I. Terme und Gleichungen (Seite 1)

Transkript

1 I. Terme und Gleichungen (Seite 1) Terme: Terme estehen us Zhlen und Vrilen, die durch Rechenzeichen verunden sind, z.b.: x + 1. Tritt in einem Term wie x (x 1) diesele Vrile mehrmls uf, so muss mn für sie jeweils diesele Zhl einsetzen. Treten in einem Term wie x² y + 4 verschiedene Vrilen uf, so dürfen für diese verschiedene, er uch die gleichen Zhlen eingesetzt werden. Rechengesetze für Terme: KlPoPuStri (für Terme mit verschiedenen Rechenrten) Kommuttivgesetz: + + Assozitivgesetz: ( + ) + c + ( + c) + + c ( ) c ( c) c Distriutivgesetz: ( + c) + c ( c) c Regeln zum Vereinfchen von Termen: (1) Bei Summen knn mn nur solche Summnden zusmmenfssen, ei denen gleiche Vrilen in jeweils gleichen Potenzen vorkommen (gleichrtige Terme). Beispiel: 4u²v + 7vu² 4u²v + 7u²v 11u²v () Regel (1) gilt uch für Differenzen, die mn stets ls Summen schreien knn. Beispiel: ( ) + ( ) + + () In Produkten knn mn gleiche Fktoren zu Potenzen zusmmenfssen. Beispiel: x y x 6 x x y 6x²y (4) Zwei Summen werden multipliziert, indem mn jeden Summnden der ersten Summe mit jedem Summnden der zweiten Summe multipliziert und die Produkte ddiert: ( + ) (c + d) c + d + c + d Beispiel: (x ) (y + 4) x y + x 4 y 4 xy + 4x y 1 Binomische Formeln: Für viele Anwendungen esonders wichtig sind die Produkte folgender esonderer Summen: 1. Binomische Formel: ( + )² ² + + ². Binomische Formel: ( )² ² + ². Binomische Formel: ( + ) ( ) ² ² Beispiele: 71² (70 + 1)² 70² ² (100 + ) (100 ) 100² ² Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

2 I. Terme und Gleichungen (Seite ) Äquivlenzumformungen: Gegeen ist die Gleichung: x + (x + 5) 10 sowie die Grundmenge Q (dies ist die Menge ller Zhlen, die für die Vrile x in die Gleichung eingesetzt werden dürfen). Die Gleichung ist jedoch nur für estimmte Zhlen erfüllt, wir nennen sie Lösungen der Gleichung. Die Menge L ller Lösungen einer Gleichung heißt ihre Lösungsmenge. Meist knn mn die Lösung nicht sofort erkennen, mn muss deshl die Gleichung umformen. Eine Umformung einer Gleichung, ei der sich die Lösungsmenge nicht ändert, heißt Äquivlenzumformung. Beispiel: Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung x + (x + 5) 10, die Grundmenge sei Q. x + (x + 5) 10 T 8x x 40 :8 x 5 L { 5} Bechte: - Üerprüfe stets, o ds Ergenis sinnvoll ist (insesondere ei Textufgen). - Bei komplizierten Termen solltest Du eine Proe durchführen. Setze hierzu die vermeintliche Lösung in die Ausgngsgleichung ein und üerprüfe, o Du eine whre Aussge erhältst. Gleichungen mit Formvrilen: Hst Du eine Gleichung mit mehreren Vrilen gegeen (z.b. x x + 6), so löst mn sie genu wie eine Gleichung mit nur einer Vrilen: Die nderen Vrilen nennt mn Formvrilen oder Prmeter und ehndelt sie wie Zhlen. Bechte: Wenn Du durch einen Prmeter dividierst, so musst Du vorher prüfen, dss er nicht gleich 0 werden knn! Eventuell musst Du eine Fllunterscheidung mchen! Beispiel: Löse die Gleichung: O ² + 4 (Oerfläche eines Quders) nch der Kntenlänge uf! O ² + 4 ² O ² 4 : 4 O 4 Diese Division ist möglich, d die Kntenlänge > 0 ist Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

