Suchen und Sortieren Sortieren. Heaps

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1 Suchen und Heaps (Folie 245, Seite 63 im Skript) Definition Ein Heap ist ein Binärbaum, der die Heapeigenschaft hat (Kinder sind größer als der Vater), bis auf die letzte Ebene vollständig besetzt ist, höchstens eine Lücke in der letzten Ebene hat, die ganz rechts liegen muß.

2 Suchen und Heaps (Folie 246, Seite 63 im Skript) Ein Heap kann sehr gut in einem Array gespeichert werden: Linkes Kind von i ist 2i + 1 Rechtes Kind von i ist 2i + 2 Vater von i ist (i 1)/2

3 Suchen und Heaps (Folie 247, Seite 63 im Skript) Gegeben sind n Schlüssel a 1,..., a n. Frage: Wie können wir einen Heap konstruieren, der diese Schlüssel enthält? Antwort: Nacheinander in einen leeren Heap einfügen.

4 Suchen und Einfügen in einen Heap (Folie 248, Seite 63 im Skript) Es soll der Schlüssel 10 eingefügt werden. 1 Hänge den Schlüssel an das Ende 2 Die Heap-Eigenschaft ist jetzt verletzt 3 Lasse den neuen Schlüssel zur richtigen Stelle aufsteigen.

5 Suchen und (Folie 249, Seite 63 im Skript) Java int bubble up(int i) { while(i > 0 &&!less((i 1)/2, i)) { swap((i 1)/2, i); i = (i 1)/2; } return i; }

6 Suchen und (Folie 250, Seite 63 im Skript) Ursprüngliches Problem: Gegeben sind n Schlüssel a 1,..., a n. Frage: Wie können wir einen Heap konstruieren, der diese Schlüssel enthält? Java public Heap(Array D a) { super(); for(int i = 0; i < a.size(); i ++) set(i, a.get(i)); for(int i = 1; i < size(); i ++) bubble up(i); }

7 Suchen und (Folie 251, Seite 63 im Skript) So wird der Heap schrittweise aufgebaut. Wir bilden einen Heap aus den Schlüsseln 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 3, 10, 17, 24, 31, und 38:

8 Suchen und (Folie 252, Seite 63 im Skript) Welches ist der größte Schlüssel? 2 Welches ist der kleinste Schlüssel? Der kleinste Schlüssel ist in der Wurzel. Wiederholtes Entfernen des kleinsten Schlüssels liefert die Schlüssel in aufsteigender Reihenfolge. Können wir die Wurzel aus einem Heap effizient entfernen?

9 Suchen und Entfernen der Wurzel extract-min (Folie 253, Seite 63 im Skript) Ersetze den Schlüssel der Wurzel durch den Schlüssel des letzten Knoten 2 Lösche den letzten Knoten 3 Jetzt ist die Heap-Eigenschaft verletzt 4 Lasse den Schlüssel in der Wurzel hinuntersinken.

10 Suchen und (Folie 254, Seite 63 im Skript) Java int bubble down(int i) { int j; while(true) { if(2 i + 2 size() less(2 i + 1, 2 i + 2)) j = 2 i + 1; else j = 2 i + 2; if(j size() less(i, j)) break; swap(i, j); i = j; } return i; }

11 Suchen und extract-min (Folie 255, Seite 63 im Skript) Hinuntersinken: Zwei Vergleiche pro Schritt. Alternative: 1 Hinuntersinken bis zum Blatt. 2 Dann von dort aufsteigen.

12 Suchen und Heapsort (Folie 256, Seite 63 im Skript) Der Algorithmus Heapsort ist jetzt einfach: 1 Konstruiere einen Heap 2 Entferne wiederholt das kleinste Element 3 Speichere es an der frei werdenden Position Laufzeit: O(n log n) Einfügen und extract min in O(log n) Zeit Heapsort ist ein in-place Verfahren.

13 Suchen und Radixsort (Folie 257, Seite 63 im Skript)

14 Suchen und (Folie 258, Seite 63 im Skript) Gegeben seien Binärzahlen einer gewissen Länge: Sortiere nach dem ersten Bit

15 Suchen und (Folie 259, Seite 63 im Skript) Bitstrings in Matrix A[1... n, 1... w]. Vor dem Bitarray stehe und danach Algorithmus procedure radix exchange sort(i, a, b) : if i > w then return fi; s := a; t := b; while s < t do while A[s, i] = 0 do s := s + 1; while A[t, i] = 1 do t := t 1; vertausche A[s] und A[t] od; vertausche A[s] und A[t]; radix exchange sort(i + 1, a, t); radix exchange sort(i + 1, s, b)

16 Suchen und (Folie 260, Seite 63 im Skript) Sortiere nach dem letzten Bit. Dann nach dem vorletzten usw. ( stabil!)

17 Suchen und Straight-Radix-Sort (Folie 261, Seite 63 im Skript) Algorithmus procedure straight radix sort(i) : pos0 := 1; pos1 := n + 1; for k = 1,..., n do pos1 := pos1 A[k, i] od; for k = 1,..., n do if A[k, i] = 0 then B[pos0] := A[k]; pos0 := pos0 + 1 else B[pos1] := A[k]; pos1 := pos1 + 1 fi od Sortiere stabil nach dem i-ten Bit. Ergebnis ist in B.

18 Suchen und Straight-Radix-Sort (Folie 262, Seite 63 im Skript) Vollständiger Algorithmus: Algorithmus procedure straight radix sort : for i = w,..., 1 do pos0 := 1; pos1 := n + 1; for k = 1,..., n do pos1 := pos1 A[k, i] od; for k = 1,..., n do if A[k, i] = 0 then B[pos0] := A[k]; pos0 := pos0 + 1 else B[pos1] := A[k]; pos1 := pos1 + 1 fi od; A := B; od;

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