von f im Punkt P ( 2 4) x x x Hilfsmittelfreier Teil. Beispielaufgabe 1 zur Analysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "von f im Punkt P ( 2 4) x x x Hilfsmittelfreier Teil. Beispielaufgabe 1 zur Analysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung"

Transkript

1 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x + x x. Die zeigt den Grphen der Funktion f. () Berechnen ie lle Nullstellen der Funktion f. () Entscheiden ie begründet mit Hilfe einer Zeichnung in der, ob die Gerde g mit g : y = x + eine Tngente m Grphen P ist. von f im Punkt ( ) Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis () Nullstellen: f x x x x x ( x x ) Also x = 0. Zusätzlich: ( ) = 0 + = 0 + = 0 x x x, sind x = 0, x = und x = +. () Einzeichnen der Gerden g (siehe rechts). Mn sieht deutlich, dss g den Grphen von f im Punkt P ( ) nicht berührt, sondern schneidet. Dher knn g keine Tngente m Grphen von f im Punkt P sein. + = 0 = ± +. Die drei Nullstellen Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

2 Hilfsmittelfreier Teil. Anlysis Beispielufgbe zur Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x + x. Die Koordinten des loklen Hochpunktes und des loklen Tiefpunktes sind gnzzhlig. Die zeigt den Grphen der Funktion f. () Entscheiden ie begründet, ob der Grph der Ableitungsfunktion f ' eine nch oben oder nch unten geöffnete Prbel ist. () Geben ie lle erte für den Prmeter c n, so dss die Funktion g c mit der Gleichung g ( x ) = f ( x ) + c genu zwei c Nullstellen besitzt. Begründen ie Ihre Angbe. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis () Es gilt: f '( x ) = x + 6 x. Ds Vorzeichen des Koeffizienten vor x entscheidet, ob die Prbel nch oben oder nch unten geöffnet ist. eil > 0 gilt, ist die Prbel nch oben geöffnet. Oder: Die Prbel von f ' besitzt die Nullstellen x = und x = 0, denn sie sind die loklen Extremstellen von f. Nur dzwischen fällt der Grph von f, lso liegt die Prbel von f ' für < x < 0 unterhlb der x-achse. Die Prbel muss lso nch oben geöffnet sein. () c = oder c =. Dmit es genu zwei Nullstellen gibt, muss der Grph von f die x- Achse im Hochpunkt oder im Tiefpunkt berühren. omit muss entweder der Hochpunkt um drei Einheiten nch unten oder der Tiefpunkt um eine Einheit nch oben verschoben werden. Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

3 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x x. Der Grph ist in der drgestellt. () eisen ie rechnerisch nch, dss die in der Zeichnung erkennbre Nullstelle ttsächlich eine Nullstelle ist. () Gegeben ist die Funktion g mit der Gleichung g ( x ) = f ( x + ). Geben ie n, wie sich der Grph von g verändert, wenn mn für immer größere Zhlen einsetzt. Geben ie ußerdem einen ert für n, so dss die Funktion g die Nullstelle x = besitzt. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur z Anlysis () Am Grphen ist erkennbr, dss x = die vermutliche Nullstelle ist. Zum rechnerischen Nchweis: etze x = in f ( x ) ein. 8 egen f () = = = = 0 ist x = eine Nullstelle von f. () Je größer wird, desto weiter wird der entsprechende Grph der Funktion g nch links verschoben. Dmit x = eine Nullstelle wird, muss der Grph von f um drei Einheiten nch links verschoben werden, lso muss = gelten. Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

4 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Die Funktion f mit der Gleichung f ( t ) = t t + 9 t beschreibt näherungsweise die chstumsgeschwindigkeit cm einer Pflnze in der Einheit oche. Dbei gibt t die Zeit in ochen seit Beobchtungsbeginn n, es gilt: 0 t 6. Der Grph der Funktion f ist in der drgestellt. () Berechnen ie die chstumsgeschwindigkeit der Pflnze nch zwei ochen. () Nehmen ie n, die Pflnze hätte nch vier ochen eine Höhe von 70 cm. Entscheiden ie, welche der drei nchfolgenden Aussgen stimmt. Kreuzen ie dzu uf dem Arbeitsbltt n. Nch fünf ochen ist die Pflnze O O O kleiner ls 7 cm oder gleich 7 cm oder größer ls 7 cm. Begründen ie Ihre Entscheidung. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis () 8 f () = + 9 = + 8 = 8. Die chstumsgeschwindigkeit betrug zwei ochen nch Beobchtungsbeginn cht Zentimeter pro oche. () Aus dem Grphen knn mn blesen, dss die chstumsgeschwindigkeit nch vier ochen cm pro oche betrug und dnch nur noch fällt. Also ist die Pflnze nch fünf ochen kleiner ls 7 cm. Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

