Ergänzende Materialien zum Seminar Theoretische Mechanik WS 2005/06

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Ergänzende Materialien zum Seminar Theoretische Mechanik WS 2005/06"

Transkript

1 Ergänzende Materialien zum Seminar Theoretische Mechanik WS 2005/06 Dörte Hansen 4. Dezember Lagrangepunkte oder: Das restringierte 3-Körper-Problem der Himmelsmechanik 1.1 Motivation Die Trojaner sind ein längst untergegangenes Volk der Vorzeit? Irrtum! Es gibt sie noch heute! Schon seit dem Ende des 18. Jahrhundert vermutete man die Existenz dieser kleinen Himmelskörper, ohne dass es jedoch gelang, sie durch direkte Beobachtungen nachzuweisen. Nach den Berechnungen der Mathematiker Euler und Lagrange sollte es im gemeinsamen Gravitationsfeld von Jupiter und Sonne insgesamt fünf Punkte geben, an denen die Kraftwirkung auf einen Testkörper verschwindet. Zwei dieser Punkte sollten sich auf der Jupiterbahn befinden, und zwar jeweils 60 Grad vor bzw. hinter dem Planeten. Astronomen aus aller Welt konzentrierten sich deshalb auf die Beobachtung dieser beiden Punkte, doch erst 1906 gelang es dem deutschen Astronom Max Wolf, den ersten Asteroiden in einem dieser sogenannten Lagrange-Punkte zu entdecken. Heute sind 1691 dieser sogenannten Trojaner in den Punkten L4 und L5 bekannt. Die größeren von ihnen tragen die Namen der Helden der Ilias. Astronomen machten dabei möglich, was in Homers Ilias undenkbar ist: Als Trojaner werden nämlich auch die nach den griechischen Helden benannten Asteroiden im Punkt L4 bezeichnet. Hier finden wir sie alle wieder: Agamemnon, Achilles, Nestor und den listenreichen Odysseus. Die Asteroiden in L5 hingegen sind nach den Trojanern benannt, so z.b. nach Priamus und Paris. So jagen die beiden verfeindeten Gruppen einander durch das All, ohne sich jemals einholen zu können. In den letzten 100 Jahren fand man auch in den Lagrangepunkten L4 und L5 anderer Planeten solche seltsamen Begleiter. Der erste marsianische Trojaner wurde 1990 von David Levy entdeckt - einige weitere sind seitdem hinzugekommen. Auch im Neptunorbit befinden sich einige dieser merkwürdigen Trojaner, doch soweit müssen wir gar nicht gehen. Selbst unsere Erde hat einige dieser Begleiter, aber in der Erdbahn bewegen sich 1

2 L4 L3 L1 L2 PSfrag replacements L5 Abbildung 1: Zur Definition der Lagrangepunkte. noch viel seltsamere Himmelskörper. Einer von ihnen ist der Plaetoid 3753 Cruithne. Cruithne befindet sich nicht in einem der Lagrangepunkte L4 und L5, sondern bewegt sich auf einer komplizierten Bahn, die im mitrotierenden Erde-Sonne System wie ein zu gross geratener Pferdehuf erscheint. Wie aber kann es dazu kommen, dass sich kleinere Himmelskörper auf ein und derselben Bahn wie ein Planet bewegen, ohne von diesem verschluckt zu werden? Dieser Frage wollen wie uns im Folgenden zuwenden. 1.2 Das restringierte 3-Körper-Problem der Himmelsmechanik Um die Existenz der Trojaner zu verstehen, müssen wir die Bewegung einer Testmasse m 3 im gemeinsamen Gravitationsfeld von Planet und Sonne untersuchen. Es handelt sich somit um ein typisches 3-Körper-Problem, von dem wir wissen, dass es im allgemeinen analytisch nicht lösbar ist. Für unsere Betrachtungen jedoch ist noch etwas anderes wichtig: Alle oben erwähnten Systeme sind nämlich hierarchische System mit sehr unterschiedlichen Massen m 1 m 2 m 3. In der Tat stellt sich heraus, dass die Bedingung m 1 m 2 entscheidend für die Frage nach der Stabilität der Lagrangepunkte ist 1. Wir werden im folgenden allerdings keine Forderung an das Verhältnis der Massen m 1 und m 2 stellen, sondern nehmen lediglich an, dass m 1, m 2 m 3 gelten soll. Die Bewegung von m 1 und m 2 bleibt damit unbeeinflußt von der gravitativen Wechselwirkung mit m 3 1 Der entsprechende Beweis ist äußerst kompliziert und gelang erst mit Hilfe allgemeinrelativistischer Formulierungen. 2

3 (m 3 wird deshalb als Testmasse bezeichnet). Auch die Lage des Schwerpunktes wird allein durch m 1 und m 2 bestimmt. Im Schwerpunktsystem ist m 1 r 1 + m 2 r 2 = Ms = 0, r 1 = m 2 m 1 r 2. Es ist zweckmäßig, für die folgenden Betrachtungen die Relativkoordinate R = r 1 r 2 einzuführen, und r 1 bzw. r 2 mit Hilfe dieser Relativkoordinate wie folgt auszudrücken: r 1 = m 2 m 1 r 2 = m 2 m 1 (R r 1 ) = r 1 = (m 2 /M)R r 2 = (m 1 /M)R (1) Ferner wissen wir, dass die Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ des Binärsystems Sonne-Planet durch ω 2 = GM R 3 (2) gegeben ist. Nun sieht der Asteroid m 3 aber ein mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierendes Gravitationspotential. Er bewegt sich also in einem rotierenden Bezugssystem, in dem zusätzlich zur Gravitationskraft der beiden Massen m 1 und m 2 F g = Gm 3m 1 r 3 r 1 3 (r 3 r 1 ) Gm 3m 2 r 3 r 2 3 (r 3 r 2 ) (3) sogenannte Scheinkräfte wirksam werden. Allgemein wird die Dynamik eines Körper in einem rotierenden Bezugssystem durch die Bewegungsgleichunug m r = F (IS) 2mω ṙ mω (ω r ) m ω r, wobei wenn die Ursprünge von Inertialsystem und rotierendem Koordinatensystem zusammenfallen, r = r gilt. In unserem Fall ist ω die in Gl. (2) gegebene Winkelgeschwindigkeit, die senkrecht auf der Bahnebene und damit auch auf r 3 stehen soll. Der Beitrag der Zentrifugalkraft vereinfacht sich dann zu F Z = mω (ω r 3) = ω(ω r 3) + ω 2 r 3 = ω 2 r 3. (4) Vernachlässigen wir ω, so nimmt die Bewegungsgleichung der Testmasse die folgende Form an: F(r 3 ) = m r 3 = Gm 3m 1 r 3 r 1 3 (r 3 r 1 ) Gm 3m 2 r 3 r 2 3 (r 3 r 2 ) + m 3ω 2 r 3 2m 3ω ṙ 3. (5) Es ist sofort offensichtlich, dass für dieses System aus drei Massenpunkten der Energieerhaltungssatz erfüllt ist. Das bedeutet jedoch nicht, dass alle auftretenden Kräfte konservativ sind und damit ein Potential besitzen. In der Tat ist zwar für die Corioliskraft F c ṙ = 2m(ω ṙ ) ṙ = 0, 3

