VORLESUNG MASSIVBAU I. Gliederung. Balken unter Biegebeanspruchung. 5. Biegung mit Längskraft (Teil 1) Univ.-Prof. Dr.-Ing. Josef Hegger.

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1 1 5. Biegung mit Längskrt (Teil 1) Univ.-Pro. Dr.-Ing. Jose Hegger Glieerung Einührung Stogesete Bemessungsgrunlgen Biegung mit Längskrt Duktiles Buteilverhlten Itertive Biegeemessung Bemessungshilen Blken unter Biegeenspruhung Rissil Q w Q Biegung mit Querkrt Reine Biegung Biegung mit Querkrt Q

2 Trgverhlten Spnnungsverteilung omenten-durhiegungs-digrmm Q w Q Zustn I (ungerissen) ) σ Biegemoment Zustn II (gerissen) Rissilung m Zugrn ) σ ) σ ) σ ~ F As1 Biegesteiigkeit EI im Zustn I ) ) Biegesteiigkeit EI im Zustn II Bruh ) ) plstishe Verormungen es Sthls kleinere Steiigkeit inolge Rissilung Rissene ~ y F s1 Durhiegung w Verormungsigur un Grunnnhmen 5 Belsteter Blken Verkrümmung Eenleien es Quershnitts Vollkommener Verun Dehnungen un innere Kräte F F s Betonugestigkeit wir vernhlässigt terilgesete Beton/Sthl Gleihgewiht er Kräte ΣH ; Σ Glieerung 6 Einührung Stogesete Bemessungsgrunlgen Biegung mit Längskrt Duktiles Buteilverhlten Itertive Biegeemessung Bemessungshilen

3 Ielisierte Stogesete von Beton () 7 liner σ iliner σ qurtishe oer kuishe Prel σ u u u rehtekige Spnnungsverteilung σ σ Rehenwert er Drukestigkeit u u u Rehenwert er Bruhstuhung Stogesete nh DIN 15-1 is C5/6 (1) 8 Prel-Rehtek-Digrmm σ (<) Kureitestigkeit k Bemessungsestigkeit α k /γ -,5 -, n σ 1 1 Stogesete nh DIN 15-1 is C5/6 () 9 Bilinere Spnnungs- Dehnungs-Linie Prel-Rehtek-Digrmm un Rehtekiger Spnnungslok σ σ χ,95 Prel-Rehtek- Digrmm 1,5,5 - [ ],5,7 - [ ]

4 Stogeset nh DIN 15-1 ür Betonsthl 1 Spnnungs-Dehnungs-Linie nh DIN 15-1, Bil 7 σ s [N/mm²] tk yk y yk /γ s ielisierter Verlu Bemessungsigrmm su 5 [ ] Glieerung 11 Einührung Stogesete Bemessungsgrunlgen Biegung mit Längskrt Duktiles Buteilverhlten Itertive Biegeemessung Bemessungshilen Üerwiegene Biegeenspruhung 1 Einwirkene Shnittgrößen Drehpunkt N s1 A s1 E Ausmitte e /N E N E Gehter Biegeheel Ielisierte Dehnungs- un Spnnungsverteilung σ s1 Resultierene Kräte im Quershnitt Druk F F s Zug ΣN N E F +F s1 Σ + F ( - s1 )+F s s1 Es müssen ermittelt weren: innerer Heelrm unehmre Betonrukkrt F Erorerlihe Bewehrung A s1

5 Krätegleihgewiht n einem Blken (1) 1 Reine Biegung Einwirkene Shnittgrößen A s1 Ielisierte Dehnungs- un Spnnungsverteilung σ s1 + Bemessung : N F Fs1 F Fs1 Fs1 As1 E er As 1 σ s1 unehmre Shnittgrößen F F s1 (,9 ) Krätegleihgewiht n einem Blken () 1 Biegung mit Längskrt Einwirkene Shnittgrößen Ielisierte Dehnungs- un Spnnungsverteilung unehmre Shnittgrößen N E σ F s1 A s1 (,9 ) s1 + N Es s F s1 Erorerlihe N Es N E Hilsgrößen Bemessung ei er Biegeemessung : s N E - Sthlugkrt s1 s F N NEs F + Fs1 - Betonrukkrt (Spnnungsintegrtion er Drukone) Fs1 F + NEs - innerer Heelrm (Lge er resultierenen Betonrukkrt) Es 1 Es Fs1 + NEs er As 1 + N Es - mßgeene Dehnungsverteilung (Gleihgewiht er inneren un äußeren σ y Kräte Bestimmung er Betonrukkrt 15 (),,5 σ α k / γ σ F Größe er Betonrukkrt F F σ Lge er Betonrukkrt σ F