5 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Die folgende zeigt den Grphen der Funktion f mit der Gleichung 6 f ( x ) = x x +. () Bestimmen ie eine Gleichung der Tngente t n den Grphen von f im Punkt P ( 0). () kizzieren ie den Grphen von f ' in die. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis () Gesucht ist die Gleichung zu t mit t ( x ) = m x + b. Mit f '( x ) = x x gilt für die teigung von t : m = f '() = =. Einsetzen von m = und den Koordinten von ( 0) P ergibt: 0 = + b b = 8. Also lutet die Tngentengleichung: t ( x ) = x + 8. () Eine kizze der Prbel von f ' ist rechts bgebildet. Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der sein. chlich richtige Alterntiven werden mit entsprechender Punktzhl bewertet.

6 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 6 zur Anlysis Gegeben ist eine Funktion f. Die zeigt die Prbel ihrer Ableitungsfunktion f ' mit der Gleichung f '( x ) = x + x +. f '( x ) () Die Prbel von f ' besitzt die beiden Nullstellen x = und x = 6. Ermitteln ie unter Verwendung dieser Nullstellen rechnerisch die Koordinten des cheitelpunktes der Prbel. () Begründen ie, dss keine der beiden en und den Grphen der Funktion f zeigt. Führen ie jeweils mindestens ein Gegenrgument uf. h g Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 6 zur Anlysis () Aus ymmetriegründen liegt die x-koordinte des cheitelpunktes in der Mitte der beiden Nullstellen und 6. Die Mitte ist. f '() = + + = + + =. Der cheitelpunkt besitzt somit die Koordinten ( ). () Der Grph der Funktion g in besitzt n der telle x = eine negtive teigung, während m Grphen von bzulesen ist: f '() = > 0. Der Grph der Funktion h in zeigt drei lokle Extremstellen. egen der notwendigen Bedingung für Extremstellen ht h ' mindestens drei Nullstellen, ber f ' ht nur zwei Nullstellen. Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

7 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur tochstik Ein upermrkt verwendet für die Berbeitung zurückgegebener Pfndflschen eine Mschine. Diese soll einwndfreie Flschen von deformierten Flschen unterscheiden. Zurückgegebene Flschen werden entweder von der Mschine bgewiesen oder ngenommen. Dbei unterlufen dem Gerät uch Fehler: Es werden mnchml uch einwndfreie Flsche bgewiesen oder deformierte Flsche ngenommen. Eine Übersicht über hrscheinlichkeiten in diesem Zusmmenhng liefert die noch unvollständige Vierfeldertfel (Tbelle). Flsche ngenommen Flsche bgewiesen Flsche einwndfrei 0,90 0,009 0,9 Flsche deformiert 0,00 0,08 0,0 Tbelle () In den beiden doppelt umrndeten Kästchen der letzten Zeile fehlen zwei hrscheinlichkeiten in dem vorliegenden chzusmmenhng. Berechnen ie beide hrscheinlichkeiten und geben ie diese in den Kästchen n. () Geben ie die Bedeutung der beiden hrscheinlichkeiten us () in dem vorliegenden chzusmmenhng n. () Eine Flsche wird bgewiesen. Ermitteln ie einen Term, um die hrscheinlichkeit zu berechnen, dss die Flsche in Ordnung ist. Hinweis: Die konkrete Berechnung wird nicht verlngt. Hilfsmittelfreier r Teil. Beispielufgbe zur tochstik () 0,90 + 0, 00 = 0,9 und 0, , 08 = 0,08. Flsche ngenommen Flsche bgewiesen Flsche einwndfrei 0,90 0,009 0,9 Flsche deformiert 0,00 0,08 0,0 0,9 0,08 () Mit einer hrscheinlichkeit von 9, % wird eine Flsche von der Mschine ngenommen und mit einer hrscheinlichkeit von,8 % wird eine Flsche von der Mschine bgewiesen. () Mn teilt den Anteil der bgewiesenen einwndfreien Flschen durch den Anteil ller 0, 009 bgewiesenen Flschen. Ds ergibt:. 0, , 08 Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