4 (die Corioliskraft steht immer senkrecht auf der Geschwindigkeit), und außerdem gilt F c = 0. Dennoch kann man dieser Kraft kein Potential zuordnen. Dieses würde von der Geschwindigkeit abhängen, was im Rahmen der klassischen Mechanik nicht zulässig ist. Man kann sich natürlich auch explizit das für den Massenpunkt m spürbare Potential herleiten. Dazu multipliziert man (5) skalar mit ṙ 3, so dass r 3 ṙ 3 = [ Gm3 m 1 r 3 r 1 3 (r 3 r 1 ) + Gm 3m 2 r 3 r 2 3 (r 3 r 2 ) ṙ 3 + m [ 3 ω 2 r 3 ṙ 3 (ω r 3 )(ω ṙ 3 ) 2m 3 (ω ṙ 3) ṙ 3. (6) }{{} =0 Der letzte Term verschwindet, da die Corioliskraft zu allen Zeiten senkrecht auf der Geschwindigkeit ṙ 3 steht. Es ist nun offensichtlich, dass sich sowohl die rechte als auch die linke Seite dieser Gleichung als totale Zeitableitung schreiben lassen. Genauer gesagt, ist ganz allgemein m [ ω 2 r ṙ (ω r )(ω ṙ ) = d m [ ω 2 r 2 (ω r ) 2 = d m dt 2 dt 2 (ω r ) 2. Gl. (6) besagt, dass die Energie des Systems eine Erhaltungsgröße ist, denn auf der rechten Seite der Gleichung steht gerade die totale Zeitableitung des effektiven Potentials U eff (r 3 ) = Gm 3m 1 r 3 r 1 Gm 3m 2 r 3 r 2 m 3 2 (ω r 3 )2. (7) (Im folgenden bezeichne r r 3 ). Die Lagrangepunkte entsprechen den Extrema dieses Potentials. Wir müssen also untersuchen, für welche Punkte (x, y, z ) die aus dem effektiven Potential abgeleitete konservative Kraft F kons (r ) = Gmm 1 r r 1 3 (r r 1) Gmm 2 r r 2 3 (r r 2) + m [ ω 2 r (ω r )ω (8) verschwindet. Da der Drehimpuls des Systems eine Erhaltungsgröße ist, können wir eine ebene Bewegungs voraussetzen und wählen das Koordinatensystem so, dass der Vektor der Winkelgeschwindigkeit in z -Richtung zeigt, d.h. er steht senkrecht auf der Bahnebene. Außerdem können wir bei unserer Suche z = 0 setzen; wenn es Extrema des Potentials (7) gibt, dann müssen diese in der Bahnebene von m 1 und m 2 zu finden sein. Außerdem drücken wir r 1 und r 2 mit Hilfe der Relativkoordinate R = Re x aus (r 1 = αr, r 2 = (α 1)R). Die für den Massenpunkt spürbare Kraft ist dann [ F kons (r (r αr)m 1 ) = Gm [(x αr) 2 + y 2 3/2 + (r (α 1)R)m 2 Mr [(x (α 1)R) 2 + y 2 3/2 R 3, (9) wobei wir im letzten Schritt ω 2 = GM/R 3 eingesetzt haben. Wir formen diese Gleichung nun so um, dass M außerhalb der Klammer steht, [ (r F kons (r αr)(1 α) ) = GmM [(x αr) 2 + y 2 3/2 + (r (α 1)R)α r [(x (α 1)R) 2 + y 2 3/2 R 3. (10) 4

5 Die Extrema des Potentials U eff entsprechen jenen Punkten, an denen die Kraft (10) komponentenweise verschwindet. Das bedeutet, unsere Suche nach den Lagrangepunkten reduziert sich auf die Suche nach den Lösungen des Gleichungssystems F kons,x = 0 = GmM [ (x αr)(1 α) [(x αr) 2 + y 2 3/2 + [ F kons,y = 0 = GmMy 1 α [(x αr) 2 + y 2 3/2 + Wir können zwei Fälle unterscheiden. Fall 1: y 0 (x + (1 α)r)α x [(x + (1 α)r) 2 + y 2 3/2 R 3 α [(x + (1 α)r) 2 + y 2 3/2 1 R 3 = 0, In diesem Fall ist Gleichung (12) automatisch erfüllt. Setzen wir in Gl. (11) y = 0, so erhalten wir eine transzendente Gleichung für x, (11). (12) (1 α)(x αr) x αr 3/2 + α(x + (1 α)r) x + (1 α)r 3/2! = x R 3. (13) Es ist unmöglich, eine analytische Lösung dieser Gleichung zu finden. Man kann sich die Lösungen von Gl. (13) auf graphischem Wege bestimmen. Dazu identifizieren wir die linke Seite von Gl. (13) mit einer Funktion f 1 (x ) = (1 α)(x αr) x αr 3/2 + α[x + (1 α)r x. (14) + (1 α)r 3/2 Die Schnittpunkte dieser Funktion mit f 2 (x ) = x sind die gesuchten Lösungen der R 3 Gleichung (13). Es ist leicht zu sehen, dass f 1 (x ) für x = αr und x = (1 α)r singulär wird. Außerdem ist f 1 (x ) stets kleiner als Null, solange x < (1 α)r, und größer als Null für alle x > αr. Die graphische Darstellung zeigt, dass jeweils einer der drei kollinearen Punkte jenseits der Massen m 1 bzw. m 2 liegt, während der dritte Lagrangepunkt auf der Verbindungsachse zwischen m 1 und m 2 liegt (siehe Abb.). Es zeigt sich jedoch, dass diese drei Punkte lokalen Maxima des effektiven Potentials entsprechen, d.h. es handelt sich um instabile Gleichgewichtspunkte. Fall 2: y 0 In diesem Fall folgt aus Gl. (11) bzw. nach Ausmultiplizieren x ( 1 α r 3 13 (x αr)(1 α) r α r (x + (1 α)r)α r 3 23 ) ( α(1 α) + R r13 3 = x R 3, ) α(1 α) r23 3 = x R 3. 5

