Mitten-Dreiund Vier-Ecke

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1 Alle Ergebnisse - dazu gehören auch Kopiene der Zeichnungen - sind im Heft zu notieren Du wirst im Folgenden einiges selbst herausfinden müssen. Nutze dazu auch die Hilfen, dei dir kig liefert. 1 Mittendreieck Ausgehend von den Eigenschaften der Punktspiegelung und des Parallelogramms kannst du anhand einer Konstruktion die Zusammenhänge zwischen einem Dreieck und seinem Mittendreieck entdecken und begründen. Anhand der gleichen Figur wird es dir auch gelingen, zu begründen, warum sich die Höhen eines Dreiecks in genau einem Punkt schneiden. 1.1 Aufträge- Teil Zeichne mit einer Software für dynamische Geometrie (hier kig) ein (nicht gleichschenkliges, nicht rechtwinkliges) Dreieck ABC Spiegele das Dreieck ABC an der Mitte M a der Seite a (Punktspiegelung!). Benenne den Spiegelpunkt von A mit A. Welche Eigenschaften hat das Viereck ABA C? Spiegele das Dreieck ABC noch einmal; jetzt an der Seitenmitte M b ; benenne den Spiegelpunkt von B mit B. Wiederhole dies auch mit der dritten Seite! Beschreibe die entstandene Gesamtfigur. Welche Eigenschaften hat A B C im Vergleich zu ABC? Überprüfe deine Ergebnisse, indem du die Lage der Punkte A, B und C veränderst <user>\mathe\8\geo\mittendreieck1.kig Vervollständige den folgenden Satz (Heft; mit passender Zeichnung):

2 Satz vom Mittendreieck Wenn man ein Dreieck nacheinander an den drei Seitenmitten spiegelt (Punktspiegelung), dann entsteht ein Dreieck mit... Winkeln und... langen Seiten, die... zu den Seiten des ursprünglichen Dreiecks liegen. 1.2 Aufträge- Teil Angenommen, wir hätten zuerst A B C gezeichnet. Wie erhält man dann daraus das Mittendreieck ABC? Zeichne mit dem Programm für dynamische Geometrie ein neues Dreieck A B C und konstruiere anschließend das zugehörige Mittendreieck Formuliere die Eigenschaften des Mittendreiecks in einem Satz Eine einzelne Seite des Mittendreiecks heißt Mittenlinie. Ergänze den folgenden Satz und überprüfe ihn an deiner Zeichnung. Satz von der Mittenlinie im Dreieck Wenn man in einem Dreieck die Verbindungsstrecke zweier Seitenmitten einzeichnet, dann ist diese... zur dritten Seite und... wie diese. <user>\mathe\8\geo\mittendreieck2.kig Konstruiere nun in deiner Figur die Seitenmitten des Mittendreiecks und zeichne das Mittendreieck des Mittendreiecks ein. Welchen Flächeninhalt hat dieses zweite Mittendreieck im Vergleich zum ursprünglichen Dreieck? <user>\mathe\8\geo\mittendreieck3.kig Welchen Flächeninhalt hat das dritte, vierte,..., zehnte Mittendreieck? Formuliere eine allgemeine Gesetzmäßigkeit. Welche Gesetzmäßigkeit gilt für die Seitenlängen? Wie groß müsste wohl das Ausgangsdreieck sein, damit das zehnte Mittendreieck noch einen Flächeninhalt von 1cm 2 besitzt? Wenn bei dem ursprünglichen Dreieck die Seite c die Länge 10 cm hat, wie lang ist dann die Seite c 1 0 beim zehnten Dreieck? Rechne und erkläre! Achtung! Das Anfangsdreieck ist das erste! 1.3 Zum Weiterforschen Gibt es entsprechend Gesetzmäßigkeiten eigentlich auch für Vierecke? Zeichne in mehrere Vierecke von möglichst unterschiedlicher Form die zugehörigen Mittenvierecke ein. Was stellst du fest? Formuliere deine Ergebnisse in Wenn-dann-Sätzen.

3 Die entsprechenden Zusammenhänge kannst du im Kapitel über Mittenvierecke ausgiebig erforschen. 1.4 Höhen im Dreieck Zeichne ein Dreieck ABC und sein Mittendreieck M a M b M c. Konstruiere im Mittendreieck die drei Höhen Die Linien scheinen sich in einem gemeinsamen Punkt H zu schneiden. Kannst du begründen, warum das so ist? Konstruiere dazu vom ursprünglichen Dreieck die drei Mittelsenkrechten. Von ihnen weißt du, dass sie sich in einem Punkt, nämlich dem Umkreismittelpunkt von ABC, schneiden. Welchen Zusammenhang mit dem Höhenschnittpunkt H erkennst du? <user>\mathe\8\geo\mittendreieck4.kig Formuliere deine Erkenntnisse in einem Satz über die Höhen in einem Dreieck. 2 Mittenviereck Im ersten Teil Mittendreieck konntest du die Sätze vom Mittendreieck und von der Mittenlinie im Dreieck kennen lernen und Begründungen dafür finden. Gibt es auch entsprechende Gesetzmäßigkeiten für Vierecke? Besitzt z. B. das Mittenviereck Ähnlichkeiten mit dem Ausgangsviereck? 2.1 Aufträge Zeichne mit einem Programm für dynamische Geometrie ein Viereck ABCD. Konstruiere die Seitenmitten E (E ist die Mitte der Seite AB usw.), F, G und H des Vierecks und zeichne das Mittenviereck EF GH ein. <user>\mathe\8\geo\mittenviereck1.kig Was stellst du fest? Verändere zur Überprüfung deiner Vermutungen die Form des Ausgangsvierecks und miss mit Hilfe des Computers auch Seitenlängen und Winkel des Mittenvierecks.

