Ergänzende Materialien zum Seminar Theoretische Mechanik WS 2005/06

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1 Ergänzende Materialien zum Seminar Theoretische Mechanik WS 2005/06 Dörte Hansen 4. Dezember Lagrangepunkte oder: Das restringierte 3-Körper-Problem der Himmelsmechanik 1.1 Motivation Die Trojaner sind ein längst untergegangenes Volk der Vorzeit? Irrtum! Es gibt sie noch heute! Schon seit dem Ende des 18. Jahrhundert vermutete man die Existenz dieser kleinen Himmelskörper, ohne dass es jedoch gelang, sie durch direkte Beobachtungen nachzuweisen. Nach den Berechnungen der Mathematiker Euler und Lagrange sollte es im gemeinsamen Gravitationsfeld von Jupiter und Sonne insgesamt fünf Punkte geben, an denen die Kraftwirkung auf einen Testkörper verschwindet. Zwei dieser Punkte sollten sich auf der Jupiterbahn befinden, und zwar jeweils 60 Grad vor bzw. hinter dem Planeten. Astronomen aus aller Welt konzentrierten sich deshalb auf die Beobachtung dieser beiden Punkte, doch erst 1906 gelang es dem deutschen Astronom Max Wolf, den ersten Asteroiden in einem dieser sogenannten Lagrange-Punkte zu entdecken. Heute sind 1691 dieser sogenannten Trojaner in den Punkten L4 und L5 bekannt. Die größeren von ihnen tragen die Namen der Helden der Ilias. Astronomen machten dabei möglich, was in Homers Ilias undenkbar ist: Als Trojaner werden nämlich auch die nach den griechischen Helden benannten Asteroiden im Punkt L4 bezeichnet. Hier finden wir sie alle wieder: Agamemnon, Achilles, Nestor und den listenreichen Odysseus. Die Asteroiden in L5 hingegen sind nach den Trojanern benannt, so z.b. nach Priamus und Paris. So jagen die beiden verfeindeten Gruppen einander durch das All, ohne sich jemals einholen zu können. In den letzten 100 Jahren fand man auch in den Lagrangepunkten L4 und L5 anderer Planeten solche seltsamen Begleiter. Der erste marsianische Trojaner wurde 1990 von David Levy entdeckt - einige weitere sind seitdem hinzugekommen. Auch im Neptunorbit befinden sich einige dieser merkwürdigen Trojaner, doch soweit müssen wir gar nicht gehen. Selbst unsere Erde hat einige dieser Begleiter, aber in der Erdbahn bewegen sich 1

2 L4 L3 L1 L2 PSfrag replacements L5 Abbildung 1: Zur Definition der Lagrangepunkte. noch viel seltsamere Himmelskörper. Einer von ihnen ist der Plaetoid 3753 Cruithne. Cruithne befindet sich nicht in einem der Lagrangepunkte L4 und L5, sondern bewegt sich auf einer komplizierten Bahn, die im mitrotierenden Erde-Sonne System wie ein zu gross geratener Pferdehuf erscheint. Wie aber kann es dazu kommen, dass sich kleinere Himmelskörper auf ein und derselben Bahn wie ein Planet bewegen, ohne von diesem verschluckt zu werden? Dieser Frage wollen wie uns im Folgenden zuwenden. 1.2 Das restringierte 3-Körper-Problem der Himmelsmechanik Um die Existenz der Trojaner zu verstehen, müssen wir die Bewegung einer Testmasse m 3 im gemeinsamen Gravitationsfeld von Planet und Sonne untersuchen. Es handelt sich somit um ein typisches 3-Körper-Problem, von dem wir wissen, dass es im allgemeinen analytisch nicht lösbar ist. Für unsere Betrachtungen jedoch ist noch etwas anderes wichtig: Alle oben erwähnten Systeme sind nämlich hierarchische System mit sehr unterschiedlichen Massen m 1 m 2 m 3. In der Tat stellt sich heraus, dass die Bedingung m 1 m 2 entscheidend für die Frage nach der Stabilität der Lagrangepunkte ist 1. Wir werden im folgenden allerdings keine Forderung an das Verhältnis der Massen m 1 und m 2 stellen, sondern nehmen lediglich an, dass m 1, m 2 m 3 gelten soll. Die Bewegung von m 1 und m 2 bleibt damit unbeeinflußt von der gravitativen Wechselwirkung mit m 3 1 Der entsprechende Beweis ist äußerst kompliziert und gelang erst mit Hilfe allgemeinrelativistischer Formulierungen. 2