6 Da diese Bedingung für alle x erfüllt sein muss, folgt sofort r 13 = r 23, d.h. der Abstand zwischen m 3 und m 1 ist genauso groß wie der Abstand zwischen m 3 und m 2. Damit ist r 2 13 = (x αr) 2 + y 2! = (x + (1 α)r) 2 + y 2 = r 2 23 woraus sofort x = ( α 1 ) R. 2 Die entsprechenden y -Werte erhalten wir durch Einsetzen dieses Ergebnisses in (12), d.h. 1 α [y 2 + r 2 /4 3/2 + α [y 2 + R 2 /4 3/2 = 1! [y 2 + R 2 /4 3/2 = 1 R 3 Diese beiden äquilateralen Lösungen ( y = ± 3 2 R. R(α 1 2 ), ± 3 2 R ) (15) werden üblicherweise mit L4 bzw. L5 bezeichnet. Die Frage, ob diese Punkte stabilen Gleichgewichtslagen der Testmasse m 2 entsprechen, ist im Rahmen von Stabilitätsanalysen nur sehr schwierig zu beantworten. In der Tat stellt sich heraus, dass die Stabilität der Gleichgewichtslagen L4 und L5 entscheidend vom Verhältnis der Massen der beiden schweren Himmelskörper abhängt. Nur im Falle eines hierarchischen Systems - d.h. wenn m 1 m 2 m 3 ist, entsprechen die äquilateralen Lösungen L4 und L5 stabilen Gleichgewichtslagen. 6

7 f 1 (x) x PSfrag replacements Abbildung 2: Graphische Bestimmung der drei kollinearen Euler-Lagrangepunkte als Schnittpunkte der Funktionen f 1 und f 2. 7

Fallender Stein auf rotierender Erde

Fallender Stein auf rotierender Erde Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 4 vom 13.05.13 Abgabe: 27. Mai Aufgabe 16 4 Punkte allender Stein auf rotierender Erde Wir lassen einen Stein der Masse m in einen

Mehr

Probeklausur zur T1 (Klassische Mechanik)

Probeklausur zur T1 (Klassische Mechanik) Probeklausur zur T1 (Klassische Mechanik) WS 006/07 Bearbeitungsdauer: 10 Minuten Prof. Stefan Kehrein Name: Matrikelnummer: Gruppe: Diese Klausur besteht aus vier Aufgaben. In jeder Aufgabe sind 10 Punkte

Mehr

Rotierende Bezugssysteme

Rotierende Bezugssysteme Rotierende Bezugssysteme David Graß 13.1.1 1 Problematik Fährt ein Auto in eine Kurve, so werden die Innsassen nach außen gedrückt, denn scheinbar wirkt eine Kraft auf die Personen im Innern des Fahrzeuges.

Mehr

Klassische Theoretische Physik: Mechanik

Klassische Theoretische Physik: Mechanik Klassische Theoretische Physik: Mechanik Patrick Simon Argelander-Institut für Astronomie Auf dem Hügel 71 psimon@astro.uni-bonn.de 21. November 2013 1 Beschleunigte Bezugssysteme Die Forminvarianz der

Mehr

Übungen zur Theoretischen Physik I: Mechanik

Übungen zur Theoretischen Physik I: Mechanik Prof Dr H Friedrich Physik-Departent T30a Technische Universität München Blatt 4 Übungen zur Theoretischen Physik I: Mechanik (Abgabe schriftlich, in der Übungsgruppe in der Woche vo 805-2205) Betrachten

Mehr

Klausur zu Theoretische Physik 2 Klassische Mechanik

Klausur zu Theoretische Physik 2 Klassische Mechanik Klausur zu Theoretische Physik Klassische Mechanik 30. September 016 Prof. Marc Wagner Goethe-Universität Frankfurt am Main Institut für Theoretische Physik 5 Aufgaben mit insgesamt 5 Punkten. Die Klausur

Mehr

Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 7 vom Abgabe:

Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 7 vom Abgabe: Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 03 Blatt 7 vom 0.06.3 Abgabe: 7.06.3 Aufgabe 9 3 Punkte Keplers 3. Gesetz Das 3. Keplersche Gesetz für die Planetenbewegung besagt, dass das

Mehr

Starrer Körper: Drehimpuls und Drehmoment

Starrer Körper: Drehimpuls und Drehmoment Starrer Körper: Drehimpuls und Drehmoment Weitere Schreibweise für Rotationsenergie: wobei "Dyade" "Dyadisches Produkt" Def.: "Dyadisches Produkt", liefert bei Skalarmultiplikation mit einem Vektor : und

Mehr

Theoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik

Theoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik Theoretische Physik I: Lösungen Blatt 2 15.10.2012 Michael Czopnik Aufgabe 1: Scheinkräfte Nutze Zylinderkoordinaten: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z Zweimaliges differenzieren ergibt: ẍ = r cos ϕ 2ṙ ϕ sin

Mehr

Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0

Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0 Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0 Impulserhaltung: Quadrieren ergibt Energieerhaltung: Deshalb muss gelten m v 1 = m ( u 1 + u 2 ) m 2 v 1 2 = m 2 ( u 2 1 + 2 u 1 u 2 + u 2 ) 2 m 2 v2 1 = m 2 ( u 2 1 +

Mehr

Symmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze

Symmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze Symmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze Symmetrie (Physik) (aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie) Symmetrie ist ein grundlegendes Konzept der

