein Güterzug mit einer konstanten Geschwindigkeit von 30 km/h in Richtung B. 3
4 Von B aus fährt ein Eilzug mit konstanter Geschwindigkeit von 90 km/h nach A. Wo und wann treffen sich die beiden Züge, wenn sie gleichzeitig abfahren? f) Vermindert man das Vierfache einer Zahl um 2 und dividiert durch die um 4 verminderte Zahl, so erhält man 11. Bestimmen sie die Zahl. g) Der Vater eines Schülers ist viereinhalbmal so alt wie sein Sohn. Beide zusammen sind 27 Jahre jünger als der einundsiebzigjährige Opa des Schülers. Wie alt sind Vater und Sohn? Lösung: a) = 20 b) = c für a b, beliebig für a = b c) = 7 d) = 6 e) Nach 15 Minuten, der Güterzug fährt 7,5 km und der Eilzug fährt 22,5 km. f) = 6 g) Der Vater ist 36 und der Sohn 8 Jahre alt. 22. Beispiel: Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen in R und zerlegen Sie in Linearfaktoren falls möglich. a) = 0 b) = 0 c) = 0 Lösung: a) 1 = 5, 2 = 7 b) 1 = 2 = 1 c) L = {} 23. Beispiel: Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen in R. Hinweis: Polynomdivision mit Hilfe einer angegebenen Lösung bzw. durch Probieren a) = 0, 1 = 1 b) = 0 Lösung: a) 2 = 6, 3 = 1 b) 1 = 1, 2 = 1, 3 = 6, 4 = Beispiel: Bruchgleichungen a) = b) = 4 1 c) = Lösung: a) = 0 b) 1 = 1, 2 = 1 7 c) L = R\{±1} 25. Beispiel: Wurzelgleichungen in R a) = 3 b) + 5 = c) = 0 Lösung: a) = 3 b) = 1 c) L = { 512, 1, 8} Hinweis: Substituiere z = 3. 4
5 26. Beispiel: Ungleichungen a) 5 6 < b) (3 5)( 2) 4( 2) c) < 2 d) < 0 Lösung: a) L = ( 5 2, ) b) L = [2, 3] c) L = R\[ 9, 2] d) L = R\[1 2, 4] 27. Beispiel: Betrags(un)gleichungen a) + 1 = b) 5 < + 1 Lösung: a) = ±2 b) L = (2, ) 28. Beispiel: Lineare Gleichungssysteme a) b) = = y y y 2 2 3y = 13 = 1 c) 5 + 3y + 2z = y = 37 3y 2z = 19 d) Zwei Arbeiter bekommen Ausschachtungsarbeiten übertragen. Wenn beide zusammen arbeiten, benötigen sie 12 Tage. Arbeitet der erste 2 Tage und der zweite 3 Tage, so schaffen sie in dieser Zeit nur 1/5 der gesamten Arbeit. Wie lange würde jeder alleine für die Arbeit benötigen? Lösung: 30 Tage a) 1 = 1, 2 = 2 b) = 5, y = 3 c) = 20, y = 21, z = 22 d) 20 und 5
6 Komplee Zahlen 29. Beispiel: Rechnen in kartesischer (binomialer) Darstellung Gegeben sind die kompleen Zahlen: z 1 = 2 + 3i, z 2 = 3 i, z 3 = 5 2i und z 4 = 2 + 4i. Berechnen Sie: a) z 1, z 2, z 3, z 4, Re(z 2 ), Im(z 3 ) b) z 1 + z 2, z 3 z 4, 3 z 4, z z 4, z 4 + z 1 z 2, z c) z 1 z 2, z 3 z 3, z 3 z 4, z 2 z 4 Lösung: a) 2 3i, 3 + i,5 + 2i, 2 4i, 3, 2 b) 1 + 2i, 7 6i, i, 1 + 6i, 3 + 8i, 12 2i c) 9 + 7i, 29, 9 4 i, 10 10i Beispiel: Komplee (Gaußsche) Zahlenebene a) Zeichnen Sie die Zahlen und Ergebnisse aus der vorigen Aufgabe b) in die komplee Zahlenebene ein. b) Betrachten ( ) Sie die Zahlen z 1 - z 4 als Vektoren der Form: z = a + bi dann ist a z =. Berechnen Sie damit den Teil b) der vorigen Aufgabe und stellen Sie b diese graphisch dar. c) Vergleichen Sie die beiden Skizzen. 31. Beispiel: Polardarstellung a) Die Zahlen z 1 = 2 + 3i, z 2 = 3 i,z 3 = 5 2i und z 4 = 2 + 4i sind in kartesischer Darstellung gegeben, wandeln Sie diese in Polardarstellung um. b) Die Zahlen z 5 = (5/ 3π), z 4 6 = (2/20 ), z 7 = (3/ 7π) und z 4 8 = (4/ 7π ) sind in 5 Polardarstellung, also z = (r/φ) gegeben, wandeln Sie diese in kartesische Darstellung um. c) Geben Sie zu z 5 - z 8 jeweils die komple konjugierte Zahl an. Lösung: a) r = 13; φ = 56, 31, r = 10; φ = 198, 43, r = 29; φ = 338, 20, r = 20; φ = 116, 57 b) 3, , 54i, 1, , 68i, 2, , 12i, 1, 24 3, 80i Werte auf 2 Kommastellen gerundet c) (5/ 5π 4 ), (2/340 ), (3/ π 4 ) und (4/ 3π 5 ) 32. Beispiel: Rechnen in Polardarstellung Berechnen Sie z 5 z 7, z 7 z 8, z 5 z 8, z 5 z 8, verwenden Sie z 5 - z 8 aus der vorigen Aufgabe Lösung: (15/ π 23π ), (12/ 2 ), ( 5/ 27π ) und (20/ 3π 20 ) 6