8 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur tochstik In einer Urne befinden sich zu Beginn eines Zufllsexperiments drei schwrze Kugeln () und zwei weiße Kugeln (), siehe. Aus der Urne werden ncheinnder zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Zu dem Zufllsexperiment wurde ds Bumdigrmm us erstellt. () Berechnen ie die hrscheinlichkeit dfür, dss bei dem Zufllsexperiment mindestens eine schwrze Kugel gezogen wird. () Die Zufllsgröße X beschreibt die Anzhl der gezogenen schwrzen Kugeln. Berechnen ie den Erwrtungswert der Zufllsgröße X. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur tochstik () P( mindestens eine schwrze Kugel ) = - P( keine schwrze Kugel ) = 9 90%. 0 0 Die hrscheinlichkeit, mit der mindestens eine schwrze Kugel gezogen wird, beträgt 90%. () Anhnd der hrscheinlichkeitsverteilung der Zufllsgröße X knn der Erwrtungswert berechnet werden: k 0 P( X k ) 0, 0,6 0, 0 0, 0,6 0,, Der Erwrtungswert der Zufllsgröße X beträgt,. Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

9 Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur tochstik In einer Urne befinden sich zu Beginn eines Zufllsexperiments drei schwrze Kugeln () und zwei weiße Kugeln (), siehe. Elen mcht folgendes Zufllsexperiment: ie zieht so lnge ohne Zurücklegen Kugeln us der Urne, bis sie zum ersten Ml eine weiße Kugel gezogen ht. Ein möglicher Versuchsusgng ist zum Beispiel s s w, hier gibt es drei Züge. () Zeichnen ie für Elens Zufllsexperiment ein vollständiges Bumdigrmm mit llen Pfdwhrscheinlichkeiten. () Die Zufllsgröße X beschreibt die Anzhl der Züge des Experimentes. Berechnen ie die hrscheinlichkeitsverteilung der Zufllsgröße X. Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur tochstik () () k P ( X = k ) = 0 = = 0 Der gewählte Lösungsnstz und weg der chülerinnen und chüler muss nicht identisch mit dem der

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)

Mehr

Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS

Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS Gemeinsme Abiturufgbenpools der Länder Aufgbensmmlung Aufgbe für ds Fch Mthemtik Kurzbeschreibung Anforderungsniveu Prüfungsteil Schgebiet digitles Hilfsmittel erhöht B Anlysis CAS 1 Aufgbe 1 Gegeben ist

Mehr

Beispiel-Abiturprüfung

Beispiel-Abiturprüfung Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg Bden-Württemberg: Abitur 014 Whlteil A www.mthe-ufgben.com Huptprüfung Abiturprüfung 014 (ohne CAS) Bden-Württemberg Whlteil Anlysis Hilfsmittel: GTR und Formelsmmlung llgemeinbildende Gymnsien Alexnder

Mehr

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 2 Seite 1 von 7. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs

Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 2 Seite 1 von 7. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs Seite 1 von 7 Unterlgen für die Lehrkrft Abiturprüfung 2010 Mthemtik, Leistungskurs 1 Aufgbenrt Anlysis 2 Aufgbenstellung siehe Prüfungsufgbe 3 Mterilgrundlge entfällt 4 Bezüge zu den Vorgben 2010 1 Inhltliche

Mehr

Musteraufgaben für das Fach Mathematik

Musteraufgaben für das Fach Mathematik Musterufgben für ds Fch Mthemtik 2012 Impressum Ds vorliegende Mteril wurde von einer Arbeitsgruppe mit Vertretern us den Ländern Byern, Hmburg, Mecklenburg-Vorpommern, Niederschsen, Schsen und Schleswig-

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999 Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden

Mehr

Berufsmaturitätsprüfung 2012 Mathematik

Berufsmaturitätsprüfung 2012 Mathematik GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmturitätsschule Berufsmturitätsprüfung 2012 Mthemtik Zeit: Hilfsmittel: Hinweise: Punkte: 180 Minuten Formel- und Tbellensmmlung ohne gelöste Beispiele,

Mehr

Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Gleichungen und Funktionen Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter

Mehr

Ein Kluger denkt so viel, dass er keine Zeit zum Reden hat. Ein Dummer redet so viel, dass er keine Zeit zum Denken hat. (Anonym)

Ein Kluger denkt so viel, dass er keine Zeit zum Reden hat. Ein Dummer redet so viel, dass er keine Zeit zum Denken hat. (Anonym) Ein Kluger dent so viel, dss er eine Zeit zum Reden ht. Ein Dummer redet so viel, dss er eine Zeit zum Denen ht. (Anonym) 6 Gnzrtionle Funtionen 6 Gnzrtionle Funtionen Wir wollen nun uch Funtionen betrchten,