Mehr

Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 2005/06

Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 2005/06 Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 2005/06 Dörte Hansen Seminar 4 1 Bemerkungen zu Potential, Energiesatz und Drehimpuls In diesem Abschnitt sollen noch einmal einige wichtige

Mehr

I.1.3 b. (I.7a) I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9

I.1.3 b. (I.7a) I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9 I. Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9 I..3 b Arbeit einer Kraft Wird die Wirkung einer Kraft über ein Zeitintervall oder genauer über die Strecke, welche das mechanische System in diesem Zeitintervall

Mehr

Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06

Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06 Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 223 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 25/6 http://www.pt.tu-clausthal.de/qd/teaching.html 25. Janua6 Übungsblatt Lösungsvorschlag 3 Aufgaben,

Mehr

11. Vorlesung Wintersemester

11. Vorlesung Wintersemester 11. Vorlesung Wintersemester 1 Ableitungen vektorieller Felder Mit Resultat Skalar: die Divergenz diva = A = A + A y y + A z z (1) Mit Resultat Vektor: die Rotation (engl. curl): ( rota = A Az = y A y

Mehr

Klausur zur T1 (Klassische Mechanik)

Klausur zur T1 (Klassische Mechanik) Klausur zur T1 (Klassische Mechanik) WS 2006/07 Bearbeitungsdauer: 120 Minuten Prof. Stefan Kehrein Name: Matrikelnummer: Gruppe: Diese Klausur besteht aus vier Aufgaben. In jeder Aufgabe sind 10 Punkte

Mehr

I.6.3 Kepler-Problem. V ( x ) = G Nm 1 m 2. (I.91a) mit dem Potential. . (I.91b)

I.6.3 Kepler-Problem. V ( x ) = G Nm 1 m 2. (I.91a) mit dem Potential. . (I.91b) 38 Newton sche Mechanik I.6.3 Kepler-Problem Die Newton sche Gravitationskraft zwischen zwei Massenpunkten mit Massen m 1, m 2 ist eine konservative Zentralkraft, gegeben durch mit dem Potential F ( x

Mehr

Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0

Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0 Spezialfall m 1 = m 2 und v 2 = 0 Impulserhaltung: Quadrieren ergibt Energieerhaltung: Deshalb muss gelten m v 1 = m( u 1 + u 2 ) m 2 v 1 2 = m 2 ( u 2 1 + 2 u 1 u 2 + u 2 ) 2 m 2 v2 1 = m 2 ( u 2 1 +

Mehr

3. Impuls und Drall. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-1

3. Impuls und Drall. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-1 3. Impuls und Drall Die Integration der Bewegungsgleichung entlang der Bahn führte auf die Begriffe Arbeit und Energie. Die Integration der Bewegungsgleichung bezüglich der Zeit führt auf die Begriffe

Mehr

Blatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag

Blatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik T) im SoSe 20 Blatt 0. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Aufgabe 0.. Hamilton-Formalismus

Mehr

Theoretische Physik 4 - Blatt 1

Theoretische Physik 4 - Blatt 1 Theoretische Physik 4 - Blatt 1 Christopher Bronner, Frank Essenberger FU Berlin 21.Oktober.2006 Inhaltsverzeichnis 1 Compton-Effekt 1 2 Bohrsches Atommodell 2 2.1 Effektives Potential..........................

Mehr

Wie fällt ein Körper, wenn die Wirkung der Corioliskraft berücksichtigt wird?

Wie fällt ein Körper, wenn die Wirkung der Corioliskraft berücksichtigt wird? Wie fällt ein Körper, wenn die Wirkung der Corioliskraft berücksichtigt wird? Beim freien Fall eines Körpers auf die Erde, muss man bedenken, dass unsere Erde ein rotierendes System ist. Um die Kräfte,

Mehr

5.4. KINETISCHE ENERGIE EINES STARREN KÖRPERS 203. Abbildung 5.12: Koordinaten zur Berechnung der kinetischen Energie (siehe Diskussion im Text)

5.4. KINETISCHE ENERGIE EINES STARREN KÖRPERS 203. Abbildung 5.12: Koordinaten zur Berechnung der kinetischen Energie (siehe Diskussion im Text) 5.4. KINETISCHE ENERGIE EINES STARREN KÖRPERS 03 ρ α r α R Abbildung 5.1: Koordinaten zur Berechnung der kinetischen Energie (siehe Diskussion im Text) 5.4 Kinetische Energie eines Starren Körpers In diesem

Mehr

Es freut uns sehr, dass Sie die GRATIS Dienste von Fit4Exam in Anspruch nehmen.

Es freut uns sehr, dass Sie die GRATIS Dienste von Fit4Exam in Anspruch nehmen. Es freut uns sehr, dass Sie die GRATIS Dienste von Fit4Exam in Anspruch nehmen. In diesem Bereich versteht sich Fit4Exam als Wiki-Plattform für Lösungen. Denn leider ist es häufig so, dass Lehramtskandidaten

Mehr

Vorlesung Theoretische Mechanik

Vorlesung Theoretische Mechanik Julius-Maximilians-Universität Würzburg Vorlesung Theoretische Mechanik Wintersemester 17/18 Prof. Dr. Johanna Erdmenger Vorläufiges Skript 1 (Zweite Vorlesung, aufgeschrieben von Manuel Kunkel, 23. 10.

Mehr

Praktikumssemesterarbeit für Numerik Aufgabe 1 HU-Berlin, Sommersemester 2005

Praktikumssemesterarbeit für Numerik Aufgabe 1 HU-Berlin, Sommersemester 2005 Praktikumssemesterarbeit für Numerik Aufgabe HU-Berlin, Sommersemester 2005 Mario Krell Volker Grabsch 24. Juli 2005 Inhaltsverzeichnis Herleitung aus der Physik. Voraussetzungen und Annahmen Allgemein

Mehr

Allgemeine Mechanik Musterlösung 1.

