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1 Programmieren in PASCAL Bäume 1 1. Baumstrukturen Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder 1. die leere Struktur oder 2. ein Knoten vom Typ Element mit einer endlichen Zahl verknüpfter, voneinander verschiedener Baumstrukturen mit Grundtyp Element, so genannter Teilbäume. Aus der Ähnlichkeit der rekursiven Definition von Listen und Baumstrukturen ergibt sich, dass die Liste eine Baumstruktur ist, in der jeder Knoten höchstens einen Teilbaum hat. Die Liste heißt deshalb auch entarteter Baum. Zur Bearbeitung von Bäumen existieren besonders effiziente Algorithmen zum suchen, traversieren, manipulieren durch löschen, vertauschen oder einfügen von Knoten etc. Die folgenden Graphiken zeigen mehrere unterschiedliche Baumstrukturen. Zur Vereinfachung werden die Felder der Zeiger weggelassen.

2 2 Bäume Programmieren in Pascal Die Bäume A1 und A2 zeigen den Stammbaum in zwei unterschiedlichen Darstellungen, einmal der Vaterzweig nach links und einmal nach rechts. Möchte man einen Suchalgorithmus auf diesen Bäumen definieren, so wäre er für beide Bäume unterschiedlich, da einmal bei einer Bedingung in dem rechten und einmal in dem linken Teilbaum gesucht werden muss. Die Abbildung B zeigt einen entarteten Baum und die Abbildungen C bis E verschiedene Baumstrukturen. Bei allen Darstellungen fällt auf, dass die Bäume von oben nach unten gezeichnet werden, dass heißt die Wurzel (der Startknoten des Baumes) ist der oberste Knoten eines Baumes. Ein Baum ist folgendermaßen definiert: Ein geordneter Baum ist ein Baum, dessen Verzweigungen in jedem Knoten geordnet sind. Durch die Ordnung läßt sich zum Beispiel ein Such-Algorithmus effizient anwenden. Die Elemente eines Baums heißen Knoten. Das Anfangselement heißt Wurzel. Die Endelemente eines Baums nennt man Blätter. Verzweigungen innerhalb eines Baums nennt man Teilbäume. Die Wurzel ist der einzige Knoten, der keinen Vorgänger hat. Die Folge der Kanten von der Wurzel bis zu einem bestimmten Knoten heißt Pfad. Die Weglänge eines Pfades wird bestimmt durch die Anzahl der Kanten. Die Weglänge eines Baumes ist definiert durch die Summe der Weglängen aller seiner Komponenten. Sie heißt auch seine innere Weglänge. Knoten, die dieselbe Weglänge von der Wurzel entfernt liegen bilden jeweils eine Ebene oder Stufe. Knoten, die auf einer Ebene liegen, werden auch Brüder genannt. Der Vorgängerknoten eines Knoten wird Vater des Knotens genannt. Der Nachfolger eines Knoten wird Sohn des Knotens genannt. Die Gesamtzahl der Ebenen eines Baums gibt die Tiefe des Baumes an. Anders ausgedrückt ist dies die Anzahl der Knoten am längsten Pfad. Falls ein Baum keinen Knoten besitzt, wird er leerer Baum genannt. Die maximale Anzahl der direkten Nachfolger, die ein Knoten hat, heißt Grad des Baums. Die Wurzel eines Baums liegt nach Definition auf Ebene 1 (oder auch Stufe 1). Die Blätter eines Baums sind die untersten Elemente. 1.1 Binärer Baum Von besonderer Bedeutung sind geordnete Bäume vom Grad 2. Sie heißen binäre Bäume. Für einen binären Baum gilt neben den allgemeinen Baum-Definitionen folgende Ergänzung: Ein binärer Baum besteht aus einer endlichen Menge von Knoten, der entweder leer ist oder aus einer Wurzel mit zwei verschiedenen binären Bäumen besteht, dem linken und rechten Teilbaum der Wurzel.

3 Programmieren in PASCAL Bäume 3 Im Folgenden werden ausschließlich geordnete binäre Bäume behandelt. Zur Vereinfachung wird deshalb das Wort Baum in der Bedeutung geordneter binärer Baum verwendet. Bekannte binäre Bäume sind der Stammbaum mit Vater und Mutter einer Person als deren Nachfolger, die Aufzeichnung eines Tennisturniers, in der jedes Spiel durch einen Knoten mit dem Namen des Gewinners und die beiden vorausgehenden Spiele der Gegner als dessen Nachfolger aufgeführt wird, oder ein arithmetischer Ausdruck mit dynamischen Operatoren, wobei jeder Operator eine Verzweigung darstellt mit den zugehörigen Operanden als Teilbäume. Definition Das allgemeine Format für die Definitionsanweisung eines binären Baums lautet: TYPE KnotenPointer = ^Knoten; Knoten = Record Daten : Typ-Bezeichner; LinksNachfolger, Rechtsnachfolger : KnotenPointer End; Eine Sonderform des binären Baums ist der vollständige Binärbaum, bei dem jeder Knoten außer den Blättern zwei nichtleere Teilbäume besitzt. In der obigen Graphik ist der Baum D ein vollständiger Binärbaum. Durch die rekursive Definition des Baums bieten sich natürlich auch rekursive Algorithmen auf einem Baum an. Ein rekursiver Algorithmus für das Durchsuchen eines Baums kann umgangssprachlich so definiert werden: Aktueller - Knoten zeigt zu Beginn auf die Wurzel 1. Wenn Links-Nachfolger des aktuellen Knotens nicht den Wert Nil hat, dann rückt man den Hilfspointer Aktueller - Knoten auf den linken Nachfolger und durchsucht den Baum. 2. Wenn Rechts-Nachfolger des aktuellen Knotens nicht den Wert Nil hat, dann rückt man den Hilfspointer Aktueller-Knoten auf den rechten Nachfolger und durchsucht den Baum. 3. Gib den Wert aus, der im aktuellen Knoten gespeichert ist. Im Folgenden wird der arithmetische Ausdruck (a + b / c) * (d - e * f) als geordneter binärer Baum (oder kurz Baum) dargestellt.

4 4 Bäume Programmieren in Pascal Wenn man den Baum mit dem angegebenen Algorithmus zum Durchsuchen eines Baums durchgeht, dann ergibt sich die Zeichenfolge a b c / + d e f * - *. Dies ist eine schwer durchschaubare Schreibweise eines arithmetischen Ausdrucks. Er ist in Postfix-Notation geschrieben, sie wird auch häufig polnische Notation genannt. Darin wird der Operator hinter die Operanden gesetzt. Dass sich der Term in dieser Schreibweise ergibt, liegt an der Strategie des Durchsuchens. Man geht erst zum linken Teilbaum bis zu den Blättern, dann zum rechten Teilbaum und zum Schluss zur Wurzel des Baums. Man bezeichnet dieses Durchlaufverfahren daher auch als LRW - Durchlaufen (Links-Rechts-Wurzel-Durchlaufen). Man kann den Baum auch im WLR - Durchlauf (Wurzel-Links-Rechts-Durchlauf) durchsuchen. Dabei kommt die Wurzel zuerst, dann der linke Teilbaum und zum Schluss der rechte Teilbaum. Bei diesem Durchlaufen kommt man zur Zeichenfolge * + a / b c - d * e f des im Baum dargestellten Ausdrucks. Diese Schreibweise nennt man Prefix - Notation. Der LWR - Durchlauf (Links-Wurzel-Rechts-Durchlauf) führt zur dritten Schreibweise des Ausdrucks. Dabei wird zuerst der linke Teilbaum durchsucht, dann die Wurzel und zum Schluss der rechte Teilbaum. Die Zeichenfolge a + b / c * d - e * f ist die üblicherweise benutzte (wenn auch ohne die notwendigen Klammern). Diese Schreibweise nennt man Infix - Notation. Die Überführung des Baums in eine der drei Schreibweisen nennt man auch Traversierung. 1.2 Anwendung des geordneten binären Baums Sieht man sich einmal den nachfolgenden Baum an, so erkennt man eine vollständige Ordnungsrelation auf diesem Baum.