3 I. Terme und Gleichungen (Seite ) Ungleichungen: Ungleichungen werden genu so gelöst wie Gleichungen mit folgender Ausnhme: Wenn eide Seiten mit einer negtiven Zhl multipliziert oder dividiert werden, so muss zugleich ds Kleiner- zw. Größerzeichen umgekehrt werden. Hierei ist esonders ei Prmeterufgen zu chten (Fllunterscheidung!). Produktgleichungen: Eine Gleichung wie (x ) (x + 9) 0 nennt mn Produktgleichung. D ein Produkt gleich 0 ist, wenn mindestens einer der Fktoren 0 ist, gilt hier: Die Lösungsmenge einer Produktgleichung esteht us llen Zhlen, für die der erste Fktor 0 wird, und us llen Zhlen, für die der zweite Fktor 0 wird. Beispiel: (x ) (x + 9) 0 1. Fktor: x 0 + x. Fktor: x x 9 : x 4,5 > Lösungsmenge: L { 4,5; }. Produktungleichungen: Ungleichungen der Form ( x) (x ) < 0 nennt mn Produktungleichungen. Zur Lösung ist zu echten: - Ein Produkt ist genu dnn größer ls 0, wenn eide Fktoren positiv oder eide Fktoren negtiv sind, d.h. wenn eide Fktoren gleiche Vorzeichen hen. - Ein Produkt ist genu dnn kleiner ls 0, wenn einer der Fktoren negtiv und der ndere positiv ist, d.h. wenn eide Fktoren verschiedene Vorzeichen hen. Jede elieige Ungleichung lässt sich uf die Form > 0 ringen. Hier: L {x x < oder x > } Beispiel: Löse die Ungleichung ( x) (x ) < 0. Zeichne hierzu uf dem Zhlenstrhl ein, wnn welcher Fktor negtiv und wnn er positiv ist. Die Lösungsmenge ist dnn der Teil des Zhlenstrhls, in welchem die eiden Fktoren unterschiedliche Vorzeichen hen Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

4 II. Linere Gleichungen und linere Funktionen (Seite 1) Funktion: Eine Funktion f ist eine Zuordnung, ei der jedem Element x einer Definitionsmenge genu ein Funktionswert f(x) zugeordnet wird. Die Definitionsmenge enthält hierei lle Werte, welche für x verwendet werden dürfen. Eine Funktion knn eschrieen werden durch einen Text, eine Funktionsvorschrift, eine Wertetelle oder einen Grphen. Der Grph esteht us llen Punkten P(x f(x)) in einem Koordintensystem. Beispiel: Text: Ein Mietuto kostet 75 für ein Wochenende und 0,45 pro Kilometer. Funktion f: Fhrstrecke x in km Mietpreis y in Funktionsvorschrift: Wertetelle: Grph: f: x 0,45 x + 75 oder f(x) 0,45 x + 75 f ist der Funktionsnme, x die Vrile, die rechte Seite enthält den Funktionsterm. f(50) nennt mn den Funktionswert von f n der Stelle 50. Proportionle Funktionen: Jede Funktion f: x m x mit m Q nennt mn eine proportionle Funktion. Der Grph einer solchen Funktion ist eine Gerde durch den Ursprung O(0 0) und den Punkt P(1 m). Der Fktor m heißt Steigung des Grphen. Ist m > 0, dnn wächst die Funktion. Ist m < 0, dnn fällt die Funktion. Ist m 0, dnn ist der Grph die x-achse. Linere Funktionen Beispiel: Gegeen ist die Funktion f: x 1,5 x +. Der Grph von f ist eine Gerde mit der Steigung 1,5, welche um nch oen verschoen ist, d.h. sie schneidet die y-achse n der Stelle Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

5 II. Linere Gleichungen und linere Funktionen (Seite ) Linere Funktionen Allgemein: Eine Funktion f: x m x + n mit m,n Q heißt linere Funktion. Der Grph einer lineren Funktion ist eine Gerde. Hierei heißt der Fktor m Steigung des Grphen. Der Summnd n git n, wo der Grph von f die y-achse schneidet, und wird dher ls y-achsenschnitt des Grphen ezeichnet. Bestimmung linerer Funktionen: ( ) Sind P x f ( x ) und ( ) ( ) P x f x zwei verschiedene Punkte uf dem Grphen der lineren Funktion f: x m x + n, dnn erhält mn die Steigung us dem Steigungsdreieck durch: m ( ) ( ) f x f x 1 x x 1. Den Achsenschnitt erhält mn nschließend durch Einsetzen des Punktes P 1 (oder P ) und Auflösen der Gleichung nch n. Beispiel: > ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f 1 m 4 f ( x) x + n 4 P 1 ( 1): ( ) 1 + n > 4 1 n > f ( x) x Linere Gleichungen und Funktionen: Eine Gleichung der Form x + c heißt linere Gleichung. Mn knn sie (ußer durch Rechnung) zeichnerisch lösen, indem mn den Grphen der lineren Funktion f: x x + zeichnet und liest, für welchen x- Wert mn den vorgegeenen y-wert c erhält. Beispiel: Löse x 4 5 zeichnerisch. > L {} Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

6 III. Prismen und Kreiszylinder Prism: Ein Prism wird von zwei deckungsgleichen n-ecken egrenzt, die zueinnder prllel sind, und von n Rechtecken (eim gerden Prism) zw. von n Prllelogrmmen (eim schiefen Prism). Die deckungsgleichen n-ecke stellen die Grundfläche und die Deckfläche dr. Die n Rechtecke (Seiten) ilden den Mntel. Volumen des Prisms: V G h mit G Grundfläche; h Körperhöhe Oerfläche des Prisms: O G + M mit Mntelfläche M U h Dreiseitiges Prism: Vierseitiges Prism: Sechsseitiges Prism: Spezilfälle: ) Quder: ) Würfel: c) Qudrtischer Quder: V c O + c + c V ³ O 6 ² V ² h O ² + 4h Zylinder: Ein Zylinder wird von zwei deckungsgleichen Kreisflächen egrenzt, die zueinnder prllel sind, und von einer gekrümmten Mntelfläche, die gewickelt ein Rechteck drstellt. Volumen des Zylinders: V π r² h Oerfläche des Zylinders: O πr² + π rh r Rdius des Grundkreises; h Höhe des Zylinders Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

7 IV. Systeme linerer Gleichungen (Seite 1) Linere Gleichung mit zwei Vrilen: Eine Gleichung der Form x + y c ( und nicht gleichzeitig 0) heißt linere Gleichung mit zwei Vrilen x und y. Es gilt: 1. Jede Lösung esteht us einem Zhlenpr (x y).. Es git unendlich viele Lösungen.. Die grphische Drstellung der Lösungsmenge ist eine Gerde. Die Steigung und den y-achsenschnitt erhält mn, indem mn oige Gleichung nch y uflöst. Wiederholung: Linere Funktion Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift x mx + heißt linere Funktion. Die Funktionsgleichung lutet: f(x) mx + oder y mx + und eschreit eine Gerde. Hierei ist m die Steigung der Gerden und der Achsenschnitt. Wir zeichnen eine linere Funktion folgendermßen: 1. Trge uf der y-achse den Achsenschnitt ein.. Von dort us gehen wir eine Einheit nch rechts (prllel zur x- Achse) und m Einheiten nch oen (prllel zur y-achse). Lineres Gleichungssystem mit zwei Vrilen: Zwei linere Gleichungen mit zwei Vrilen nennt mn ein lineres Gleichungssystem. Ein lineres Gleichungssystem (LGS) der Form x + y c x + y c knn genu eine Lösung oder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hen Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

8 IV. Systeme linerer Gleichungen (Seite ) Verfhren zur Lösung eines LGS mit zwei Vrilen: ) Grphische Lösung: Jede linere Gleichung entspricht einer Gerden. Zeichnet mn nun die eiden zum Gleichungssystem gehörenden Gerden, so git es folgende Möglichkeiten: 1.) Die Gerden schneiden sich. > Ds LGS ht genu eine Lösung..) Die Gerden sind prllel. > Ds LGS ht keine Lösung..) Die Gerden sind identisch. > Ds LGS ht unendlich viele Lösungen. ) Ds Gleichsetzungsverfhren: 1. Forme die eiden Gleichungen so um, dss uf einer Seite ds Gleiche steht.. Setze die nderen Seiten gleich.. Löse die neue Gleichung. 4. Setze die Lösung in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. 5. Proe: Setze die Lösung in die ndere Gleichung ein. Beispiel: x + y 5 x + y > x + y 5 x x + y + x > y x + 5 y x + Gleichsetzen > x + 5 x + + x > 5 x + > x : > x 1 Einsetzen der Lösung in die erste Gleichung: 1 + y 5 > y > Lösung: L {(1 )} Proe (Einsetzen in zweite Gleichung): 1 + stimmt! Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

9 IV. Systeme linerer Gleichungen (Seite ) c) Ds Einsetzungsverfhren: 1. Forme eine der eiden Gleichungen so um, dss Du sie für eine Vrile der nderen Gleichung einsetzen knnst.. Setze diese Gleichung ein.. Löse die neue Gleichung. 4. Setze die Lösung in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. 5. Proe: Setze die Lösung in die ndere Gleichung ein. Beispiel: x + y 5 x + y > x + y 5 x + y + x > x + y 5 y + x Setzen oen ein > x + + x 5 T > x + 5 > x : > x 1 Weiter wie ei ) d) Ds Additionsverfhren: 1. Forme die Gleichungen so um, dss ei ihrer Addition eine Vrile wegfällt.. Addiere die eiden Gleichungen.. Löse die neue Gleichung. 4. Setze die Lösung in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. 5. Proe: Setze die Lösung in die ndere Gleichung ein. Beispiel: 5x + y 1 x 8 y 7 > 5x + y 1 x 8 y 7 ( 5) > 15x + 9 y 6 15x + 40 y 5 Addition > 0x + 49y 98 : 49 > y Einsetzen der Lösung in die erste Gleichung: 5x : 5 > x > Lösung: L {( )} Proe (Einsetzen in zweite Gleichung): 8 7 stimmt! Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

10 IV. Systeme linerer Gleichungen (Seite 4) Anwendungen: Zum Lösen einer Textufge sind folgende Schritte durchzuführen: 1. Belege die gesuchten Größen mit Vrilen x und y.. Stelle nhnd der Aufgenstellung die Gleichungen uf.. Löse ds linere Gleichungssystem mit der geeignetsten Methode. 4. Gi ds Ergenis n und üerprüfe, o es sinnvoll ist. Beispiel: Sndr: Ich he 1,7 ml so viele Mitschülerinnen wie Mitschüler. Dirk: Ich he doppelt so viele Mitschülerinnen wie Mitschüler. Wie viele Schülerinnen und Schüler sind in der Klsse? Lösung: Anzhl der Mädchen: x, Anzhl der Jungen: y Sndr ht x 1 Mitschülerinnen und y Mitschüler. Dirk ht x Mitschülerinnen und y 1 Mitschüler. Gleichung nch Sndrs Aussge: x 1 1,7y Gleichung nch Dirks Aussge: x (y 1) LGS: x 1 1,7 y x ( y 1) > x 1 1,7 y x ( y 1) Setzen oen ein > (y 1) 1 1,7y T y 1 1,7y + 1,7 y > 0,y : 0, > y 10 Einsetzen der Lösung in die zweite Gleichung: x (10 1) T > x 18 > Lösung: L {(18 10)} Proe: 1. Einsetzen in erste Gleichung: ,710 stimmt!. Die Lösungen sind ntürliche Zhlen, ws lut Aufgenstellung notwendig ist. > Die Klsse ht 18 Schülerinnen und 10 Schüler Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

11 IV. Systeme linerer Gleichungen (Seite 5) Lineres Gleichungssystem mit drei Vrilen: Ein Gleichungssystem der Form: x + y + c z d x + y + c z d x + y + c z d heißt lineres Gleichungssystem mit drei Vrilen. Es knn genu eine Lösung oder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hen. Verfhren zur Lösung eines LGS mit drei Vrilen: Bei der Lösung dieses LGS verwendet mn den Guß-Algorithmus. Ziel ist es, ds LGS uf eine möglichst einfche Form ( Dreiecksform ) zu ringen. Hierei sind folgende Umformungen erlut: 1. Mn knn eine Gleichung mit einer Zhl ( 0) multiplizieren.. Mn knn eine Gleichung durch die Summe us ihr und einer nderen Gleichung ersetzen. Ansonsten geht mn ähnlich vor wie eim Additionsverfhren: 1. Mn ehält eine Gleichung ei und eliminiert in den eiden nderen Gleichungen eine Vrile.. Ddurch entsteht ein lineres Gleichungssystem mit zwei Vrilen, ds mn uf ewährte Art lösen knn.. Ds Ergenis üerprüft mn nhnd von llen drei Gleichungen. Crl Friedrich Guß * , Brunschweig , Göttingen Crl Friedrich Guß wr deutscher Mthemtiker, Astronom und Physiker. Guß wird oft ls mthemtisches Wunderkind drgestellt mit der Anekdote, dss er in der Schule die Aufge ekm, die ersten hundert ntürlichen Zhlen zu ddieren, dmit der Lehrer sich den nderen Kindern widmen konnte. Guß wr sehr schnell fertig, denn er htte erknnt, dss die Summe us 50 Summnden der Größe 101 geildet werden konnte, d die größte und die kleinste Zhl ddiert 101 ergeen, genuso wie die zweite und die zweitletzte Zhl, und so weiter. Ds Ergenis ist lso Schon mit 4 Jhren glt Guß ls einer der führenden Mthemtiker seiner Zeit. Guß reitete lnge m Fundmentlstz der Alger, den er dnn in seiner Disserttion präsentierte. Er legte uch die Grundlgen der nichteuklidischen Geometrie. 180 wurde er mit der Vermessung des Königreiches Hnnover etrut, worus ds Werk Untersuchungen üer Gegenstände der höheren Geodäsie entstnd. Ds wissenschftliche Werk von Guß ht schon zu seinen Lezeiten höchste Bewunderung erweckt Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

12 IV. Systeme linerer Gleichungen (Seite 6) Beispiel: Lineres Gleichungssystem mit drei Vrilen 6x 4 y + z 16 x y + z 5 x y + 4z 1 1. Schritt: Wir formen die. und. Gleichung so um, dss ei der Addition mit der 1. Gleichung eine Vrile wegfällt.. Schritt: Anschließend ersetzen wir die. (.) Gleichung durch die Summe us der 1. und der. (.) Gleichung.. Schritt: Nun multiplizieren wir die dritte Gleichung mit Schritt: Wir ersetzen die. Gleichung durch die Summe us der. und der. Gleichung. 5. Schritt: Wir dividieren nun die dritte Gleichung durch und erhlten z. 6. Schritt: Jetzt setzen wir z in die zweite Gleichung und erhlten y. 7. Schritt: Mit y und z ergit sich dnn us der ersten Gleichung x. 6x 4 y + z 16 x y + z 5 ( 6) x y + 4z 1 ( ) 6x 4 y + z 16 6x + 1 y 6z 0 I + II 6x + y 8z 4 I + III 6x 4 y + z 16 8y z 14 y 5z 8 4 6x 4 y + z 16 8y z 14 8y 0z II + III 6x 4 y + z 16 8y z 14 z 46 : ( ) 6x 4 y + z 16 8y z 14 z z 6x 4 y + z 16 y 1, z y 1 z > L {(1-1 })} x 1 y 1 z Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

13 V. Reelle Zhlen Rechnen mit Qudrtwurzeln (Seite 1) Qudrtwurzel: Gegeen sei eine Zhl 0. Flls mn ls Qudrt einer nicht-negtiven Zhl schreien knn, d.h. ², so heißt die Qudrtwurzel us. Mn schreit:. Den Term liest mn: Wurzel us. Die Zhl unter dem Wurzelzeichen heißt Rdiknd. Ds Bestimmen der Qudrtwurzel heißt Wurzelziehen (Rdizieren). Die irrtionlen Zhlen I: Es git Zhlen, die mn nicht ls rtionle Zhlen drstellen knn, eispielsweise. Beweis durch Widerspruch (Indirekter Beweis): (1) Angenommen: sei rtionl, d.h. p mit teilerfremden gnzen Zhlen p und q. q > ist ls gekürzter Bruch drstellr. () p² q² () q² p² (4) p² ist durch teilr. > pp ist durch teilr. D keine Qudrtzhl ist, folgt: (5) p ist durch teilr. > p ist eine gerde Zhl. (6) Definieren p r, setzen dies in () ein. (7) q² 4r² > q² r² (8) q² ist durch teilr. (9) q ist durch teilr. > Auch q ist eine gerde Zhl. (10) Widerspruch von (5) und (9) zu Annhme (1), d p und q teilerfremd sein sollen. p > ist kein gekürzter Bruch, lso wr die Annhme flsch. > ist nicht rtionl. q Der vorstehende Beweis stmmt us dem 10. Buch der Elemente von Euklid und wird deshl oftmls ls Beweis des Euklid ezeichnet Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

14 V. Reelle Zhlen Rechnen mit Qudrtwurzeln (Seite ) Euklid lete in Griechenlnd und Alexndrien. Üer sein Leen ist fst nichts eknnt. Euklids Ruhm siert uf dem us 1 Bänden estehenden Werk Die Elemente. Dieses ehndelt für die Zeit umfssend die Geometrie, die Proportionenlehre, Ähnlichkeit von Figuren, Zhlentheorie, inkommensurle Strecken und Stereometrie. Euklid * c. 5 v. Chr. + c. 65 v. Chr., Alexndri Intervllschchtelung: Mn ezeichnet eine Folge von Intervllen ls Intervllschchtelung, wenn: 1. jedes Intervll in dem vorherigen liegt,. die Längen der Intervlle immer kleiner werden, und. die gesuchte Zhl in jedem Intervll liegt. Hierdurch lässt sich jede Zhl elieig genu estimmen. Heron-Algorithmus: Ds eknnteste Verfhren zur näherungsweisen Bestimmung von Qudrtwurzeln stmmt von Heron und wird deshl Heron-Algorithmus gennnt. Gesucht:. Bestimmung mit dem Heron-Algorithmus: Der Strtwert x 0 (ls 1. Näherung) knn elieig gewählt werden. Beispiel: Wir estimmen 7. Als Strtwert verwenden wir, d ² 9 näher ei 7 liegt ls ² 4. Schritt 1. Näherung. Näherung Neue 1. Näh. Intervlllänge n x n y n x n x xn + yn n + 1 y n x n 0 1 / / 0, /,65,6458 0, ,6458, , , , , , , > 7, Heron * c. 10, Alexndri + c. 75 Heron wr griechischer Mthemtiker und Nturforscher. Er erfnd den Heronsll (eine Art Spritzflsche) und stellte Regeln für die Bereiche Vermessungskunde, Mechnik und Pneumtik uf. Er entwickelte uch ein Verfhren zur Bestimmung von Qudrtwurzeln Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

15 V. Reelle Zhlen Rechnen mit Qudrtwurzeln (Seite ) Die reellen Zhlen R: Zhlen, die sich durch nicht rechende nicht periodische Dezimlrüche drstellen lssen, heißen irrtionle Zhlen. Rtionle und irrtionle Zhlen ilden zusmmen die Menge der reellen Zhlen R. Beispiel: Die Kreiszhl π ( Pi ) ist irrtionl. Die genueste Bestimmung erfolgte von Septemer is Dezemer 00 nch 600 Stunden Rechenzeit durch einen Computer mit 1 TB Areitsspeicher und lieferte Stellen (nicht rechend und ohne Periode!). Menge der ntürlichen Zhlen: N {1,,, 4,...} Menge der gnzen Zhlen: Z {0, 1, -1,, -,...} Q { Menge der rtionlen Zhlen: z z Z, n N} n Menge der reellen Zhlen: R Q I Rechengesetze für die reellen Zhlen: Seien hierzu,, c R. Kommuttivgesetz: + + Assozitivgesetz: + ( + c) ( + ) + c ( c) ( ) c Distriutivgesetz: ( + c) + c Monotoniegesetze: < > + c < + c < und c > 0 > c < c < und c < 0 > c > c Wurzelziehen und Qudrieren: Unterscheide: Bei der Gleichung x² ist die Lösungsmenge: L {x, -x} {, }... die Wurzel: x mit x 0. ist hierei immer positiv oder 0, d mn eim Qudrieren keine negtiven Werte erhlten knn! Es estehen folgende Zusmmenhänge: 1. Für 0 gilt: ( ).. Für lle gilt: ² Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

16 V. Reelle Zhlen Rechnen mit Qudrtwurzeln (Seite 4) Beispiele: ( 6) 6 6 5x²y² ( 5xy) 5xy 5 xy 9x² + 7x ( x + 1) x + 1 x + 4 ( 4x ) 4x für x 0 ( x ) x für x 0 Multiplizieren und Dividieren: Für, 0 gilt: 1. Multipliktionsregel:. Divisionsregel: für 0 Beispiele: y y³ y y² für y ² für > 0 ² ² v³ 5 v² v 5v² v 5v v für v Addieren und Sutrhieren: Für lle x, y und 0 gilt: x + y ( x + y) x y ( x y) Beispiele: Wir wissen: 1,414. Wir wollen nun möglichst einfch erechnen: 7 + (7 + ) 10 14,14 ( 5 + ) 5 + ( ) 5 + 7,07 + 9,07 ( 8 + ) 8 + ( ) Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

17 Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim V. Reelle Zhlen Rechnen mit Qudrtwurzeln (Seite 5) Rtionlmchen des Nenners: Ds Rechnen mit Wurzeltermen ist häufig einfcher, wenn mn Wurzeln im Nenner durch Erweitern der Brüche entfernt: ( ) 0 für > ( ) ( ) ( ) 0 und ² für ² ( ) ( ) ( ) 0 und für, Beispiele: ( ),11 1,414 ( ) ( ) ( ) 0,68 1,7 4 ² ( ) ( ) ( ),146 1,414 1,

18 V. Reelle Zhlen Rechnen mit Qudrtwurzeln (Seite 6) Wurzelgleichungen: Eine Gleichung wie x + 5x 1 5 nennt mn Wurzelgleichung. Zur Lösung geht mn wie folgt vor: 1. Forme die Gleichung so um, dss eine Wurzel llein uf einer Seite der Gleichung steht.. Qudriere eide Seiten der entstndenen Gleichung.. Löse die neue Gleichung. 4. Führe eine Proe in der Ausgngsgleichung durch. Beispiel: Löse die Gleichung: x x! Es muss gelten: x 8,5, d der Rdiknd positiv sein muss x x 17 x x 1 17 x (x 1)² 17 x x² x x 1 16 x² 1 Qudrieren T > Mögliche Lösungen : x 4 oder x 4 Proe: Ist whr? Ist ( 4) 4 whr? > Die Aussge ist whr > 4 ist Lösung der Gleichung ( 4) 1 + > Die Aussge ist flsch > 4 ist nicht Lösung der Wurzelgleichung! > Lösungsmenge: L {4}. Bechte: Ds Qudrieren stellt keine Äquivlenzumformung dr! Hierei können zusätzliche Lösungen hinzukommen, die sich ei der Proe ls flsch erweisen! Zwr gilt: > ² ², er: Es gilt nicht: ² ² >, denn zum Beispiel: ² ( )², er Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

19 VI. Die Stzgruppe des Pythgors Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck: Mn nennt die dem rechten Winkel gegenüerliegende Seite die Hypotenuse, die eiden nderen Seiten die Ktheten des Dreiecks. Die Höhe zur Hypotenuse zerlegt diese in zwei Hypotenusenschnitte. Kthetenstz des Euklid: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist ds Qudrt üer einer Kthete flächeninhltsgleich zu dem Rechteck us der Hypotenuse und dem zur Kthete gehörenden Hypotenusenschnitt: ² c p und ² c q Stz des Pythgors: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhlt des Hypotenusenqudrtes gleich der Summe der Flächeninhlte der eiden Kthetenqudrte: ² + ² c² Umkehrung des Stzes des Pythgors: Wenn in einem Dreieck mit den Seiten,, c gilt: ² + ² c², dnn ist ds Dreieck rechtwinklig mit der Hypotenuse c. Höhenstz des Euklid: Für jedes rechtwinklige Dreieck gilt: Ds Qudrt üer der Höhe ist flächengleich zum Rechteck us den eiden Hypotenusenschnitten: h² p q Pythgors von Smos wr griechischer Mthemtiker und Astronom. Er egründete im süditlienischen Kroton eine philosophische Schule, in welcher er sich vor llem mit mthemtischen Frgen der Geometrie und der Zhlenlehre useinnder setzte. Der nch ihm ennnte Stz wr ereits viele Jhrhunderte vor ihm nderen Kulturen eknnt, so eispielsweise den Byloniern. Pythgors von Smos * c. 569 v. Chr., Smos + c. 475 v. Chr., Metpont Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

20 VII. Ähnliche Figuren Strhlensätze (Seite 1) Ähnlichkeit: Definition: Längenverhältnis Beim Vergleich zweier Längen und ezeichnet mn den Quotienten : ls Längenverhältnis. Den Quotienten : liest mn dnn uch: zu. : : liest mn: verhält sich zu wie zu. Bechte: Bei der Bestimmung des Längenverhältnisses müssen und die gleiche Mßeinheit hen! Mn schreit oftmls sttt dem Quotienten : den entsprechenden Bruch /. Definition: Ähnlichkeit Zwei Vielecke F und G heißen ähnlich zueinnder (in Zeichen: F ~ G), wenn sich ihre Eckpunkte so einnder zuordnen lssen, dß (1) die entsprechenden Winkel gleich groß sind und () mn lle Seitenlängen des Vielecks G durch Multipliktion der entsprechenden Seitenlängen des Vielecks F mit derselen positiven Zhl k erhält. Mn nennt k den Ähnlichkeitsfktor. Stz üer die Längenverhältnisse ei ähnlichen Vielecken: (1) Wenn zwei elieige Vielecke F und G zueinnder ähnlich sind, dnn stimmen die Längenverhältnisse entsprechender Seiten üerein. Ds gemeinsme Längenverhältnis ist der Ähnlichkeitsfktor k. r s t u k c d () Wenn zwei Vielecke F und G zueinnder ähnlich sind, dnn stimmen ds Längenverhältnis je zweier Seiten des Vielecks F und ds Längenverhältnis der entsprechenden Seiten des Vielecks G üerein. s r oder r oder c t oder... c t s Stz üer den Flächeninhlt ei ähnlichen Vielecken: Ist ds Vieleck F ähnlich zum Vieleck G und entsteht G us F durch den Ähnlichkeitsfktor k, so ist der Flächeninhlt des Vielecks G dnn k²-ml so groß wie der Flächeninhlt des Vielecks F: A G k² A F Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

21 VII. Ähnliche Figuren Strhlensätze (Seite ) Die Strhlensätze: 1. Strhlenstz: Werden zwei Strhlen, die von einem Punkt usgehen, von zwei Prllelen geschnitten, so verhlten sich zwei Aschnitte uf dem einen Strhl zueinnder wie die entsprechenden Aschnitte uf dem nderen Strhl: SA SA SB. SB Strhlenstz (Erweiterung): Werden zwei sich schneidende Gerden von zwei Prllelen geschnitten, so verhlten sich zwei Aschnitte uf der einen Gerden zueinnder wie die entsprechenden Aschnitte uf der nderen Gerden: SA SA SB. SB 1 1. Strhlenstz: Werden zwei Strhlen, die von einem Punkt usgehen, von zwei Prllelen geschnitten, so verhlten sich die Aschnitte uf den Prllelen zueinnder wie die vom Strhlennfng us gemessenen Aschnitte uf einem Strhl: SA SA A B, A B SB SB A B. A B Strhlenstz (Erweiterung): Werden zwei sich schneidende Gerden von zwei Prllelen geschnitten, so verhlten sich die vom Scheitelpunkt us gemessenen Aschnitte uf der einen Gerden zueinnder wie die Aschnitte uf den Prllelen: SA SA A B, A B SB SB A B. A B Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

22 VII. Ähnliche Figuren Strhlensätze (Seite ) Anmerkung: Aus dem 1. Strhlenstz folgt ußerdem: SA A A SB, B B SA A A SB. B B 1 1 Umkehrung der Strhlensätze: (1) Die Umkehrung des 1. Strhlenstzes gilt, ds heißt: SA SA SB > g h. SB 1 1 () Die Umkehrung des. Strhlenstzes gilt nicht. Projektionsstz: Gegeen sind zwei Gerden und sowie eine Schr von zueinnder prllelen Gerden. Wenn die Prllelenschr us der Gerden gleich lnge Strecken usschneidet, dnn uch us der Gerden. A 1 A A A A A 4 A 4 A 5 A 5 A 6 A 6 A 7 > B 1 B B B B B 4 B 4 B 5 B 5 B 6 B 6 B 7 Zentrische Streckung: Definition: Gegeen sei ein Punkt Z und eine Zhl k > 0. Eine zentrische Streckung S Z;k mit dem Streckzentrum Z und dem positiven Streckfktor k ist durch folgende Konstruktionsvorschrift erklärt: (1) Wenn der Punkt P nicht mit dem Zentrum Z zusmmenfällt, dnn erhält mn den Bildpunkt P wie folgt: ) Zeichne die Hlgerde ZP. ) Zeichne den Punkt P uf der Hlgerden ZP so, dß gilt: ZP k ZP. () Der Bildpunkt Z von Z fällt mit Z zusmmen: Z Z. Definition der Ähnlichkeit mithilfe einer zentrischen Streckung: Eine Figur F heißt ähnlich zu einer Figur G, wenn mn die Figur F mithilfe einer zentrischen Streckung so vergrößern oder verkleinern knn, dss die Bildfigur F zu der Figur G kongruent ist Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

23 < VII. Ähnliche Figuren Strhlensätze (Seite 4) Ähnlichkeitssätze: Ähnlichkeitssätze für Dreiecke: 1. Wenn zwei Dreiecke ABC und A B C in entsprechenden Winkeln üereinstimmen, dnn sind sie zueinnder ähnlich. Anmerkung: Dreiecke sind schon ähnlich zueinnder, wenn sie in der Größe von zwei Winkeln üereinstimmen.. Wenn zwei Dreiecke ABC und A B C in entsprechenden Seitenverhältnissen üereinstimmen, dnn sind sie zueinnder ähnlich. Historische Musterufge: Thles von Milet * c. 64 v. Chr., Milet + c. 547 v. Chr., Milet Der ristokrtische Kufmnn Thles von Milet ist einer der ältesten eknnten griechischen Mthemtiker. Bei einer Reise nch Ägypten frgte mn ihn, wie hoch er die Cheops-Pyrmide schätzte. Er erwiderte, er werde sie nicht schätzen, sondern messen! Und zwr folgendermßen: Er legte sich in den Snd, um seine Körpergröße m Boden zu mrkieren. Dnn stellte er sich n ds Fußende des Adrucks und wrtete, is sein Schtten genu so lng wr wie der Adruck. Zu dem Zeitpunkt mußte nämlich uch die Pyrmide genu so hoch sein, wie ihr Schtten lng, und diesen konnte mn leicht messen. Flls mn die Messung jedoch zu einer nderen Tgeszeit vornehmen wollte, ruchte mn nur einen St in den Snd zu stecken, und ds Verhältnis der Stlänge zur Schttenlänge erechnen. Dies ist unten erläutert. Thles stellte einen St senkrecht so uf, dss ds Ende des Stschttens mit dem Ende des Pyrmidenschttens zusmmenfiel. Er mß nschließend folgende Längen: Länge der Grundseite der Pyrmide Entfernung des Stes von der Pyrmide Höhe des Stes Länge des Schttens des Stes Mit dem. Strhlenstz gilt nun: Also: 0 m d 15 m h* m s 5 m h s + d +. h * s s + d + 5m + 15m + 115m h h * m 147m. s 5m Drus folgerte Thles, dss die Pyrmide rund 147 m hoch wr Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

24 VIII. Bruchgleichungen (Seite 1) Bruchterme: Bei einem Bruchterm steht die Vrile x im Nenner. x + 4 D R \{0} x Für die Vrilen dürfen keine Werte eingesetzt werden, so dss der Nenner 0 ergit. Gelegentlich knn mn Bruchterme mithilfe des Distriutivgesetzes umformen. 1 x 1 D R \{1} x + 4 x 4 4 D R \{0} + + x x x x Die Definitionsmenge D einer Funktion zw. eines Terms ist die Menge ller Zhlen, die mn für die Vrile x einsetzen drf. Beispielsweise ht die Funktion f ( x) D R \{0}, sprich: D ist die Menge ller reellen Zhlen ußer der Zhl 0. 1 die Definitionsmenge: x Vereinfchen von Bruchtermen durch Kürzen: Term ( x ) x + x, x 0 Gemeinsmer Fktor in Zähler und Nenner Gekürzter Term x x +, x 0 x + keiner Knn nicht gekürzt werden!, x 0 5x x 4 x² 4x Fktorisieren: x 4 x ( x 4), x 0, x 4, x 0, x 4 ( x 4) 1 x, x 0, x 4 Bechte: Vor und nch dem Kürzen ist die Definitionsmenge diesele, dmit die Terme äquivlent sind! Rechnen mit Bruchtermen: 1 x 4 x 4 x 4, x 4 x x + 5x + + x + x + x , 0, 0 ( x ) ( x + ) ( ) ( ) x x + x x + x 5 x + x 5 x 5, x 5, x, x Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim

25 VIII. Bruchgleichungen (Seite ) Lösen von Bruchgleichungen: Bruchgleichung: ( x ) x x x x - x x x ( x ) x( x ) x x x Proe: ( ) x x x 6 x 6 6 <> richtig! 4 6 Definitionsmenge: D R \{0, } Gemeinsmer Nenner: x ( x ) Multiplizieren mit gemeinsmen Nenner Kürzen Lösen Rücklick: Bruchrechnung 1. Kürzen und Erweitern Kürzen edeutet, Zähler und Nenner eines Bruches durch diesele Zhl zu dividieren. Erweitern edeutet, Zähler und Nenner eines Bruches mit derselen Zhl zu multiplizieren. Beim Kürzen und Erweitern ändert sich der Wert des Bruches nicht. c Als Formel: ( für 0, c 0) c Multipliktion Brüche werden miteinnder multipliziert, indem mn Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. c c Als Formel: ( für 0, d 0) d d Division Durch einen Bruch wird dividiert, indem mn mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Den Kehrwert eines Bruches erhält mn durch Vertuschen von Zähler und Nenner. c d d Als Formel: : ( für 0, c 0, d 0) : d c c Addition und Sutrktion Mn ddiert (sutrhiert) Brüche, indem mn: 1. die eiden Brüche so erweitert, dss sie denselen Nenner (Huptnenner) hen, nschließend. die Zähler ddiert (sutrhiert) und. den gemeinsmen Nenner eiehält. c c c c Als Formel: + + ( für 0) ( für 0) Thoms Wilhelm Schwrzer, Ernst-Ludwig-Schule Bd Nuheim 9 19