Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst)

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Annika Siegel
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1 Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binärbaum T mit n := M Knoten Jeder Knoten v von T ist mit einer Zahl m v M markiert. Und zwar so, dass es für jedes m M einen Knoten v von T gibt mit m v = m. Für jeden Knoten v von T, alle Knoten u im linken Teilbaum unter v und alle Knoten w im rechten Teilbaum unter v gilt: m u < m v < m w. Implementation als Logik-Programm: Nicole Schweikardt Vorlesung Logik in der Informatik WS 14/15 HU Berlin Folie 190

Und zwar so, dass es für jedes m M einen Knoten v von T gibt mit m v = m.

2 Repräsentation aussagenlogischer Formeln und Interpretationen 1. Ziel: al(term) soll besagen, dass Term eine aussagenlogische Formel repräsentiert. Ansatz: Die booleschen Konstanten 0 und 1 repräsentieren wir durch die booleschen Werte 0 und 1. Aussagensymbole (d.h. Aussagenvariablen) repräsentieren wir durch Atome (d.h. Zeichenketten, die mit einem Kleinbuchstaben beginnen oder in einfachen Anführungszeichen stehen). Die Junktoren,,, repräsentieren wir durch die Operatoren ~, /\, \/, =>. Wir wollen diese auf die übliche Art schreiben, d.h. wir wollen z.b. schreiben: statt (a /\ b) => ~c => ( /\ (a, b), ~(c) ) (wobei Letzteres die natürliche Term-Darstellung des Syntaxbaums der Nicole Schweikardt Vorlesung Logik in der Informatik WS 14/15 HU Berlin Folie 191

$Die Junktoren,,, repräsentieren wir durch die Operatoren ~, /\, \/, =>. Wir wollen diese auf die übl$

3 Dies erreichen wir in Prolog durch die folgende Definition von Operatoren: :- op(100, fy, ~). % Negation :- op(200, xfx, /\). % Konjunktion :- op(200, xfx, \/). % Disjunktion :- op(300, xfx, =>). % Implikation Generelles Schema von Operatordefinitionen in Prolog: :- op(x,y,z). mit X : Priorität des Operators (ganze Zahl zwischen 1 und 1200; je näher bei 1 desto höher die Priorität), Y : Spezifikation des Operators, Z : Name des Operators. Die Spezifikation fy gibt an, dass der Operator 1-stellig ist, von links an sein Argument geschrieben wird und assoziativ ist. Beispiel: ~ ~ ~ a steht für ~(~(~(a))) Die Spezifikation xfx gibt an, dass der Operator 2-stellig ist, zwischen seine beiden Argumente geschrieben wird und nicht assoziativ ist. Beispiel: ( (a /\ b) /\ c ) steht für /\ ( /\ (a,b), c ). ( a /\ b /\ c ) ist nicht erlaubt. Nicole Schweikardt Vorlesung Logik in der Informatik WS 14/15 HU Berlin Folie 192

mit X : Priorität des Operators (ganze Zahl zwischen 1 und 1200; je näher bei 1 desto höher die Priorität), Y : Spezifikation des Operators, Z : Name des Operators.

4 Das 1. Ziel, eine Beschreibung al(term), die besagt, dass Term eine aussagenlogische Formel repräsentiert, wird durch die Zeilen 1 20 des unten stehenden Programms al.pl erreicht. 2. Ziel: Repräsentiere aussagenlogische Interpretationen durch eine geeignete Datenstruktur, die Zugriff auf die den einzelnen Aussagensymbolen zugeordneten Wahrheitswerte liefert. Dies wird durch die Zeilen des Programms al.pl erreicht. 3. Ziel: al eval(i,f,wert) soll besagen, dass die Formel F unter Interpretation I den Wahrheitswert Wert hat. Dies wird durch die Zeilen des Programms al.pl erreicht. Nicole Schweikardt Vorlesung Logik in der Informatik WS 14/15 HU Berlin Folie 193

Ziel: Repräsentiere aussagenlogische Interpretationen durch eine geeignete Datenstruktur, die Zugriff auf die den einzelnen Aussagensymbolen zugeordneten Wahrheitswerte