5 Programmieren in PASCAL Bäume 5 Auf den Knoten liegt die Ordnung "<", dass heißt, der linke Teilbaum enthält Werte, die kleiner sind als die Wurzel und der rechte Teilbaum Werte, die größer sind als die Wurzel. Dies erinnert sehr stark an das binäre Suchen. Man nennt diesen Baum deshalb auch Suchbaum. Tatsächlich kann man eine lineare Struktur, auf deren Elemente direkt zugegriffen und somit binär durchsucht werden kann, und die Struktur des Binärbaums mit darauf operierendem Suchalgorithmus miteinander vergleichen. Im ersten Fall hat man eine einfache Datenstruktur mit einem komplizierten Algorithmus, im zweiten Fall hat man eine komplexe Datenstruktur mit einem einfachen und eleganten Suchalgorithmus. Beispiel: Wir gehen von einer linearen Liste mit direktem Zugriff auf die Elemente aus. A --> B --> C --> F --> H --> I --> L Bei der binären Suche (z. B. Quicksort) nach zum Beispiel dem Element L wird auf das mittlere Element, hier F, zugegriffen. Das Anfangselement ist damit nicht mehr A sondern F. A --> B --> C F --> H --> I --> L Dies ist nicht das gesuchte Element, es wird somit in der rechten Teilliste weitergesucht, da L ein lexikalisch größerer Wert ist als F. Teilt man die Liste nun solange nach diesem Verfahren bis diese nur noch aus je einem Element bestehen, so liegt ein geordneter Baum in der bekannten Darstellung vor. Damit wurde die linear verkettete Struktur, auf der im Prinzip nur sequentiell gesucht werden kann, durch Umorganisation in eine binäre Baumstruktur überführt. Betrachtet wir einmal näher, wie der Baum generiert wurde, so gelangt man zu folgendem Algorithmus: 1. Man verwende einen Knoten für die Wurzel. 2. Man generiere den linken Teilbaum mit TL = n DIV 2 Knoten auf diese Art. 3. Man generiere den rechten Teilbaum mit TR = n - TL - 1 Knoten auf diese Art. Dieser Algorithmus erinnert sehr stark an den Algorithmus der binären Suche zum Teilen der Felder. Mit diesem Algorithmus wird ein vollständig ausgeglichener Baum generiert. Definition Ein Baum ist vollständig ausgeglichen, wenn sich für jeden Knoten die Zahlen der Knoten in seinem linken und rechten Teilbaum um höchstens 1 unterscheiden.

6 6 Bäume Programmieren in Pascal Beispielprogramm, um einen vollständig ausgeglichenen Baum zu generieren und die Baumstruktur später auszugeben. Program BuildTree; Type Ref = ^Knoten; Knoten = Record Key : Integer; Links, Rechts : Ref; End; Var Anzahl : Integer; Wurzel : Ref; Function Tree (n : Integer) : Ref; Var NewNode : Ref; x, TL, TR : Integer; Begin { Erstelle vollständig ausgeglichenen Baum mit n Knoten } If n = 0 Then Tree := Nil Else Begin TL := n DIV 2; TR := n - TL - 1; Read (x); New (NewNode); With NewNode^ do Begin Key := x; Links := Tree (TL); Rechts := Tree (TR); End; Tree := NewNode End End; { Function Tree } Procedure PrintTree (Baum : Ref; Abstand : Integer); Var i : Integer; Begin { Drucke Baum um Abstand eingerückt } If Baum <> Nil Then With Baum^ Do Begin PrintTree (Links, Abstand + 1); For i := 1 To Abstand Do Write (' '); Writeln (Key); PrintTree (Rechts, Abstand + 1) End End; { PrintTree } Begin { Hauptprogramm } Read (Anzahl); { Anzahl der Knoten } Wurzel := Tree (Anzahl); PrintTree (Wurzel, 0) End.

7 Programmieren in PASCAL Bäume 7 Verwendet man das Programm mit folgenden Eingabedaten für 14 Knoten, so wird folgender vollständig ausgeglichener binärer Baum erzeugt. Dieser Baum ist nicht sortiert, da die Funktion Tree die Daten so in die Teilbäume einhängt, wie sie eingelesen werden. Einlesen und direkt sortieren, daß heißt die Knoten gemäß der Ordnung einzuhängen, erzeugt einen Suchbaum.

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