7 33. Beispiel: Gleichungen mit kompleen Lösungen Lösen Sie folgende Gleichung über C und finden Sie die Zerlegung in Linearfaktoren: a) = 0 b) = 0 Lösung: a) L = { 2 + i; 2 i}, = ( + 2 i) ( i) b) L = {2; i; i}, = ( 2) ( i) ( + i) 34. Beispiel: Gegeben ist das Dreieck ABC [A(2 1), B(5 2), C(4 4)]. Der Eckpunkt A wird im Zuge einer Drehstreckung in den Punkt A 1 ( 3 1) transformiert. Berechnen Sie die Koordinaten von B 1 und C 1, sowie den Drehwinkel ϕ und den Streckfaktor λ. Lösung: B 1 ( 7 3), C 1 ( 8 0), ϕ = 3π 4, λ = Beispiel: Unterwerfen Sie das Dreieck ABC [A(2, 2), B(4, 0), C(0, 4)] der Drehstreckung mit dem Zentrum 0, dem Drehwinkel ϕ = 18, 43 und dem Streckungsfaktor λ = 10. Zeichnen Sie die beiden Dreiecke. Lösung: [A 1 (4, 8), B 1 (12, 4), C 1 (4, 12)] Funktionen 36. Beispiel: Funktionen a) Welche der in Abb. 1 dargestellten Pfeildiagramme stellen Funktionen dar? Warum (nicht)? Falls ja, ist die Funktion surjektiv, injektiv, bijektiv? b) Zeichen a a a y b y b y b z c z c z c Abbildung 1: Pfeildiagramme Sie mit den Mengen aus Abb. 1 Pfeildiagramme zu einer surjektiven, einer injektiven und einer bijektiven Funktion. c) Wenn man jedem Menschen in Österreich seine Telefonnummer(n) zuordnet, erhält man damit eine Funktion? Wie sieht es bei der Zuordnung der Sozialversicherungsnummer aus? 7
8 37. Beispiel: Graphen einfacher Funktionen a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion y = im Bereich [ 2, 5]. Vergleichen Sie mit der allgemeinen Form y = k + d. Erklären Sie am Beispiel die Bedeutung der Parameter k und d. b) Zeichnen Sie zusätzlich den Graphen der Funktion y = c) Bestimmen Sie rechnerisch die Schnittpunkte der beiden Graphen und zeichnen sie diese ein. 38. Beispiel: Konstruktion linearer Funktionen a) Bestimmen Sie die Parameter k und d der Geraden y = k + d, die durch die Punkte ( 1, y 1 ) = ( 3, 2) und ( 2, y 2 ) = (4, 5) geht. Zeichnen Sie die beiden Punkte und die Gerade. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden mit der Steigung -2, die durch den Punkt ( 1, y 1 ) = (2, 4) geht. Zeichnen Sie den Punkt und die Gerade. Liegt der Punkt ( 2, y 2 ) = (3, 1) auf der Geraden? Argumentieren Sie rechnerisch und graphisch. 39. Beispiel: Hintereinanderausführung von Funktionen Gegeben seien die Funktionen f() = 3 und g() = 5 2. a) Bestimmen Sie f g, g f und f g. Erklären Sie den prinzipiellen Unterschied. b) Ist die Hintereinanderausführung zweier linearer Funktionen wieder linear? Begründen Sie Ihre Antwort. 40. Beispiel: Eponential- und Logarithmusfunktion, Spiegelung a) Zeichnen Sie die Funktionen y = e (Eponentialfunktion), y = ln() (Logarithmusfunktion) und y = (1. Hauptdiagonale) im Bereich [-2,3]. Überzeugen Sie sich, dass die Eponentialfunktion und die Logarithmusfunktion durch Spiegelung an der 1. Hauptdiagonalen auseinander hervorgehen. b) Zeichnen Sie die Funktion y = e (eponentiale Dämpfungsfunktion) im Bereich [-2,3]. Überzeugen Sie sich, dass diese Funktion durch Siegeln an der y-achse aus der Eponentialfunktion y = e hervorgeht. 41. Beispiel: Umkehrfunktion Gegeben sei die Funktion y = + 3. a) Für welche Werte R macht die Funktionsvorschrift Sinn? Die Menge dieser Werte heißt Definitionsbereich. b) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen im Bereich [ 3, 6]. Bestimmen Sie graphisch die Umkehrfunktion durch Spiegeln des Graphen an der 1. Hauptdiagonalen. c) Berechnen Sie die Umkehrfunktion durch Umformung der Funktionsvorschrift. Vergleichen Sie mit b). 8
9 d) Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Umkehrfunktion und vergleichen Sie mit a). 42. Beispiel: surjektiv, injektiv, Umkehrfunktion Zeichnen Sie die Funktion f : R R gegeben durch f() = (1) im Bereich [-4,4]. Ist die Funktion f inkektiv, surjektiv? Begründen Sie Ihre Antwort. Schränken Sie den Wertebereich von f so ein, dass sie surjektiv wird. Schränken Sie nun auch den Definitionsbereich so ein, dass sie injektiv wird. Zeichnen Sie diese neue Funktion, geben Sie ihr den Namen g. Bestimmen Sie rechnerisch und graphisch die Umkehrfunktion von g und geben Sie sie wie in Gleichung (1) an. 43. Entscheiden Sie welche Funktionen gerade, ungerade oder keines von beiden ist: a) y = 3 b) y = c) y = ( 1) Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Nullstellen und fertigen Sie eine Skizze des Funktionsgraphen an. a) y = ( 5)( 1) b) y = c) y = Geben Sie an aus welchen elementaren Funktion die folgenden Funktionen zusammengesetzt sind: a) y = e ( 1)2 b) y = tan( 3) c) y = tan( 3) d) y = tan( ) 3 e) y = tan(e 7 1 ) Trigonometrie 46. Beispiel: 3 a) Es sei sin() =. Berechnen Sie cos(), tan() und cot() ohne zu berechnen. Machen Sie eine Skizze im 2 Einheitskreis. 9