Mehr

Analysis mit dem Voyage 1

Analysis mit dem Voyage 1 Anlysis mit dem Voyge 1 1. Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktionschr Den Nenner erhält mn mit Hilfe der Funktion getdenom. Zeros liefert die Nullstellen des Nenners und dmit die Werte, die us dem Definitionsbereich

Mehr

2. Flächenberechnungen

2. Flächenberechnungen Anlysis Integrlrechnung. Flächenberechnungen.. Die Flächenfunktion ) Flächenfunktionen ufzeichnen Skizziere zur gegebenen Funktion diejenige Funktion, welche die Fläche unterhlb der Funktionskurve misst.

Mehr

Grundwissen Abitur Analysis

Grundwissen Abitur Analysis GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 9257 PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen

Mehr

Abschlussprüfung Mathematik

Abschlussprüfung Mathematik Abschlussprüfung 0 Mthemtik 5. Mi 0, Klssen F08 und F08b Nme: Klsse: Hinweise: Zur Lösung der Aufgben stehen drei volle Stunden zur Verfügung. Als Hilfsmittel sind ein nicht lgebrfähiger und nicht grphikfähiger

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben Grundwissen Mthemtik Klsse 9 Übungsufgben Rechnen mit Wurzeln:. Rdiziere so weit wie möglich! 7 8 b c d) e) ( b ) f) b c ( ) g) b b. Berechne! ( 8 8 )( 7 ) 7 9 9. Mche den Nenner rtionl und vereinfche

Mehr

3. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner

3. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner 3. Mthemtik-Schulrbeit für die 5. Klsse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 75 Minuten Lernstoff: Mthemtische Grundkompetenzen: AG.1 Einfche Terme und Formeln ufstellen, umformen und im Kontext deuten

Mehr

Apsel/Wende Probeabitur LK Mathematik 2004/2005 Seite 2

Apsel/Wende Probeabitur LK Mathematik 2004/2005 Seite 2 Apsel/Wende Probebitur LK Mthemtik 004/005 Seite Hinweise für Schüler Aufgbenuswhl Von den vorliegenden Aufgben sind die Pflichtufgben P und P zu lösen. Von den Whlufgben W3 bis W6 sind Aufgben uszuwählen

Mehr

Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr

Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr Studiengng: Mtrikelnummer: 3 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure 0. 7. 05, 8.00 -.00 Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber

Mehr

mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 12 Nichttechnik - A II - Lösung

mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2010 Mathematik 12 Nichttechnik - A II - Lösung mthphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule Mthemtik Nichttechnik - A II - Lösung Teilufgbe. Der Grph G f einer gnzrtionlen Funktion f dritten Grdes besitzt den Extrempunkt E( / ), 7 schneidet

Mehr

Mathematik schriftlich

Mathematik schriftlich WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe

Mehr

7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen

7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen 7. Mthemtik Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Sison 1967/1968 Aufgben und Lösungen 1 OJM 7. Mthemtik-Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen

Mehr

Grundlagen der Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe

Mehr

Abschlussprüfung an Fachoberschulen / Zusatzprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife in beruflichen Bildungsgängen im Schuljahr 2007/2008

Abschlussprüfung an Fachoberschulen / Zusatzprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife in beruflichen Bildungsgängen im Schuljahr 2007/2008 Abschlussprüung n Fchoberschulen / Zustzprüung zum Erwerb der Fchhochschulreie in berulichen Bildungsgängen im Schuljhr 007/008 Hupttermin: Nch- bzw Wiederholtermin: 009008 Schulrten: Fch: Prüungsduer:

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

Tag der Mathematik 2016

Tag der Mathematik 2016 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Aufgben mit en Aufgbe G mit Der römische Brunnen Aufsteigt der Strhl und fllend gießt Er voll der Mrmorschle Rund, Die, sich verschleiernd, überfließt

Mehr

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse.

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse. 1. Welche Idee steckt hinter dem Integrl? 2. Welche geometrische Bedeutung ht ds Integrl? 3. Wie erechnet mn ein Integrl? Aufsummieren unendlich vieler infinitesiml kleiner Beiträge, die lle die Form eines

Mehr

1. Stegreifaufgabe aus der Physik Lösungshinweise

1. Stegreifaufgabe aus der Physik Lösungshinweise . Stegreifufgbe us der Physik Lösungshinweise Gruppe A Aufgbe Ds.Newtonsche Gesetz lässt sich zum Beispiel so formulieren: Wirkt uf einen Körper keine Krft (oder ist die Summe ller Kräfte null) so bleibt

Mehr

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis 4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 22.02.2010 Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der

Mehr

7.9A. Nullstellensuche nach Newton

7.9A. Nullstellensuche nach Newton 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren

Mehr

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,

Mehr

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,

Mehr

Seite 1 (von 11) Abiturprüfung 2009 MATHEMATIK. als Leistungskursfach. Arbeitszeit: 240 Minuten

Seite 1 (von 11) Abiturprüfung 2009 MATHEMATIK. als Leistungskursfach. Arbeitszeit: 240 Minuten Seite 1 (von 11) Abiturprüfung 009 MATHEMATIK ls Leistungskursfch Arbeitszeit: Minuten Der Fchusschuss wählt je eine Aufgbe us den Gebieten LM1, LM und LM zur Berbeitung us. Seite (von 11) LM1. INFINITESIMALRECHNUNG

Mehr

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Schriftliche Prüfungsrbeit zum mittleren Schulbschluss 007 im Fch Mthemtik 30. Mi 007 Arbeitsbeginn: 10.00 Uhr Berbeitungszeit: 10 Minuten Zugelssene

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

Grundwissen Mathematik 9

Grundwissen Mathematik 9 Grundwissen Mthemtik 9 Die binomischen Formeln ( + b) + b + b ( - b) - b + b ( + b) ( - b) - b Insbesondere benutzt mn die binomischen Formeln um Summen und Differenzen in Produkte umzuwndeln Die Qudrtwurzel

Mehr

KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion

KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Aufgbenstellungen Aufgbe.. Wir untersuchen den Flächeninhlt unter der lineren Funktion f(t) = t + im Intervll [; x]. Kurz: F (x) = x f(t) dt Erkläre elementr, insbesondere

Mehr

Darstellung von Ebenen

Darstellung von Ebenen Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor

Mehr

3. Ganzrationale Funktionen

3. Ganzrationale Funktionen 3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)

Mehr

Algebra - Lineare Abbildungen

Algebra - Lineare Abbildungen Algebr - Linere Abbildungen oger Burkhrdt (roger.burkhrdt@fhnw.ch) 8 Hochschule für Technik . Der Vektorrum Hochschule für Technik Hochschule für Technik 4 Vektorrum Definition: Ein Vektorrum über einen

Mehr

Einführung in die Festkörperphysik I Prof. Peter Böni, E21

Einführung in die Festkörperphysik I Prof. Peter Böni, E21 Einführung in die Festkörperphsik I Prof. Peter Böni, E21 Lösung zum 2. Übungsbltt (Besprechung: 0. - 1. Oktober 2006) P. Niklowitz, E21 Aufgbe 2.1: Zweidimensionle Wigner-Seitz-Zellen Vernschulichen Sie,

Mehr

Der Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor

Der Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / Die Kugel Volumen der Kugel: Oberfläche der Kugel: V O Kugel Kugel 4 πr 4πr Der Kreissektor (Kreisusschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : ϕ Bogenlänge: b

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Vorwort. Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik

Inhaltsverzeichnis. Vorwort. Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik Nchtermin 2003/04 1 Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfch Mthemtik Inhltsverzeichnis Vorwort... 1 Mteril für den Prüfungsteilnehmer... 2 Allgemeine Arbeitshinweise 2 Prüfungsinhlt... 2 Pflichtufgben...

Mehr

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen

Mehr

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis 4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH /LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene

Mehr

Fachschaft Mathematik am Gymnasium Donauwörth

Fachschaft Mathematik am Gymnasium Donauwörth Algebr 7: Zusmmenfssen gleichrtiger Terne: ) 5x 7x 3 3x + 5x +8 b) 3u 9v [(3u 8w) (u + 9v)] c) Distributivgesetz: ) -0,4c (,5 3 c 0, c 3 ) b) 7u 5 3u (u 3) 5 (u 4u + ) Ausmultiplizieren von Klmmern: )

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

Mathematik: Mag Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM

Mathematik: Mag Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM Bisher hben wir die Lge von Punkten und Gerden lediglich in der Ebene betrchtet. Nun wollen wir die Lge dieser