3 (m 3 wird deshalb als Testmasse bezeichnet). Auch die Lage des Schwerpunktes wird allein durch m 1 und m 2 bestimmt. Im Schwerpunktsystem ist m 1 r 1 + m 2 r 2 = Ms = 0, r 1 = m 2 m 1 r 2. Es ist zweckmäßig, für die folgenden Betrachtungen die Relativkoordinate R = r 1 r 2 einzuführen, und r 1 bzw. r 2 mit Hilfe dieser Relativkoordinate wie folgt auszudrücken: r 1 = m 2 m 1 r 2 = m 2 m 1 (R r 1 ) = r 1 = (m 2 /M)R r 2 = (m 1 /M)R (1) Ferner wissen wir, dass die Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ des Binärsystems Sonne-Planet durch ω 2 = GM R 3 (2) gegeben ist. Nun sieht der Asteroid m 3 aber ein mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierendes Gravitationspotential. Er bewegt sich also in einem rotierenden Bezugssystem, in dem zusätzlich zur Gravitationskraft der beiden Massen m 1 und m 2 F g = Gm 3m 1 r 3 r 1 3 (r 3 r 1 ) Gm 3m 2 r 3 r 2 3 (r 3 r 2 ) (3) sogenannte Scheinkräfte wirksam werden. Allgemein wird die Dynamik eines Körper in einem rotierenden Bezugssystem durch die Bewegungsgleichunug m r = F (IS) 2mω ṙ mω (ω r ) m ω r, wobei wenn die Ursprünge von Inertialsystem und rotierendem Koordinatensystem zusammenfallen, r = r gilt. In unserem Fall ist ω die in Gl. (2) gegebene Winkelgeschwindigkeit, die senkrecht auf der Bahnebene und damit auch auf r 3 stehen soll. Der Beitrag der Zentrifugalkraft vereinfacht sich dann zu F Z = mω (ω r 3) = ω(ω r 3) + ω 2 r 3 = ω 2 r 3. (4) Vernachlässigen wir ω, so nimmt die Bewegungsgleichung der Testmasse die folgende Form an: F(r 3 ) = m r 3 = Gm 3m 1 r 3 r 1 3 (r 3 r 1 ) Gm 3m 2 r 3 r 2 3 (r 3 r 2 ) + m 3ω 2 r 3 2m 3ω ṙ 3. (5) Es ist sofort offensichtlich, dass für dieses System aus drei Massenpunkten der Energieerhaltungssatz erfüllt ist. Das bedeutet jedoch nicht, dass alle auftretenden Kräfte konservativ sind und damit ein Potential besitzen. In der Tat ist zwar für die Corioliskraft F c ṙ = 2m(ω ṙ ) ṙ = 0, 3

4 (die Corioliskraft steht immer senkrecht auf der Geschwindigkeit), und außerdem gilt F c = 0. Dennoch kann man dieser Kraft kein Potential zuordnen. Dieses würde von der Geschwindigkeit abhängen, was im Rahmen der klassischen Mechanik nicht zulässig ist. Man kann sich natürlich auch explizit das für den Massenpunkt m spürbare Potential herleiten. Dazu multipliziert man (5) skalar mit ṙ 3, so dass r 3 ṙ 3 = [ Gm3 m 1 r 3 r 1 3 (r 3 r 1 ) + Gm 3m 2 r 3 r 2 3 (r 3 r 2 ) ṙ 3 + m [ 3 ω 2 r 3 ṙ 3 (ω r 3 )(ω ṙ 3 ) 2m 3 (ω ṙ 3) ṙ 3. (6) }{{} =0 Der letzte Term verschwindet, da die Corioliskraft zu allen Zeiten senkrecht auf der Geschwindigkeit ṙ 3 steht. Es ist nun offensichtlich, dass sich sowohl die rechte als auch die linke Seite dieser Gleichung als totale Zeitableitung schreiben lassen. Genauer gesagt, ist ganz allgemein m [ ω 2 r ṙ (ω r )(ω ṙ ) = d m [ ω 2 r 2 (ω r ) 2 = d m dt 2 dt 2 (ω r ) 2. Gl. (6) besagt, dass die Energie des Systems eine Erhaltungsgröße ist, denn auf der rechten Seite der Gleichung steht gerade die totale Zeitableitung des effektiven Potentials U eff (r 3 ) = Gm 3m 1 r 3 r 1 Gm 3m 2 r 3 r 2 m 3 2 (ω r 3 )2. (7) (Im folgenden bezeichne r r 3 ). Die Lagrangepunkte entsprechen den Extrema dieses Potentials. Wir müssen also untersuchen, für welche Punkte (x, y, z ) die aus dem effektiven Potential abgeleitete konservative Kraft F kons (r ) = Gmm 1 r r 1 3 (r r 1) Gmm 2 r r 2 3 (r r 2) + m [ ω 2 r (ω r )ω (8) verschwindet. Da der Drehimpuls des Systems eine Erhaltungsgröße ist, können wir eine ebene Bewegungs voraussetzen und wählen das Koordinatensystem so, dass der Vektor der Winkelgeschwindigkeit in z -Richtung zeigt, d.h. er steht senkrecht auf der Bahnebene. Außerdem können wir bei unserer Suche z = 0 setzen; wenn es Extrema des Potentials (7) gibt, dann müssen diese in der Bahnebene von m 1 und m 2 zu finden sein. Außerdem drücken wir r 1 und r 2 mit Hilfe der Relativkoordinate R = Re x aus (r 1 = αr, r 2 = (α 1)R). Die für den Massenpunkt spürbare Kraft ist dann [ F kons (r (r αr)m 1 ) = Gm [(x αr) 2 + y 2 3/2 + (r (α 1)R)m 2 Mr [(x (α 1)R) 2 + y 2 3/2 R 3, (9) wobei wir im letzten Schritt ω 2 = GM/R 3 eingesetzt haben. Wir formen diese Gleichung nun so um, dass M außerhalb der Klammer steht, [ (r F kons (r αr)(1 α) ) = GmM [(x αr) 2 + y 2 3/2 + (r (α 1)R)α r [(x (α 1)R) 2 + y 2 3/2 R 3. (10) 4

5 Die Extrema des Potentials U eff entsprechen jenen Punkten, an denen die Kraft (10) komponentenweise verschwindet. Das bedeutet, unsere Suche nach den Lagrangepunkten reduziert sich auf die Suche nach den Lösungen des Gleichungssystems F kons,x = 0 = GmM [ (x αr)(1 α) [(x αr) 2 + y 2 3/2 + [ F kons,y = 0 = GmMy 1 α [(x αr) 2 + y 2 3/2 + Wir können zwei Fälle unterscheiden. Fall 1: y 0 (x + (1 α)r)α x [(x + (1 α)r) 2 + y 2 3/2 R 3 α [(x + (1 α)r) 2 + y 2 3/2 1 R 3 = 0, In diesem Fall ist Gleichung (12) automatisch erfüllt. Setzen wir in Gl. (11) y = 0, so erhalten wir eine transzendente Gleichung für x, (11). (12) (1 α)(x αr) x αr 3/2 + α(x + (1 α)r) x + (1 α)r 3/2! = x R 3. (13) Es ist unmöglich, eine analytische Lösung dieser Gleichung zu finden. Man kann sich die Lösungen von Gl. (13) auf graphischem Wege bestimmen. Dazu identifizieren wir die linke Seite von Gl. (13) mit einer Funktion f 1 (x ) = (1 α)(x αr) x αr 3/2 + α[x + (1 α)r x. (14) + (1 α)r 3/2 Die Schnittpunkte dieser Funktion mit f 2 (x ) = x sind die gesuchten Lösungen der R 3 Gleichung (13). Es ist leicht zu sehen, dass f 1 (x ) für x = αr und x = (1 α)r singulär wird. Außerdem ist f 1 (x ) stets kleiner als Null, solange x < (1 α)r, und größer als Null für alle x > αr. Die graphische Darstellung zeigt, dass jeweils einer der drei kollinearen Punkte jenseits der Massen m 1 bzw. m 2 liegt, während der dritte Lagrangepunkt auf der Verbindungsachse zwischen m 1 und m 2 liegt (siehe Abb.). Es zeigt sich jedoch, dass diese drei Punkte lokalen Maxima des effektiven Potentials entsprechen, d.h. es handelt sich um instabile Gleichgewichtspunkte. Fall 2: y 0 In diesem Fall folgt aus Gl. (11) bzw. nach Ausmultiplizieren x ( 1 α r 3 13 (x αr)(1 α) r α r (x + (1 α)r)α r 3 23 ) ( α(1 α) + R r13 3 = x R 3, ) α(1 α) r23 3 = x R 3. 5

6 Da diese Bedingung für alle x erfüllt sein muss, folgt sofort r 13 = r 23, d.h. der Abstand zwischen m 3 und m 1 ist genauso groß wie der Abstand zwischen m 3 und m 2. Damit ist r 2 13 = (x αr) 2 + y 2! = (x + (1 α)r) 2 + y 2 = r 2 23 woraus sofort x = ( α 1 ) R. 2 Die entsprechenden y -Werte erhalten wir durch Einsetzen dieses Ergebnisses in (12), d.h. 1 α [y 2 + r 2 /4 3/2 + α [y 2 + R 2 /4 3/2 = 1! [y 2 + R 2 /4 3/2 = 1 R 3 Diese beiden äquilateralen Lösungen ( y = ± 3 2 R. R(α 1 2 ), ± 3 2 R ) (15) werden üblicherweise mit L4 bzw. L5 bezeichnet. Die Frage, ob diese Punkte stabilen Gleichgewichtslagen der Testmasse m 2 entsprechen, ist im Rahmen von Stabilitätsanalysen nur sehr schwierig zu beantworten. In der Tat stellt sich heraus, dass die Stabilität der Gleichgewichtslagen L4 und L5 entscheidend vom Verhältnis der Massen der beiden schweren Himmelskörper abhängt. Nur im Falle eines hierarchischen Systems - d.h. wenn m 1 m 2 m 3 ist, entsprechen die äquilateralen Lösungen L4 und L5 stabilen Gleichgewichtslagen. 6

7 f 1 (x) x PSfrag replacements Abbildung 2: Graphische Bestimmung der drei kollinearen Euler-Lagrangepunkte als Schnittpunkte der Funktionen f 1 und f 2. 7