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1 Schaltfunktionen und Schaltnetze A. Schaltfunktionen und Schaltnetze 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Bedeutung des Binärsystems für den Rechneraufbau Seit Beginn der Entwicklung von Computerhardware gültiger Grundsatz: Die elementaren Bausteine jedes Rechners besitzen zwei Zustände, darstellbar durch die Binärzahlen und. Wesentliche Grundbausteine dabei: bistabile Speicherelemente binäre Schalter Funktionsweise von Rechnern und Rechnerkomponenten wird daher beschrieben durch Funktionen mit binären Ein- und Ausgaben. in diesem Abschnitt: Einführung der wichtigsten Begriffe und Techniken zum Umgang mit und zur Untersuchung von derartigen Funktionen ("logische Grundlagen der Hardware") Bezeichnungsweise für Menge der Binärzahlen: B = def {,} ('B' von 'Boole', nicht von 'binär') 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 2

2 Schaltfunktionen B = {,} n, m Funktionen des Typs f : B n B m heissen Schaltfunktionen. n-stellige, zweiwertige Eingabe... f... m-stellige, zweiwertige Ausgabe f (, 2,..., n ) = (y,y 2,..., y m ) 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 3 Boolesche Funktionen B = {,} n Spezialfall: m = Funktionen des Typs f : B n B heissen Boolesche Funktionen. n-stellige, zweiwertige Eingabe... f einstellige, zweiwertige Ausgabe f (, 2,..., n ) = y 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 4

3 Darstellung von Schaltfunktionen durch Boolesche Funktionen Schaltfunktionen mit m > Ausgängen lassen sich durch m Boolesche Komponentenfunktionen darstellen, die das "Verhalten" jedes einzelnen Ausgangs separat definieren. n-stellige Eingabe f f f f m m einstellige Ausgaben f (, 2,..., n ) = ( f (, 2,..., n ),..., f m (, 2,..., n ) ) : Es reicht im Prinzip, sich näher mit Booleschen Funktionen zu beschäftigen, wenn man Schaltungen beschreiben und untersuchen will. 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 5 Motivierendes Beispiel: Alarmanlage einführendes Beispiel: Entwurf einer einfachen Alarmanlage für eine Bank binäre Eingabegrössen: Zustände von vier Schaltern Hauptschalter bei der Polizei (H) Spezialschalter am Eingang der Bank (S) - nur durch Spezialschlüssel zu öffnen Vibrationsschalter in der Tresortür (V) - schliesst sich bei Beschädigung Türschalter an der Bank (T) - schliesst beim Öffnen der Eingangstür binäre Ausgabegrösse: Alarm bei der Polizei (A) binäre Kodierung: Alarm: passiv (), aktiv () Schalter: geöffnet (), geschlossen () 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 6

4 Funktionstafel für Alarmfunktion H S V T A H: Hauptschalter zugehörige Schaltfunktion S: Spezialschalter dargestellt V: Vibrationsschalter mittels Funktionstafel T: Türschalter A: Alarm. Tür geöffnet, ohne S zu schliessen 2. Tresortür beschädigt 3.. und 2. gleichzeitig 4. S geschlossen, Tür zu, aber Tresor beschädigt 5. S geschlossen, Tür offen, aber Tresor beschädigt 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 7 Realisierung durch konkretes Netzwerk von Schaltern H S V T A Vernetzung von vier "physischen" Schaltern, die - nachvollziehbar - dieselbe Funktion realisiert: H T S V Wie kommt man systematisch von der Funktionstafel zu einer solchen offenbar sehr "ökonomischen" Hardwarerealisierung? A 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 8

5 elementare Schaltkombinationen Die Schaltfunktion des Alarmbeispiels lässt sich mit nur drei Kombinationsprinzipien für elementare Schaltelemente realisieren - geht das immer? A B Serienschaltung A Parallelschaltung B A Invertierung (Weiterschalten bei offenem Schalter) 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 9 elementare Schaltfunktionen und Schaltkombinationen Die drei Kombinationstechniken realisieren unäre/binäre Schaltfunktionen, die den drei aussagenlogischen Junktoren AND, OR und NOT entsprechen: Serienschaltung Parallelschaltung Invertierung A B A B A A B A AND B A B 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II A A OR B NOT A