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes

Mehr

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Kreis beknnt us Klsse 8: U Kreis = 2 π r A Kreis = r 2 π Kreissektor Bogenlänge b Flächeninhlt Kreissektor: Die Länge b des Kreisbogens und der Flächeninhlt

Mehr

Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale

Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Ziele des Applets... 2 2 Begriffe und ihre Drstellung mit dem Applet... 2 b 2.1 Bestimmtes Integrl I (b) =

Mehr

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung)

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung) Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle

Mehr

Informationen zu den gemeinsamen Fächern im Zentralabitur 2010 in Berlin und Brandenburg. Nr. 1 Mathematik

Informationen zu den gemeinsamen Fächern im Zentralabitur 2010 in Berlin und Brandenburg. Nr. 1 Mathematik Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Informtionen zu den gemeinsmen Fächern im Zentrlbitur 00 in Berlin und Brndenburg Nr..0.009 Beispielufgben

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

Lineare Abbildung des Einheitskreises

Lineare Abbildung des Einheitskreises Linere Abbildung des Einheitskreises Peter Stender 27.06.2017 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises 27.06.2017 1 / 14 Mtrix und Dynmik m Kreis Fälle, bei denen B nicht uf der berechneten Prbel

Mehr

Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius.

Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius. Gymso 1 Grundwissen Mthemtik 8.Klsse Gymnsium SOB 1.Funktionle Zusmmenhänge 1.1.Proportionlität Ändern sih ei einer Zuordnung die eiden Größen im gleihen Verhältnis, so spriht mn von einer direkten Proportionlität.

Mehr

Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik

Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik Ministerium für Bildung und Kultur des Lndes Schleswig-Holstein Zentrle Abschlussrbeit 011 Übungsheft Mittlerer Schulbschluss Mthemtik Korrekturnweisung Impressum Herusgeber Ministerium für Bildung und

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable. Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

Flächenberechnung. Aufgabe 1:

Flächenberechnung. Aufgabe 1: Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die

Mehr

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen. Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,

Mehr

R. Brinkmann Seite Brüche, Terme und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit. b)

R. Brinkmann  Seite Brüche, Terme und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit. b) R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 9.09.0 Lösungen Linere Funktionen VBKA I Brüche, Terme und linere Funktionen zur Vorbereitung einer Klssenrbeit E E ) + = 8 0 0 ) 5 5 = 6 b) 7 9 = 8 7 56 b) 5 :

Mehr

Würfel (1) Würfel werden im Kasino und bei vielen Gesellschaftsspielen verwendet.

Würfel (1) Würfel werden im Kasino und bei vielen Gesellschaftsspielen verwendet. Würfel (1) Aufgbennummer: B_078 Technologieeinstz: möglich erforderlich Würfel werden im Ksino und bei vielen Gesellschftsspielen verwendet. ) Die Mthemtiker Blise Pscl und Pierre de Fermt beschäftigten

Mehr

26. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 7 Saison 1986/1987 Aufgaben und Lösungen

26. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 7 Saison 1986/1987 Aufgaben und Lösungen 26. Mthemtik Olympide 2. Stufe (Kreisolympide) Klsse 7 Sison 986/987 Aufgben und Lösungen OJM 26. Mthemtik-Olympide 2. Stufe (Kreisolympide) Klsse 7 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und

Mehr

Prof. Dipl.-Ing. Edgar Neuherz MATHEMATIK. Mathematik und angewandte Mathematik HAK

Prof. Dipl.-Ing. Edgar Neuherz MATHEMATIK. Mathematik und angewandte Mathematik HAK Prof. Dipl.-ng. Edgr Neuherz MATHEMATK 2 und ngewndte HAK lizensiert für: Dipl.-ng. Edgr Neuherz 2. Schulreit (2013-08-01 23:56) Schuljhr 2012/13 Verntwortlich für den nhlt Dipl.-ng. Edgr Neuherz Grz,

Mehr

a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x

a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x Bltt 1: Hilfe zur Umformung von Gleichungen mit vielen Vriblen Im Mthemtikunterricht hben Sie gelernt, wie mn Gleichungen mit einer Vriblen umformt, um diese Vrible uszurechnen. Meistens hieß sie. In Physik

Mehr

Das Rechnen mit Logarithmen

Das Rechnen mit Logarithmen Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:

Mehr

Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III

Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III Nme Vornme Mtrikelnummer Lösungsvorschlg Universität Krlsruhe Institut für Theoretische Informtik o. Prof. Dr. P. Snders 8. März 2006 Klusur: Informtik III Aufgbe 1. Multiple Choice 10 Punkte Aufgbe 2.

