Kurven. Mathematik-Repetitorium
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- Hermann Schwarz
- vor 7 Jahren
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1 Kurven 7.1 Vorbemerkungen, Koordinatensysteme 7.2 Gerade 7.3 Kreis 7.4 Parabel 7.5 Ellipse 7.6 Hyperbel 7.7 Allgemeine Gleichung 2. Grades Kurven 1
2 7. Kurven 7.1 Vorbemerkungen, Koordinatensysteme Koordinatensystem (kartesisch) Lage eines Punktes in der Ebene Koordinaten geometrische Eigenschaften von Figuren rechnerische Beziehungen der Koordinaten Neben dem kartesischen Koordinatensystem gibt es auch andere (krummlinige, schiefwinklige) Koordinatensysteme. Kurven 2
3 7. Kurven Vorbemerkungen, Koordinatensysteme Vergleich: Kartesische Koordinaten / Polarkoordinaten Kurven 3
4 7. Kurven Vorbemerkungen, Koordinatensysteme Parallelverschiebung: Drehung: Kurven 4
5 7. Kurven Vorbemerkungen, Koordinatensysteme Kurve: Veranschaulichung (geometrisches Bild) einer Funktion Geeignet eingeschränkte Punktmenge z.b. algebraische Kurve Gerade, Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel u.v.a. technische Anwendungen z.b. Zykloide, Spirale, Kettenlinie, Exoten Peanosche Kurve: geht durch jeden Punkt eines vorgegebenen Gebiets Kurven 5
6 7. Kurven Vorbemerkungen, Koordinatensysteme Algebraische Kurven: Unentwickelte (implizite) Form: Aufgelöste (explizite) Form: Parameterbeschreibung mit Hilfsvariable t: Kurven 6
7 7. Kurven Vorbemerkungen, Koordinatensysteme Beispiel: Zykloid (Rollkreisbahn) Kurven 7
8 7. Kurven Vorbemerkungen, Koordinatensysteme Beispiel 7.1: implizit: explizit: Polarkoordinaten: Parameterdarstellung: Beispiel 7.2: Kurven 8
9 7. Kurven Vorbemerkungen, Koordinatensysteme Tangente: Steigung: Symmetrie: Kurven 9
10 7. Kurven 7.2 Gerade (algebraische Kurve 1. Ordnung: ) Allgemeine Geradengleichung Kurve mit konstanter Steigung Hauptform der Geradengleichung Steigung y-achsen-abschnitt Nullpunktgerade: Verschiebung: (Punkt-Steigungs-Form) Kurven 10
11 7. Kurven Gerade Zwei-Punkte-Form Steigung der Geraden durch P 1, P 2 : Achsenabschnittsform Normal(en)form mit Kurven 11
12 7. Kurven Gerade Beispiele Gerade mit Steigung 2 und x-achsenabschnitt 3 Liegen auf einer Geraden? Schnittwinkel zweier Geraden stets: (Additionstheoreme!) (wg. Polstelle von tan) Kurven 12
13 7. Kurven 7.3 Kreis Radius Allgemeine Form Mittelpunkt, Radius quadratisch ergänzen: Kreismittelpunkt: > 0 Kurven 13
14 7. Kurven Kreis Parameterdarstellung Beispiel Mittelpunkt? Radius? Tafel Kurven 14
15 7. Kurven Kreis Beispiel 7.4 Kreis durch Kurven 15
16 7. Kurven Kreis Beispiel 7.5 Kreis: gesucht: Tangenten in (Tangentengleichungen) Steigung? Tangente durch : Tangente durch : Kurven 16
17 7. Kurven 7.4 Parabel Abstand Parabel: geometrischer Ort aller Punkte, die von einer Geraden und einem Punkt gleichen Abstand haben Kurven 17
18 7. Kurven Parabel Tangente durch P(x 0, y 0 ) Steigung oder (Achsenabschnitte) Verschiebung Kurven 18
19 7. Kurven Parabel Andere Form Kurven 19
20 7. Kurven Parabel Beispiel 7.6: Schräger Wurf ohne Schwerkraft: mit Schwerkraft: Elimination von t : Kurven 20
21 7. Kurven 7.5 Ellipse Sonderfall: Kreis: Kreis: geometrischer Ort aller Punkte, die von M (Mittelpunkt) gleichen Abstand haben. Ellipse: geometrischer Ort aller Punkte, deren Abstandssumme von 2 Punkten F 1, F 2 (Brennpunkte) konstant ist. Kurven 21
22 7. Kurven Ellipse Abstandssumme: Kurven 22
23 7. Kurven Ellipse Parameterdarstellung Tangentengleichung Steigung: Kurven 23
24 7. Kurven Ellipse Verschiebung Beispiel 7.7 : Kurve? Ellipsengleichung! Kurven 24
25 7. Kurven 7.6 Hyperbel 2 Äste Symmetrie! Hyperbel: geometrischer Ort aller Punkte, für welche die Differenz der Abstände von 2 festen Punkte F 1, F 2 konstant ist. Kurven 25
26 7. Kurven Hyperbel Schnitt mit Nullpunktsgerade einsetzen Asymptoten Tangenten in Parameterdarstellung Kurven 26
27 7. Kurven Hyperbel Sonderfall: Asymptoten stehen senkrecht aufeinander! Gleichseitige Rechtwinklige Hyperbel Drehung um -45 : Koordinatentransformation! Kurven 27
28 7. Kurven Hyperbel Beispiele? Hyperbel durch mit Asymptoten a) Mittelpunkt b) c) P einsetzen: Kurven 28
29 7. Kurven 7.7 Allgemeine Gleichung 2. Grades Gerade Kreis Parabel Ellipse Hyperbel Kegelschnitte allgemeine Lage Sonderfall: Verschiebung + Drehung keine Drehung! Kurven 29
30 7. Kurven Hyperbel Beispiel Kurven 30
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