6 Boolesche Grundfunktionen (?) Die gesamte Schaltung lässt sich also auf die drei Booleschen Funktionen AND, OR und NOT zurückführen und durch einen "logischen Ausdruck" darstellen: H T S V Geht das immer mit diesen dreien? A = f (H, T, S, V) = H AND ( V OR (T AND NOT S) ) wesentlich "ökonomischer" in der Darstellung als Funktionstafel! Optimal? 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Zweistellige Boolesche Funktionen Es gibt insgesamt 6 verschiedene zweistellige Boolesche Funktionen, die sich am einfachsten mittels einer Funktionstafel definieren lassen. Antivalenz, eklusive Disjunktion (XOR) Disjunktion (OR) Antidisjunktion (NOR) Konjunktion (AND) Äquivalenz Antikonjunktion (NAND) 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 2

7 Polynomdarstellung Boolescher Funktionen: Prinzip Für höhere Stelligkeiten ist die Verwendung von Funktionstafeln zur Definition von Booleschen Funktionen nicht mehr ratsam, da die Tafeln zu gross und redundant in der Darstellung werden. Alternativ bietet sich eine sehr ökonomische Polynomdarstellung für Boolesche Funktionen an, wenn man für jede Inputgrösse eine eigene Variable,..., n einführt, z.b.: 2 3 f(, 2, 3 ) f(, 2, 3 ) = pro Zeile mit Funktionswert ein Produktterm Gesamtdarstellung als Summe 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 3 arithmetische Notation für Boolesche Funktionen 2 3 f(, 2, 3 ) f(, 2, 3 ) = üblich: arithmetische Notation für Boolesche Grössen: Addition (+) Disjunktion (OR) Multiplikation ( ) Konjunktion (AND) Komplement ( ) Negation (NOT) 2 3 kurz für Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 4

8 Herleitung der arithmetischen Darstellung aus Funktionstafel 2 3 f(, 2, 3 ) f(, 2, 3 ) = Nur diejenigen Zeilen der Funktionstafel, in denen die Funktion den Wert ("wahr") besitzt, werden in der Polynomdarstellung berücksichtigt. Jede dieser Zeilen wird durch einen Produktausdruck dargestellt, der einer logischen Konjunktion entspricht: f ist wahr, wenn falsch und 2 wahr und 3 wahr ist. Die verschiedenen Alternativen, f wahr zu machen, werden durch Addition, d.h. logische Disjunktion, ausgedrückt. 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 5 Begriffe zur Termdarstellung Boolescher Funktionen gegeben:, 2,..., n n Boolesche Variablen i bzw. i : Literale Produkt von Literalen: Monom ( z.b.: 2 5 ) Summe von Monomen: Polynom ( z.b.: ) vollständiges Monom (Minterm): Monom, in dem alle n Variablen vorkommen vollständiges Polynom: alle vorkommenden Monome sind vollständig Minterme definieren (für geg. n) "minimale" Boolesche Funktionen, die sich "minimal" von der -Funktion unterscheiden (d.h., die nur in einer Zeile der Funktionstafel eine aufweisen). 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 6

9 "Darstellungssatz" für Boolesche Funktionen Konstruktionsverfahren der Polynomdarstellung im Beispiel lässt sich für jede Boolesche Funktion anwenden: Jede Boolesche Funktion lässt sich durch ein vollständiges Polynom (bis auf Reihenfolge der Monome) eindeutig darstellen. 2 3 f(, 2, 3 ) Minterme (zu -Zeilen) Summenbildung: f(, 2, 3 ) = Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 7 Mintermdarstellung und disjunktive Normalform Berücksichtigt man wieder die "logische Interpretation" von Summe und Produkt, dann wird deutlich, dass die Darstellung durch vollständige Polynome der disjunktiven Normalform der Aussagenlogik entspricht: f(, 2, 3 ) = ( NOT AND 2 AND 3 ) OR ( AND NOT 2 AND 3 ) OR ( AND 2 AND 3 ) Eine analoge Darstellung mittels Matermen (Summen von Literalen) und Produkten solcher Summen ist ebenfalls möglich und entspricht der konjunktiven Normalform der Logik. 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 8

10 Vollständige Systeme Boolescher Funktionen und Äquivalenz Die universelle Darstellungsmöglichkeit Boolescher Funktionen durch Mintermsummen ("DNF-Darstellung") zeigt, dass die drei Grundfunktionen AND, OR (zweistellig) und NOT (einstellig) ausreichen, um jede andere Funktion auszudrücken. Eine Menge Boolescher Funktionen heisst vollständig, wenn es möglich ist, jede andere Boolesche Funktion durch einen Ausdruck äquivalent darzustellen, der nur die Elemente dieser Menge verwendet. ( {AND, OR, NOT } bzw. {, +, } ist vollständig.) Zwei Boolesche Funktionen heissen äquivalent, wenn sie für alle Eingaben dasselbe Ausgabeverhalten zeigen, d.h. dasselbe Ergebnis liefern. Elementare, aber aufwändige Methode des "Äquivalenzbeweises": Funktionstafelvergleich Es gibt noch andere vollständige Systeme als nur {AND, OR, NOT }: z.b.: { AND, NOT }, {OR, NOT}, {NAND}, {NOR} 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 9 Gatter Die drei Booleschen Grundfunktionen AND, OR und NOT werden durch entsprechende elektronische Grundbausteine realisiert, die (logische) Gatter genannt werden: AND y y OR y + y NOT logischer Operator Gattersymbol algebraischer Term 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 2

11 Negationsdarstellung und andere Gatter In zusammengesetzten Schaltdiagrammen wird das Negationssymbol meist direkt am negierten Eingang platziert: y z Werden die Ausgänge von AND- bzw. OR-Gattern negiert, entstehen kombinierte Gatterdarstellungen, die den Booleschen Funktionen NOR und NAND entsprechen: NAND y NOR y y + y 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 2 Schaltnetze Wegen der Vollständigkeit von (z.b.) {AND, OR, NOT} lässt sich jede "physische" Schaltung, die eine Boolesche Funktion realisiert, durch Verknüpfung von entsprechenden Gattern implementieren. Man nennt Diagramme, die durch Gatterverknüpfung bestehen und zyklenfrei sind, Schaltnetze. 2 3 f(, 2, 3 ) = Schaltnetz zur Realisierung der Bsp.funktion 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 22

12 Zweistellige Boolesche Funktionen in DNF-Darstellung y f f f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f f f 2 f 3 f 4 f 5 Die DNF-Darstellung kann sehr unterschiedlich "aufwändig" ausfallen: f :? f : y f 2 : y f 3 : y + y f 4 : y f 5 : y + y f 6 : y + y f 7 : y + y + y f 8 : y f 9 : y + y f : y + y f : y + y + y f 2 : y + y f 3 : y + y + y f 4 : y + y + y f 5 : y + y + y + y Gibt es "ökonomischere" Darstellungen durch unvollständige Polynome? 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 23 Boolesche Funktionen in unvollständiger Polynomdarstellung y f f f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f f f 2 f 3 f 4 f 5 notwendige Spezialnotation f : f : y f 2 : y f 3 : f 4 : y f 5 : y f 6 : y + y f 7 : y + f 8 : y f 9 : y + y f : y f : y + f 2 : f 3 : + y f 4 : + y f 5 : Sind diese kürzeren Notationen schon "optimal"? Kann man Äquivalenz auch eleganter beweisen? Bezeichnung: disjunktive Form analog zu 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 24

13 Gesetze der Booleschen Algebra Äquivalenzerhaltende Transformationen von Booleschen Ausdrücken lassen sich mit Hilfe der Gesetze der Booleschen Algebra durchführen, die ganz analog den Gesetzen der Aussagenlogik entsprechen. + = + = + y = y + ( + y) + z = + (y + z) ( + y) z = z + y z + = + = + y = y = Gesetz vom neutralen Element Gesetz vom inversen Element Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz Absorptionsgesetz Idempotenzgesetz Gesetz von de Morgan Gesetz von der doppelten Negation Ersetzt man konsistent + durch, durch + und durch bzw. durch, erhält man weitere, duale Gesetze. Aus den ersten fünf Gesetze lassen sich die anderen herleiten. 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 25 Resolutionsregel Eine ganz wichtige Regel zur Vereinfachung von Booleschen Ausdrücken ist die sogenannte Resolutionsregel: Kommen in einer disjunktiven Form zwei Summanden vor, die sich nur in genau einer komplementären Variablen unterscheiden, so können beide Summanden durch ihren gemeinsamen Teil ersetzt werden. einfachste Form von Resolution: y + y = Resolutionsregel herleitbar mittels Distributivgesetz, Gesetz vom inversen Element und Gesetz vom neutralen Element: y + y = (y + y) = = 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 26

14 Anwendung der Resolutionsregel in Beispielen Die vereinfachten Formen der Polynomdarstellung zweistelliger Funktionen lassen sich überwiegend mittels Resolution herleiten, z.b.: f 3 : y + y = f : y + y + y = y + Die dreistellige Beispielfunktion lässt sich ebenfalls durch Resolution vereinfachen: f(, 2, 3 ) = = Durch das Distributivgesetz ist eine weitere Veränderung möglich, aber auch "Vereinfachung"?... = 3 ( 2 + ) 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 27

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