10 b) Von einem rechtwinkligen Dreieck seien bekannt a = 3, b = 4. Berechnen Sie sin(α), cos(α), tan(α) und cot(α). c) Wie hoch ist ein Baum, dessen Spitze von einer 27 m entfernt stehenden Person mit einer Augenhöhe von 1.60 m unter einem Winkel von 25 zur horizontalen anvisiert wird? Lösung: a) cos() = ± 1 2, tan() = ± 3 und cot() ± 1 3 b) 0.6, 0.8, 0.75, 1.33 c) m 47. Beispiel: Geben Sie die Lösungsmenge an. a) sin( 2) = 0.5 Machen Sie eine Skizze im Einheitskreis. b) tan() + sin() = 0 c) cos( + π 4 ) + sin( π ) = 0 Hinweis: cos( + y) = cos() cos(y) sin() sin(y) 4 und sin( + y) = cos() sin(y) + sin() cos(y) Lösung: a) L = { = 5 12 π + kπ oder = 1 π + kπ k Z} b) L = { = 12 kπ k Z} c) L = R 48. Beispiel: Zwischen den in gleicher Höhe liegenden Punkten A und B wird ein Drahtseil gespannt, an dem ein Körper mit dem Gewicht G= 3250 N befestigt ist. Welche Zugkräfte treten in den beiden Seilsträngen auf, wenn α = 28, β = 41 ist? Siehe Abb. 2. Abbildung 2: Drahtseil Lösung: N und N 49. Beispiel: Berechnen Sie die übrigen Seiten und Winkel des Dreiecks mit a=179 m, b=208.3 m, β= 106. Lösung: c= m, α=55.7, γ=
11 50. Beispiel: Skizzieren Sie die Funktionen sin, cos und tan in einem gemeinsamen Graphen im Bereich [ 2π, 4π]. Verwenden Sie den Einheitskreis als Hilfe. Vektorrechnung und Analytische Geometrie 51. Gegeben sind die Vektoren a = (1, 0, 2), b = ( 3, 5, 0), c = (4, 1, 7). Berechnen Sie: a =?, a + b =?, a c =?, 2a b + 3c =?. 52. Normieren Sie die Vektoren a = (2, 1, 3) und b = (4, 3 12). 53. Wie groß sind die Innenwinkel des Dreiecks mit den folgenden Eckpunkten? A( 4, 1), B(2, 2), C(1, 3) 54. Wie groß sind die Winkel des Dreiecks mit den Eckpunkten A( 2, 0, 3), B( 6, 4, 1), C(4, 1, 2)? 55. Geben Sie die Gleichung und die Vektordarstellung jener Geraden an die normal auf die Gerade g : 2 y + 1 = 0 steht und durch den Punkt P (2, 5) geht. 56. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises mit folgender Gleichung: a) 2 + y 2 2 4y + 1 = 0 b) y y + 67 = Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises, a) der durch die drei Punkte P 1 (3, 0), P 2 (5, 5 3), P 3 (3 + 5, 1) geht. b) der durch den Punkt P (3, 4) geht und die Gerade g : y = Q(4, 3) berührt. im Punkt 58. Wie groß ist die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten A( 2, 0, 3), B( 6, 4, 1), C(4, 1, 2). 59. Geben Sie die Ebenengleichung und die Parameterdarstellung der Ebene ε an, gegeben durch: a) Punkt = (0, 1, 2) und zwei Richtungsvektoren v = (0, 2, 1), w = (2, 3, 5) b) 3 Punkte 1 = (0, 1, 2), 2 = (2, 3, 4), 3 = (7, 9, 1) c) Punkt = (0, 1, 2) un Normalvektor n = (0, 2, 1) 60. Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g : = (1, 1, 1) + λ( 2, 3, 1) und ε : = 18 11
12 61. Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden von ε 1 : = 1 und ε 2 : = Bestimmen Sie z, sodass der Punkt P 1 (2, 1, z) in der Ebene ε liegt. ε : P 2 (1, 1, 2), P 3 ( 1, 1, 4), P 4 (2, 2, 9) Differentialrechnung 63. Beispiel: Differenzieren Sie folgende Funktionen. a) f() = b) f() = c) f() = sin(/2) d) f() = Beispiel: Mechanik Bei einem senkrechten Wurf nach oben lautet die Weg-Zeit-Gleichung des Körperschwerpunktes des geworfenen Körpers s = f(t) = v 0 t 1 2 gt2 mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 30 m s und der Erdbeschleunigung g = 10 m s 2. Wann erreicht dieser Körper seine größte Höhe? Wie groß ist sie? Zeichnen Sie einen Graphen von f und argumentieren Sie Ihre Vorgehensweise auch grafisch. 65. Beispiel: Differenzieren Sie folgende Funktionen. a) f() = b) f() = ( 1)(1 + ) c) f() = sin() d) f() = sin() 1 + tan() e) f() = e + e 2 2 f) f() = (2 + 1) 4 g) f() = 1 4 ( 1) 3 12
13 66. Beispiel: Berechnen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen. a) f() = e 2 b) f() = c) f() = d) f(a) = a ln(a) + b Lösung: a) f () = 6 10e 2 b) f () = 2( 1) 3 3 c) f () = d) f () = ln(a) Beispiel: Etremwertaufgabe Herr K. will ein Leihauto mieten, um von Eisenstadt nach Dornbirn (800 km) zu fahren. Der Benzinverbrauch y (in Liter/100km) hängt von der Fahrgeschwindigkeit (in km/h) näherungsweise folgendermaßen ab: y() = a) Welche konstante Geschwindigkeit sollte Herr K. fahren, um den Benzinverbrauch zu minimieren? b) Der Mietpreis für den Leihwagen beträgt 10 e pro Stunde sowie zusätzlich 50 e Grundgebühr. Der Treibstoff kostet 1,50 e Liter. Stellen Sie die Kostenfunktion für die Fahrt von Eisenstadt nach Dornbirn in Abhängigkeit von der konstanten Fahrgeschwindigkeit auf. c) Wie hoch ist die kostenminimale Geschwindigkeit? Lösung: a) = 50 km/h b) K() = c) 95, 7 km/h 68. Beispiel: Etremwertaufgabe Ein Kaffeproduzent will seine Spitzensorte in zylindrischen Aludosen verpacken. Um die Dose möglichst billig herstellen zu können, soll ihre Oberfläche bei vorgegebenem Volumen minimiert werden. Das Volumen der Dose wird mit 500 cm 3 festgesetzt. Bestimmen Sie die optimalen Werte für den Dosenradius r und für die Dosenhöhe h. Hinweis: Das Volumen (V ) und die Oberfläche (O) eines Zylinders sind gegeben durch: Lösung: r = π V (r, h) = πr 2 h 4, 3 cm, h = 500 π O(r, h) = 2πrh + 2πr 2 3 π 2 8, 6 cm Beispiel: Welchen Winkel bildet die Tangente im Punkt P 0 ( 0, y 0 ) an die Kurve y = f() mit der -Achse? f() =, 0 = 1. Fertigen Sie eine Skizze an. 13