Allgemeine Mechanik Musterlösung 1. Allgemeine Mechanik Musterlösung. HS 24 Prof. Thomas Gehrmann Übung. Kraftfelder und Linienintegrale. a) Gegeben sei das Kraftfeld F, 2 ). Berechnen Sie das Linienintegral von r, ) nach r 2 2, ) entlang

Mehr

Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 2005/06

Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 2005/06 Ergänzende Materialien zur Vorlesung Theoretische Mechanik, WS 25/6 Dörte Hansen Seminar 1 Dissipative Kräfte I Reibung Wenn wir in der theoretischen Mechanik die Bewegung eines Körpers beschreiben wollen,

Mehr

Grundlagen der Lagrange-Mechanik

Grundlagen der Lagrange-Mechanik Grundlagen der Lagrange-Mechanik Ahmed Omran 1 Abriss der Newton schen Mechanik 1.1 Newton sche Axiome 1. Axiom: Im Inertialsystem verharrt ein Körper in seinem momentanen Bewegungszustand (in Ruhe, oder

Mehr

2. Translation und Rotation

2. Translation und Rotation 2. Translation und Rotation 2.1 Rotation eines Vektors 2.2 Rotierendes ezugssystem 2.3 Kinetik Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-1 2.1 Rotation eines Vektors Gesucht wird die zeitliche

Mehr

Galaxien und Kosmologie

Galaxien und Kosmologie Frage 1: Satellitengalaxien und die Milchstrasse Galaxien und Kosmologie Wintersemester 11/1 Übungsaufgaben 1 Musterlösung J. Wilms 31. Oktober 11 In dieser Übung betrachten wir die Bewegung von Sternen

Mehr

Computational Astrophysics 1. Kapitel: Sonnensystem

Computational Astrophysics 1. Kapitel: Sonnensystem Computational Astrophysics 1. Kapitel: Sonnensystem Wilhelm Kley Institut für Astronomie & Astrophysik Kepler Center for Astro and Particle Physics Sommersemester 2011 W. Kley: Computational Astrophysics

Mehr

Formelsammlung. Lagrange-Gleichungen: q k. Zur Koordinate q k konjugierter Impuls: p k = L. Hamilton-Funktion: p k. Hamiltonsche Gleichungen: q k = H

Formelsammlung. Lagrange-Gleichungen: q k. Zur Koordinate q k konjugierter Impuls: p k = L. Hamilton-Funktion: p k. Hamiltonsche Gleichungen: q k = H Formelsammlung Lagrange-Gleichungen: ( ) d L dt q k L q k = 0 mit k = 1,..., n. (1) Zur Koordinate q k konjugierter Impuls: p k = L q k. (2) Hamilton-Funktion: n H(q 1,..., q n, p 1,..., p n, t) = p k

Mehr

Ferienkurs Theoretische Mechanik. Lagrangeformalismus

Ferienkurs Theoretische Mechanik. Lagrangeformalismus Ferienkurs Theoretische Mechanik Lagrangeformalismus Sebastian Wild Mittwoch, 14.09.2011 Inhaltsverzeichnis 1 Zwangskräfte und Lagrangegleichungen 1. Art 2 1.1 Motivation, Definition von Zwangsbedingungen..........

Mehr

8.1 Gleichförmige Kreisbewegung 8.2 Drehung ausgedehnter Körper 8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels

8.1 Gleichförmige Kreisbewegung 8.2 Drehung ausgedehnter Körper 8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels 8. Drehbewegungen 8.1 Gleichförmige Kreisbewegung 8.2 Drehung ausgedehnter Körper 8.3 Beziehung: Translation - Drehung 8.4 Vektornatur des Drehwinkels 85 8.5 Kinetische Energie der Rotation ti 8.6 Berechnung

Mehr

Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik

Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik Prof. Dr. H. Friedrich Physik-Department T3a Technische Universität München Probeklausur zur Theoretischen Physik I: Mechanik Montag, 2.7.29 Hörsaal 1 1:15-11:5 Aufgabe 1 (8 Punkte) Geben Sie möglichst

Mehr

Computersimulationen in der Astronomie

Computersimulationen in der Astronomie Computersimulationen in der Astronomie Fabian Heimann Universität Göttingen, Fabian.Heimann@stud.uni-goettingen.de Astronomisches Sommerlager 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Differentialgleichungen 3 1.1 Beispiele.....................................

Mehr

Simulation zur Periheldrehung

Simulation zur Periheldrehung Simulation zur Periheldrehung Sebastian Hähnel 30.03.2015 Inhaltsverzeichnis 1 Lösung der Einstein-Gleichung 1 2 Lösung der Bewegungsgleichungen 2 3 Dimensionslose Gleichung 4 4 Einige Beispiele 4 1 Lösung

Mehr

Lösung 12 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16

Lösung 12 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16 Karlsruher Institut für Technologie Institut für theoretische Festkörperphysik www.tfp.kit.edu ösung 1 Klassische Theoretische Physik I WS 1/16 Prof. Dr. G. Schön + Punkte Sebastian Zanker, Daniel Mendler

Mehr

Übungen zur Theoretischen Physik 2 Lösungen zu Blatt 13

Übungen zur Theoretischen Physik 2 Lösungen zu Blatt 13 Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Sommersemester 014 Übungen zur Theoretischen Physik Lösungen zu Blatt 13 Aufgabe 51: Massenpunkt auf Kugel (a) Als generalisierte Koordinaten bieten sich Standard-Kugelkoordinaten

Mehr

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer:

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer: Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) SS08, Studienziel Bachelor (170 1/13/14) Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala Klausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 008 (3. Juli 007) Bearbeitungszeit:

Mehr

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer: Aufgabe Punkte

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer: Aufgabe Punkte T1: Klassische Mechanik, SoSe007 Prof. Dr. Jan von Delft Theresienstr. 37, Zi. 40 Dr. Vitaly N. Golovach vitaly.golovach@physik.lmu.de Nachholklausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 007 (8.

Mehr

Theoretische Physik 1 Mechanik

Theoretische Physik 1 Mechanik Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Theoretische Physik 1 Mechanik Skript zu Vorlesung 1: Grundlagen der Newton schen Mechanik, Zweiteilchensysteme gehalten von: Markus Krottenmüller

Mehr

Einführung in die Physik für Maschinenbauer

Einführung in die Physik für Maschinenbauer Einführung in die Physik für Maschinenbauer WS 011/01 Teil 5 7.10/3.11.011 Universität Rostock Heinrich Stolz heinrich.stolz@uni-rostock.de 6. Dynamik von Massenpunktsystemen Bis jetzt: Dynamik eines einzelnen

Mehr

(a) Transformation auf die generalisierten Koordinaten (= Kugelkoordinaten): ẏ = l cos(θ) θ sin(ϕ) + l sin(θ) cos(ϕ) ϕ.

