Lineare Algebra II. Zürcher Hochschule für Angewandte Wissenschaften Richard Bödi. Basierend auf dem Linearen Algebra Manuskript von Roger Manz.

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1 Lineare Algebra II Zürcher Hochschule für Angewandte Wissenschaften Richard Bödi Basierend auf dem Linearen Algebra Manuskript von Roger Manz.

2 Inhaltsverzeichnis 1 Determinanten Motivation Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen Lineare Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen Lineare Gleichungssysteme mit 4 Gleichungen Permutationen Definition der Determinante Rechenregeln für Determinanten Effektive Berechnung von Determinanten Geometrische Deutung der Determinante Weitere Anwendungen von Determinanten Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Definitionen Berechnung von Eigenwerten Diagonalisierung von Matrizen Iterative Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Effiziente Berechnung des Page-Rankings

3 INHALTSVERZEICHNIS 2 3 Vektorräume mit Skalarprodukt Motivation Definitionen Norm und Orthogonalität Koordinaten bezüglich einer Orthonormalbasis Das Orthogonalisierungs-Verfahren von Gram-Schmidt Orthogonale Komplemente Näherungslösungen Orthogonalprojektion als Näherungen Näherungslösungen für lineare Gleichungssysteme Orthogonale und unitäre lineare Abbildungen

4 Kapitel 1 Determinanten 1.1 Motivation Wir betrachten quadratische lineare Gleichungssysteme a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n mit Koeffizienten a ij aus einem Körper K, die sich eindeutig lösen lassen. Ziel ist es, in systematischer Art und Weise (d.h. mit Hilfe einer einzigen Formel) die Lösung des linearen Gleichungssystems zu berechnen. Wir kennen bereits das Eliminationsverfahren von Gauss, um die Lösung zu berechnen. Dabei wird das Gleichungssystem so umgeformt, dass in der i-ten Zeile die ersten i 1 Unbekannten x 1,..., x i 1 eliminiert sind. Insbesondere würde in der letzten Zeile nur noch die Unbekannte x n vorkommen und die restlichen Unbekannten x i könnten nun rekursiv durch Rückwärtseinsetzen bestimmt werden. Daraus liesse sich im Prinzip eine einzige Formel zur Berechnung der Lösung ableiten, wenn nicht bei der Durchführung des Algorithmus unterschiedliche Zeilenpermutationen (und ggf. Spaltenpermutationen) notwendig wären, die je nach der Struktur der Matrix auch noch unterschiedlich ausfallen können. Da es n! viele unterschiedliche Zeilenpermutationen bei n Zeilen gibt, müsste man n! viele Lösungsformeln angeben. Um daraus eine einzige Formel für die Lösung zu destillieren, müsste man nun all diese n! vielen Lösungsformeln in eine einheitliche Form bringen, die unabhängig von der jeweiligen Zeilenpermutationen ist. Da wir an einer einheitlichen Lösungsformel interessiert sind, ist dieses Vorgehen eher ungeeignet, weil es unübersichtlich ist. Stattdessen werden wir rekursiv vorgehen. Wir entwickeln zuerst ein Verfahren für 2 Gleichungen, dann für 3 Gleichungen, und so fort. 3

5 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 4 Bei der Lösung eines Systems mit n Gleichungen machen wir uns dabei zunutze, dass wir schon eine Lösungsformel für Systeme mit n 1 Gleichungen kennen. Am Ende werden wir versuchen, die gemeinsame Struktur der Lösungsformel zu erkennen. Dies wird unweigerlich auf den Begriff der Determinante führen Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen Wir beginnen mit dem quadratischen linearen Gleichungssystem a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Um x 2 zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit a 22 und die zweite mit a 12. Addieren wir die so entstandenen Gleichungen, so erhalten wir (a 11 a 22 a 21 a 12 )x 1 = b 1 a 22 b 2 a 12, woraus x 1 = b 1a 22 b 2 a 12 a 11 a 22 a 21 a 12 folgt. Wir können erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner nach dem gleichen Prinzip aufgebaut sind. Deshalb führen wir für diese Ausdrücke ein neues Symbol ein: a 11 a 12 a 21 a 22 := a 11a 22 a 21 a 12. Dieses Symbol wird die Determinante der Matrix ( ) a11 a 12 a 21 a 22 genannt. Damit bekommt die Formel für x 1 die Form b 1 a 12 b 2 a 22 x 1 = a 11 a 12 a 21 a 22 In analoger Weise berechnen wir die zweite Komponente x 2 der Lösung. Um x 1 im Gleichungssystem zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit a 21 und die zweite mit a 11. Addieren wir die beiden so entstandenen Gleichungen, so erhalten wir (a 12 a 21 a 22 a 11 )x 2 = (b 1 a 21 b 2 a 11 ),

6 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 5 Benutzen wir unser neues Symbol, so folgt b 1 a 11 b 2 a 21 x 2 = a 12 a 11 a 22 a 21 Die beiden Nenner von x 1 und x 2 unterscheiden sich nur in der Reihenfolge der Spalten und durch das Vorzeichen. Aber wegen gilt a 11 a 22 a 21 a 12 = (a 12 a 21 a 22 a 11 ) a 11 a 12 a 21 a 22 = a 12 a 11 a 22 a 21, d.h. in Wirklichkeit sind die beiden Nenner die gleichen. Damit erhalten wir die Cramersche Regel für 2 Gleichungen und 2 Unbekannte: x 1 = b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 x 2 = a 11 b 1 a 21 b 2 a 11 a 12 a 21 a 22 Ausserdem halten wir die folgenden Eigenschaften fest: Vertauscht man zwei Spalten der Matrix, so dreht sich das Vorzeichen um. Vertauscht man zwei Zeilen der Matrix, so dreht sich das Vorzeichen um. Transponiert man die Matrix, so ändert sich der Ausdruck a 11 a 12 a 21 a 22 nicht.

7 KAPITEL 1. DETERMINANTEN Lineare Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen Wir fahren fort mit dem quadratischen linearen Gleichungssystem a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Um x 2 und x 3 zu eliminieren, multiplizieren wir die i-te Gleichung mit einem Skalar λ i K und addieren alle drei so erhaltenen Gleichungen. Für die Skalare λ 1, λ 2, λ 3 müssen dabei die folgenden Gleichungen gelten: a 12 λ 1 + a 22 λ 2 + a 32 λ 3 = a 13 λ 1 + a 23 λ 2 + a 33 λ 3 = Da wir vorausgesetzt haben, dass das ursprüngliche Gleichungssystem lösbar ist, muss dies auch für das obige Gleichungssystem gelten. Schreiben wir dieses System um in a 12 λ 1 + a 22 λ 2 = a 32 λ 3 a 13 λ 1 + a 23 λ 2 = a 33 λ 3 so können wir die Cramersche Regel für lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen anwenden und erhalten a 22 a 32 a 23 a 33 a 12 a 32 a 13 a 33 λ 1 = a λ 12 a 22 3 λ 2 = a 13 a 23 a λ 12 a 22 3 a 13 a 23 Dabei ist der Parameter λ 3 noch frei wählbar, wobei natürlich λ 3 sein muss, weil sonst keine Umformung des ursprünglichen Gleichungssystem stattfindet. Es ist zweckmässig, für λ 3 den Wert λ 3 = a 12 a 22 a 13 a 23 zu wählen, weil sich damit die Ausdrücke für λ 1 und λ 2 besonders einfach werden: λ 1 = a 22 a 32 a 23 a 33 λ 2 = a 12 a 32 a 13 a 33 Multiplizieren wir nun die ursprünglichen drei Gleichungen mit diesen drei Faktoren und addieren die so entstandenen Gleichungen, so werden die Unbekannten x 2 und x 3 eliminiert und wir erhalten für x 1 : a b 22 a 32 1 a 23 a 33 b 2 a 12 a 32 a 13 a 33 + b 3 a 12 a 22 a 13 a 23 x 1 = a a 22 a a 23 a 33 a 21 a 12 a 32 a 13 a 33 + a 31 a 12 a 22 a 13 a 23

8 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 7 Zähler und Nenner dieses Ausdrucks folgen wieder einem gemeinsamen Bildungsgesetz: Es wird die alternierende (d.h. mit wechselndem Vorzeichen) Summe der Produkte der Elemente in der ersten Spalte der Matrizen a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 mit den Determinanten derjenigen 2 2-Untermatrizen, welche durch Streichen der ersten Spalte und der fraglichen Zeile entstehen. Damit wir diesen Ausdruck etwas übersichtlicher schreiben können, müssen wir weitere Notation einführen. Definition 1.1 Sei A eine n n-matrix und seien 1 i, j, n. Die (n 1) (n 1)-Matrix A ij sei diejenige Untermatrix von A, welche aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Die Matrix A ij heisst eine Streichungsmatrix von A. Mit Hilfe dieser Definition lässt sich das obige Bildungsgesetz für eine 3 3-Matrix A = (a ij ) wie folgt beschreiben: a a 11 A 11 a 21 A 21 + a 31 A 31 = a 22 a a 23 a 33 a 21 a 12 a 32 a 13 a 33 + a 31 a 12 a 22 a 13 a 23 Wie zuvor bei 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten definieren wir nun die Determinante der Matrix A als a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 := a 11 A 11 a 21 A 21 + a 31 A 31 Damit lässt sich die erste Komponente x 1 der Lösung beschreiben durch b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 x 1 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Ganz entsprechend berechnet man die beiden anderen Komponenten. Zur Berechnung von x 2 multipliziert man die erste Gleichung mit A 12, die zweite mit A 22, die dritte mit

9 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 8 A 32 und addiert die drei so entstandenen Gleichungen. Man erhält so x 2 = b 1 A 11 + b 2 A 21 b 3 A 31 a 12 A 12 + a 22 A 22 a 32 A 32 Im Fall von 2 Gleichungen hatten sich die Nenner der beiden Lösungen als identisch mit A erwiesen. Dies gilt auch im jetzigen Fall: A = a 11 A 11 a 21 A 21 + a 31 A 31 a = a 22 a a 23 a 33 a 21 a 12 a 32 a 13 a 33 + a 31 a 12 a 22 a 13 a 23 = a 11 a 22 a 33 a 21 a 12 a 33 + a 31 a 12 a 23 a 11 a 32 a 23 + a 21 a 32 a 13 a 31 a 22 a 13 = a 12 a 21 a 33 + a 12 a 31 a 23 + a 22 a 11 a 33 a 22 a 31 a 13 a 32 a 11 a 23 + a 32 a 21 a 13 = a 12 A 12 + a 22 A 22 a 32 A 32 Für die letzte verbliebene Komponente x 3 wird analog verfahren. Insgesamt erhält man die Cramersche Regel für 3 Gleichungen und 3 Unbekannte: x 1 = b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 2 = a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 3 = a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

10 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 9 Wir halten wieder die folgenden Eigenschaften für Determinanten fest: Vertauscht man zwei Spalten der Matrix, so dreht sich das Vorzeichen um. Vertauscht man zwei Zeilen der Matrix, so dreht sich das Vorzeichen um. Mutlipliziert man eine Spalte oder eine Zeile mit einem Faktor λ, so multipliziert sich die Determinante ebenfalls um den Faktor λ. Transponiert man die Matrix, so ändert sich der Ausdruck a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 nicht Lineare Gleichungssysteme mit 4 Gleichungen Wir fahren fort mit dem quadratischen linearen Gleichungssystem a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 = b 3 a 41 x 1 + a 42 x 2 + a 43 x 3 + a 44 x 4 = b 4 Elimination von x 2, x 3 und x 4 mittels der Cramerschen Regel für 3 3-Systeme liefert x 1 = b 1 A 11 b 2 A 21 + b 3 A 31 b 4 A 41 a 11 A 11 a 21 A 21 + a 31 A 31 a 41 A 41 Dabei ist jede in der Formel auftauchende Determinante A ij die alternierende Summe von 6 Produkten aus 3 Matrixkoefffizienten. Rechnet man den Nenner dieses Ausdrucks vollständig aus, so erhält man also eine alternierende Summe von 24 Produkten aus je 4 Matrixkoefffizienten: a 11 A 11 a 21 A 21 + a 31 A 31 + a 41 A 41 = a 11 a 22 a 33 a 44 a 21 a 12 a 33 a 44 + a 31 a 12 a 23 a 44 a 41 a 12 a 23 a 34 a 11 a 32 a 23 a 44 + a 21 a 32 a 13 a 44 a 31 a 22 a 13 a 44 + a 41 a 22 a 13 a 34 a 11 a 42 a 23 a 34 + a 21 a 42 a 13 a 34 a 31 a 42 a 13 a 24 + a 41 a 32 a 13 a 24 a 11 a 22 a 43 a 34 a 21 a 12 a 43 a 34 + a 31 a 12 a 43 a 24 a 41 a 12 a 33 a 24 a 11 a 32 a 43 a 24 + a 21 a 32 a 43 a 14 a 31 a 22 a 43 a 14 + a 41 a 22 a 33 a 14 a 11 a 42 a 33 a 24 + a 21 a 42 a 33 a 14 a 31 a 42 a 23 a 14 + a 41 a 32 a 23 a 14

11 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 1 Diese alternierende Summe heisst die Determinante der Matrix A und wird mit a 11 a 12 a 13 a 14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 := a 11 A 11 a 21 A 21 + a 31 A 31 + a 41 A 41 a 41 a 42 a 43 a 44 bezeichnet. Damit ergibt sich x 1 = b 1 a 12 a 13 a 14 b 2 a 22 a 23 a 24 b 3 a 32 a 33 a 34 b 4 a 42 a 43 a 44 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 Entsprechende Formeln bekommen wir für die anderen Unbekannten x 2, x 3 und x 4.

12 KAPITEL 1. DETERMINANTEN Permutationen Definition 1.2 Sei n N und M = {1, 2, 3,..., n}. Eine bijektive Abbildung π : M M heisst eine Permutation von M. Für eine Permutation π schreiben wir ( ) n π =. π(1) π(2)... π(n) Die Menge aller Permutationen von M wird mit S n gekennzeichnet. Die Menge S n hat n! Elemente. Da jede Permutation π bijektiv ist, gibt es stets eine Umkehrabbildung π 1 von π. Zwei Permutationen σ und τ lassen sich hintereinander ausführen und ergeben dadurch eine neue Permutation π, geschrieben als Produkt π = στ. Dabei wird zuerst σ und danach τ ausgeführt. Die identische Permutation id ist gegeben durch ( ) n id = n Definition 1.3 Eine Permutation π S n heisst ein Zyklus der Länge t oder t-zyklus, wenn es t verschiedene Zahlen v 1,..., v t M gibt, so dass für alle 1 i n gilt: v k+1 falls i = v k und k t π(i) = v 1 falls i = v k und k = t i sonst Für einen t-zyklus schreibt man in diesem Fall π = (v 1,..., v t ). Zyklen der Länge 2 werden Transpositionen genannt. Für t-zyklen gelten die folgenden Eigenschaften: 1. (v 1,..., v t ) = (v t, v 1,..., v t 1 ) = = (v 2,..., v t, v 1 ) 2. (v 1,..., v t ) 1 = (v t, v t 1,..., v 1 ) 3. (v 1, v 2 ) 1 = (v 1, v 2 )