14 70. Beispiel: Diskutieren Sie die Kurve y = Beispiel: Etremwertaufgabe Zerlegen Sie eine reelle Zahl a so in zwei Summanden, dass deren Produkt möglichst groß wird. Lösung: Die beiden Summanden sind a Beispiel: Etremwertaufgabe Ein Unternehmen, das nur einen Artikel produziert, hat die Kostenfunktion K() = 0, sowie die Preis-Absatz-Funktion p() = 32 0, 3. Es werde vollständiger Absatz der Artikel vorausgesetzt. Bei welcher Stückzahl erzielt das Unternehmen den maimalen Gewinn? Zeichnen Sie die Gewinnfunktion in diesem Bereich. Lösung: ma = 30. Integralrechnung 73. Beispiel: Integrieren Sie. a) ( ) d b) 3 d c) 3 2 d d) (2t 3) 2 dt e) t t dt 74. Beispiel: Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale. a) e d b) 2π π cos(π) sin() d c) 2 1 (2 + 1) d d) 2 3 dt 2 e) 1 0 n d 1 n 75. Beispiel: Berechnen Sie folgende Integrale. a) d 14
15 b) sin( ) d c) d d) cos 7 () sin() d e) cot(t) dt 76. Beispiel: Berechnen Sie folgende Integrale. a) 4 3 ln() d b) cos 2 () d c) 2 sin() d d) ln() 1 3 d e) 2ϕ sin(ϕ) dϕ 77. Beispiel: Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale. a) 1 1 e d b) 2 1 ln() 2 d c) π 0 e sin() d d) π 0 3 sin() d 78. Beispiel: Berechnen Sie den Inhalt der Flächen die von den Kurven mit den angegebenen Gleichungen eingeschlossen werden: a) y = cos(), y = 0, = π, = 5π 2 6 b) y = 1, 3y + 3 = 10 c) y = 2 4, y = d) y = 2, = y 2 e) y = cos(), y = sin() zwischen zwei benachbarten Schnittpunkten. 79. Bestimmen Sie das Weg-Zeit-Gesetz s = s(t) und das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v = v(t) eines Fahrzeuges für den Fall a) einer konstanten Verzögerung a = 2 m s 2, b) einer periodischen Verzögerung a(t) = (1 + cos(πt)) m s 2, wenn in beiden Fällen die Anfangsbedingungen wie folgt lauten: s(0) = 0m und v(0) = 30m/s. 15
Mathematik Warm Up - Beispielsammlung
Mathematik Warm Up - Beispielsammlung T. Steinberger, K. Rheinberger FH Vorarlberg Den TeilnehmerInnen der Lehrveranstaltung wird dringend empfohlen, die Beispielsammlung vor der Lehrveranstaltung durchzuarbeiten!
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Kartographie/Geoinformatik Vermessung/Geoinformatik Dresden
Mehr1 Übungen zu Kapitel 1 (Mengen)
Übungen zu Kapitel (Mengen Aufgabe.: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: a {x N 0 < x < 4, 8} b {z Z z ist positiv, durch 3 teilbar und kleiner als } c {x R x = 0} d {x Q (x =
MehrMathematik Tutorium. x 2
Mathematik Tutorium Fakultät Grundlagen Termin Algebra Aufgabe : Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a) 5 ) : ) 5 b) n+ n c) an+ a n a n+ + a n d) ) ) : ) ) e) 5 f) 5 z + z 5 Aufgabe : Berechnen
Mehr1 Übungen zu Mengen. Aufgaben zum Vorkurs B S. 1. Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an:
Aufgaben zum Vorkurs B S. 1 1 Übungen zu Mengen Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: A = {x N 0 < x < 4, 8} B = {t N t ist Teiler von 4} C = {z Z z ist positiv, durch 3 teilbar
MehrMusteraufgaben zu den Mathematikmodulen Ein Selbsttest
Musteraufgaben zu den Mathematikmodulen Ein Selbsttest I. Grundlagen der Mathematik I Terme und Gleichungen, elementare Funktionen (bis zu 5 h) Grundsätzliches zum Vereinfachen von Termen und Lösen von
MehrAufgaben zum Vorkurs Mathematik für Natur- und Ingenieurwissenschaften. 1 Übungsblatt Mengen. Dr. Jörg Horst WS 2014/2015
Dr. Jörg Horst WS 04/05 Aufgaben zum Vorkurs Mathematik für Natur- und Ingenieurwissenschaften Übungsblatt Mengen Aufgabe : Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: A = {x N 0 0 < x
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengang Bauingenieurwesen Dresden 2005 . Mengen Kenntnisse
MehrMengen, Relationen, Abbildungen A B = A B. Schreiben Sie die unten dargestellte Relation als Teilmenge von A B.
