Quadratische Funktionen und Gleichungen Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Bergstadt-Gymnasium Lüdenscheid. Friedrich Hattendorf

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1 Mathematik Jahrgangsstufe 9 (G8) Lüdenscheid Friedrich Hattendorf 4. September 2014

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4 Inhaltsverzeichnis 1 Parabeln Normalparabel Zeichnen der Normalparabel Die verschobene Normalparabel y = x 2 + b y = (x a) y = (x a) 2 + b Beispiele: Zeichnen des Scheitels Zeichnen der (verschobenen) Parabel Der Graph zu y = (x a) 2 + b Der Satz von Vieta Nullstellen von Produkten Beispiel Satz von Vieta Satz von Vieta Das Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta Beispiel Vorzeichenproblem Grenzen weitere Anwendungen Probe Parabeln-Teil Parabelgleichungen von der Scheitelpunktsform zur pq-form von der Nullstellenform zur pq-form von der Nullstellenform zur Scheitelpunktsform von der pq-form zur Scheitelpunktsform

5 4 Quadratische Gleichungen Begriff Lösung der quadratischen Gleichung p-q-formel Bemerkung Beispiele x 2 6x 16 = x 2 6x 15 = x 2 6x + 15 = x 2 6x + 9 = allgemeiner Fall: ax 2 + bx + c = Zusammenfassung:

6 Kapitel 1 Parabeln 1.1 Normalparabel Der Graph zu der Funktion y = x 2 (1.1) heißt eine Normalparabel. Als Definitionsbereich wird meist R gew ählt. Der Scheitel der Normalparabel ist im Ursprung des Koordinatensystems. 1-1

7 1.1.1 Zeichnen der Normalparabel Wir gehen wie folgt vor: Markiere den Nullpunkt. Dort ist der Scheitel der Parabel. Markiere den Punkt P (1 1) und den Punkt P ( 1 1) im weiteren nutzen wir aus, dass x 2 = ( x) 2 ist, d,h, der y Wert zu x und der zu x ist der gleiche Markiere die Punkte P (2 4),P ( 2 4),P (3 9), P ( 3 9), usw. Wenn du der Reihe nach vorgehst, sind die Abstände der y Werte : 1; 3; 5; 7; wenn du genauer zeichnen möchtest auch noch einige der Punkte : P (0, 5 0, 25),P ( 0, 5 0, 25),P (1, 5 2, 25) usw. Verbinde die Punkte durch eine glatte Kurve Beachte! im Ursprung ist keine Spitze 1.2 Die verschobene Normalparabel y = x 2 + b Alle y Werte sind um b größer als bei der Normalparabel. Der Graph ist eine um b nach oben verschobene Normalparabel. Beispiel: y = x y = (x a) 2 In der Klammer steht der gleiche Wert wie bei der Normalparabel, wenn x um a größer ist, als bei dieser. Die Normalparabel ist also um a nach rechts verschoben wenn a von x subtrahiert wird (wenn nach dem x ein minus kommt) a nach links verschoben wenn a zu x addiert wird (wenn nach dem x ein plus kommt) Beispiel: y = (x 3) 2 1-2

8 1.2.3 y = (x a) 2 + b Hier überlagern sich die beiden Effekte: Der Graph ist eine Normalparabel, die um a nach rechts und um b nach oben verschoben wurde. Beachte: bei (x + a) 2 geht die Verschiebung nach linke, bei b nach unten, Beispiele: Zeichnen des Scheitels Wir stellen zuerst fest, wo der Scheitel liegt: 1. y = x 2 : Die Normalparabel, der Scheitel liegt im Ursprung P 1 (0 0) 2. y = (x 3) Der Scheitel ist um 3 nach rechts und um 2 nach oben verschoben, liegt also im Punkt P 2 (+3 + 2) 3. y = (x + 2) 2 4 = (x [ 2]) 2 4 : Der Scheitel ist um -2 nach rechts (d.h. 2 nach links) und um 4 nach unten verschoben, liegt also im Punkt P 2 ( 2 4) 4. y = (x + 2) = (x [ 1]) : Der Scheitel ist um -1 nach rechts (d.h. 1 nach links) und um 3 nach oben verschoben, liegt also im Punkt P 2 ( 1 + 3) 5. y = (x 2) 2 2 : Der Scheitel ist um 3 nach rechts (d.h. 1 nach links) und um 2 nach unten verschoben, liegt also im Punkt P 2 (2 2) 1-3

9 1.2.6 Zeichnen der (verschobenen) Parabel Wenn wir den Scheitel gefunden haben, ist das weitere Vorgehen bei allen Parabeln gleich. Wir gehen ähnlich vor wie bei der Normalparabel, zählen aber nicht vom Koordinatenursprung, sondern vom Scheitel aus: der Scheitel ist ein Punkt der Parabel vom Scheitel aus eine Einheit nach rechts und eine nach oben vom Scheitel aus 2 Einheiten nach rechts und 4 nach oben vom Scheitel aus 3 Einheiten nach rechts und 9 nach oben 1-4

10 entsprechend nach links; 1 nach links und eine nach oben, 2 nach links und 4 nach oben usw. usw. ggf. noch Punkte für die Halbschritte einzeichnen Punkte durch eine glatte Linie verbinden; auch hier keine Spitze beim Scheitel Der Graph zu y = (x a) 2 + b Satz: Der Graph zu y = (x a) 2 + b (1.2) ist eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitel im Punkt S(a b) 1-5

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12 Kapitel 2 Der Satz von Vieta 2.1 Nullstellen von Produkten Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist Beispiel Der Term (x 3)(x + 5) = 0 ist erfüllt für x = 3 oder für x = 5. Wenn wir die Klammer ausmultiplizieren, erhalten wir (x 3)(x + 5) = 0 x 2 + 2x 15 = 0 wir wollen nun den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten +2 und 15 und den Nullstellen näher untersuchen: 2.2 Satz von Vieta Wir untersuchen gleich den allgemeinen Fall: Es seien die Gleichungen (x a)(x b) = 0 (2.1) x 2 + px + q = 0 (2.2) gegeben. Beide haben die gleichen Nullstellen. Wegen der ersten Gleichung müssen dies a und b sein. Beide sind Nullstellen der Gleichung, andere kann es nicht geben. 2-1

13 Wenn wir die rechte Seite der ersten Gleichung ausmultiplizieren, erhalten wir: (x a)(x b) = 0 x 2 ax bx + ab = 0 x 2 (a + b)x + ab = 0 Durch Vergleich mit der zweiten Gleichung stellen wir fest: Die Gleichung x 2 + px + q = 0 hat die gleichen Lösungen wie die Gleichung (x a)(x b) = 0, wenn q = a b uns p = (a + b) gelten. Dies besagt auch der Satz von Vieta a und b sind genau dann die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0 wenn gilt: q = a b p = (a + b) Hinweis: Dieser Satz gilt nicht nur, wenn p, q, a, b ganzzahlig sind, sondern immer. 2.3 Das Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta Beispiel Gelöst werden soll die quadratische Gleichung x 2 7x + 12 = 0 Wir probieren zuerst, weil wir das absolute Glied, die 12 in Faktoren zerlegen können: 12 = 1 12 = 2 2 =

14 Wir erkennen, dass -(3+4)=-7 ist und haben die beiden Losungen x 1 = 3 x 2 = 7 gefunden Vorzeichenproblem Wir bemerken folgendes: wenn q = a b positiv ist, müssen a und b das gleiche Vorzeichen haben wenn q = a b negativ ist, müssen a und b verschiedene Vorzeichen haben Wenn a und b verschiedene Vorzeichen haben ist der Betrag von p = (a+b) gleich der Differenz der Beträge von a und b. Beispiel: x 2 x 6 = 0 Das Produkt von a und b muss 6 sein. Es kommen also die vorzeichenverschiedenen Paare (+6 1), ( 6 + 1), (+3 2) und ( 3 + 2) in Frage statt alle Summen (+6) + ( 1) = 5+; ( 6) + (+1) = 5; (+3) + ( 2) = +1 und ( 3) + (+2) = 1 zu überprüfen, geht es schneller, die Differenzen der Beträge zu überprüfen: Bei den ersten beiden ist dies 5, bei den letzten beiden 1; damit kommen nur noch die letzten beiden in Frage. Jetzt bilden wir die beiden Summen (+3) + ( 2) = +1 und ( 3) + (+2) = 1. Da die Summe -(-1) = + 1 sein muss, sind x 1 = +3 oder x 2 = 2 die beiden Lösungen. noch ein Beispiel: x 2 10x 144 = 0 Hier gibt es viele - genauer acht 1 - Möglichkeiten, die 72 in ganzzahlige Faktoren zu zerlegen. Wie überlegen, dass die beiden Lösungen verschiedene Vorzeichen haben müssen und bilden die Differenzen: 144 = Differenz = 2 72 Differenz = 3 48 Differenz = 4 36 Differenz = 6 24 Differenz 18 1 dabei zählen wir und nur als eine Möglichkeit 2-3

15 144 = 8 18 Differenz 10 wir können aufhören; da wir passende Werte gefunden haben, müssen wir 9 16 und nicht mehr prüfen. Jetzt müssen wir noch entscheiden, ob x 1 = +8 oder x 2 = 18 oder aber x 1 = 8 oder x 2 = +18 Da p = 10 ist, muss x 1 + x 2 = ( 10) = +10 sein. Die Lösung ist also: x 1 = 8 oder x 2 = Grenzen Auch wenn der Satz von Vieta immer gilt, ist seine Anwendbarkeit zum Auffinden von Lösungen auf Fälle beschränkt, bei denen p, q, x 1, x 2 alle ganzzahlig sind. 2.4 weitere Anwendungen Probe Der Satz von Vieta ermöglicht eine schnelle Probe. Um z.b. zu prüfen, ob x 1 = 8 oder x 2 = +18 tatsächlich die Lösung der quadratischen Gleichung x 2 10x 144 = 0 ist müssen wir nur die Summe (x 1 + x 2 = +10 = ( 10)) und das Produkt (x 1 x 2 = 144) berechnen. Dies geht erheblich schneller als eine Probe durch Einsetzen. Der Satz von Vieta gilt immer, auch wenn die Lösungen irrational sind. Beispiel: Die quadratische Gleichung x 2 11x 144 = 0 hat die Näherungslösungen 18,7 und -7,0 mit dem Produkt 143,99 und der Summe 11. Bei Berücksichtigung der Rundungs-Ungenauigkeiten passt dies. 2-4

16 Kapitel 3 Parabeln-Teil Parabelgleichungen Wir haben bisher drei Möglichkeiten gefunden, die Gleichung einer verschobenen Normal-Parabel darzustellen: Scheitelpunktsform y = (x a) 2 + b Nullstellenform y = (x x 1 )(x x 2 ) pq-form y = x 2 + px + q 3.2 von der Scheitelpunktsform zur pq-form Es ist ganz einfach, von der Scheitelpunktsform zur pq-form zu gelangen: wir müssen nur den Term (x a) 2 mit Hilfe der 2. Binomischen Form ausmultiplizieren und zusammenfassen: y = (x a) 2 + b y = (x + 1) 2 4 y = x 2 2ax + a 2 + b y = x 2 + 2x y = x 2 2ax + (a 2 + b) y = x 2 + 2x von der Nullstellenform zur pq-form genauso einfach ist es zu einer in der Nullstellenform gegebenen Parabel die pq-form zu suchen: y = (x x 1 )(x x 2 ) y = (x + 3)(x 1) y = x 2 x 1 x x 2 x + x 1 x 2 y = x + 3x x 3 y = x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 y = x + 2x 3 3-1

17 3.4 von der Nullstellenform zur Scheitelpunktsform Zum Zeichnen der Parabel ist die Scheitelpunktsform die angenehmste. Wenn wir die Nullstellen kennen, dann können wir noch ziemlich einfach die x-koordinate des Scheitelpunktes bestimmen: die Parabel ist symmetrisch, deshalb liegt er in der Mitte der Nullstellen. Beachte dabei, dass zur Klammer (x x 1 ) die Nullstelle x 1 und nicht ( x 1 ) gehört! y = (x x 1 )(x x 2 ) y = (x + 3)(x 1) a = x 1 + x 2 a = = Durch Einsetzen finden wir auch b, die y-koordinate an der Stelle a: b = ( x 1 + x 2 x 1 )( x 1 + x 2 x 2 ) b = ( 1 + 3)( 1 1) 2 b = ( x 2 x 1 2 b = (x 1 x 2 ) 2 )( x 1 x ) b = (2)( 2) b = 4 4 Du siehst, dass die allgemeine Form deutlich schwieriger aussieht, als die Beispiellösung. y = (x x 1 )(x x 2 ) y = (x + 3)(x 1) y = ( x x 1 + x 2 2 ) 2 (x 1 x 2 ) 2 4 y = (x + 1) von der pq-form zur Scheitelpunktsform Hier benutzen wir einen Trick : in der Scheitelpunktsform steht der Ausdruck (x a) 2. Diesen müssen wir irgendwie erzeugen. Dazu benutzen wir die quadratische Ergänzung Zuerst einmal nur das obige Beispiel: y = x 2 + 2x 3 (x + 1) 2 4 (3.1) Wenn wir diese beiden Terme vergleichen, sehen wir, dass x 2 + 2x schon passt, aber (-3) noch nicht so richtig. Ich kann aber -3 zerlegen und die pq-form so umformen: y = x x (x + 1) 2 4 (3.2) Dann habe ich - Anwendung der 1. binomischen Formel - schon das gewünschte Ergebnis stehen. Ein weiteres Beispiel: 3-2

18 y = x 2 6x 16 (3.3) y = x x (3.4) y = (x 3) 2 7 (3.5) 3-3

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20 Kapitel 4 Quadratische Gleichungen 4.1 Begriff Eine Gleichung der Form a x 2 + b x + c = 0 mit a, b, c, x R; a 0 (4.1) heißt eine quadratische Gleichung Als ersten Lösungsschritt dividieren wir durch a: x 2 + b a x + c a = 0 mit a, b, c, x R; a 0 (4.2) und benennen für die weiteren Überlegungen um: b a = p; c a = q : x 2 + p x + q = 0 mit p, q, x R (4.3) Wir werden vorerst nur diese (reduzierte) Form (p-q-form) besprechen. 4.2 Lösung der quadratischen Gleichung Für einige Sonderfälle können wir die Lösung bereits mit dem Satz von Vieta bestimmen 3-1

21 x 2 + px + q = 0 subtrahiere q (4.4) x 2 + px = q addiere die quadratische Ergänzung x p ( p 2 ( p ) 2 2 2) x + = q 2 (4.5) vereinfache mit der 1. binom. Formel (4.6) ( x + p ) 2 ( p ) 2 = q Wurzelziehen 2 2 (4.7) x + p 2 = ± (p 2) 2 q (4.8) beachte, dass vor der Wurzel (sie ist immer positiv) zwei verschiedene Vorzeichen stehen können! = ± p 2 4q 4 (4.9) (4.10) = ± 1 2 p2 4q p 2 (4.11) x = p 2 ± 1 2 p2 4q (4.12) p-q-formel Die Quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 (4.13) hat die Lösungen x 1 = p p2 4q x 1 = p p2 4q (4.14) 2 Der Radikand p 2 4q = D heißt Diskriminante. Wir müssen drei Fälle unterscheiden: 3-2

22 D > 0: Die quadrat. Gleichung hat zwei Lösungen D = 0: Die quadrat. Gleichung hat eine Lösung D < 0: Die quadrat. Gleichung hat keine Lösung 4.3 Bemerkung Ich empfehle, nicht mit der p-q-formel zu arbeiten. Nach meinen Erfahrungen machen Schüler, die damit rechnen signifikant mehr Fehler, als die, die - wie auch ich in der folgenden Beispielen - direkt mit der quadratischen Ergänzung arbeiten. 4.4 Beispiele x 2 6x 16 = 0 x 2 6x 16 = 0 16 addieren (4.15) x 2 6x = 16 quadrat. Ergänzung (4.16) der Koeffizient des Linearen Gliedes ist 6; also ist ( 6 2) 2 = 3 2 = 9 die quadratische Ergänzung, denn x x + 9 = (4.17) (x 3) 2 = 25 Wurzelziehen (4.18) x 3 = ± 25 = ±5 3 addieren (4.19) x 1 = = 8 x 2 = = 2 (4.20) Probe: = = 0 ( 2) 2 6 ( 2) 16 = = 0 Die Gleichung x 2 6x 16 = 0 hat die Lösungen x 1 = 8 und x

23 4.4.2 x 2 6x 15 = 0 x 2 6x 15 = 0 x 2 6x = 15 x x + 9 = = 24 x 3 = ± 24 = ± addieren (4.21) quadrat. Ergänzung (4.22) Wurzelziehen (4.23) 3 addieren (4.24) x 1 = 3 + ±2 6 5, 45 x 2 = , 55 (4.25) Probe: (hier nicht abgeduckt) Die Gleichung x 2 6x 15 = 0 hat die Lösungen x 1 = 3 + ±2 6 5, 45 und x 2 = , x 2 6x + 15 = 0 x 2 6x + 15 = 0 15 subtrahieren (4.26) x 2 6x = 15 quadrat. Ergänzung (4.27) x x + 9 = = 6 Wurzelziehen (4.28) x 3 = ± 6 (4.29) Da die Diskriminante negativ ist, existiert keine Lösung. Probe: (Da keine Lösung existiert, kann es natürlich auch keine Probe geben) Die Gleichung x 2 6x + 15 = 0 hat keine Lösungen x 2 6x + 9 = 0 Eigentlich sollte man hier die erste binom. Formel erkennen, aber stellen wir uns mal dumm... x 2 6x + 9 = 0 5 subtrahieren (4.30) x 2 6x = 9 quadrat. Ergänzung (4.31) x x + 9 = = 0 Wurzelziehen (4.32) x 3 = ± 0 = 03 addieren (4.33) x = 3 (4.34) 3-4

24 Probe: (hier nicht abgeduckt) Die Gleichung x 2 6x + 9 = 0 hat die (einzige) Lösung x = allgemeiner Fall: ax 2 + bx + c = 0 Oft hat das quadratische Glied noch einen Vorfaktor. In praktischen Rechnungen dividieren wir (wie oben) die ganze Gleichung zuerst durch diesen und haben das Problem auf den obigen p-q-fall zurückgeführt. Durch Einsetzen können wir aus der p-q-formel auch hier die Lösungsformel bestimmen. ax 2 + bx + c = 0 (4.35) x 2 + b a x + c a = 0 (4.36) wir setzen b a = p und c a = q in die Lösungsformel 4.3 ein: x 1,2 = b 2a ± 1 b 2 2 a 4 c (4.37) 2 a x 1,2 = b 2a ± 1 b2 4ac (4.38) 2a (4.39) 3-5

25 4.5.1 Zusammenfassung: Um eine quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 a, b, c R zu lösen, geht man wie folgt vor: ax 2 + bx + c = 0 Beispiel: 3x 2 14x + 8 = 0 man dividiert durch a x 2 + b a x + c a = 0 x x = 0 auf beiden Seiten der Gleichung x 2 + b wird c subtrahiert a x = c a a Quadratische Ergänzung: ( auf beiden Seiten wird addiert )2 b 2a links in quadratischen Term umformen; rechts zusammenfassen auf beiden Seiten die Wurzel ziehen Auf beiden Seiten b 2a subtrahieren x = b x x = 8 3 x 2 + b ( )2 b a x + ca b2 = + x 2 14 ( )2 7 2a 4a 2 3 x + = ( x + b )2 = b2 4ac 2a 4a 2 WICHTIG: Probe nicht vergessen Probe: = = = = = = ( x 7 ) = 3 9 x + b 2a = ± 1 7 b ac x 2a 3 = ± 9 2a ± 1 2a b 2 4ac x = = 4 x = =