Übungsaufgaben Repetitionen

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1 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Übungsaufgaben Repetitionen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn Ausgabe: November 010

2 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 6 SATZ DES PYTHAGORAS REPETITIONEN 1 Kante eines Dreiecks Berechne die Länge der Strecke x. x = 11,3

3 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 3 Diogonale einer Raute Die Diagonalen der Raute halbieren sich gegenseitig und stehen senkrecht aufeinander. a = 5, 7cm Berechnen Sie die Seitenlänge a einer Raute, deren Diagonalen 7 cm und 9 cm lang sind.

4 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 4 3 Dachsparre Berechnen Sie die Länge einer Dachsparre! 7,3m

5 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 5 4 Umwandlung Verwandlen Sie ein beliebiges Trapez ABCD in ein Quadrat. Lösung: Verwandlen Sie zunächst das gegebene Trapez ABCD in ein Rechteck FGHE. Tragen Sie darauf die kleinere Rechteckseite EF vom Eckpunkt E auf der grösseren Seite EH ab, und errichten Sie im Endpunkt die Senkrechte. Zeichen Sie über der grösseren Rechteckseite EH den Halbkreis, der die Senkrechte in K schneidet. Die Verbindung KE ist die gesuchte Quadratseite.

6 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 6 5 Flächenberechnung In ein Quadrat mit der Seitenlänge 8 cm wird ein kleineres Quadrat einbeschrieben (siehe untenstehende Skizze). 50cm Welchen Flächeninhalt hat das innere Quadrat?

7 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 7 6 Längenberechnung Es soll im Freien die Entfernung AB bestimmt werden. Die unmittelbare Messung wird durch einen Teich verhindert. 11,m Zeichnen Sie ihren Lösungsweg zuerst in der Grafik ein! Massstab 1 cm = ˆ 10m A B AC = 7m BC = 86m Lösung: Mit Hilfe des Winkelspiegels wird ein Punkt C so festgelegt, dass ACB=90 ist. AC und CB werden gemessen. AB wird berechnet. Lösen Sie die Aufgabe für AC=60m und CB=50m.

8 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 8 7 Diagonale eines Quadrates Berechnen Sie die Diagonale eines Quadrates mit der Seite a=8cm. Machen Sie zuerst eine Konstruktionszeichnung! 11,31cm a) Allgemeine Formel b) Wertemässig

9 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 9 8 Leiter an der Wand Eine 7,5m lange Leiter wird an eine Hauswand gelehnt. Wie hoch reicht sie hin-auf, wenn ihr unterstes Ende 1,8m von der Hauswand entfernt ist? 7,81m Skizze: ( 1 cm = ˆ 1m )

10 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 10 9 Höhensatz Verwandlen Sie ein Rechteck von a=4cm und b=,5cm mit Hilfe des Höhensatzes in ein Quadrat um. Skizze: 7,81m Höhensatz von Euklid h C = p q Euklid von Alexandria (ca. 365 v. Christus vermutlich in Alexandria oder Athen geboren; ca. 300 v. Chr.), war ein griechischer Mathematiker.

11 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite Quadrat und seine Diagonale Von einem Quadrat ist die Länge einer Diagonale d=10m gegeben. 7,071m Wie lang ist eine Quadratseite a?

12 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 1 11 Mittalpunkt eines Kreises A und B seien zwei Punkte, die 340m voneinander entfernt liegen. Es soll der Mittelpunkt des Kreises gesucht werden, der durch A und B geht und der einen Radius von 400m Länge hat. Die Lage des gesuchten Mittelpunktes kann nicht so gefunden werden, dass man mit 400m den Kreis um B schlägt (weshalb nicht?); man bestimmt vielmehr die Mitte der Strecke AB, also C, und berechnet 0C nach dem Pythagoras.

13 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 13 1 Quadratischer Balken aus einem Baumstamm Aus einem Baumstamm soll in einem Sägewerk ein Balken mit quadratischem Querschnitt (Kantenlänge 14 cm) hergestellt werden. 19,8cm Welchen Durchmesser muß der Baumstamm mindestens haben?

14 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite Balken aus einem Baumstamm sägen Welchen Durchmesser muß ein Baumstamm mindestens haben, um daraus einen Balken mit einem Querschnitt von 16 cm x 6 cm sägen zu können? 30,53cm

15 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite Dreiecksfläche Berechne Umfang und Flächeninhalt des schraffierten Dreiecks, wenn das Rechteck 9 cm lang und 6 cm breit ist. Die Ecken B und C des Dreiecks liegen in den Seitenmitten des Rechtecks. A = 0,3cm U =, 4cm

16 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite Dreiecksfläche Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Kathete b = 3 cm und die Hypotenuse c = 5 cm gegeben. 6cm Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks!

17 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite Quadratfläche Einem Quadrat ABCD ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 10 cm und 4 cm einbeschrieben. 98cm Berechne den Flächeninhalt des Quadrates!

18 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite Grundstück berechnen Das trapezförmige Grundstück gemäß untenstehender Zeichnung ist gegeben. a) Zeichne das Grundstück im Maßstab 1 : 500. b) Berechne den Umfang und den Flächeninhalt. 90,4m 345,6m Zeichnung Massstab 1 : 500

19 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite Grundstück berechnen Eine Grundstücksfläche besteht aus einem gleichschenkligem Trapez und einem rechtwinkligen Dreieck (siehe untenstehende Zeichnung). Berechne den Flächeninhalt des gesamten Grundstücks. Trapezfläche 311,9m Dreiecksfläche 880m Gesamtfläche 599,9m

20 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 0 19 Gemischte Zeichnung In ein Quadrat mit der Seitenlänge 10 cm ist ein kleineres Quadrat entspechend der untenstehenden Zeichnung einbeschrieben. 1150cm Berechne den Flächeninhalt der schraffierten Fläche.

21 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 1 0 Pyramide Eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat eine Grundkante a = 5 cm und eine Körperhöhe hk = 6 cm. h S = 6, 5cm s = 6, 9cm a) Berechne die Höhe hs einer Seitenfläche. b) Berechne die Länge s einer Seitenkante.

22 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 1 Rechtwinkliges Dreieck Berene die fehlenden Werte für alle Teile des rechtwinkligen Dreiecks (a, b, c, h, p, q). Benutzen Sie dafür alle Sätze die Sie kennen (Kathetensatz, Höhensatz, Pythagoras). a) a = 5cm, c = 7cm b) p = 4cm, q = 9cm c) a = 7cm, c = 9cm d) p = 3cm, q = 1cm Kathetensatz a b = c p = c q Höhensatz h C = p q Pythagoras c = a + b Lösungen

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