Aufgabensammlung zum Vorkurs in Mathematik Thomas Püttmann Mengen, Relationen, Abbildungen Aufgabe : Verdeutlichen Sie das Distributivgesetz und das Gesetz von De Morgan durch Mengendiagramme. A (B C)
MehrPriv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 19. September 2016 S. Bleß, M. Sc. Analysis. Übungsaufgaben. im Vorkurs Mathematik 2016, RWTH Aachen University
Priv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 9. September 6 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben im Vorkurs Mathematik 6, RWTH Aachen University Intervalle, Supremum und Infimum Für a, b R, a < b nennen wir eine
MehrBrückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015
HOCHSCHULE HANNOVER UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES AND ARTS Dipl.-Math. Xenia Bogomolec Brückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Übungsblatt 1 (Grundlagen) Aufgabe 1. Multiplizieren Sie folgende
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Allgemeiner Maschinenbau Fahrzeugtechnik Dresden 2002
MehrVorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben
Justus-Liebig-Universität Gießen Fachbereich 07 Mathematisches Institut Vorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben PD Dr. Elena Berdysheva Aufgabe. a) Schreiben Sie die folgenden periodischen Dezimalzahlen
MehrDr. O. Wittich Aachen, 12. September 2017 S. Bleß, M. Sc. Analysis. Übungsaufgaben. im Vorkurs Mathematik 2017, RWTH Aachen University
Dr. O. Wittich Aachen,. September 7 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben im Vorkurs Mathematik 7, RWTH Aachen University Intervalle, Beschränktheit, Maxima, Minima Aufgabe Bestimmen Sie jeweils, ob
MehrInformationsblatt für den Einstieg ins 2. Mathematikjahr AHS Kursleiter: Manfred Gurtner
Informationsblatt für den Einstieg ins 2. Mathematikjahr AHS Kursleiter: Manfred Gurtner Stoff für den Einstufungstest Mathematik in das 2. Jahr AHS 1) Gleichungen/ Gleichungssysteme/ Terme Lineare Gleichungen
MehrÜbungsaufgaben zur Analysis
Serie Übungsaufgaben zur Analysis. Multiplizieren Sie folgende Klammern aus: ( + 3y)( + 4a + 4b) (a b )( + 3y 4) (3 + )(7 + y) + (a + b)(3 + ). Multiplizieren Sie folgende Klammern aus: 6a( 3a + 5b c)
MehrTechnische Universität Dresden, Fakultät Mathematik Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich. der Übungsaufgaben zum Brückenkurs Mathematik 2018
Technische Universität Dresden, Fakultät Mathematik Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich E R G E B N I S S E der Übungsaufgaben zum Brückenkurs Mathematik 08 Ergebnisse zur. Übung am.09.08 Thema: Logik,
MehrÜbungen zum Vorkurs Mathematik
Dr. Tatiana Samrowski Institut für Mathematik Universität Zürich Übungen zum Vorkurs Mathematik Mengenlehre Aufgabe : Stellen Sie die folgenden Menge durch Aufzählen ihrer Elemente dar: A = { N : ist Primzahl
MehrÜbungen Mathematik I, M
Übungen Mathematik I, M Übungsblatt, Lösungen (Stoff aus Mathematik 0).0.0. Berechnen Sie unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes ( x + y) 7 Lösung: Nach dem binomischen Lehrsatz ist ( x + y) 7 = 7
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Betriebswirtschaft International Business Dresden 05 . Mengen
Mehr1 Mengenlehre. Maturavorbereitung GF Mathematik. Aufgabe 1.1. Aufgabe 1.2. Bestimme A \ B. Aufgabe 1.3. Aufgabe 1.4. Bestimme B \ A. Aufgabe 1.
Maturavorbereitung GF Mathematik Kurzaufgaben 1 Mengenlehre Aufgabe 1.1 Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3} und B = {2, 3, 6, 8}. Bestimme A B. Aufgabe 1.2 Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3} und B
MehrMathematik 1 Übungsserie 3+4 ( )
Technische Universität Ilmenau WS 2017/2018 Institut für Mathematik Thomas Böhme BT, EIT, II, MT, WSW Aufgabe 1 : Mathematik 1 Übungsserie 3+4 (23.10.2017-04.11.2017) Sei M eine Menge. Für eine Teilmenge
MehrFH Gießen-Friedberg, Sommersemester 2010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 2010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz.
FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz Funktionen Einige elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Eine Funktion f
MehrEinführung in die Algebra
1 Einführung in die Algebra 1.1 Wichtige Formeln Formel Symbol Definition Wert Bedingungen n Fakultät n! k = 1 2 3 n n N Binomialkoeffizient Binomische Formeln Binomischer Lehrsatz Potenzen ( ) n k Definition
MehrVorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure
Institut für Mathematik Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Ausführliches Inhaltsverzeichnis mit thematischen Links Prof. Dr. Konrad Engel PD Dr. Roger Labahn {konrad.engel, roger.labahn}@uni-rostock.de.09.