5 Normalformen aussagenlogischer Formeln Ziele: al lit(x) soll testen, ob X ein aussagenlogisches Literal repräsentiert. al nnf(f) soll testen, ob F eine aussagenlogische Formel in Negationsnormalform repräsentiert. al clause(d) soll testen, ob D eine disjunktive Klausel repräsentiert. al cclause(c) soll testen, ob C eine konjunktive Klausel repräsentiert. al cnf(f) soll testen, ob F eine aussagenlogische Formel in konjunktiver Normalform repräsentiert. al dnf(f) soll testen, ob F eine aussagenlogische Formel in disjunktiver Normalform repräsentiert. al2nnf(f,g) soll eine gegebene Formel F in eine dazu äquivalente Formel G in Negationsnormalform transformieren. Nicole Schweikardt Vorlesung Logik in der Informatik WS 14/15 HU Berlin Folie 194

al cclause(c) soll testen, ob C eine konjunktive Klausel repräsentiert. al cnf(f) soll testen, ob F eine aussagenlogische Formel in konjunktiver Normalform repräsentiert.

6 Abschnitt 3.4: Operationelle Semantik

7 Kapitel 3: Logik-Programmierung Abschnitt 3.4: Operationelle Semantik Deklarative vs. Operationelle Semantik Die deklarative Semantik von Logikprogrammen beruht auf einer logischen Interpretation von Programmen (Regeln als Implikationen) und logischer Deduktion. Jetzt werden wir dieser deklarativen Semantik eine operationelle Semantik gegenüberstellen, indem wir einen Algorithmus angeben, der Programme ausführt (auf einem abstrakten, nichtdeterministischen Maschinenmodell). Dadurch legen wir ebenfalls die Antworten auf die Anfragen fest und weisen somit Programmen eine Bedeutung zu. Wir werden sehen, dass die deklarative Bedeutung von Programmen mit der operationellen übereinstimmt. Nicole Schweikardt Vorlesung Logik in der Informatik WS 14/15 HU Berlin Folie 195

Jetzt werden wir dieser deklarativen Semantik eine operationelle Semantik gegenüberstellen, indem wir einen Algorithmus angeben, der Programme ausführt (auf einem abstrakten,

8 Kapitel 3: Logik-Programmierung Abschnitt 3.4: Operationelle Semantik Semantik von Programmiersprachen im Allgemeinen Generell unterscheidet man zwischen zwei Wegen, die Semantik von Programmiersprachen zu definieren: Die deklarative oder denotationelle Semantik ordnet Programmen Objekte in abstrakten mathematischen Räumen zu, in der Regel partielle Funktionen, oder im Fall von Logikprogrammen Mengen von Grundtermen. Zur Erinnerung: Die Bedeutung B(Π) eines Logik-Programms Π hatten wir definiert als die Menge aller Grundterme, die aus Π ableitbar sind. Die operationelle Semantik legt fest, wie Programme auf abstrakten Maschinenmodellen ausgeführt werden und bestimmt dadurch ihre Bedeutung. Nicole Schweikardt Vorlesung Logik in der Informatik WS 14/15 HU Berlin Folie 196

denotationelle Semantik ordnet Programmen Objekte in abstrakten mathematischen Räumen zu, in der Regel partielle Funktionen, oder im Fall von Logikprogrammen Mengen von Grundtermen.

9 Kapitel 3: Logik-Programmierung Abschnitt 3.4: Operationelle Semantik Notation PA := die Menge aller Atome PV := die Menge aller Variablen PK := die Menge aller Konstanten PT := die Menge aller Terme PF := die Menge aller Anfragen (d.h.: nicht-leere Listen von Termen) PR := die Menge aller Regeln PP := die Menge aller Logikprogramme Für jedes ξ aus PT PF PR PP bezeichnet Var(ξ) die Menge aller Variablen, die in ξ vorkommen. Ist S eine Substitution und α PF von der Form α 1,..., α m, so bezeichnet αs die Anfrage α 1 S,..., α m S. Entsprechend definieren wir für jede Regel ρ PR die Regel ρs. Nicole Schweikardt Vorlesung Logik in der Informatik WS 14/15 HU Berlin Folie 197

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