4 2.1.4 Formuliere deine Ergebnisse in Wenn-dann-Sätzen. 2.2 Aufträge 4 Mit den Mittenvierecken verhält es sich ganz anders als mit den Mittendreiecken. Es ergeben sich immer Parallelogramme. Aber:?Ist das immer so?? und?wie kommt das eigentlich?? Zeichne im Viereck ABCD die Diagonale AC ein und gib ihr die gleiche Farbe wie den Strecken F G und EH des Mittenvierecks. Vergleiche die gegenseitige Lage und die Längen von AC, F G und EH Wende in den Dreiecken ABC und ACD jeweils den Satz von der Mittenlinie im Dreieck an. Begründe damit folgenden Satz: Satz vom Mittenviereck Wenn man in einem Viereck die Seitenmitten durch Strecken verbindet, dann entsteht ein Parallelogramm. 2.3 Aufträge 5 Vielleicht hast du in der Experimentierphase der Aufträge 1 schon spezielle Vierecke gezeichnet und dann auch spezielle Parallelogramme als Mittenvierecke erhalten. Dies kannst du nun genauer untersuchen Zeichne in ein Rechteck das Mittenviereck ein und begründe den folgenden Satz. Satz von der Raute als Mittenviereck Wenn man in ein Rechteck das Mittenviereck einzeichnet, dann ist es eine Raute. <user>\mathe\8\geo\mittenviereck2.kig Wann ist das Mittenviereck ein Quadrat? Äußere eine Vermutung! 2.4 Aufträge 6 Aber: Muss es unbedingt ein Rechteck sein, damit das Mittenviereck eine Raute ergibt? Vertauscht man Voraussetzung und Behauptung eines Satzes, so erhält man einen neuen Satz, den so genannten Kehrsatz. Kehrsatz zu Satz 1: Wenn das Mittenviereck eine Raute ist, dann ist das ursprüngliche Viereck ein Rechteck. Ist der Kehrsatz überhaupt wahr?

5 2.4.1 Untersuche mit dynamischer Geometriesoftware, ob dieser Kehrsatz wahr ist. Beachte: Um zu zeigen, dass ein Satz (oder Kehrsatz) falsch ist, genügt es, ein einziges Gegenbeispiel zu finden. Ein Satz nur dann wahr, wenn er für alle denkbaren Fälle richtig ist Zeichne ein Rechteck mit Mittenviereck und probiere aus, ob Seiten des Rechtecks gedreht oder verzogen werden können, so dass das Mittenviereck immer noch eine Raute bleibt. (Tipp: Nutze die Koordinaten aus; überlege wie du das Rechteck verändern könntest, ohne die Raute zu verändern!) <user>\mathe\8\geo\mittenviereck3.kig Probiere aus, ob es auch nicht-symmetrische Vierecke mit einer Raute als Mittenviereck geben könnte. Formuliere eine Vermutung. 2.5 Aufträge 7 Vielleicht hast du beim Probieren in den Aufträgen 6 schon gemerkt, dass es viele verschiedene Vierecke mit einer Raute als Mittenviereck gibt, auch solche, die keine Symmetrieeigenschaft erkennen lassen. Was ist nun der eigentliche Grund? Wie muss der Satz 1 formuliert werden, damit auch der zugehörige Kehrsatz wahr ist? Um dies zu ergründen, gehen wir diesmal die Sache von rückwärts an Konstruiere zuerst (mit Hilfe ihrer Diagonalen) eine Raute EF GH! Du brauchst dafür die Symmetrieeigenschaften der Raute <user>\mathe\8\geo\mittenviereck4.kig Nachträglich soll nun um diese Raute herum das Viereck ABCD konstruiert werden, das als Mittenviereck die vorgegebene Raute besitzt. Zeichne einen (geeigneten) Punkt A! Konstruiere nun einen beliebigen Punkt B, so dass E der Mittelpunkt der Seite AB wird! (Hinweis: Punktsymmetrie) <user>\mathe\8\geo\mittenviereck5.kig

6 2.5.3 Konstruiere entsprechend von B ausgehend den Punkt C, dann von C ausgehend den Punkt D. (D könnte auch von A ausgehend konstruiert werden. Prüfe, ob du den gleichen Punkt erhältst!) <user>\mathe\8\geo\mittenviereck6.kig Zeichne anschließend die restlichen Strecken des Vierecks ABCD und auch die beiden Diagonalen ein. Was stellst du fest, wenn du die Länge der Diagonalen misst? Verändere die Raute. Stimmt deine Vermutung noch? <user>\mathe\8\geo\mittenviereck7.kig Ergänze nun den unten stehenden Satz von der Raute als Mittenviereck so, dass auch der Kehrsatz wahr ist. Satz von der Raute als Mittenviereck Wenn in einem Viereck die Diagonalen..., dann ist das zugehörige Mittenviereck eine Raute Anwendung: Konstruiere zwei verschiedene Vierecke ABCD mit a = 6 cm, b = 3,5 cm und α = 80, so dass das zugehörige Mittenviereck eine Raute ergibt. <user>\mathe\8\geo\mittenviereck8.kig

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