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 4.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 4.1 . Dr. Jürgen Roth Fchbereich 6: Abteilung Didktik der Mthemtik Elemente der Algebr . Inhltsverzeichnis Elemente der Algebr & Argumenttionsgrundlgen, Gleichungen und Gleichungssysteme Qudrtische und Gleichungen

Mehr

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen. Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten

Mehr

Volumen von Rotationskörpern

Volumen von Rotationskörpern Volumen von Rottionskörpern Beispiele: [ Es stellt sich die Frge: Wie entstehen solche Rottionskörper bzw wie lssen sich solche Rottionskörper er zeugen? Rotiert eine Fläche z.b. um die x-achse, so entsteht

Mehr

Musterlösung für die Nachklausur zur Analysis II

Musterlösung für die Nachklausur zur Analysis II MATHEMATISCHES INSTITUT WiSe 213/14 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Musterlösung für die Nchklusur zur Anlysis II Aufgbe 1 Gilt folgende Aussge? Eine im Punkt x R 2 prtiell differenzierbre Funktion f : R 2 R ist

Mehr

Grundwissen Mathematik 8

Grundwissen Mathematik 8 Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die

Mehr

Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:

Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf: Aufgbe : ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf: = kein Problem einfch die Wurel iehen und ds ± nicht vergessen.. = = ±, b) + 5 = 0 Hier hben wir bei jedem Ausdruck ein, lso können wir usklmmern:

Mehr

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln 5 Ellipsen, Prbeln und Hperbeln Ellipsen: Seien b > reelle Zhlen und E = E,b := { + b = } Eine Qudrik Q R heißt Ellipse, wenn es reelle Zhlen b > gibt, so dss q E,b. Die Kurven E,b heißen Ellipsen in metrischer

Mehr

6. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2. Runde 2003/04 Aufgaben und Lösungsbeispiele

6. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2. Runde 2003/04 Aufgaben und Lösungsbeispiele 6. Lndeswettbewerb Mthemtik yern. Runde 00/04 ufgben und Lösungsbeispiele ufgbe 1 ie Seite [] eines reiecks wird über hinus bis zum Punkt so verlängert, dss = n gilt (n N n>1). ie Gerde durch und den Mittelpunkt

Mehr

Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8

Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8 Üungsltt Gleichungsssteme Klsse 8 Auge : Berechne die Lösungen des Gleichungspres: I II 7 Kontrolliere durch Einseten. Auge : Löse dem Additionsverhren: I 7-6 II 9 Auge : Gegeen ist olgendes linere Gleichungssstem

Mehr

Geodäten. Mathias Michaelis. 28. Januar 2004

Geodäten. Mathias Michaelis. 28. Januar 2004 Geodäten Mthis Michelis 28. Jnur 2004 1 Vektorfelder Definition 1.1 Sei S 3 eine reguläre Fläche. Ein Vektorfeld uf S ist eine Abbildung v : S 3 so, dss v(p) T n S für lle p S. Ein Vektorfeld ordnet lso

Mehr

1.2 Der goldene Schnitt

1.2 Der goldene Schnitt Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert

Mehr

( 0) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Analysis, analytische Geometrie, Stochastik 1.1 1.1.1. Ableitungen: Wendepunkte: = 24 > 0 konkav konvex fa

( 0) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Analysis, analytische Geometrie, Stochastik 1.1 1.1.1. Ableitungen: Wendepunkte: = 24 > 0 konkav konvex fa Lösungen Abitur Leistungskurs Mthemtik 00 www.mthe-schule.de Seite von P Anlsis, nltische Geometrie, Stochstik. f + + R, R.. Ableitungen: f ' + f ''( ) + Wendepunkte: f '' 0.. 0 W f ''' + + 0 ( + ) 0 f

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30 15 Mtrizenrechnung 15 Mtrizenrechnung 15.1 Mtrix ls Zhlenschem Eine Internetfirm verkuft über einen eigenen Shop Digitlkmers. Es wird jeweils nur ds Topmodel der Firmen Cnon, Nikon und Sony ngeboten. Verkuft

Mehr

Platonische Körper Eine Übersicht mit Bauanleitungen für den Einsatz in der Lehre Februar 2016 Julia Bienert