13 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 12 Beispiel 1.1 Es ist Beispiel 1.2 Es ist Beispiel 1.3 Es ist ( ) = (1324) ( ) = (132) ( ) = (13)(24) Satz 1.1 Jeder t-zyklus ist Produkt von t 1 Transpositionen. Beweis Es ist (v 1,..., v t ) = (v 1, v 2 )(v 1, v 3 )... (v 1, v t 1 )(v 1, v t ). Satz 1.2 Jede Permutation τ S n kann auf eindeutige Weise als Produkt paarweise elementefremder Zyklen geschrieben werden. Insbesondere ist jede Permutation ein Produkt von Transpositionen. Beweis Sei B(τ) = {i M τ(i) i} und sei b die Anzahl der Elemente von B. Der Beweis wird mittels vollständiger Induktion über b geführt. Für den Induktionsanfang b = folgt, dass B(τ) die leere Menge ist, d.h. es ist τ(i) = i für alle i M, d.h. τ ist die Identität und für diese gilt die Aussage des Satzes in trivialer Weise. Für den Induktionsschritt sei b >. Sei v 1 das kleinste Element aus B. Betrachte die endliche Menge {v 1, v 2 := τ(v 1 ), v 3 := τ(v 2 ),... }. Wähle ein minimales t M, so dass v t+1 {v 1,..., v t } gilt. Dann ist v t+1 = v 1, denn andernfalls wäre v t+1 = τ(v i ) für ein i < t und es würde τ(v t ) = v t+1 = τ(v i ) und somit v t = v i folgen, was der Minimalität von t widerspricht. Setze σ 1 = (v 1,..., v t ).

14 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 13 Nach Wahl von t ist τ(i) = σ 1 (i) bzw. σ1 1 τ(i) = i für 1 i t. Also ist insbesondere B(σ1 1 τ) = B(τ)\{v 1,..., v n }. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es paarweise elementefremde Zyklen σ 2,..., σ m, so dass sich σ1 1 τ schreiben lässt als σ1 1 τ = σ 2... σ m. Wegen B(σ1 1 τ) = B(τ)\{v 1,..., v n } sind die Zyklen σ 2,..., σ m auch elementefremd zu {v 1,..., v n } und wir haben insgesamt (nach Anwendung von σ 1 auf beiden Seiten der Gleichung) τ = σ 1 σ 2... σ m. Dies beweist den Satz. Beispiel 1.4 Es ist ( ) = (13245)(678) = (13)(12)(14)(15)(67)(68) Beispiel 1.5 Es ist ( ) = ( ) = (14)(16)(19)(13)(15)(18) Beispiel 1.6 Es ist ( ) = (156234)(789) = (15)(16)(12)(13)(14)(78)(79) Definition 1.4 Für eine Permutation π S n heisst das Signum von π. sign(π) = 1 i<j n π(i) π(j) i j Bemerkung. Das Signum lässt sich als Abbildung von S n nach Q auffassen. Wir werden nachfolgend zeigen, dass die Abbildung sign tatsächlich nur die Werte -1 und 1 annimmt. Satz 1.3 Für eine Transposition τ S n ist sign(τ) = 1.

15 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 14 Beweis Sei τ = (s, t). Dann ist sign(τ) = sign(s, t) = 1 i<j n i,j s i,j t i j i j 1 j n j s,t s j t j 1 i n i s,t i t i s s t t s. Das erste Produkt ist 1, die beiden mittleren Produkte zusammengenommen ergeben ebenfalls 1, während der letzte einzelne Faktor 1 ist. Damit folgt insgesamt sign(τ) = 1. Satz 1.4 Die Signum-Abbildung sign nimmt nur die Werte +1 und 1 an. Für jede Permutation π S n ist sign(π 1 ) = sign(π). Beweis Wir zeigen zuerst, dass für zwei Permutationen σ, τ S n gilt: sign(στ) = sign(σ) sign(τ) sign(στ) = 1 i<j n στ(i) στ(j) i j = 1 i<j n στ(i) στ(j) τ(i) τ(j) = sign(σ) sign(τ) 1 i<j n τ(i) τ(j) i j Da sich jede Permutation als Produkt von Transpositionen schreiben lässt und für für Transpositionen τ das Signum 1 ist, folgt, dass die Signum-Abbildung für eine beliebige Permutation die Werte +1 und 1 annimmt. Wegen ππ 1 = id und sign( id )= 1 folgt 1 = sign(id) = sign(ππ 1 ) = sign(π) sign(π 1 ), woraus sign(π 1 ) = sign(π) folgt, da das Signum nur die Werte +1 und -1 annehmen kann. Folgerung Jede Permutation π S n lässt sich entweder als Produkt von gradzahling vielen oder von ungradzahling vielen Transpositionen schreiben. Im ersten Fall heisst die Permutation gerade, im zweiten Fall ungerade. Das Signum einer geraden Permutation ist +1, das einer ungeraden Permutation ist 1.

16 KAPITEL 1. DETERMINANTEN Definition der Determinante Mit Hilfe des Signum-Abbildung können wir die Vorzeichenregel für die Bildung der Determinante formulieren: Der Ausdruck a π(1),1 a π(2),2 a π(n),n aus dem ersten Abschnitt dieses Kapitels hat genau das Vorzeichen sign(π). Definition 1.5 Die Determinante einer n n-matrix A = (a ij ) ist die folgende alternierende Summe von Produkten von Matrixkomponenten, die mit det(a) oder A bezeichnet wird: det(a) = A = π S n sign(π)a π(1),1 a π(2),2 a π(n),n. Für 2 2- und 3 3-Matrizen ergeben sich aus dieser Definition folgende Regeln zur Berechnung der Determinante (Sarrus-Regeln): Satz 1.5 Für eine 2 2-Matrix A = (a ij ) ist det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21. Satz 1.6 Für eine 3 3-Matrix A = (a ij ) ist det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32.

17 KAPITEL 1. DETERMINANTEN Rechenregeln für Determinanten Satz 1.7 Die Abbildung det : Mat(n n, K) K : A det(a) besitzt folgende Eigenschaften: 1. Entsteht die Matrix A aus A durch Multiplikation einer einzigen Spalte mit λ K, so gilt det(a ) = λ det(a). 2. Sind A, A, A Matrizen, die sich nur in der i-ten Spalte unterscheiden, und ist die i-te Spalte von A die Summe der i-ten Spalten von A und A, so gilt det(a ) = det(a) + det(a ). 3. Besitzt die Matrix A zwei gleiche Spalten, so ist det(a) =. 4. Besitzt die Matrix A eine Null-Spalte, so ist det(a) =. 5. Die Abbildung det ist antisymmetrisch bzgl. der Spalten, d.h. entsteht die Matrix A aus A durch Vertauschen zweier Spalten, so gilt 6. Für die Einheitsmatrix I n gilt det(a ) = det(a). det(i n ) = Es ist det(a T ) = det(a).