(a) Transformation auf die generalisierten Koordinaten (= Kugelkoordinaten): ẏ = l cos(θ) θ sin(ϕ) + l sin(θ) cos(ϕ) ϕ. Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Theoretische Physik B - Lösungen SS 10 Prof. Dr. Aleander Shnirman Blatt 5 Dr. Boris Narozhny, Dr. Holger Schmidt 11.05.010

Mehr

Bewegung auf Paraboloid 2

Bewegung auf Paraboloid 2 Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 8 vom 17.06.13 Abgabe: 24.06. Aufgabe 34 4 Punkte Bewegung auf Paraboloid 2 Ein Teilchen der Masse m bewege sich reibungsfrei unter

Mehr

Lösungen zu den Übungen zur Newtonschen Mechanik

Lösungen zu den Übungen zur Newtonschen Mechanik Lösungen zu den Übungen zur Newtonschen Mechanik Jonas Probst.9.9 1 Bahnkurve eines Massenpunktes Aufgabe: Ein Massenpunkt bewegt sich auf folgender Trajektorie: 1. Skizzieren Sie die Bahnkurve. r(t) (a

Mehr

2 Die Newton sche Gravitationstheorie

2 Die Newton sche Gravitationstheorie 2 Die Newton sche Gravitationstheorie Von welchem Ausgangspunkt wollen wir Einsteins Gravitationstheorie kennenlernen? Wir rekapitulieren zu Beginn die Beschreibung der Gravitation nach Newton. Vektoren

Mehr

Kinematik des Massenpunktes

Kinematik des Massenpunktes Technische Mechanik II Kinematik des Massenpunktes Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes Eindimensionale

Mehr

Zentrifugalkraft beim Karussell

Zentrifugalkraft beim Karussell Seil, Länge L m Also: Zentrifugalkraft beim Karussell tan( α) y = α r F Z r G ω r = x r r ' KS : mitrotierendes Koordinatensystem m G r α 2 m ω g r ' F r Z F r gesamt 2 ω sin( α) L = g Fragestellung: Um

Mehr

Bewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten

Bewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten Bewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten Wir betrachten ein System mit mehreren Massenpunkten. Für jeden Massenpunkt i einzeln gilt nach Newton 2: F i = d p i dt. Für n Massenpunkte muss also ein

Mehr

Mathematische Theorien im kulturellen Kontext. Fläche eines Parabelsegments nach Archimedes

Mathematische Theorien im kulturellen Kontext. Fläche eines Parabelsegments nach Archimedes Seminar: Mathematische Theorien im kulturellen Kontext Thema: Fläche eines Parabelsegments nach Archimedes von: Zehra Betül Koyutürk Studiengang Angewandte Mathematik 27.01.2016 ARCHIMEDES Über das Leben

Mehr

5. Kritische Drehzahl

5. Kritische Drehzahl Aufgabenstellung: 5. Kritische Drehzahl y y Ω c/4 c/4 m c/4 e z O O S c/4 x Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik 2 6.5-1 Der starre Körper mit der Masse m dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 2, Montag nachmittag Differentiation und Integration von Vektorfunktionen Der Ortsvektor: Man kann

Mehr

T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2016

T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2016 T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2016 Jan von Delft http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_16/t1_theor_mechanik Newtonsche Sätze (Originalformulierung) 1. Jeder Körper verharrt in seinem

Mehr

Dynamik der Atmosphäre. Einige Phänomene

Dynamik der Atmosphäre. Einige Phänomene Dynamik der Atmosphäre Einige Phänomene Extratropische Zyklone L L L = 1000 km U = 10 m/sec Tropische Zyklon, Hurrikan, Taifun L L = 500 km U = 50 m/sec Cumulonimbuswolke L L = 10-50 km U = 10-20 m/sec

Mehr

Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag

Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 011 Blatt 1. Kinematik- Lösungsvorschlag Aufgabe 1.1. Schraubenlinie Die

Mehr

9 Teilchensysteme. 9.1 Schwerpunkt

9 Teilchensysteme. 9.1 Schwerpunkt der Impuls unter ganz allgemeinen Bedingungen erhalten bleibt. Obwohl der Impulserhaltungssatz, wie wir gesehen haben, aus dem zweiten Newton schen Axiom folgt, ist er tatsächlich allgemeiner als die Newton

Mehr

4.9 Der starre Körper

4.9 Der starre Körper 4.9 Der starre Körper Unter einem starren Körper versteht man ein physikalische Modell von einem Körper der nicht verformbar ist. Es erfolgt eine Idealisierung durch die Annahme, das zwei beliebig Punkte

Mehr

Lagrange-Formalismus

Lagrange-Formalismus KAPITEL II Lagrange-Formalismus Die im letzten Kapitel dargelegte Formulierung der Mechanik nach Newton ist zwar sehr intuitiv: man zählt alle auf das zu studierende System wirkenden Kräfte auf, schreibt

Mehr

Physikalisches Praktikum M 7 Kreisel

Physikalisches Praktikum M 7 Kreisel 1 Physikalisches Praktikum M 7 Kreisel Versuchsziel Quantitative Untersuchung des Zusammenhangs von Präzessionsfrequenz, Rotationsfrequenz und dem auf die Kreiselachse ausgeübten Kippmoment Literatur /1/

Mehr

Experimentalphysik E1

Experimentalphysik E1 Experimentalphysik E1 9. Nov. Keplergleichungen, Gravitation u. Scheinkräfte Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html Planetenbahnen http://www.astro.uni-bonn.de/~deboer/pdm/planet/sonnenap2/

Mehr

Theoretische Physik I bei Prof. A. Rosch

Theoretische Physik I bei Prof. A. Rosch Vorlesungsmitschrift Theoretische Physik I bei Prof. A. Rosch von M. & O. Filla 8. November 206 Zur Erinnerung: Das Zweikörperproblem wurde auf zwei Differenzialgleichungen heruntergebrochen. Diese können

Mehr

Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: , Abgabe am )

Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: , Abgabe am ) Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 8 (Austeilung am: 14.09.11, Abgabe am 1.09.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.

Mehr

Experimentalphysik E1

Experimentalphysik E1 Experimentalphysik E1 Keplersche Gesetze Gravitationsgesetz Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html 15. Nov. 2016 Der Drehimpuls m v v r v ω ω v r

Mehr

2. Klausur zur Theoretischen Physik I (Mechanik)

2. Klausur zur Theoretischen Physik I (Mechanik) 2. Klausur zur Theoretischen Physik I (echanik) 09.07.2004 Aufgabe 1 Physikalisches Pendel 4 Punkte Eine homogene, kreisförmige, dünne Platte mit Radius R und asse ist am Punkt P so aufgehängt, daß sie

Mehr

Aufgabe zur Corioliskraft 1. Hier ist es dringend angeraten als erstes eine aussagekräftige Skizze zu machen:

Aufgabe zur Corioliskraft 1. Hier ist es dringend angeraten als erstes eine aussagekräftige Skizze zu machen: Aufgabe zur Corioliskraft 1 Aufgabe: Ein Luftgewehr sei mit dem Lot exakt senkrecht nach oben ausgerichtet. Nach dem Abschuss verlässt die Kugel den Lauf mit 60 ms 1 Wo landet das Geschoss, wenn der Abschuss

Mehr

Klassische Mechanik. Übersicht

Klassische Mechanik. Übersicht Klassische Mechanik WS 02/03 C. Wetterich Übersicht 0) Einführung I Newtonsche Mechanik 1) Die Newtonschen Gesetze a) Kinetik, Beschreibung durch Massenpunkte b) Kraft (i)kraftgesetze (ii)differentialgleichungen

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Vorlesung 7

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Vorlesung 7 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Vorlesung 7 Definition: Ein Skalarfeld ordnet jedem Punkt im dreidimensionalen Raum R 3 eine ahl () zu. Unter einem räumlichen Vektorfeld

Mehr

I.10.6 Drehbewegung mit senkrecht zu, Kreiseltheorie

I.10.6 Drehbewegung mit senkrecht zu, Kreiseltheorie I.10.6 Drehbewegung mit senkrecht zu, Kreiseltheorie Versuch: Kreisel mit äußerer Kraft L T zur Dieser Vorgang heißt Präzession, Bewegung in der horizontalen Ebene (Kreisel weicht senkrecht zur Kraft aus).

Mehr

Ferienkurs Theoretische Mechanik 2009 Hamilton Formalismus und gekoppelte Systeme

Ferienkurs Theoretische Mechanik 2009 Hamilton Formalismus und gekoppelte Systeme Fakultät für Physik Technische Universität München Michael Schrapp Übungsblatt 3 Ferienkurs Theoretische Mechanik 009 Hamilton Formalismus und gekoppelte Systeme Hamilton-Mechanik. Aus Doctoral General

Mehr

Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 7 (Austeilung am: , Abgabe am )

Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 7 (Austeilung am: , Abgabe am ) Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 7 (Austeilung am: 7.9.11, Abgabe am 14.9.11) Beispiel 1: Stoß in der Ebene [3 Punkte] Betrachten Sie den elastischen Stoß dreier Billiardkugeln A, B und C

Mehr

Massenträgheitsmomente homogener Körper

Massenträgheitsmomente homogener Körper http://www.youtube.com/watch?v=naocmb7jsxe&feature=playlist&p=d30d6966531d5daf&playnext=1&playnext_from=pl&index=8 Massenträgheitsmomente homogener Körper 1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya Drehbewegung um c eine

Mehr

Theoretische Physik: Mechanik

Theoretische Physik: Mechanik Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 2 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Perle Eine Perle der Masse m gleite reibungsfrei auf einem vertikal stehenden Ring vom Radius

Mehr

Theoretische Physik: Mechanik

Theoretische Physik: Mechanik Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 213 Übung 1 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Relaxation Geben Sie die Lösung der Differentialgleichung für die Relaxation

Mehr

1 Lagrange-Formalismus

1 Lagrange-Formalismus Lagrange-Formalismus SS 4 In der gestrigen Vorlesung haben wir die Beschreibung eines physikalischen Systems mit Hilfe der Newton schen Axiome kennen gelernt. Oft ist es aber nicht so einfach die Kraftbilanz

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 29/ Vorlesung 9, Freitag vormittag Linienintegrale und Potential Wir betrachten einen Massenpunkt, auf den die konstante

Mehr

Theoretische Physik: Mechanik

Theoretische Physik: Mechanik Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2017 Vorlesung 1 (mit freundlicher Genehmigung von Merlin Mitschek und Verena Walbrecht) Technische Universität München 1 Fakultät für Physik Inhaltsverzeichnis

Mehr

7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie

7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie 7 Die Hamilton-Jacobi-Theorie Ausgearbeitet von Rolf Horn und Bernhard Schmitz 7.1 Einleitung Um die Hamilton schen Bewegungsgleichungen q k = H(q, p) p k ṗ k = H(p, q) q k zu vereinfachen, führten wir

Mehr

9. Übungsblatt zur VL Einführung in die Klassische Mechanik und Wärmelehre Modul P1a, 1. FS BPh 8. Dezember 2009

9. Übungsblatt zur VL Einführung in die Klassische Mechanik und Wärmelehre Modul P1a, 1. FS BPh 8. Dezember 2009 9. Übungsblatt zur VL Einführung in die Klassische Mechanik und Wärmelehre Modul P1a, 1. FS BPh 8. Dezember 009 Aufgabe 9.1: Doppelfeder Eine Kugel wird im Schwerefeld der Erde zwischen zwei Federn mit

Mehr

Wir werden folgende Feststellungen erläutern und begründen: 2. Gravitationskräfte sind äquivalent zu Trägheitskräften. 1 m s. z.t/ D. g t 2 (10.

Wir werden folgende Feststellungen erläutern und begründen: 2. Gravitationskräfte sind äquivalent zu Trägheitskräften. 1 m s. z.t/ D. g t 2 (10. 10 Äquivalenzprinzip Die physikalische Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) ist das von Einstein postulierte Äquivalenzprinzip 1. Dieses Prinzip besagt, dass Gravitationskräfte äquivalent

Mehr

Theoretische Mechanik

Theoretische Mechanik Prof. Dr. R. Ketzmerick/Dr. R. Schumann Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik Sommersemester 2008 Theoretische Mechanik 9. Übung 9.1 d alembertsches Prinzip: Flaschenzug Wir betrachten

Mehr

Übungen zu Lagrange-Formalismus und kleinen Schwingungen

Übungen zu Lagrange-Formalismus und kleinen Schwingungen Übungen zu Lagrange-Foralisus und kleinen Schwingungen Jonas Probst.9.9 Teilchen auf der Stange Aufgabe: Ein Teilchen der Masse wird durch eine Zwangskraft auf einer asselosen Stange gehalten, auf der

Mehr

Eine einfache Methode zur Bestimmung des Bahnradius eines Planetoiden

Eine einfache Methode zur Bestimmung des Bahnradius eines Planetoiden Eine einfache Methode zur Bestimmung des Bahnradius eines Planetoiden Von Eckhardt Schön Erfurt Mit 1 Abbildung Die Bewegung der Planeten und Kleinkörper des Sonnensystems verläuft scheinbar zweidimensional

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Theoretische Mechanik

Übungen zum Ferienkurs Theoretische Mechanik Übungen zum Ferienkurs Theoretische Mechanik Lagrange un Hamilton Mechanik Übungen, ie mit einem Stern markiert sin, weren als besoners wichtig erachtet. 2.1 3D Faenpenel Betrachten Sie ein Faenpenel er

Mehr

Theoretische Mechanik

Theoretische Mechanik Prof. Dr. R. Ketzmerick/Dr. R. Schumann Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik Sommersemester 008 Theoretische Mechanik 8. Übung Lösungen 8.1 Innere und äußere Kräfte Die Körper

Mehr

Einführendes Beispiel zum lösen einer DGL n-ter Ordnung Dokumentation zum Dreikörperproblem (Sonne, Erde, Mond)

Einführendes Beispiel zum lösen einer DGL n-ter Ordnung Dokumentation zum Dreikörperproblem (Sonne, Erde, Mond) Projektarbeit zur grafischen Beschreibung des Dreikörperproblems durch numerisches lösen der Bewegungsgleichungen Joachim N. WS 07/08 Einführendes Beispiel zum lösen einer DGL n-ter Ordnung Dokumentation

Mehr

2.2 Kollineare und koplanare Vektoren

2.2 Kollineare und koplanare Vektoren . Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,

Mehr

4. Drehimpulserhaltung und Streuung

4. Drehimpulserhaltung und Streuung Übungen zur T: Theoretische Mechani, SoSe203 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 425 Dr. James Gray James.Gray@physi.uni-muenchen.de 4. Drehimpulserhaltung und Streuung Übung 4.: Noch einmal der

Mehr

Schwerkraft auf Erdoberfläche: r â r F à const im Bereich r da dort r à const gilt

Schwerkraft auf Erdoberfläche: r â r F à const im Bereich r da dort r à const gilt 2.4 Konservative Kräfte und Potential lap2/mewae/scr/kap2_4s5 30-0-02 Einige Begriffe: Begriff des Kraftfeldes: Def.: Kraftfeld: von Kraft-Wirkung erfüllter Raum. Darstellung: F r z.b. Gravitation: 2.

Mehr

Beispiel 1:Der Runge-Lenz Vektor [2 Punkte]

Beispiel 1:Der Runge-Lenz Vektor [2 Punkte] Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 9 (Austeilung am: 1.9.11, Abgabe am 8.9.11) Hinweis: Kommentare zu den Aufgaben sollen die Lösungen illustrieren und ein besseres Verständnis ermöglichen.

Mehr

2. Lagrange-Gleichungen

2. Lagrange-Gleichungen 2. Lagrange-Gleichungen Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen

Mehr

2.1 Kinematik 2.2 Momentensatz 2.3 Arbeit und Energie. 2. Kreisbewegung. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-1

2.1 Kinematik 2.2 Momentensatz 2.3 Arbeit und Energie. 2. Kreisbewegung. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-1 2.1 inematik 2.2 Momentensatz 2.3 Arbeit und Energie 2. reisbewegung Prof. Dr. Wandinger 3. inematik und inetik TM 3.2-1 2.1 inematik Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit: Für den auf einer reisbahn

Mehr

I.3 Inertialsysteme. Galilei-Transformationen

I.3 Inertialsysteme. Galilei-Transformationen I.3 Inertialsysteme. Galilei-Transformationen 17 I.3 Inertialsysteme. Galilei-Transformationen Das erste und das zweite Newton sche Gesetz beruhen auf der Existenz von besonderen Bezugssystemen, nämlich

Mehr

PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1 Prof. J. Lipfert

PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1 Prof. J. Lipfert PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1 Prof. J. Lipfert WS 015/16 Übungsblatt 6 Übungsblatt 6 Lösung Aufgabe 1 Gravitation. a) Berechnen Sie die Beschleunigung g auf der Sonnenoberfläche. Gegeben

Mehr

Ferienkurs Theoretische Mechanik 2010 Lagrange Formalismus

Ferienkurs Theoretische Mechanik 2010 Lagrange Formalismus Fakultät für Physik Michael Schrapp Technische Universität München Vorlesung Ferienkurs Theoretische Mechanik 2010 Lagrange Formalismus Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 2 Generalisierte Koordinaten und

Mehr

(dφ) 2 + (dz) 2. φ 2 dφ mit z=z(φ).

(dφ) 2 + (dz) 2. φ 2 dφ mit z=z(φ). PD Dr. S. Mertens Theoretische Physik I Mechanik J. Unterhinninghofen, M. Hummel Blatt 5 WS 8/9.. 8. Strecke auf Zylinder. Bestimmen Sie die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf Pkt.) dem Zylinder.

Mehr

Theoretische Physik: Mechanik

Theoretische Physik: Mechanik Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2016 Vorlesung 1 (mit freundlicher Genehmigung von Verena Walbrecht) Technische Universität München 1 Fakultät für Physik Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische

Mehr

Kinematik des starren Körpers

Kinematik des starren Körpers Technische Mechanik II Kinematik des starren Körpers Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes

Mehr