Platonische Körper Eine Übersicht mit Bauanleitungen für den Einsatz in der Lehre Februar 2016 Julia Bienert Eine Übersicht mit Bunleitungen für den Einstz in der Lehre Februr 016 Juli Bienert Inhltsverzeichnis 1 Bunleitungen... 1 1.1 Aufbu der Anleitungen... 1 1. Anleitungen... Weiterführende Litertur... 9 Anhng

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG R Käppeli L Herrmnn W Wu Herbstsemester 206 Linere Algebr und Numerische Mthemtik für D-BAUG Beispiellösung für Serie 5 ETH Zürich D-MATH Aufgbe 5 5) Seien u und v Lösungen des LGS Ax = b mit n Unbeknnten

Mehr

Vergleichsarbeiten Jahrgangsstufe (VERA-8) Mathematik Durchführungserläuterungen

Vergleichsarbeiten Jahrgangsstufe (VERA-8) Mathematik Durchführungserläuterungen Vergleichsrbeiten 2010 8. Jhrgngsstufe (VERA-8) Mthemtik Durchführungserläuterungen Testdurchführung Für den Test werden insgesmt c. 90 Minuten benötigt. Die reine Testzeit beträgt 80 Minuten. Für die

Mehr

Abiturprüfung 2007. Mathematik, Leistungskurs 0,02

Abiturprüfung 2007. Mathematik, Leistungskurs 0,02 M LK HT Seite von Nme: Abiturprüfung 007 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung: Gegeben ist die Funtion f mit Ein Teil des Grphen von f ist für 0,0 t ft () = t e, t IR. 0 t 5 m Ende der Aufgbe uf Seite

Mehr

Analysis I Probeklausur 2

Analysis I Probeklausur 2 WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch

Mehr

Kaufmännische Berufsmatura Als Resultate gelten nur eindeutig gekennzeichnete Zahlen, Mengen oder Sätze

Kaufmännische Berufsmatura Als Resultate gelten nur eindeutig gekennzeichnete Zahlen, Mengen oder Sätze Kufmännische Berufsmtur 009 Serie : Lösungen Serie Serie - Lösungen Prüfungsduer: Mx. zhl: 50 Minuten 00 Bewertungshinweise:. Mehrfchlösungen sind nicht gestttet.. Als Resultte gelten nur eindeutig gekennzeichnete

Mehr

Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3

Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3 Deprtment Mthemtik Dr. rer. nt. Lrs Schewe Mthis Sirvent Wintersemester 013/014 Probeklusur Mthemtik für Ingenieure C3 Anmerkungen zur Klusur: Die Arbeitszeit wird 90 Minuten betrgen. Sie können sämtliche

Mehr

Aufgaben zur Kreisgeometrie

Aufgaben zur Kreisgeometrie Dr. Krlhorst Meer Aufgben zur Kreisgeometrie 1. Frgen Die folgenden Aufgben sind entsprechend MEYER [1] geordnet und beziehen sich uf dieses Mnuskript. 1. Aufgben findet mn in jedem Buch über komplee Zhlen,

Mehr

Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik

Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik Schriftliche Reifeprüfung us Mthemtik 1) Linere Optimierung Ein Händler für Bürortikel füllt für den Schulnfng sein Lger mit Tschenrechnern des Typs Advnced und des Typs Bsic uf. Typ A kostet ihn im Einkuf

Mehr

Lösungen Matur

Lösungen Matur Wirtschftliches Mturitätsprofil Seite 1 von 7 Mturitätsprüfung 007 Lösungen Mtur 006-007 1. (5 P.) Lut Wikipedi betrug die Weltbevölkerung m 1.1.1987 fünf Millirden Menschen, m 1.1.000 wren es 6 Millirden.

Mehr

Grundwissen 9. Klasse G8

Grundwissen 9. Klasse G8 Leibniz-Gymnsium Altdorf Grundwissen 9. Klsse G8 Wissen / Können Aufgben und Beispiele Lösungen I) Reelle Zhlen Für eine nichtnegtive Zhl heißt diejenige nichtnegtive Zhl, deren Qudrt ergibt, Qudrtwurzel

Mehr

Fachhochschule Jena Fachbereich GW. Serie Nr.: 2 Semester: 1

Fachhochschule Jena Fachbereich GW. Serie Nr.: 2 Semester: 1 Fchhochschule Jen Fchbereich GW Tutorium Mthemtik I Studiengng: BT/MT - Bchelor Serie Nr.: 2 Semester: Them: Vektorrechnung und Geometrie Auf die Lehrmterilien im Internet ( Zum selbständigen Üben ) empfehle

Mehr

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i, Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr