Prof. S. Krauter Kombinatorik. WS Blatt03.doc

Transkript

1 Prof. S. Krauter Kombinatorik. WS Blatt03.doc Zahlpartitionen: 1. Gegeben ist folgende Gleichung: x 1 + x 2 + x x s = n. a) Wie viele verschiedene Lösungen besitzt diese Gleichung mit Werten aus N 0? b) Wie viele verschiedene Lösungen besitzt diese Gleichung mit Werten aus N? c) Wie viele Lösungen besitzt diese Gleichung mit ganzzahligen Werten x i 5? d) Um welche Art von Zahlpartitionen handelt es sich bei diesem Problem? Spatzen kommen angeflogen und lassen sich auf 5 Bäumen nieder. Wie viele verschiedene Verteilungen sind dabei möglich? a) Welche Lösung würden Sie angeben ohne zusätzliche Bedingungen? b) Geben Sie Zusatzbedingungen an, so dass es sich bei dem Problem um geordnete Zahlpartitionen handelt. Berechnen Sie den Zahlenwert. c) Geben Sie Zusatzbedingungen an, so dass es sich bei dem Problem um ungeordnete Zahlpartitionen handelt. Berechnen Sie den Zahlenwert. 3. Leiten Sie noch einmal die Berechnungsformel für die Anzahl der geordneten Partitionen von n in genau s Summanden mit Hilfe eines Verteilungsproblems her. 4. Begründen Sie folgende Formeln für die Randwerte der Anzahl P(n, s) der ungeordneten s-partitionen der natürlichen Zahl n: a) P(n, 1) = 1 b) P(n, n) = 1 c) P(n, n-1) = 1 d) P(n, n-2) = 2 n n 1 e) P(n, r)=0 für r > n f) P(n, 2)= falls n gerade g) P(n, 2)= falls n ungerade Begründen Sie inhaltlich die beiden folgenden Rekursionen für die Anzahl P(n, s) der ungeordneten s-partitionen der natürlichen Zahl n: P(n, r) = P(n-1, r-1) + P(n-r, r) (1) P(n, r) = P(n-r, 0) + P(n-r, 1) + P(n-r, 2) + P(n-r, 3) P(n-r, r) (2) 6. Eine Dose mit Bonbons enthält 50 gleiche Bonbons. a) Auf wie viele verschiedene Weisen kann man diese auf 5 Häufchen legen? b) Auf wie viele verschiedene Weisen kann man diese an 5 Personen verteilen? c) Welcher Unterschied besteht zwischen den Aufgaben a) und b)? d) Wie viele Möglichkeiten gäbe es, wenn die Bonbons alle verschieden wären?

2 (Aus: I. Niven; Mathematics of Choice. New York Problem Set 1; Page 5-6.) 7. How many integers between 1 and 2000 (a) are multiples of 11; (b) are multiples of 11 but not multiples of 3; (c) are multiples of 6 but not multiples of 4? 8. What is the smallest number of coins needed to pay in exact change any charge less than one dollar? (Coins are in the denominations 1, 5, 10, 25 and 50 cents.) 9. A man has 47 cents in change coming. Assuming that the cash register contains an adequately large supply of 1, 5, 10 and 25 cent coins, with how many different combinations of coins can the clerk give the man his change? 10. A man has six pairs of cuff links scrambled in a box. No two pairs are alike. How many cuff links does he have to draw out all at once(in the dark) in order to be certain to get a pair that match? 11. A man has twelve blue socks and twelve black socks scrambled in a drawer. How many socks does he have to draw out all at once (in the dark) to be certain to get a matching pair? (Any two blue socks, or any two black socks, constitute a pair.) 12. The measure in degrees of an angle of a regular polygon is an integer. How many sides can such a polygon have? 13. A man has a large supply of wooden regular tetrahedra all the same size: If he paints each triangular face in one of four colors, how many different painted tetrahedra can he make, allowing all possible combinations of colors? (Say that two tetrahedra are different if they cannot be put into matching positions with identical colors on corresponding faces.). 14. How many paths are there from one corner of a cube to the opposite corner, each possible path being along three of the twelve edges of the cube?

3 Lösungen zu Blatt 03: 1. a) Wir denken uns die n Einsen der natürlichen Zahl n als lauter gleiche Kugeln. Diese sind auf s verschiedene Schubladen, die s Variablen x i, zu verteilen. Das geht nach dem Kugel-Trennstrich-Modell jeweils durch eine Dualkette mit n Nullen und s-1 Einsen. Davon gibt es n + s 1 + s 1 = s 1 n verschiedene Möglichkeiten. b) Wenn keine Schublade leer bleiben darf, legen wir vorab in jede Schublade eine Kugel und verteilen die restlichen n-s Kugeln nach dem Modell von a): s + s 1 1 =. s 1 s 1 c) Wir versehen vorab jede Schublade mit 5 Kugeln und verteilen dann den Rest 5s + s 1 4s 1 n 5s gemäß a): =. s 1 s 1 d) Es handelt sich um geordnete Zahlpartitionen: die Kugeln sind nicht unterscheidbar, aber die Schubladen sehr wohl. 2. a) Man verteilt die 30 gleichen Kugeln (Spatzen) auf 5 unterscheidbare Schubladen 34 (die 5 Bäume), wobei auch Schubladen leer bleiben dürfen: = b) In diesem Falle müssen die 5 Bäume unterscheidbar sein (Eiche, Buche, Linde, Ulme, Ahorn) und es darf kein Baum unbesetzt bleiben. Dann haben wir geordnete 29 Zahlpartitionen: = c) Sind die Bäume nicht unterscheidbar und darf keiner unbesetzt bleiben, so handelt es sich um ungeordnete Zahlpartitionen P(30, 5) = Siehe Skript. 4. Siehe Skript. 5. Siehe Skript. 6. a) Es handelt sich um ungeordnete Zahlpartitionen von n=50 in s=5 Summanden und man erhält den Wert P(50, 5) = b) Nun sind die Schubladen (Personen) unterscheidbar und wir setzen voraus, dass keine Person leer ausgehen soll. Dann handelt es sich um geordnete 49 Zahlpartitionen und man erhält 4 = verschiedene Möglichkeiten. Falls 54 auch Personen leer ausgehen dürfen gibt es dagegen 4 = verschiedene Möglichkeiten.

4 c) Die Fälle a) und b) unterscheiden sich darin, dass in a) die Schubladen nicht unterscheidbar sind, dagegen in b) sehr wohl. d) Wenn die Bonbons alle verschieden sind handelt es sich im Fall a) bei nicht unterscheidbaren Schubladen um Mengenpartitionen, wobei wieder geklärt werden muss, ob Schubladen leer bleiben dürfen oder nicht. Wir werden diese Fälle später behandeln. Im Fall b), also bei unterscheidbaren Schubladen, handelt es sich um eine Abbildung der Menge der Bonbons in die Menge der Personen. Im beliebigen Fall hat man dann 550 = 8,88*1034 Möglichkeiten, im surjektiven Fall, wenn also keine Person leer ausgehen darf, muss man die Anzahl der surjektiven Abbildungen bestimmen. 7. a) 181 b) 121 c) Cents; 2 Nickels (Fünfer); 1 Dime (Zehner); 1 Quarter (25); 1 Half-Dollar. Alternativ: 4 Cents; 1 Nickels, 2 Dimes ; Man kann alle Lösungen aufzählen (z. B. Baumschema): Lösungen ohne 25-Cent-Stück: (cents; nickels; dimes) 47, 0, 0 42, 1, 0 37, 2, 0 37, 0, 1 32, 3, 0 32, 1, 1 27, 4, 0 27, 2, 1 27, 0, 2 22, 5, 0 22, 3, 1 22, 1, 2 17, 6, 0 17, 4, 1 17, 2, 2 17, 0, 3 12, 7, 0 12, 5, 1 12, 3, 2 12, 1, 3 7, 8, 0 7, 6, 1 7 4, 2 7, 2, 3 7, 0, 4 2, 9, 0 2, 7, 1 2, 5, 2 2, 3, 3 2, 1, 4 Lösungen mit einem 25-Cent-Stück: 22, 0, 0 17, 1, 0 12, 2, 0 12, 0, 1 7, 3, 0 7, 1, 1 2, 4, 0 2, 2, 1 2, 2, cuff links = Manschettenknöpfe. 7 Stück

5 Eckenwinkel des regulären n-ecks ist 180 -, daher muss n Teiler von 360 sein. n Allerdings kommen 1 und 2 nicht in Frage. Daher hat man genau 22 Stück Möglichkeiten Typ: 4 Auswahlen, je 1 Anordnung: 4 Möglichkeiten Typ: 4*3 Auswahlen, je 1 Anordnung 12 Möglichkeiten Typ: 6 Auswahlen und je 1 Anordnung 6 Möglichkeiten Typ: 4*3 Auswahlen und je 1 Anordnung 12 Möglichkeiten Typ: 1 Auswahl und 2 Anordnungen 2 Möglichkeiten 14. 3*2 = 6 Möglichkeiten.