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium
Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet b.hallouet@m.uni-saarland.de SS 07 Vorlesung 5 MINT Mathkurs SS 07 / 8 Vorlesung 5 (Lecture 5) Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen
MehrVorkurs Mathematik Übungsaufgaben. Dozent Dr. Arne Johannssen
Vorkurs Mathematik Übungsaufgaben 2 Dozent Dr. Arne Johannssen Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften Neues Logo: ie gesamte Universität
MehrVorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure
Institut für Mathematik Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Ausführliches Inhaltsverzeichnis mit thematischen Links Prof. Dr. Konrad Engel Prof. Dr. Roger Labahn {konrad.engel,roger.labahn}@uni-rostock.de
MehrEinstiegsvoraussetzungen für das 3. Semester Angewandte Mathematik AM
Einstiegsvoraussetzungen für das 3. Semester Angewandte Mathematik AM 1. Siehe: Einstiegsvoraussetzungen für das 1. Semester 2. Bereich: Zahlen und Maße 2.1. Fehlerrechnung (Begriffe absoluter und relativer
MehrAufgabensammlung Vorkurs Mathematik für Studierende technischer Fächer und für Studierende der Chemie
Dr. Michael Stiglmayr Teresa Schnepper, M.Sc. WS 014/015 Bergische Universität Wuppertal Aufgabensammlung Vorkurs Mathematik für Studierende technischer Fächer und für Studierende der Chemie Aufgabe 1
MehrVorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure
Institut für Mathematik Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Ausführliches Inhaltsverzeichnis mit thematischen Links Prof. Dr. Konrad Engel Prof. Dr. Roger Labahn {konrad.engel,roger.labahn}@uni-rostock.de
MehrDiese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus C und nicht aus R.
Aufgabe 1 Zahlenmengen, quadratische Gleichungen Gegeben ist eine quadratische Gleichung a 0 mit a R. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Automatisierungstechnik Nachrichtentechnik/Multimediatechnik
MehrÜbungen zu Mathematik für ET
Wintersemester 2017/18 Prof. Dr. Henning Kempka Übungen zu Mathematik für ET Übungsblatt 0 zum Thema Elementaraufgaben. Aufgabe 1 Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke so weit wie möglich: a) 100 [(b + 20)
MehrLösung: Serie 7 - Hyperbelfunktionen Newton-Verfahren
a Lösung: Serie 7 - Hyperbelfunktionen Newton-Verfahren y ex +e x e x ye x + 0 e x y ± y Da y ist, ist die Wurzel auf der rechten Seite immer reell Wir interessieren uns nur für nichtnegative x Der Logarithmus
MehrELEMENTE. Grundkompetenzen DER MATHEMATIK. für die neue Reifeprüfung. Mit Lösungen
5 ELEMENTE DER MATHEMATIK GK Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Mit Lösungen Die Formulierung der Grundkompetenzen (GK) bezieht sich auf den Stand von August 2010. 1. Auflage, 2010 Gesamtherstellung:
Mehrc) y = ln( 2x + 5) d) y = 2) Verwandeln Sie die gegebene implizite Funktion in die explizite Form y(x):
Übungen zur Einführung in die Physikalischen Rechenmethoden I (Mathematische Grundlagen für das Physikstudium I) WS /, 6 VO+UE Univ. Prof. Dr. Christoph Dellago ) Finden Sie die Umkehrung von folgenden
Mehrfakultät für physik bernhard emmer mathematik vorkurs für physiker Übungsblatt 1 für beliebiges k N und x 0. a 2 x 1 x 3 y 2 ) 2
fakultät für physik bernhard emmer mathematik vorkurs für physiker Übungsblatt Aufgabe Induktion). a) Beweisen Sie, dass + 3 + 5 +... + n )) ein perfektes Quadrat genauer n ) ist. b) Zeigen Sie: + + +...
MehrLösung - Serie 2. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger Welche der folgenden Funktionen ( 1, 1) R sind strikt monoton wachsend?
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie.. Welche der folgenden Funktionen (, R sind strikt monoton wachsend? (a (b (c + 3 (d e (e (f arccos Keine. Auf (, 0] ist strikt monoton
MehrAus dieser Darstellung lassen sich der Real- und Imaginärteil von z ablesen, man erhält. Re (z) = Im (z) = ,5 3 M 1. = y z x 2 + y 2.
Aufgabe (8 Punkte (a der Realteil von z +i 4 i zu bestimmen. z + i ( + i(4 + i + i 4 i + i.,5 Aus dieser Darstellung lassen sich der Real- und Imaginärteil von z ablesen, man erhält Re (z Im (z.,5 (b (b
MehrDiskussion einzelner Funktionen
Diskussion einzelner Funktionen. Wir betrachten die Funktion f mit f() = cos sin (a) Berechne f() für { π, π, π, π, } 5π und zeichne den Grafen von f im - Intervall [ π, ] 5π. Einheiten: cm auf der y-achse,
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten
MehrÜbungsblatt 1 zum Propädeutikum
Übungsblatt 1 zum Propädeutikum 1. Gegeben seien die Mengen A = {,, 6, 7}, B = {,, 6} und C = {,,, 1}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geben Sie diese in aufzählender Form an.. Geben
MehrGrundwissen. 10. Jahrgangsstufe. Mathematik
Grundwissen 10. Jahrgangsstufe Mathematik 1 Kreis und Kugel 1.1 Kreissektor und Bogenmaß Kreis Umfang U = π r=π d Flächeninhalt A=π r Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α Bogenlänge b= α π r 360 Flächeninhalt
MehrPasserelle Mathematik Frühling 2005 bis Herbst 2006
Passerelle Mathematik Frühling 2005 bis Herbst 2006 www.mathenachhilfe.ch info@mathenachhilfe.ch 079 703 72 08 Inhaltsverzeichnis 1 Algebra 3 1.1 Termumformungen..................................... 3
Mehrist symmetrisch bezüglich der y-achse, da f( x) = f(x) ist. e x + e x = 2 2 (Substitution: a = e x )
Problemstellung. f() e + e ist symmetrisch bezüglich der y-achse, da f( ) f() ist. Es ist f () e e. Aus f () folgt ; f(). f () e + e vor.
Mehr4 x
Quadratwurzeln und reelle Zahlen. Bestimme die Definitionsmenge des Wurzelterms in G = R a) T(x) = x b) x c) x d) x e) x +. Vereinfache a) 0 + 90 b) 6 7 + 08 7 7 c) 0 0 + d) 6. Mache den Nenner rational
MehrAufgaben zum Vorkurs Mathematik: Allgemeine Übungsaufgaben
Aufgaben zum Vorkurs Mathematik: Allgemeine Übungsaufgaben Fachbereich Mathematik Vorkurs Mathematik WS 2012/13 Dies ist eine Sammlung von Aufgaben, die hauptsächlich Mittelstufenstoff wiederholen. Dabei
MehrEinstiegsvoraussetzungen 3. Semester
Einstiegsvoraussetzungen 3. Semester Wiederholung vom VL Bereich: Zahlen und Maße Fehlerrechnung kennen Fehler in der Darstellung von Zahlen und können Ergebnisse auf sinnvolle Art runden. verstehen die
MehrLösung - Serie 3. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. MC-Aufgaben (Online-Abgabe)
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 3 MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Es sei die Funktion f : [0, ) [0, ) definiert durch f(x) = ln(x + 1), wobei der Logarithmus ln zur Basis
MehrStudienberechtigungsprüfung Mathematik VHS Floridsdorf
Studienberechtigungsprüfung Mathematik VHS Floridsdorf von Dr. Manfred Gurtner Würl 0/ Teil für : ) Zahlenrechnen und Taschenrechner: a) Berechnen Sie: [( 6) ( ) (+)] [( 0)+(+)] (+5) + ( ) = 5 b) Berechnen
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure 2
Prüfungklausur (A) zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 5. Juli 8, 8. - 1. Uhr (1.Termin) - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe 1: Die -periodische Funktion f : R R sei auf [, ) gegeben durch + 3,
MehrI 1. Ermittle von den folgenden Funktionen jeweils Stammfunktionen: (d) 4cosxdx (e) 3e x dx (f) ( e x + x 2) dx
Integralrechnung: I. Ermittle von den folgenden Funktionen jeweils Stammfunktionen: (a) y =,5 (b) y = + (c) y = 5 (d) y = 3 (e) y = (f) y = (g) y = 3 (h) y = (i) y = 3 4 4 (j) y = 6 + 3 (k) y = 3 + 4 (l)
MehrVorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2018/2019 Übung 7
Prof. Dr. J. Pannek Dynamics in Logistics Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 018/019 Übung 7 Aufgabe 1 : Etremwerte Der Ellipse + y = 1 ist ein Rechteck mit Seitenlängen p, q, dessen Seiten parallel
MehrVorkurs Mathematik für Ingenieure WS 2015/2016 Übung 6
Prof. Dr. J. Pannek Dynamics in Logistics Vorkurs Mathematik für Ingenieure WS 015/016 Übung 6 Aufgabe 1 : Differentialrechnung (a Berechnen Sie die Ableitung nachstehender Funktionen an der Stelle 0 und
Mehr2015, MNZ. Jürgen Schmidt. 3.Tag. Vorkurs. Mathematik FUNKTIONEN WS 2015/16
Vorkurs Mathematik FUNKTIONEN WS 05/6 3.Tag Funktionen einer Veränderlichen Eine Funktion f einer reellen Variablen Definition 3 ist eine eindeutige Zuordnungsvorschrift zwischen den Zahlen einer nichtleeren
MehrThemenpools für die mündliche Reifeprüfung aus Mathematik 2018
Themenpools für die mündliche Reifeprüfung aus Mathematik 2018 Bei allen Themenpools werden das Wissen über Zahlenbereiche und der grundlegende Umgang mit Termen, Formeln, Gleichungen und Funktionen vorausgesetzt.
MehrI. Reelle Zahlen GRUNDWISSEN MATHEMATIK - 9. KLASSE
I. Reelle Zahlen 1. Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Nenne Beispiele für rationale und irrationale Zahlen.. Aus negativen
MehrMathematik I für MB und ME
Übungsaufgaben Aufgaben zur Wiederholung Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 06/07 a) Stellen Sie die Gleichung a b 3+c = a +c, a, b > 0, nach
MehrSelbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung
Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Abgaben: 46 / 587 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: Durchschnitt: 7 Frage (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.) Welcher Vektor
MehrÜbungsblatt 1 zum Propädeutikum
Übungsblatt 1 zum Propädeutikum 1. Gegeben seien die Mengen A = {,, 6, 7}, B = {,, 6} und C = {,,, 1}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geben Sie diese in aufzählender Form an.. Geben
Mehr12 Übungen zu Gauß-Algorithmus
Aufgaben zum Vorkurs B S. 2 Übungen zu Gauß-Algorithmus 2x x 2 = 7x +, 5x 2 = 7 Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: 2x x 2 = x +2x 2 = 2 2x x 2 = 7x +, 5x 2 =, 5 x 2x 2 = x +x 2 = 5 2x +x 2 = 4
MehrMATHEMATIK I für Bauingenieure (Fernstudium)
TU DRESDEN Dresden, 2. Februar 2004 Fachrichtung Mathematik / Institut für Analysis Doz.Dr.rer.nat.habil. N. Koksch Prüfungs-Klausur MATHEMATIK I für Bauingenieure (Fernstudium) Name: Vorname: Matrikel-Nr.:
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen
MehrApl. Prof. Dr. G. Herbort, Prof. Dr. M. Heilmann Bergische Universität Wuppertal. Modul: Mathematik I und II, Bachelor Maschinenbau
Apl. Prof. Dr. G. Herbort, Prof. Dr. M. Heilmann 6.9.6 Bergische Universität Wuppertal Aufgabe ( Punkte Modul: Mathematik I und II, Bachelor Maschinenbau a Zeigen Sie durch Induktion nach n die Summenformel
Mehr9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen
9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen 9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen. Unter dem Bogenmass eines Winkels versteht man die Länge des Winkelbogens von auf dem Kreis mit Radius (Einheitskreis).
MehrWiederholung. Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können:
Wiederholung Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können: Was bedeutet ein negativer Eponent? Wie kann man den Grad einer Wurzel noch darstellen? Wie werden Potenzen potenziert? Was bewirkt
MehrHTWD, FB Informatik/Mathematik. Mathematik für Bauingenieure. Wiederholungsaufgaben: Mathematik I
HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Mathematik I Wiederholung Mathematik für Bauingenieure Wiederholungsaufgaben: Mathematik I Aufgabe : Für die Aussagenverbindung T = (A B) ( A) gebe man
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler. (a) Bestimmen Sie die kartesische Form von Wintersemester 7/8 (..8) z = ( + i)( i) + ( + i). (b) Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen
MehrSelbsteinschätzungstest
D-MATH ETHZ-Semesterbeginn HS 05 Selbsteinschätzungstest Dieser Test bietet Ihnen die Möglichkeit, Ihre mathematischen Schulkenntnisse abzurufen und zu überprüfen. Die Teilnahme ist freiwillig. Bei jeder
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U
MehrARBEITSUNTERLAGEN. zum STARTERKURS an der UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
ARBEITSUNTERLAGEN zum STARTERKURS an der UNIVERSITÄT DES SAARLANDES Vorbemerkung Ziel des Propädeutikums ist es, die Schulmathematik wieder ins Gedächtnis zu rufen und eine gemeinsame Grundlage für die
MehrKantonsschule Solothurn RYS SS11/ Nach welcher Vorschrift wird der Funktionswert y aus x berechnet? Welcher Definitionsbereich ID ist sinnvoll?
RYS SS11/1 - Übungen 1. Nach welcher Vorschrift wird der Funktionswert y aus berechnet? Welcher Definitionsbereich ID ist sinnvoll? a) : Seitenlänge eines Quadrates (in cm) y: Flächeninhalt des Quadrates
MehrEingangstest Mathematik
Eingangstest Mathematik DHBW Mannheim Fachbereich Technik e-mail: Adresse: Gesamtzeit: 20 Minuten Gesamtpunktzahl: 20 Beachten Sie bitte folgende Punkte:. Der folgende Test umfasst neun Aufgabenblöcke.
MehrKOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II
KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Bestimme alle Winkel in [0 ; 360 ], die Lösungen der gegebenen Gleichung sind, und zeichne sie am Einheitskreis ein. 1) sin(α) = 0,4
MehrMathematik II: Übungsblatt 01: Lösungen
N.Mahnke Mathematik II: Übungsblatt 01: Lösungen Verständnisfragen: 1. Was versteht man unter einer parametrisierten ebenen Kurve? Eine parametrisierte ebene Kurve ist eine auf dem offenen Intervall ]t
MehrUnivariate Analysis. Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester
Analysis und nichtlineare Modelle Sommersemester 9 5 Univariate Analysis C. Berechnen Sie ohne Taschenrechner(!). Runden Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen. (a) 7 :, (b) 795 :.. Berechnen Sie ohne Taschenrechner(!):
Mehr3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen
3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen 3.1. Polarkoordinaten 1) Rechtwinklige und Polarkoordinaten Üblicherweise gibt man die Koordinaten eines Punktes in der Ebene durch ein Zahlenpaar vor: P(x
MehrAufgabe 1 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke soweit wie möglich. Vorsicht: Einige Terme können nicht weiter vereinfacht werden!
Bachelor Bauingenieurwesen Reto Spöhel Repetitionsblatt BMS-Stoff Mathematik Alle Aufgaben sind ohne Taschenrechner zu lösen! Aufgabe 1 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke soweit wie möglich. Vorsicht:
MehrAbitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 204 Mathematik Infinitesimalrechnung I Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Teilaufgabe Teil A (5 BE) Gegeben ist die Funktion f : x x ln
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 1. Übung: Woche vom (komplexe Zahlen):
Übungsaufgaben 1. Übung: Woche vom 17.-21.10.16 (komplexe Zahlen): Heft Ü1: 3.9 (a,b); 3.10, 3.12 (a-c); 3.13 (a-c); 3.2 (a,b,d); 3.3 (c,d,f) Wiederholung Komplexe Zahlen Definition (Imaginäre Einheit,
MehrThemenkorb für die mündliche Reifeprüfung aus Mathematik 8B 2016/17
Themenkorb für die mündliche Reifeprüfung aus Mathematik 8B 2016/17 Thema 1: Zahlenbereiche und Rechengesetze Reflektieren über das Erweitern von Zahlenbereichen von den natürlichen Zahlen zu den ganzen,
Mehr1. Aufgabe: Es seien A, B und C Aussagen. Zeigen Sie, dass die folgenden Rechenregeln richtig sind: (c) A B = A B und A B = A B.
. Aufgabe: Es seien A, B und C Aussagen. Zeigen Sie, dass die folgenden Rechenregeln richtig sind: (a) (A B) C = (A C) (B C) und (A B) C = (A C) (B C). (b) A (A B) = A und A (A B) = A. (c) (A B) = A B
Mehr1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:
1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen
Mehr