Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung. Christopher Schael

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1 Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und. Ordnung

2 1.1.) Anleitung DGL der 1. Ordnung 1.) DGL der 1. Ordnung In diesem Abschnitt werde ich eine Anleitung zur Lösung von inhomogenen und homogenen Differentialgleichungen der 1. Ordnung vorstellen. Dazu müssen wir uns zunächst auf Notationen festlegen. Zunächst sei eine Differentialgleichung der 1. Ordnung mit y + a(x)y = b(x). Im Allgemeinen heißen solchen Differentialgleichungen linear. Diese Gleichung heißt homogen, falls b(x) = 0 und inhomogene Differentialgleichung falls b(x) = 0. Die Funktion b(x) wird häufig als Störfunktion bezeichnet. 1.1.) Anleitung (i) Finde ein y, welches die homogene Differentialgleichung (DGL) löst. Diese Lösung lässt sich häufig durch Trennung der Variablen finden. Alternativ kann auch eine Lösung durch y h = C e a(x)dx }{{} für ein C R ermittelt werden. =: f (x) (ii) Setze C(x) := C und differenziere die Lösung des homogenen Teils nach x, d.h. berechne: y h = x (C(X) f (x)). (iii) Setze nun y h und y h in die gegebene inhomogene Differentialgleichung ein und forme das Ergebnis nach C (x) um. (iv) Berechne C(x) = C (x)dx (v) Setze dies in y h = C(x) f (x) ein und erhalte so die allgemeine inhomogene Lösung. (vi) ist ein Anfangswertproblem (AWP) gegeben, so nutze dies um eine spezielle Lösung zu finden.

3 1..) Beispiel 1..) Beispiel 3 1..) Beispiel Es sei das AWP y + xy e x = x mit der Fixierung y(0) = 1 zu lösen. Dazu bringe die DGL in die allgemeine Form: y + xy = e x. (i) Berechne die homogene Lösung: Mit xdx = x haben wir y h = C e x (ii) Die Ableitung nach x: y h = C (x)e x xc(x)e x (iii) In die inhomogene DGL eingesetzt ergibt: e x + x = C (x)e x xc(x)e x + xc(x) e x ( ) C (x) = e x + x e x = 1 + xe x = C (x)e x (iv) Integration liefert: C (x)dx = 1 + xe x = 1 ex + x + c (v) Setze dies in y h ein: y h = ( 1 e x + x + c) e x = 1 + (c + x)e x (vi) AWP y(0) = 1 liefert: 1 = 1 + (c + 0)e 0 = 1 + c c = 1 ( ) Damit ergibt sich die spezielle Lösung: y = x e x

4 .1.) Anleitung DGL der. Ordnung.) DGL der. Ordnung 4 In diesem Abschnitt werden wir uns der Lösung von Differentialgleichungssystemen (DGS) der zweiten Ordnung zuwenden. Dazu müssen wir uns zunächst wieder auf ein paar Begrifflichkeiten einigen. Es sei das DGS y + ay + by = f (x) gegeben. Diese Gleichung heißt homogen, falls f (x) = 0 und inhomogen, falls f (x) = 0..1.) Anleitung (i) Löse den homogenen Teil (a) Berechne die Nullstellen λ 1 und λ des charakteristischen Polynoms χ(λ) = λ + aλ + b (b) Wähle einen Lösungsansatz aus folgender Tabelle: λ 1 = λ, λ 1, λ R λ 1 = λ, λ 1, λ R λ 1 = α + iβ, λ = λ 1 y 1 = e λ 1x y 1 = e λ 1x y 1 = e αx cos (βx) y = e λ x y = xe λ x y = e αx sin (βx) Tabelle (1): λ 1, λ sind Eigenwerte zu χ. (c) Allgemeine homogene Lösung ist y h = c 1 y 1 + c y. (ii) Zum lösen des inhomogenen Teils betrachte die Störfunktion f (x). (a) Je nach Darstellung der Störfunktion muss ein unterschiedlicher Ansatz gewählt werden, siehe dazu die folgende Tabelle. f (x) = δ = Ansatz für partikuläre Lösung (y p =) e αx α C x k e αx P(x) 0 x k R(x) P(x)e αk α x k R(x)e αx Asin(βx) + Bcos(βx)(=: z 1 ) ±βi x k (c 1 sin(βx) + c cos(βx)) P(x)Asin(βx) + Q(x)Bcos(βx)(=: z ) ±βi x k (R(x)sin(βx) + S(x) cos(βx)) z 1 e αx α ± βi x k (c 1 sin(βx) + c cos(βx)) e αx z e αx α ± βi x k (R(x)sin(βx) + S(x) cos(βx)) e αx Tabelle (): P(x), Q(x), R(x) und S(x) sind Polynome, wobei der gewählte Grad des Polynoms zu dem des gegebenen Polynoms gleich sein sollte. Die Konstanten c 1, c R und k = µ(δ), wobei µ die algebraische Vielfachheit von δ bezüglich χ bezeichnet. D.h. wie oft stimmt δ mit den Eigenenwerten λ 1 und λ überein?

5 ..) Beispiele..) Beispiele 5 (b) Bilde nun mithilfe dieser Lösungsansätze die partikuläre Lösung y p und berechne y p sowie y p. (c) Löse y p + ay p + by p = f (x), d.h. bestimme y p. Oft hilft hierbei die Trennung der Variablen, ein Koeeffizientenvergleich oder einfaches Auflösen nach Variablen. Diese Lösungstechniken müssen antrainiert werden. (d) Erstelle die partikuläre Lösung y p. (iii) Die Allgemeine Lösung der DGL lautet nun y = y h + y p. (iv) Ist ein AWP gegeben, so verwende dies um die übrigen Konstanten aus y h zu lösen. Bemerkung: cos( x) = cos(x) und sin( x) = sin(x). Daher wird oft der negative Eigenwert aus Tabelle?? von χ dem cos Term zugewiesen...) Beispiele..1.) y 4y + 4y = 0 Hierbei handelt es sich um eine homogene gewöhnliche Differentialgleichung der. Ordnung. (i) Löse λ 4λ + 4 = 0 λ 1 = λ = (ii) Nutze den zweiten Fall aus Tabelle 1. Dies liefert den Lösungsansatz: y = c 1 y 1 + c y = c 1 e x + c xe x, da keine weiteren Bedingungen angegeben sind, erhalten wir hierdurch die allgemeine Lösung der homogenen DGL. Die Lösungsmenge aller Lösungen lautet somit: (iii) Lösungsmenge: M Lös = { c 1 e x + c xe x c 1, c R }

6 ..) Beispiele..) Beispiele 6...) y + 3y 6y = xe x (i) Lösen des homogenen Systems (a) χ(λ) = λ + 3λ 6 = 0 λ 1 = ( ), λ = (b) Betrachte den Fall λ 1 = λ, λ 1, λ R und nutze: y 1 = e x 3+ 33, y = e x 33 3 (c) Allgemeine homogene Lösung ist: y h = c 1 e x ( 3+ ) (ii) Lösung des inhomogenen Teils, die Störfunktion ist f (x) = xe x, + c e x 33 3, c 1, c R (a) Wir haben hier ein Polynom vom Grad 1 als Produkt mit e ( 1)x, damit ist α = 1 = δ. D.h. wir betrachten den 3. Fall. Da 1 keine Nullstelle ist, ist die algebraische Vielfachheit von ( 1) : µ( 1) = 0 = k. Also nutzen wir den Lösungsanstaz R(x)e x mit einem allgemeinen Polynom vom Grad 1, d.h. wir können R(x) = A + Bx setzen. Wir rechnen also mit y p = (A + Bx)e x. (b) Damit ist y p = Be x (A + Bx)e x = Be x y p und y p = Be x y p = Be x + y p (c) Setzen wir dies in die Gleichung ein: Be x + y p + 3Be x 3y p 6y p = Be x 8y p = Be x 8Ae x 8Bxe x = xe x B 8A 8Bx = x Ein Koeffizientenvergleich liefert nun folgende zwei Gleichungen: B 8A = 0 und 8B = 1 d.h. B = 1 8 Setzen wir dies in die andere Gleichung ein, erhalten wir 8A = 8 1 A = 64 ( ) (d) y p = x e x (iii) Damit ist die Allgemeine Lösung: y = c 1 e x ( 3+ (iv) Die Lösungsmenge lautet also: {y c 1, c R} ) 33 + c e x 33 3 ( ) x e x

7 ..) Beispiele..) Beispiele 7..3.) y + y + y = 5 sin(x) mit y(0) = 1, y (0) = 0 (i) Homogene Lösung (a) χ(λ) = λ + λ + = 0 λ 1 = 1 + i, λ = λ 1 (b) Betrachte den Fall λ 1 = α iβ, λ = λ 1 und nutze: y 1 = e x cos(x), y = e x sin(x) (c) y h = c 1 e x cos(x) + c e x sin(x) (ii) Lösen der partikulären Lösung (a) Störfunktion: f (x) = 5 sin(x) d.h. wir betrachten den 4. Fall und erkennen, dass A = 5 und B = 0. Da keiner unser Eigenwerte gleich iβ ist, haben wir k = 0, wobei β =. Wir nutzen also den Ansatz: y p = c 1 sin(x) + c cos(x) (b) y p = (c 1 cos(x) c sin(x)) und y p = 4(c 1 sin(x) + c cos(x)) (c) Löse y p + y p + y p = 5 sin(x): 4(c 1 sin(x) + c cos(x)) + 4(c 1 cos(x) c sin(x)) + (c 1 sin(x) + c cos(x)) = cos(x)(4c 1 c ) sin(x)(c 1 + 4c ) = 5 sin(x) Ein Koeffizientenvergleich liefert nun: 4c 1 c = 0 und c 1 + 4c = 5 Damit erhalten wir B = 1 und A = 1 (d) Die partikuläre Lösung ist also: y p = 1 sin(x) + cos(x) (iii) Die allgemeine Lösung ist: y = 1 sin(x) + cos(x) + c 1e x cos(x) + c e x sin(x) (iv) AWP: y(0) = 1 liefert: 1 = c c 1 = 0 und y (0) = 0 liefert für y = cos(x) sin(x) c e x sin(x) + c e x cos(x) 0 = 1 + c c = 1 (v) Die spezielle Lösung lautet folglich: y = 1 sin(x) + cos(x) e x sin(x)

8 3..) DGL. Ordnung Übungsaufgaben 8 3.) Übungsaufgaben Beweisen Sie: Eine allgemeine Lösung einer gewöhnlichen homogenen Differentialgleichung der 1. Ordnung lässt sich durch y = C e a(x)dx finde. 3.1.) DGL 1. Ordnung (1.) y + y = C(x)e nx mit dem AWP y(0) = 1 und C(x) als Polynom vom Grad. (.) xy + my = x mit AWP y(1) = 1 für m = 1,..., 5 (d.h. hier sind 5 Aufgaben gegeben). 3..) DGL. Ordnung (1.) y + 3y 4y = xe x Bestimmen Sie die Lösungsmenge. { ( ) } Zur Probe: M Lös = x e x + c 1 e 4x + c e x c 1, c R (.) y y + 5y = 0 (3.) y y + 10y = 0 mit dem AWP y(0) = und y (0) = 0. (4.) y y + 5y = 5x 17x + 6 (5.) y y + 5y = (5x 7)e x cos(x) 1 1 Ich verweise auf folgende Internetreferenz für mehr Übungen und Lösungen: