Mathematik Funktionen Grundwissen und Übungen

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1 Mathematik Fuktioe Grudwisse ud Übuge Potezfuktio Hyperbel Epoetialfuktio Umkehrfuktio Stefa Gärter 004

2 Gr Mathematik Fuktioe Seite Grudwisse Potezfuktio Defiitio Durch die Zuordugsvorschrift f: Æ mit ŒN wird jedem Œ eideutig ei y = zugeordet. Die so defiierte Fuktio heißt Potezfuktio (-ter Ordug). Beispiele: Eigeschafte: Symmetrie: gerade ugerade Der Graph der Fuktio ist achsesymme- Der Graph der Fuktio ist puktsymmetrisch zur y-achse, trisch zum Ursprug, de = (-) für alle Œ. de = -(-) für alle Œ. Beispiele: = 4 = (-) Beispiele: 3 = 8 = -(-) 3,5 =,5 = (-,5) 3 = = - (-) Mootoie:. Für >0 gilt immer Je größer, desto größer y=f(). Das heißt, der Graph vo f ist streg mooto steiged.. Für <0 ist der Graph vo f - streg mooto steiged, falls ugerade ud - streg mooto falle, falls gerade. Gemeisame Pukte: Die Pukte (0/0) ud (/) liege auf alle Graphe, de 0 = 0 ud = für alle ŒN. Stefa Gärter 004

3 Gr Mathematik Fuktioe Seite 3 Grudwisse Betrachte wir die Fuktio f: Æa (+b) + c (für a, b, c Œ, aπ0, ŒN) Wie bei de quadratische Fuktioe gilt:. Der Faktor a bewirkt eie Stauchug, falls a < ud eie Streckug, falls a >.. Ist a<0, so ist der Graph a der -Achse gespiegelt. 3. b bewirkt eie Versciebug des Graphe um -b i -Richtug. 4. c bewirktz eie Verschiebug um c i y-richtug. Hyperbel Defiitio Der Graph der Fuktio f: Æ - = mit ŒN heißt Hyperbel. Da π 0 gefordert werde muss, gilt D = π0. Eigeschafte: Symmetrie: gerade Der Graph der Fuktio ist achsesymmetrisch zur y-achse, ugerade Der Graph der Fuktio ist puktsymmetrisch zum Ursprug, Mootoie:. Für >0 gilt immer Je größer, desto kleier y=f(). Das heißt, der Graph vo f ist streg mooto falled.. Für <0 ist der Graph vo f - streg mooto steiged, falls gerade ud - streg mooto falle, falls ugerade. Äste: Wege der Defiitioslücke bei =0, gilt: Der Graph der Hyperbel besteht aus zwei icht zusammehägede Äste. Asymptote:. Der Graph der Hyperbel ähert sich beliebig ahe der -Achse, we über alle Schrake wächst oder uter alle Schrake fällt. Kurzschreibweise: lim f() = 0. ±. Der Graph der Hyperbel ähert sich beliebig ahe der y-achse, we immer äher a 0 liegt. Stefa Gärter 004

4 Gr Mathematik Fuktioe Seite 4 Grudwisse Epoetialfuktio Defiitio Durch die Zuordugsvorschrift f: Æ a ( aœ 0 ) wird jedem Œ eideutig ei y = a zugeordet. Die so defiierte Fuktio heißt Epoetialfuktio, da die Fuktiosvariable im Epoete steht. Eigeschafte: Symmetrie: Es liegt keie Symmetrie vor. Mootoie:. Für a>: Je größer, desto größer y = f(). Das heißt, der Graph vo f ist streg mooto steiged.. Für 0< a<: Je größer, desto kleier y = f(). Das heißt, der Graph vo f ist streg mooto falled. Asymptote:. Für a>: Je kleier, desto äher liegt y = f() bei 0, kurz:. Für 0< a<: Je größer, desto äher liegt y = f() bei 0, kurz: Die -Achse ist also i beide Fälle Asymptote des Graphe. lim f() = 0 lim f() = 0 + Wertebereich: Es gilt y = a > 0, also si die Graphe immer oberhalb der -Achse ud der Wertebereich ist +. Pukt (0/): Es gilt Für =0 ist y= a 0 =, also liegt der Pukt P(0/) auf dem Graphe jeder Epoetialfuktio. Stefa Gärter 004

5 Gr Mathematik Fuktioe Seite 5 Grudwisse Umkehrfuktio Erierug zur Fuktiosdefiitio: Fuktioe orde jedem Elemet eier erste Mege (Defiitiosmege) geau ei Elemet eier zweite Mege (Wertemege) zu. Defiitiosmege ud Wertemege sid dabei i der Regel die Mege der reelle Zahle oder eie Teilmege davo, die Elemete der Defiitiosmege werde i der Regel mit bezeichet, die Elemete der Wertemege mit y. Mit Hilfe der Fuktiosvorschrift, der Fuktiosgleichug, der Wertetafel oder mit Hilfe des Fuktiosgraphe werde Fuktioe dargestellt. Zum Beispiel die Lieare Fuktio: Fuktiosvorschrift: f: Æ +, Fuktiosgleichug: y = + Wertetafel: ,5 + -0,5 0 0,5,5,5 7 A diesem. Beispiel soll die Umkehrfuktio erklärt werde. Beim Aufstelle der Wertetafel eier Fuktio ist die folgede Aufgabe zu erledige: Zu eiem gegebee -Wert wird der zugehörige y- Wert ermittelt. Diese Aufgabe lässt sich auch umkehre: Zu eiem gegebee y-wert dejeige y-wert ermittel, zu dem der y-wert gehört. Allgemei: Beispiel: Gegebe: y Gegebe: y = 7 Zu welchem -Wert gehört y? Zu welchem -Wert gehört y? Auflöse ach : y = + Auflöse ach : 7 = + y = 6 = y = = Vertauscht ma i der Fuktiosgleichug ud y, so erhält ma die Umkehrfuktio g zur Fuktio f. Fuktiosgleichug: y = Wertetafel: -0,5 0 0,5,5,5 7 0, Verfahre: Fuktiosgleichug Æ Vertausche vo mit y Æ Gleichug der Umkehrfuktio Wertetafel Æ Vertausche vo mit y Æ Wertetafel der Umkehrfuktio Graph Æ Spiegelug a y = Æ Wertetafel der Umkehrfuktio Stefa Gärter 004

6 Gr Mathematik Fuktioe Seite 6 Grudwisse Beispiel : (quadratische Fuktio) Fuktiosvorschrift: f: Æ, Fuktiosgleichug: y = Wertetafel: y = Ermittel der Umkehrfuktio: Fuktiosgleichug: y = = y v = - y Hier etsteht das Problem, dass derselbe y-wert aus zwei Verschioedee -Werte etstade sei ka, die Umkehrug ist also icht eideutig, sie ist keie Fuktio! Schräkt ma die Umkehrug jedoch auf die positive Werte vo ei, so ist die Zuordug wieder eideutig ud es ka die Umkehrfuktio gebildet werde. Die Fuktio g: Æ ist die Umkehrfuktio der Normalparabel f: Æ. g heißt Quadratwurzelfuktio Beispiel : (Epoetialfuktio) Fuktiosvorschrift: f: Æ, Fuktiosgleichug: y = Wertetafel: y = Ermittel der Umkehrfuktio: Fuktiosgleichug: y = = log () Die Fuktio g: Æ lo () ist die Umkehrfuktio der Epoetialfuktio f : Æ. g heißt Logarithmusfuktio. Stefa Gärter 004

7 Gr Mathematik Fuktioe Seite 7 Übuge Aufgabe (Potezfuktio) a) Ergäze Sie die Wertetabelle (evtl. mit Hilfe eies TR) , - -0,8-0,6-0,4-0, 0 0, 0,4 0,6 0,8,,4 b) Zeiche Sie je zwei Fuktioe aus Aufgabe i ei Koordiatesystem: c) Beschreibe Sie die Gemeisamkeite ud Uterschiede der verschiedee Graphe. d) Überprüfe Sie die folgede Aussage. Korrigiere bzw. präzisiere Sie die Aussage, we sie icht korrekt sid. - Für > gilt: Je größer, desto größer. - Für > gilt: Je größer, desto größer. - Für 0 < < gilt: Je größer, desto kleier. - Für 0 < < gilt: Je größer, desto größer. - Für < - gilt: Je größer, desto kleier. - Für < - gilt: Je größer, desto größer. - Für - < < 0 gilt: Je größer desto größer. Aufgabe (Potezfuktio) Beschreibe Sie jeweils mit Worte de Graphe der folgede Fuktioe: a) f() = 8 b) f() = c) f() = 3 + d) f() = ( ) 4 e) f() = 4 f) f() = ( +) 4 g) f() = 3 3 h) f() = i) f() = 3( +) 3 Stefa Gärter 004

8 Gr Mathematik Fuktioe Seite 8 Übuge Aufgabe 3 (Hyperbel) a) Ergäze Sie die Wertetabelle (evtl. mit Hilfe eies TR) ,5 - -0,75-0,5-0,5 0,5 0,5 0,75, b) Zeiche Sie je zwei Fuktioe aus Aufgabe i ei Koordiatesystem: c) Beschreibe Sie die Gemeisamkeite ud Uterschiede der verschiedee Graphe. d) Überprüfe Sie die folgede Aussage. Korrigiere bzw. präzisiere Sie die Aussage, we sie icht korrekt sid. - Für > gilt: Je größer, desto größer. - Für > gilt: Je größer, desto größer. - Für 0 < < gilt: Je größer, desto kleier. - Für 0 < < gilt: Je größer, desto größer. - Für < - gilt: Je größer, desto größer. - Für < - gilt: Je größer, desto größer. Aufgabe 4 (Hyperbel) Im ebestehede Schaubild habe alle Rechtecke die Flächemaßzahl A =. a) Zeiche Sie ebeso weitere Rechtecke ei! b) Auf welchem Graph liege alle Ecke (rechts obe)? c) Wo ium Schaubild ka abgelese werde? Stefa Gärter 004

9 Gr Mathematik Fuktioe Seite 9 Übuge Aufgabe 5 (Epoetialfuktio) a) Ergäze Sie die Wertetabelle (evtl. mit Hilfe eies TR) ,75-0,5-0,5 0,5 0,5 0,75,5 3, b) Zeiche Sie die Fuktioe i das Koordiatesystem: c) Beschreibe Sie die Gemeisamkeite ud Uterschiede der verschiedee Graphe. d) Ergäze Sie durch Ablese die Epoete i de folgede Gleichuge: (),5 = (),5 = 3 (3) = (4) = 3 (5) 3 = (7) 3 = (8) 4 = (6) 0,5 = Aufgabe 6 (Epoetialfuktio) Bakterie vermehre sich durch Zellteilug. Zur Zeit t = -3 war eie eizige Bakterie vorhade. Bis zur ereute Teilug vergeht jeweils eie Zeiteiheit (Stude). a) Wieviele Bakterie sid zur Zeit t=0, t=, t= vorhade? b) Stelle Sie de Zusammehag Zeit Æ Azahl der Bakterie graphisch dar. c) Zu welcher Zeit sid () 56, () 04, (3) 3.768, (4) Bakterie vorhade? Aufgabe 6 (Epoetialfuktio) Der Sage ach durfte sich der Erfider des Schachbrettes eie Belohug vom Köig wüsche. Er wüschte sich ei Weizekor auf das erste Feld des Brettes, zwei auf das zweite, vier auf das dritte (usw. bis zum 64. Feld). Der Wusch wurde ihm icht erfüllt. Stefa Gärter 004

10 Gr Mathematik Fuktioe Seite 0 Übuge Aufgabe 7 (Umkehrfuktio) Gegebe sid die Geradegleichuge der beide Lieare Fuktioe f: Æ ud g: Æ + a) Ergäze Sie die Wertetafel ud zeiche Sie die zugehörige Graphe i das Koordiatesystem! -0,5,5 f() g() -,5-0 b) Vergleiche Sie die Geradegleichuge, die Wertetafel ud die Graphe! Welcher Zusammehag besteht jeweils? Aufgabe 8 (Umkehrfuktio) a) Gebe Sie zu beide gezeichete Gerade diegeradegleichuge a. f : y = f : y = b) Zeiche Sie jeweils die a der Wikelhalbierede y = gespiegelte Gerade g ud g ud gebe Sie dere Gleichuge a. g : y = g : y = c) Vergleiche Sie die zusammegehörede Geradegleichuge! Stefa Gärter 004

11 Gr Mathematik Fuktioe Seite Übuge Aufgabe 9 (Umkehrfuktio) Gegebe sid verschiedee Fuktiosgraphe: a) Beatworte Sie die beide folgede Frage für jede Fuiktio (durch Ablese im Koordiatesystem) - Welcher y Wert gehört zum y Wert? - Welcher Wert gehört zum Wert? b) Zeiche Sie jeweils de a der Wikelhalbierede y = gespiegelte Graphe. c) I welchem Fall ist der gespiegelte Graph wiederum ei Fuktiosgraph, i welchem Fall icht? d) Formuliere Sie eie WENN DANN Satz: We der gegebe Graph da ist auch der gespiegelte Graph ei Fuktiosgraph. Stefa Gärter 004

12 Gr Mathematik Fuktioe Seite Übuge Aufgabe 9 (Umkehrfuktio) Bestimme Sie die Gleichug der Umkehrfuktio, idem Sie ud y i der gegebee fuktiosgleichug vertausche ud ach y auflöse. Bestimme Sie da auch die Defiitiosmege der Umkehrfuktio ud skizziere Sie de Graphe. a) y = b) y = -3 0,5 c) y = d) y = + e) y = - f) y = Aufgabe0 (Umkehrfuktio) a) Bilde Sie die Umkehrfuktioe g zu de gegebee Fuktioe. Bestimme Sie auch D. f : Æ, g : Æ, D = f : Æ e, g : Æ, D = f 3 : Æ 0, g 3 : Æ, D = b) Ergäze Sie die Wertetafel (evtl. mit TR) g g g 3 0,5 0,5 0, c) Zeiche Sie die Fuktioe auds b) i das Koordiatesystem. Stefa Gärter 004

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