6 Hilsgrößen α R un k 16 σ s k F α R σ m α R s1 Betonrukkrt ür (1) 17 -, σ F σ F σ σ σ (),5 Betonrukkrt ür () 18 F σ mit : F σ ( ) σ ( ) 1 1 nh DIN15-1 σ ( ) (, 5 ) F 1 ( 6 ) 1 α 1 αr ( 6 ) 1 R (, 5 ) -, σ σ F

7 19 -, -,5 Betonrukkrt ür,5 < (1) σ α k / γ σ F σ F σ,5 Betonrukkrt ür,5 < < (), F + 5 R α R α , [ ] Lge er Betonrukkrt 5, k + + k, Hilsgrößen hängig von er Stuhung er Rnser k k F σ F α R σ m α R k Astn er Betonrukkrt vom Quershnittsrn

8 Hilsgrößen α R un k (Digrmm) α R ; k 1,,8 α R σ m /,81,6,, k /,,, -,5-1, -1,5 -, -,5 -, -,5 σ s k Rnehnung in F α R σ m α R Glieerung Einührung Stogesete Bemessungsgrunlgen Itertive Biegeemessung Bemessungshilen Biegung mit Längskrt Itertive Biegeemessung Quershnittsmessungen estlegen Ermittlung er einwirkenen Shnittgrößen, N w., N E w. s, N Es Dehnungsverteilung shäten Bestimmung er unehmren / resultierenen Shnittgrößen F, F s1, F s Üerprüung es Gleihgewihts Σ un Σ N JA Bewehrungsquershnitt A s1,a s estlegen NEIN

9 1. Berehnungseispiel - Teil 1 5 Gegeen: h A s1 s1 Beton: C /5 Betonsthl: BSt 5 Shnittgrößen: G 7 knm Q 5 knm N G - kn N Q -1 kn Gesuht: Bemessung es Quershnitts erorerlih A s1 1. Berehnungseispiel - Teil 1 6 Ermittlung er einwirkenen Shnittgrößen γ G G,k + γ Q Q,k 1, , knm N E γ G N G,k + γ Q N Q,k 1,5 (-) + 1,5 (-1) - kn Umrehnung u ie Ahslge er Bewehrung A s1 : s N Es - N E s (-), 155, knm N E E NE N Es Es 1. Berehnungseispiel - Teil 1 7 Dehnungsverteilung shäten E NE N Es Es s11 -,5 σ -, Nullinie F - Fs1 Rs F N Rs F s1 - F -,5 σ,85, / 1,5 11, N/m² s1 1, s1 > sy 5 / ( 1 5 ) 1, / 1,15,17 5 / 1,15 5 N/m²

10 1. Berehnungseispiel - Teil 1 8 Ermittlung er Drukkrt -,5 F α R Drukonenhöhe:,5,5 / (,5 + 1,),117 m ittelwert er Drukspnnungen (Rnstuhung: -,5 - ): α R 1/ ( ) / 1/ (,5 ) /,5,81 einher: Alesung us Digrmm h5 5 5 As1 s11 k 1, α R ;,8 α R σ / m,6,, k /,, -,5-1, -1,5 -, -,5 Rnehnung in F,,117,81 11,,1 N -,,81, -,5 1. Berehnungseispiel - Teil 1 9 Ermittlung es Heelrms er inneren Kräte,5 k k [ ( ) + ] / [ ( )] [,5 (,5 ) + ] / [,5 (,5 )],16 einher: Alesung us Digrmm F - Fs1 k 1, α R ;,8 α R σ m /,6,, k /,, -,5-1, -1,5 -, -,5 Rnehnung in -,,81, -,5,5,117,,1 1. Berehnungseispiel - Teil 1 Aunehmres inneres oment Rs F Rs 1,1 19 knm < 155, knm Aunehmres oment ist kleiner ls einwirkenes oment Drukone vergrößern

11 1. Berehnungseispiel - Teil 1 1 Dehnungsverteilung veressern neu -,5 +7, 5,5,5 / (,5 + 7,),17 m -,5 α R,81 k,16 s1 7, s1 > sy lt -,5 +1, 5 F,,17,81 11,, N,5,16,17,89 m Rs, knm 155, knm Gleihgewiht er inneren un äußeren Shnittgrößen erreiht 1. Berehnungseispiel - Teil 1 Gegenüerstellung er Dehnungsverteilungen lt -,5 neu -, , +7, Drukonenhöhe un innerer Heelrm,117 m,17 m,1 m,89 m Betonrukkrt F 1 kn Aunehmres oment Rs 19 knm F kn F 155 knm 1. Berehnungseispiel - Teil 1 Bestimmung er erorerlihen Bewehrung E NE N Es Es F F s1 Rs F N Rs F s1 - F ΣN F s1 N Es + F kn er A s1 [,6 / (5 / 1,15)] 1 8, m² Gewählt: 5 16 vorh A s1 1,1 m²