Mit s = l ϕ bekommt man dann aus der Newtonschen Gleichung (Beschleunigung a hat entgegengesetzte Richtung wie die Auslenkung s):

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1 S1 Matheatisches und physikaisches Pende Stoffgebiet: Versuchszie: Literatur: Schwingungen ageein, atheatisches Pende, physikaisches Pende, Steinerscher Satz Matheatische Behandung von Schwingungsvorgängen (Näherungen, ageeine Lösungsethoden), Messung der Erdbescheunigung g Lehrbücher der Physik, z.b. Hering, Martin, Stohrer: Physik für Ingenieure Dobrinski, Krakau, Voge: Physik für Ingenieure Lindner: Physik für Ingenieure 1. Grundagen 1.1 Matheatisches Pende As atheatisches Pende kann näherungsweise eine Kuge dienen, die an einer Schnur aufgehängt wird. Die Masse des Fadens wird hierbei vernachässigt und die Masse des Pendekörpers wird i Schwerpunkt vereinigt gedacht. Der Pendekörper beschreibt bei einer Ausenkung aus der Geichgewichtsage einen Kreisbogen it de Radius. Wird das Pende u den Winke ϕ aus der Geichgewichtsage ausgeenkt, so wirkt eine rücktreibende Kraft F = g sin ϕ Mit s = ϕ bekot an dann aus der Newtonschen Geichung (Bescheunigung a hat entgegengesetzte Richtung wie die Ausenkung s): ϕ d s d ϕ F = a = = = g sin ϕ dt dt d ϕ g = sin ϕ dt = Pendeänge ( vo Aufhängepunkt bis zu Mittepunkt der Kuge) Die Differentiageichung dieser nicht haronischen Schwingung ist nicht eeentar ösbar. S1 1/7

2 Zur Vereinfachung beschränkt an sich deshab auf keine Pendeausschäge und kann dann näherungsweise sin ϕ ϕ setzen und bekot hierit die einfachere Differentiageichung: d ϕ dt g = ϕ As Lösung dieser Differentiageichung ergibt sich: ϕ = ϕ sin (ω t + k) 0 Hierbei ist k eine Integrationskonstante, ϕ0 ist die Apitude und die Kreisfrequenz ω ergibt sich zu: ω = Hieraus ergibt sich dann die näherungsweise Schwingungsdauer des atheatischen Pendes für keine Ausenkungen: g π T = = π (1a) ω g Ohne Beschränkung auf keine Pendeausschäge ässt sich die Schwingungsdauer durch eine Reihenentwickung darsteen: 1 ϕ 1 3 ϕ ) sin ) sin g T = π [1 + ( + ( ] (1b) S1 /7

3 1. Physikaisches Pende As physikaisches Pende bezeichnet an jeden Körper, der unter de Einfuß seines Gewichts eine Schwingung ausführt. Die Schwingungsdauer des physikaischen Pendes ist T = JA π () g s (Hereitung dieser Fore: siehe Versuch Maxwesches Rad) A s A = Aufhängepunkt S = Schwerpunkt r = reduzierte Pendeänge r S A s = Abstand des Aufhängepunkts vo Schwerpunkt JA = Trägheitsoent des Körpers in Bezug auf die durch den Aufhängepunkt gehende Achse = Gesatasse des physikaischen Pendes Mit Hife des Steinerschen Satzes kann an Geichung () in fogender For schreiben: JS JS + s T = π (3) g s = Trägheitsoent des Körpers in Bezug auf die durch den Schwerpunkt gehende Achse, Achsenrichtung parae zur Achse in Geichung (). Die reduzierte Pendeänge r ist die Länge des atheatischen Pendes, das die geiche Schwingungsdauer besitzt wie das physikaische Pende: r = J S + s s S1 3/7

4 Hängt an nun das Pende i Schwingungsittepunkt A (das ist der Punkt auf der Verbindungsgeraden Aufhängepunkt A - Schwerpunkt S i Abstand r von A) auf, so bekot an die geiche reduzierte Pendeänge r = r. Aso ändert sich die Schwingungsdauer eines physikaischen Pendes nicht, wenn an den Schwingungsittepunkt zu Drehpunkt acht. 1.3 Reversionspende Das Reversionspende dient zur Präzisionsbestiung der Erdbescheunigung g. Dabei wird die Eigenschaft ausgenutzt, dass sich die Schwingungsdauer eines physikaischen Pendes nicht ändert, wenn an den Schwingungsittepunkt zu Drehpunkt acht. Schneide Lager Schneide Wandbefestigung Pendestange 1 Das Reversionspende besteht aus eine Metastab it zwei verschiebbaren Metascheiben und zwei einander zugewandten Schneiden as Aufhängevorrichtungen. Der Abstand der beiden Schneiden ist auf der Penderückseite eingraviert. Die eine Metascheibe it der Masse = 1400g ässt sich zwischen den beiden Schneiden verschieben und die andere Scheibe it der Masse 1 = 1000g außerhab der einen Schneide verschieben. U das Pende schwingen zu assen, benützt an eine Wandbefestigung, an der sich ein Lager befindet, in das das Pende it der Schneide eingehängt wird. Man ässt das Pende abwechsend u eine der beiden Schneiden schwingen und kann durch Verschieben der beiden Massen erreichen, dass die Schwingungsdauer des Pendes u beide Schneiden geich wird. Dann ist die Länge geich der Länge eines geichschwingenden atheatischen Pendes und nach Geichung (1) kann hieraus die Erdbescheunigung berechnet werden. S1 4/7

5 . Versuchsdurchführung.1 Messverfahren.1.1 Messen Sie die Schwingungsdauer eines atheatischen Pende aus 50 Schwingungen (3a)..1. Durch Messen der Schwingungsdauern u die beiden Schneiden des Reversionspendes und Verschieben der beiden Massen wird die Steung der beiden Massen gesucht, bei der die Schwingungsdauer u beide Schneiden geich ist. Praktisch geht an a besten so vor, dass an die außerhab der Schneiden befindiche Masse feststet und nur die andere, zwischen den Schneiden befindiche, Masse verschiebt. A einfachsten findet an die Steung der Laufasse, in der das Pende u beide Achsen geich ang schwingt, wenn an die Laufasse von einer Schneide zur anderen in 10 c - Abschnitten verschiebt und die Schwingungsdauer u beide Schwingungsachsen isst. Hierzu werden bei der Grobessung 10 Schwingungen geessen. Man trägt in ein Koordinatensyste auf der Abszisse die Steung der Laufasse und auf der Ordinate die Periodendauer auf. Verbindet an die zur geichen Drehachse gehörenden Punkte, so erhät an zwei Kurven, die sich in zwei Punkten schneiden üssen. Schneiden sie sich nicht, so verändert an die Steung der außerhab der Schneiden befindichen Masse und wiederhot den beschriebenen Versuch. Hat an die Schnittpunkte ungefähr bestit, so wird in der Nähe des geeigneteren Schnittpunkts (Begründung!) eine Feinessung nach deseben Prinzip durchgeführt. Dabei wird die Laufasse in 1c - Abschnitten von 3 c vor de ungefähren Schnittpunkt bis 3 c nach diese verschoben und wieder die Periodendauer u beide Achsen geessen. Hierzu werden bei der Feinessung 0 Schwingungen geessen. Die Messpunkte werden wie bei der Grobessung aufgetragen und der gesuchte Schnittpunkt bestit. Der Maßstab bei Grob- und Feinessung sote so gewäht werden, daß die sich ergebenden Kurven über ein DIN-A4 - Batt gestreckt werden. Dabei sote zuindest die Feinessung auf Miieterpapier aufgezeichnet werden. S1 5/7

6 . Versuchsauswertung..1 Berechnen Sie die Erdbescheunigung aus der Schwingungsdauer des atheatischen Pendes... Berechnen Sie die Erdbescheunigung aus der Schwingungsdauer des Reversionspendes...3 Berechnen Sie den reativen Feher der Erdbescheunigung aus den Fehern der einzenen Messgrößen und geben Sie eine Abschätzung für die Größe der sonstigen Feher an, die durch die Näherungsverfahren bei der Hereitung der Geichungen (1) und () entstehen...4 Berechnen Sie die Erdbescheunigung für Aaen ögichst genau. Hierzu sind die fogenden Foren zu benützen: g = 9,78049 s 0 = Erdbescheunigung a Äquator in Meereshöhe gh=0 = Erdbescheunigung an eine Ort der geographischen Breite ϕ in Meereshöhe = (1 + 0, sin 0, sin ( ) ) h=0 0 ϕ ϕ g g - gh = Erdbescheunigung an eine Ort der geographischen Breite ϕ in der Höhe h (Freiuftkorrektur) g = g - c h it c = 3, s 6 h h = gh erhöht sich zusätzich u g bei einer Gesteinspatte der Dichte ρ und der Höhe h g = c ρ h it c = 4,19 10 kg s 3 10 Mittere Dichte der Erde an der Erdoberfäche: ρ =,5 g/c 3 Aaen: 48,83 0 nördiche Breite, Höhe: 477,1 S1 6/7

7 ..5 Vergeichen Sie die unter..1 und.. berechneten Werte it de Wert von..4 Wie groß sind die prozentuaen Abweichungen? 3. Fragen zu Versuch und Stoffgebiet 3.1 Weche Näherungen werden bei der Hereitung der Foren für die Schwingungsdauern bei atheatischen und physikaischen Pende geacht? 3. Von wechen Größen hängt die Erdbescheunigung an eine bestiten Ort ab? Woran iegt das? 3.3 Weche Begriffe benutzt an in der Physik für die Beschreibung einer Schwingung? 3.4 Was versteht an ageein unter einer Schwingung und was spezie unter einer haronischen Schwingung? 3.5 Wie eitet an die Geichungen () und (3) her? 3.6 Was besagt der Steinersche Satz? 3.7 Berechnen Sie den Feher in der Schwingungsdauer eines atheatischen Pendes ab, wenn an die Näherungsfore (1a) statt der Fore (1b) benützt für die Apituden ϕ0 = 5 0 und ϕ0 = 10 0 S1 7/7