18 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 17 Beweis 1) Es ist det(a ) = π S n sign(π)a π(1),1 a π(2),2 a π(n),n = π S n sign(π)a π(1),1 a π(2),2... (λa π(j),j ) a π(n),n = λ π S n sign(π)a π(1),1 a π(2),2 a π(n),n = λ det(a). 2) Es ist det(a) = π S n sign(π)a π(1),1 a π(2),2 a π(n),n = π S n sign(π)a π(1),1 a π(2),2... (a π(j),j + a π(j),j ) a π(n),n = π S n sign(π)a π(1),1 a π(n),n + π S n sign(π)a π(1),1 a π(n),n = det(a ) + det(a ). 3) Seien die i-te und die j-te Spalte von A identisch. Sei τ S n die Transposition, die i und j vertauscht, also τ = (i, j). Dann gilt für jede beliebige Permutation π S n und Unterteilt man also die Summe a π(1),1 a π(2),2 a π(n),n = a πτ(1),1 a πτ(2),2 a πτ(n),n sign(π) = sign(πτ). π S n sign(π)a π(1),1 a π(2),2 a π(n),n in zwei Teile, nämlich allen geraden und allen ungeraden Permutationen, so sieht man, dass beide Teile gleich sind bis auf ein unterschiedliches Vorzeichen. Also folgt insgesamt det(a) =. 4) Ist etwa die erste Spalte v 1 von A = (v 1,..., v n ) der Nullvektor, so folgt aus Teil 3) = det(v 2, v 2,..., v n ) = det(v 1, v 2,..., v n ) + det(v 2, v 2,..., v n ) = det(v 1, v 2,..., v n ) = det(a). 5) Wir definieren drei neue Matrizen A, A und A. Die Matrix A entsteht aus A durch Ersetzen der i-ten Spalte durch die j-te Spalte. Die Matrix A entsteht aus A durch

19 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 18 Ersetzen der j-ten Spalte durch die i-te Spalte. Die Matrix A entsteht aus A durch Ersetzen der i-ten und der j-ten Spalte durch die ihre Summe. Diese drei Matrizen haben jeweils zwei gleiche Spalten und daher gilt: Wegen Teil 2) folgt det(a ) =, det(a ) =, det(a ) =. det(a ) = det(a ) + det(a ) + det(a) + det(a ), also = det(a ) + det(a) bzw. det(a) = det(a ). 6) Ausser für die identische Permutation id (die nichts permutiert), sind alle Summanden in der Determinanten-Summe Null. Deshalb ist det(i n ) = sign(id)1 1 = 1. 7) Es ist wegen sign(π 1 ) = sign(π) det(a T ) = π S n sign(π)a 1,π(1) a 2,π(2) a n,π(n) = π S n sign(π)a π 1 (1),1a π 1 (2),2 a π 1 (n),n = π S n sign(π 1 )a π 1 (1),1a π 1 (2),2 a π 1 (n),n = π S n sign(τ)a τ(1),1 a τ(2),2 a τ(n),n = det(a). Beispiel 1.7 Die Determinante einer der drei Typen von Elementarmatrizen lässt sich einfach bestimmen: Es ist nach Teil 1) 1 det(en i,λ ) = det... λ 1 = λ det = λ det(i n ) = λ.... 1

20 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 19 Es ist nach Teil 2), Teil 4) und Teil 7) λ det(en ij,λ ) = det = det(i n ) + det... 1 λ = 1 + = 1. Die Matrix E ij n = entsteht aus der Einheitsmatrix I n durch Vertauschen der i-ten mit der j-ten Spalte. Nach Teil 5) und Teil 6) ist daher det(e ij n ) = det(i n ) = 1.

21 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 2 Abschliessend untersuchen wir, wie sich die Zeilen- und Spaltenumformungen beim Gauss- Algorithmus auf die Determinante auswirken: Satz 1.8 Die Abbildung det : Mat(n n, K) K : A det(a) verhält sich bei den Spaltenund Zeilenumformungen des Eliminationsverfahrens von Gauss wie folgt 1. Bei Vertauschung zweier Zeilen (Spalten) multipliziert sich die Determinante mit Bei der Addition des Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile ändert sich die Determinante nicht. 3. Bei Multiplikation einer Zeile (Spalte) mit einem Faktor λ multipliziert sich die Determinante mit dem gleichen Faktor λ. Beweis Dies folgt sofort aus dem letzten Satz: Aussage 1) folgt aus Teil 4), Aussage 2) folgt aus den Teilen 1), 2) und 3), Aussage 3) folgt aus Teil 1). 1.5 Effektive Berechnung von Determinanten Satz 1.9 Sei A = (a ij ) eine n n-dreiecksmatrix. Dann ist det(a) = a 11 a 22 a nn. Beweis Sei A eine obere Dreiecksmatrix. Dann ist a ij = für i > j. Ein Produkt (π)a 1,π(1) a 2,π(2) a n,π(n) ist immer, ausser wenn π(k) k für alle 1 k n Dies ist aber nur für π = id der Fall. Also folgt det(a) = sign(id)a 11 a 22 a nn = a 11 a 22 a nn. Will man die Determinante einer 1 1-Matrix ausrechnen, so sind 1! = Produkte mit jeweils 1 Faktoren zu berechnen. Dies ergibt insgesamt =

22 KAPITEL 1. DETERMINANTEN Multiplikationen. Die Komplexität zur Berechnung der Determinante ist also sehr hoch. Andererseits ist das Berechnen der Determinante einer Dreiecksmatrix sehr gering. Dies legt es nahe, den Gauss-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Determinanten-Berechnung zu kombinieren. Nach Satz 1.6 wissen wir auch genau, was bei jedem Schritt des Gauss-Algorithmus mit der Determinante passiert. Man muss nur die Anzahl der Vertauschungen von Zeilen oder Spalten notieren, sowie das Multiplizieren einer Zeile oder Spalte mit einem skalaren Faktor λ. Die Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile beeinflusst die Determinante nicht. Beispiel 1.8 Zur Berechnung der Determinante der Matrix A = wenden wir den Gauss-Algorithmus an und protokollieren diejenigen Schritte, die die Determinante verändern: λ i2 x 1 x 2 x 3 x 4 c λ i4 x 1 x 2 x 3 x 4 c / /3 λ i3 x 1 x 2 x 3 x 4 c / / x 1 x 2 x 3 x 4 c /3 1 Da weder Zeilen- oder Spaltenvertauschungen, noch Multiplizieren einer Zeile mit einem Faktor verwendet wurde, sind die Determinanten der Ausgangsmatrix und der entstandenen Dreiecksmatrix gleich. Nach Satz 1.7 ist damit det(a) = 1 ( 3) 1 ( 1) = 3. Beispiel 1.9 Berechnung der Determinante der Matrix A = Anwendung des Gauss-Algorithmus liefert x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2 x 3 x

23 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 22 x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2 x 3 x /17 x 1 x 2 x 3 x / x 1 x 2 x 3 x Beim Übergang von Schema (1) zu (2) und von (3) zu (4) wurden jeweils zwei Zeilen vertauscht. Am Ende wurde die letzte Zeile mit 17 multipliziert. Also ergibt sich ( 1) ( 1) 17 det(a) = 1 ( 1) 17 ( 35), also det(a) = 35. Wir wollen nun die Formel aus dem ersten Teil dieses Kapitels nochmals aufnehmen und allgemein formulieren: Satz 1.1 Entwicklungssatz von Laplace. Für eine n n-matrix A = (a ij ) gilt 1. Entwicklung nach der i-ten Zeile von A: det(a) = ( 1) i+j a ij det(a ij ) j=1 2. Entwicklung nach der j-ten Spalte von A: det(a) = ( 1) i+j a ij det(a ij ) i=1 Satz 1.11 Produktsatz für Determinanten. Für n n-matrizen A und B gilt det(a B) = det(a) det(b).

24 row operation to the appropriate identity matrix. The matrix E is also denoted by A ij c, M i c, or P ij,respectively,fortheoperationsaddc times row j to i operation, multiply row i by c, and permute rows i and j, respectively. 2) The Row Reduction Theorem asserts that every matrix A can be row reduced to a unique row echelon reduced matrix R. Inmatrixform: ThereisauniquerowreducedmatrixR and some elementary E i with E p E 1 A R,orequivalently,A F 1 F p R where F i Ei 1 are also elementary. 3) AKAPITEL matrix A1. determines DETERMINANTEN a linear transformation: It takes vectors x and gives vectors Ax Restrictions All matrices must be square. Determinants are not defined for non-square matrices. 1.6 Geometrische Deutung der Determinante 3. Motivation Determinants Die Flächedetermine F eines Parallelogramms, whether a matrix has an inverse. They giveareasandplayacrucialrole in the change of variables formula in multivariable calculus. Let s compute the area of the parallelogram determined by vectors a b and c d.seefigure1. c a (a+c, b+d) b c (c, d) b d d c b (a, b) b (, ) a c Figure 1. The area is a c b d ab 2 1 2cd 2bc ab ad cb cd ab cd 2bc ad bc. welches durch zwei Vektoren v 1 = (a, b) Tentative definition: The determinant of T und v 2 = (c, d) a 2 by matrix T aufgespannt wird, kann berechnet durch is a b a b F = (a + c)(b + d) (2 1 det ad bc 2 ab) 2(1 cd) 2bc = ab + ad + cb + cd ab cd 2bc = ad bc. 2c d c d Dies entspricht genau der Determinante der Matrix which is the signed area of the parallelogram with sides determine by the rows of the matrix. Asimilarargumentforthesignedvolumeof ( theparallelepiped ) a c (box with parallel sides) whose sides are determined by vectors a b c, d e bf and d g h i shows a b c Entsprechendes gilt imd dreidimensionalen e f aei bfg und cdh auch höherdimensionalen gec hfa idb Räumen. Somit beschreiben Determinanten g h Flächen i und Volumina. Dies erlaubt es unter anderem, das Volumen im R n für n 4 einzuführen.

25 KAPITEL 1. DETERMINANTEN Weitere Anwendungen von Determinanten Wir wollen nun zu unserem Ausgangspunkt, dem Lösen linearer Gleichungssysteme, zurückkommen. Satz 1.12 Die Cramersche Regel. Sei A eine n n-matrix mit det(a). Dann ist jedes lineare Gleichungssystem Ax = b eindeutig lösbar und die j-te Komponente x j der Lösung x = (x 1,..., x n ) T lässt sich berechnen durch a b 1... a 1n... a n1... b n... a nn x j =, a a 1n.. a n1... a nn wobei b = (b 1,..., b n ) T ist. Beweis Sei B i die Matrix, die aus der Matrix A durch Ersetzen der i-ten Spalte durch den Vektor b entsteht. Seien a 1,....a n die Spaltenvektoren von A. Die Matrizengleichung ist gleichbedeutend mit der Gleichung Ax = b a 1 x a n x n = b. Ersetzt man also in der Matrix B j den Spaltenvektor b durch a 1 x a n x n, so können wir die Determinante von B j wie folgt berechnen (verwende dazu Satz 1.7, Teil 1 und 2): det(b j ) = x 1 det(a 1 ) +... x n det(a n ), wobei die Matrix A i aus A entsteht, indem die j-te Spalte a j durch die i-te Spalte a i ersetzt. Damit ist A j = A, weil hier a j durch a j ersetzt wird. Für i j besitzt A i zwei gleiche Spalten, nämlich an den Spalten i und j die Spalte a i. Nach Satz 1.7 ist damit für i j det(a i ) = und Damit folgt insgesamt det(a j ) = det(a). det(b j ) = x j det(a j ) = x j det(a).

26 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 25 Satz 1.13 Berechnung der inversen Matrix. Sei A eine n n-matrix mit det(a). Dann ist A invertierbar und für die inverse Matrix B = (b ij ) = A 1 von A gilt b ij = ( 1)i+j det(a ji ). det(a) Beweis Die j-te Spalte von A 1 ist wegen AA 1 = I n die Lösung X j des Gleichungssystems AX j = e j, wobei e j der j-te Einheitsvektor ist. Nach der Cramerschen Regel erhält man für die i-te Komponente b ij von X i : a a 1n... a j a jn... a n a nn b ij = a a 1n.. a n1... a nn Die im Zähler stehende Determinante ist ( 1) i+j det(a ji ), was aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz folgt. Im Nenner steht det(a). Satz 1.14 Für eine n n-matrix A gilt: Rang(A) = n det(a) Insbesondere sind die Zeilen (Spalten) der Matrix A genau dann linear unabhängig, wenn det(a) gilt. Beweis Sei Ā die nach dem Gauss-Algorithmus aus A entstandene obere Dreiecksmatrix. Es ist nach Satz 1.9 det(ā) = ā ā nn.

27 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 26 Ist Rang(A) = n, so sind die Pivot-Elemente ā 11,..., ā nn alle ungleich, also ist auch det(ā). Nach Satz 1.8 ist dann auch det(a). Ist umgekehrt det(a), so ist wieder nach Satz 1.8 auch det(ā). Also müssen alle Pivot-Elemente ā 11,..., ā nn alle ungleich sein, woraus Rang(A) = n folgt.

28 Kapitel 2 Eigenwerte und Eigenvektoren 2.1 Motivation Definition 2.1 Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und sei f : V V eine lineare Abbildung von V in V. Ein Vektor v, für den f(v) = λv für ein λ K gilt, heisst ein Eigenvektor der linearen Abbildung f zum Eigenwert λ. Definition 2.2 Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und sei A eine Matrix über K. Ein Vektor v, für den Av = λv für ein λ K gilt, heisst ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Bemerkung Die Lösung X des Pagerank-Problems P X = X ist ein Eigenvektor der linearen Abbildung f(v) = P v zum Eigenwert 1. Bemerkung Ein Eigenvektor v einer lineare Abbildung f wird also von f mit dem Faktor λ gestreckt (λ > 1) oder gestaucht ( < λ < 1) oder unverändert gelassen (λ = 1) und/oder in seiner Richtung umgekehrt (λ < ). 27

29 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 28 Eigenwerte und Eigenvektoren spielen in vielen Bereichen der Physik eine grosse Rolle. Auch in der Statistik gibt es Anwendungen (Cluster-Analyse, Hauptkomponenten- Analyse). Weniger nahe liegende Anwendungsbereiche gibt es in der Geologie und in der Bildverarbeitung, z.b. bei der Gesichter-Erkennung (Eigengesichter). Beispiel 2.1 Eigengesichter basieren auf einem Verfahren von Sirovich und Kirby, mit dem effizient Gesichter komprimiert und wiederhergestellt werden können. Das geschieht mit Hilfe einiger Hauptkomponenten aus der Hauptkomponentenanalyse. Die Hauptkomponenten sind dabei nichts anderes als Eigenvektoren einer speziellen Matrix. Dazu betrachtet man ein Bild als Folge von Helligkeitswerten eines Pixels. Hat ein Bild n Pixel, so kann dieses BIld als ein Vektor v R n betrachtet werden, wobei die Komponente v i den Helligkeitswert des Pixels Nummer i darstellt. Zuerst werden Trainingsbilder B 1,... B n der Gesichter eingelesen und in den entsprechenden Vektoren v 1,..., v n gespeichert. Aus dem Trainingsset wird nun ein Durchschnittsgesicht B gebildet, was durch den Vektor w repräsentiert wird: w = 1 n v i. i=1 Von jedem Bild B i wird nun ein Differenzgesicht D i gebildet, welches durch einen Vektor d i dargestellt wird: d i = v i w. Die aus diesen Spaltenvektoren d 1,..., d n gebildete Matrix wird mit D bezeichnet. Mit Hilfe der Differenzbilder wird eine sog. Kovarianzmatrix C erstellt: C = DD T. Die Eigenvektoren der Matrix C sind die Hauptkomponenten, die wegen ihres gesichtsähnlichen Aussehens von Turk und Pentland als Eigengesichter benannt wurden. Zwei Gesichter werden als gleich (ähnlich) angesehen, wenn sie die gleichen Eigenvektoren (Eigenwerte) haben. Das untenstehende Bild zeigt Beispiele von Eigengesichtern:

30 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 29 Beispiel 2.2 Unter dem Link findet man interaktive Anwendungen zur Illustration von Eigenwerten und Eigenvektoren. 2.2 Definitionen Definition 2.3 Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und sei f : V V eine lineare Abbildung von V in V. Für einen Eigenwert λ von f heisst die Menge U λ := {v V f(v) = λv} aller Eigenvektoren zum Eigenwert λ der Eigenraum von f zum Eigenwert λ. Satz 2.1 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und sei f : V V eine lineare Abbildung. Dann ist jeder Eigenraum U λ von f ist ein Unterraum von V. Die Dimension dim U λ von U λ heisst geometrische Multiplizität von λ.

31 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 3 Beweis Wir müssen zeigen, dass für u, v U λ die Summe u + v ebenfalls in U λ ist. Wegen f(u + v) = f(u) + f(v) = λu + λv = λ(u + v) ist dies aber der Fall. Ausserdem müssen wir nachweisen, dass für v U λ und µ K auch µv U λ ist. Dies folgt jedoch aus: f(µv) = µf(v) = µ(λv) = λ(µv). 2.3 Berechnung von Eigenwerten Ist f : V V : v f(v) = Av eine lineare Abbildung, die durch die quadratische n n-matrix A definiert ist, so gilt für einen Eigenvektor v zum Eigenwert λ f(v) = Av = λv bzw. (A λi n )v = Av λv =. Das bedeutet aber, dass der Eigenvektor v eine nichttriviale Lösung des homogenen linearen Gleichungssystem (A λi n )v = ist. Dies bedeutet, dass de Rang der Matrix A λi n kleiner als n sein muss, bzw. gelten muss. Ist det(a λi n ) = a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =..., a n1 a n2... a nn so lautet die obige Gleichung a 11 λ a a 1n a 21 a 22 λ... a 2n =.... a n1 a n2... a nn λ

32 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 31 Satz 2.2 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und sei f : V V : v f(v) = Av eine lineare Abbildung mit zugehöriger n n-matrix A. Dann gilt: 1. Ein Skalar λ K ist ein Eigenwert von f genau dann, wenn ist. det(a λi n ) = 2. Ein Skalar λ K ist ein Eigenwert von f genau dann, wenn λ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. p A (x) = det(a xi n ) = ( 1) n x n + c n 1 x n c Beweis Teil 1) wurde schon bewiesen, Teil 2) folgt nach Definition der Determinante und durch Einsetzen von λ in das charakteristische Polynom. Beispiel 2.3 Wir wollen alle Eigenwerte und Eigenvektoren der linearen Abbildung ( ) f : R 2 R : v f(v) = 3 1 bestimmen. Dazu berechnen wir zuerst das charakteristische Polynom p A (x) = det(a xi 2 ) = 2 x x = (2 x)(1 x) 2 3 = x2 3x 4 = (x 4)(x+1). Dieses Polynom hat die Nullstellen 4 und 1, d.h. 4 und 1 sind alle Eigenwerte von f. Wir bestimmen nun die Eigenräume von f zu diesen Eigenwerten. Wir beginnen mit dem Eigenraum U 1 zum Eigenwert 1. Dazu müssen wir alle Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems (2 ( 1) ( 1) ) ( ) x1 = x 2 ( ) ( ) x1 = x 2 ( ) berechnen. Der Rang der auftretenden Matrix ist 1, d.h. die Lösungsmenge hat Dimension 2 1 = 1. Dessen Lösungsmenge ist gerade der Eigenraum zum Eigenwert 1: { ( ) } {( )} 2 2 U 1 = t t R = Lin 3 3

33 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 32 Der Eigenraum U 4 zum Eigenwert 4 ist der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x1 2 2 x1 = = x 2 berechnen. Wieder ist der Rang der auftretenden Matrix 1, d.h. die Lösungsmenge hat erneut Dimension 2 1 = 1. Es ist { ( ) } {( )} 1 1 U 4 = t t R = Lin. 1 1 Drückt man die Matrix A der linearen Abbildung f nicht bezgl. der kanonischen Basis B 1 = {e 1, e 2 } aus, sondern über die beiden Eigenvektoren {( ) ( )} 2 1 B 2 =,, 3 1 so bekommt die zu f gehörige Matrix A die Gestalt ( ) A 1 =, 4 x 2 denn es ist ( ) ( ) 2 2 f( ) = 3 3 ( ) ( ) 1 1 und f( ) = Beispiel 2.4 Wir wollen alle Eigenwerte und Eigenvektoren der linearen Abbildung 2 f : R 3 R 3 : v f(v) = bestimmen. Dazu berechnen wir das charakteristische Polynom x 2 p A (x) = det(a xi 3 ) = 1 2 x x = x3 + 5x 2 8x + 4 = (x 1)(x 2) 2. Dieses Polynom hat die Nullstellen 1 und 2, d.h. 1 und 2 sind sämtliche Eigenwerte von f. Wir bestimmen nun die Eigenräume von f zu diesen Eigenwerten. Wir beginnen mit dem Eigenraum U 1 zum Eigenwert 1. Dazu müssen wir alle Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems x 1 x 2 x = x 1 x 2 x 3 =

34 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 33 berechnen. In der Gauss-Form hat obige Matrix die Form , d.h. der Rang der auftretenden Matrix ist 2 und somit hat die Lösungsmenge die Dimension 3 2 = 1. Die Lösungsmenge ist gerade der Eigenraum zum Eigenwert 1: 2 2 U 1 = t 1 t R = Lin Der Eigenraum U 2 zum Eigenwert 2 ist der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems 2 2 x x x 2 = 1 1 x 2 = x x 3 berechnen. In der Gauss-Form hat obige Matrix die Form 2 2, d.h. der Rang der auftretenden Matrix ist 1 und somit hat die Lösungsmenge die Dimension 3 1 = 2. Es ist 1 1 U 2 = s + t 1 s, t R = Lin, Drückt man die Matrix A der linearen Abbildung f nicht bezgl. der kanonischen Basis B 1 = {e 1, e 2, e 3 } aus, sondern über die drei Eigenvektoren 2 1 B 2 = 1,, 1, 1 1 so bekommt die zu f gehörige Matrix A die Gestalt 1 A = 2, 2

35 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 34 denn es ist f( 1 ) = 1 und f( ) = 2 und f( 1 ) = Beispiel 2.5 Wir wollen alle Eigenwerte und Eigenvektoren der linearen Abbildung ( ) f : R 2 R : v f(v) = 5 2 bestimmen. Dazu berechnen wir zuerst das charakteristische Polynom p A (x) = det(a xi 2 ) = 2 x x = ( 2 x)(2 x) 5 ( 1) = x Dieses Polynom hat keine reellen Nullstellen. Also hat die lineare Abbildung über dem Körper R der reellen Zahlen keine Eigenwerte und damit auch keine Eigenvektoren. Das Polynom hat aber die beiden komplexen Nullstellen i, i C. Dabei ist i C die imaginäre Einheit, für die i 2 = 1 gilt. Jede komplexe Zahl z C lässt sich eindeutig darstellen als z = a + bi, a, b R wobei a der Realteil und b der Imaginärteil von z genannt wird. Man rechnet mit komplexen Zahlen genauso wie mit den reellen Zahlen, wobei man nur i 2 = 1 beachten muss. Für z 1 = a + bi C und z 2 = c + di C ist und z 1 + z 2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i z 1 z 2 = (a+bi)(c+di) = ac+bci+adi+bdi 2 = ac+(bc+ad)i+bd( 1) = (ac bd)+(bc+ad)i. Satz 2.3 Fundamentalsatz der Algebra. Jedes Polynom p vom Grad n mit Koeffizienten aus C zerfällt über C in n Linearfaktoren: p(x) = (x c 1 )(x c 2 )... (x c n ). Die komplexen Zahlen c 1,..., c n müssen dabei nicht verschieden sein. Alles folgende gilt nur über dem Körper C der komplexen Zahlen. Wir bestimmen wieder die Eigenräume von f zu den Eigenwerten i und i. Wir beginnen mit dem Eigenraum U i zum

36 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 35 Eigenwert i. Dazu müssen wir alle Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems ( ) ( ) ( ) 2 i 1 x1 = 5 2 i berechnen. In der Gauss-Form hat obige Matrix die Form ( i ). x 2 Der Rang der auftretenden Matrix ist somt 1, d.h. die Lösungsmenge hat Dimension 2 1 = 1. Dessen Lösungsmenge ist der Eigenraum zum Eigenwert i: { ( ) } {( )} 2 i 2 i U i = t t C = Lin 5 5 Für den Eigenraum U i zum Eigenwert i müssen wir alle Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems ( ) ( ) ( ) 2 + i 1 x1 = i berechnen. In der Gauss-Form hat obige Matrix die Form ( i ). x 2 Der Rang der auftretenden Matrix ist somt 1, d.h. die Lösungsmenge hat Dimension 2 1 = 1. Dessen Lösungsmenge ist der Eigenraum zum Eigenwert i: { ( ) } {( )} 2 + i 2 + i U i = t t C = Lin 5 5 Drückt man die Matrix A der linearen Abbildung f nicht bezgl. der kanonischen Basis B 1 = {e 1, e 2 } aus, sondern über die beiden Eigenvektoren {( 2 i B 2 = 5 ), so bekommt die zu f gehörige Matrix A die Gestalt ( ) A i =, i denn es ist ( 2 i f( 5 ) ) = i ( ) 2 i 5 ( )} 2 + i, 5 ( 2 + i und f( 5 ) ) = i ( ) 2 + i. 5

37 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 36 Satz 2.4 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und sei f : V V eine lineare Abbildung. Dann hat f höchstens n verschiedene Eigenwerte. Beweis Da jeder Eigenwert Nullstelle des charakteristischen Polynoms p von f ist und der Grad von p genau n ist, und p damit höchstens n verschiedene Nullstellen haben kann, folgt sie Aussage des Satzes. Satz 2.5 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und sei f : V V : v f(v) = Av eine lineare Abbildung mit zugehöriger n n-matrix A. Sei p A (x) = det(a xi n ) = ( 1) n x n + c n 1 x n c das charakteristische Polynom von f. Dann ist die sog. Spur der Matrix A und ( 1) n 1 c n 1 = a 11 + a a nn c = det(a). Beweis Die Formel für c n 1 folgt aus der Summendarstellung (Definition) der Determinante, die Formel für c folgt aus c = p A () = det(a I n ) = det(a).

38 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 37 Definition 2.4 Sei f : V V eine lineare Abbildung mit charakteristischem Polynom p(x) = (x λ) r q(x), wobei λ keine Nullstelle vom Polynom q ist. Dann heisst r λ := r die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ. Satz 2.6 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und sei f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K ein Eigenwert von f. Dann ist die geometrische Vielfachheit g λ von λ kleiner gleich der algebraischen Vielfachheit r λ von λ. Beweis Sei m = g λ die Dimension des Eigenraumes Uλ. Wir wählen eine Basis {v 1,..., v m } von von U λ und ergänzen diese zu einer Basis B = {v 1,..., v m, v m+1,..., v n } von V. Wegen f(v i ) = λv i für alle 1 i m wird die lineare Abbildung bezüglich der Basis B durch die folgende Matrix A dargestellt: λ λ C λ A = λ D wobei die Matrix C genau m Zeilen hat. Damit bekommt das charakteristische Polynom,

39 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 38 p mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatz für Determinanten die Form x λ x λ C x λ p(x) = det(a xi n ) = x λ = (x λ) m det(d ) D Daraus folgt aber m = g λ r λ. Beispiel 2.6 Sei f : R 3 R 3 : v f(v) = Av eine lineare Abbildung, die durch eine Matrix 1 1 A = gegeben ist. Die Eigenwerte von f sind gegeben durch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms 1 x 1 p(x) = det(a xi n ) = 1 x 1 1 x = (1 x)3. Damit ist 1 der einzige Eigenwert von f. Die algebraische Vielfachheit r 1 dieses Eigenwertes ist r 1 = 3. Wir rechnen nun die geometrische Vielfachheit g 1 aus. Die Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind genau die Lösungen des linearen Gleichungssystems 1 x 1 Bx = (A 1 I n )x = 1 x 2 =. x 3 Die obige Matrix B hat den Rang 2, d.h. g 1 = dim U 1 = dim Lös((A 1 I n )x = ) = 3 Rang(B) = 3 2 = 1. In diesem Beispiel ist also die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 1 kleiner als dessen algebraische Vielfachheit.

40 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 39 Satz 2.7 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und sei f : V V eine lineare Abbildung. Sind λ 1,..., λ r K paarweise verschiedene Eigenwerte von f und sind v 1,..., v r Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten, so sind v 1,..., v r linear unabhängig. Beweis Da v 1,..., v r Eigenvektoren sind, sind diese vom Nullvektor verschieden. Wir bewiesen den Satz mittels vollständiger Induktion über r. Induktionsanfang: Für r = 1 gilt die Aussage, da v 1 ist. Induktionsschritt: Sei r > 2 und es gelte sie Aussage für r 1. Wir nehmen an, dass µ 1 v 1 + µ 2 v µ r v r =. für µ 1,..., µ r K gilt. Multipliziert man diese Gleichung mit λ r, so erhält man λ r µ 1 v 1 + λ r µ 2 v λ r µ r v r =. Wenden wir auf die erste Gleichung die lineare Abbildung f an, so folgt f(µ 1 v µ r v r ) = f(µ 1 v 1 ) + + f(µ r v r ) = λ 1 µ 1 v λ r µ r v r = f() =. Subtrahiert man diese Gleichung von der mittleren, so folgt µ 1 (λ r λ 1 )v µ r 1 (λ r λ r 1 )v r 1 + µ r (λ r λ r )v r =. Weil der letzte Summand gleich ist, folgt µ 1 (λ r λ 1 )v µ r 1 (λ r λ r 1 )v r 1 =. Da nach Induktionsvoraussetzung die Vektoren v 1,..., v r 1 linear unabhängig sind, und die Differenzen λ r λ i sind, folgt µ 1 = = µ r 1 =. Wegen v r ist dann aber auch µ r =. Also haben wir nachgewiesen, dass die Vektoren v 1,..., v r linear unabhängig sind.

41 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 4 Beispiel 2.7 In der untenstehenden Tabelle findet man nochmal alle Begriffe an Beispielen zusammengefasst. Satz 2.8 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und sei f : V V : v Dv eine lineare Abbildung, die von einer Dreiecksmatrix D beschrieben wird. Dann sind die Eigenwerte von f genau die Diagonalelemente d 11,..., d nn von D. Beweis Das charakteristische Polynom p von f wird durch Determinante der Dreiecksmatrix D xi n beschrieben. In deren Diagonale stehen die Komponenten Nach Satz 1.9 folgt damit d ii x. p(x) = det(d xi n ) = (d 11 x)(d 22 x)... (d nn x). Die Nullstellen dieses Polynoms sind gerade die Diagonalelemente d 11,..., d nn.

42 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN Diagonalisierung von Matrizen Sei B 1 = {a 1,..., a n } eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums V und f : V V eine lineare Abbildung. Bezüglich der Basis B 1 lässt sich die lineare Abbildung f mit einer n n Matrix A beschreiben. Sei x V und y = f(x) V, dann gilt bezüglich Basis B 1 Die Vektoren x = x B1 = x k a k und y = k=1 x 1. x n y k a k. k=1 und y B1 = sind die Koordinatenvektoren der Vektoren x und y. Für die Matrix A gilt a a 1n A =.. = (f(a 1 ) B1,..., f(a n ) B1 ), a n1... a nn y 1. y n wobei f(a k ) = a ik a i f(a k ) B1 =. i=1 a 1k a nk, k = 1,..., n. Die Matrix A ist auf die Basis B 1 bezogen. Nun soll eine neue Basis (b 1,..., b n ) in V gefunden werden, so dass die Matrix D der linearen Abbildung bezüglich der neuen Basis B 2 die Form λ 1... λ 2... D = λ n hat. Es gilt mit Daraus folgt D = (f(b 1 ) B2,..., f(b n ) B2 ). f(b k ) B2 = λ k.. f(b k ) = b b k 1 + λ k b k + b k b n = λ k b k.

43 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 42 Also ist b k ein Eigenvektor der linearen Abbildung f zum Eigenwert λ k. Die Basis B 2 besteht also aus Eigenvektoren. Beispiel 2.8 Wir bestimmen die Eigenwerte der linearen Abbildung f : V V bezüglich der Basis B 1 = {a 1, a 2, a 3 }. Die Matrix A sei 2 A = Wir lösen die charakteristische Gleichung λ 2 = det(a λi) = 1 2 λ 1 = ( λ)(2 λ)(3 λ). 3 λ Die Lösungen und somit die Eigenwerte sind λ 1 =, λ 2 = 2, λ 2 = 3. Die Diagonalmatrix D kann man somit sofort angeben: D = 2. 3 Als nächstes bestimmen wir die Eigenvektoren. Die Bestimmungsgleichung dafür ist Für λ 1 = gilt: (A λi)x B1 =. 2 x (A λ 1 I)x B1 = y =. 3 z x y z x y z Die Lösungen sind x = 2y, y R, z =. Der Eigenraum zu λ 1 = ist x B1 = y 1. Mit y = 1 erhalten wir den Eigenvektor: 2 b 1B1 = 1 b 1 = 2a 1 + a 2.

44 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 43 Für λ 2 = 2 folgt 2 2 x (A λ 2 I)x B1 = 1 1 y =. 1 z x y z x y z 1 1 Die Lösungen sind x =, y R, z =. Der Eigenraum zu λ 2 = 2 ist x B1 = y 1. Mit y = 1 erhalten wir den Eigenvektor: b 2B1 = 1 b 2 = a 2. Für λ 3 = 3 folgt 3 2 x (A λ 2 I)x B1 = y =. z x y z x y z Die Lösungen sind x = 2 3 z, y = 1 3 z, z R. Der Eigenraum zu λ 3 = 3 ist x B1 = 1 3 z 1. 3 Mit z = 3 erhalten wir zahlenmässig einen einfachsten Eigenvektor: 2 b 3B1 = 1 b 3 = 2a 1 + a 2 + 3a 3. 3 Die Matrix S hat als Spaltenvektoren die Koordinaten der Eigenvektoren b 1B1, b 2B1, b 3B1. Die Matrizen S und T = S 1 lauten somit: 2 2 S = (b 1B1, b 2B1, b 3B1 ) = 1 1 1, T = Zur Probe muss D = T AS gelten: =

45 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN Iterative Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Die Eigenwerte einer Matrix A können mit Hilfe des charakteristischen Polynoms p(x) = det(a xi n ) berechnet werden. Man berechnet dazu die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Auf dieser Basis arbeitende Algorithmen werden als direkte Verfahren bezeichnet. Für die numerische Lösung realistischer Eigenwertprobleme (für Dimension n > 1) ist der obige Ansatz nicht gut geeignet. Dieses Vorgehen verursacht selbst bei raffinierter Implementierung einen erheblichen Rechenaufwand. Das Hauptproblem liegt aber darin, dass die Polynomnullstellen ausserordentlich empfindlich gegenüber Störungen der Polynomkoeffizienten sein können. In diesem Abschnitt beschreiben wir ein Verfahren, wie sich Eigenwerte und Eigenvektoren numerisch berechnen lassen. Ziel dabei ist es, einen oder mehrere Eigenvektoren einer Matrix A und die dazu gehörigen Eigenwerte mit möglichst geringem Rechenaufwand zu approximieren. Definition 2.5 Für eine komplexe Zahl z = a + ib mit a, b R heisst die reelle Zahl der Betrag von z. z = (a 2 + b 2 ) Wir brauchen nun ein Mass für die Länge eines Vektors. Die Länge eines Vektors wird auch als Norm bezeichnet. Definition 2.6 Für einen Vektor v = (v 1,..., v n ) T R n, C n heisst die reelle Zahl die Norm von v. v = n v i 2 i=1

46 KAPITEL 2. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 45 Bemerkung Für K = R n, C n, v = (v 1,..., v n ) T K n und λ K ist λv = λ v. Nun sind wir in der Lage, ein erstes iteratives Verfahren zum Berechnen von Eigenwerten und Eigenvektoren anzugeben. Satz 2.9 Potenzmethode nach von Mises. Sei A eine n n-matrix über dem Körper K = R oder K = C. Die Matrix A besitze die komplexen Eigenwerte λ 1,..., λ n C mit λ 1 > λ 2 λ 3 λ n und den zugehörigen Eigenvektoren w 1,..., w n C n. Sei ein Vektor mit µ 1. Setze v = µ 1 w 1 + µ 2 w µ n w n K n v () := v und v (k+1) := Av (k) = A k+1 v für alle k N. Dann konvergiert die Folge v (k+1) v (k), k N gegen λ 1. Man verwendet für diesen Sachverhalt die Schreibweise v (k+1) lim k v (k) = λ 1. Zudem gilt lim k v (k) v (k) = ± w 1 w 1. Bemerkung Die Eigenwerte λ 1,..., λ n C ebenso wie die Vektoren w 1,..., w n C n müssen nicht unbedingt paarweise verschieden sein. Beweis Es ist für alle 1 i n und für alle k N Aw i = λ i w i A k w i = A k 1 (Aw i ) = A k 1 (λ i w i ) = λ i A k 1 w i.