Seminararbeit zum Seminar aus reiner Mathematik

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1 Seminararbeit zum Seminar aus reiner Mathematik Gudrun Freidl, Julia Schönhart Vortrag am

2 In dieser Seminararbeit wollen wir den Beginn des 3. Kapitels des Buches Projektive Geometrie behandeln. Das Ziel dieses Kapitels ist es, die Verbindung zwischen der synthetischen und der analytischen Geometrie zu schlagen. Wir werden zeigen, dass projektive Räume genau dann von der Form P(V ) für einen Vektorraum V sind, wenn P desarguessch ist. Ein möglicher zugrundeliegender Schiefkörper dieses Vektorraumes wird sich aus Kollineationen von P zusammensetzen. Das Ziel unseres Abschnittes ist es, die Existenz solcher Kollineationen zu beweisen. Zur Erinnerung: Eine Kollineation von P ist eine bijektive Abbildung der Punktmenge bzw. Geradenmenge von P in sich, die die Inzidenz enthält. Sei P ein projektiver Raum mit endlicher Dimension d. Unterräume der Dimension d-1 heiÿen Hyperebenen. Sei V ein Vektorraum über einem Schiefkörper K. Dann deniert man die Geometrie P: Unterräume der Dimension 1 von V sind die Punkte von P, Unterräume der Dimension 2 von V sind die Geraden von P, das mengentheoretische Enthaltensein ist die Inzidenz von P. Axiom 2 (Veblen-Young-Axiom): Wenn A,B,C,D vier Punkte sind, so dass AB die Gerade CD trit, so trit AC die Gerade BD. Abb. E1: Veblen-Young-Axiom Sei P ein projektiver Raum. Wir können sagen: In P gilt der Satz von Desargues", wenn folgendes richtig ist. Für jede Auswahl von Punkten A 1, A 2, A 3, B 1, B 2, B 3, für die gilt, dass 2

3 A i, B i sind kollinear mit einem Punkt Z, wobei Z A i B i (i = 1,2,3) keine drei der Punkte A 1, A 2, A 3, Z und keine drei der Punkte B 1, B 2, B 3, Z sind kollinear gilt, dass die Punkte P 12 :=A 1 A 2 B 1 B 2, P 23 :=A 2 A 3 B 2 B 3 und P 31 :=A 3 A 1 B 3 B 1 auf einer gemeinsamen Gerade liegen (siehe Abb. E2). Abb. E2: Satz von Desargues 3

4 3.1 Zentralkollineationen Lemma Sei α eine Kollineation von P. Für je zwei verschiedene Punkte X,Y von P gilt α(xy ) = α(x)α(y ), Das heiÿt, dass Bild einer Geraden ist gleichbedeutend mit der Gerade, die man durch die Bilder der einzelnen Punkte legt. Beweis. Alle Punkte, die mit der Geraden g = XY inzidieren, liegen auf dem Bild g` der Geraden g, da α eine Kollineation ist. Da α(x) und α(y) nach De- nition auf g` liegen, ist g`=α(x)α(y). Für uns interessant sind jedoch nicht irgendwelche Kollineationen, sondern spezielle Kollineationen, nämlich die Zentrakollineationen. Denition. Eine Kollineation α von P heiÿt Zentralkollineation, falls es eine Hyperebene H (Achse von α) und einen Punkt Z (Zentrum von α) gibt mit folgenden Eigenschaften: Jeder Punkt X von H ist Fixpunkt von α (dh. α(x)=x). Jede Gerade g durch Z ist eine Fixgerade von α (dh. α(g)=g). Bemerkung. Das Bild jedes Punktes auf der Fixgeraden g liegt wieder auf g. Das bedeutet aber nicht, dass jeder Punkt auf g ein Fixpunkt ist! Beispiel. Die Spiegelung der reellen anen Ebene kann als Zentralkollineation interpretiert werden. Sie g die Gerade, an der gespiegelt wird. Dann ist die Gerade selbst die Achse dieser Spiegelung σ, da jeder Punkt auf g unter σ festbleibt (also ein Fixpunkt ist). Jede Gerade, die senkrecht auf g steht, bleibt bei Anwendung von σ fest (ist also eine Fixgerade). Also ist nun der Punkt auf der uneigentlichen Gerade, in dem sich alle senkrecht auf g stehenden Geraden schneiden, dass Zentrum von σ. Entsprechend sieht man auch, dass eine Punktspiegelung an einem Punkt P auch eine Zentralkollineation ist, deren Zentrum der Punkt P ist und deren Achse die uneigentliche Gerade ist Lemma Es sei H eine Hyperebene und Z ein Punkt von P. Dann ist die Menge der Zentralkollineationen mit Achse H und Zentrum Z bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe. Beweis. Es sei Γ die Menge aller Zentralkollineationen mit Achse H und Zentrum Z. Damit ist wenigstens die Identität aus Γ und daher ist Γ nicht leer. Die Abgeschlossenheit von Γ ist ebenfalls leicht einzusehen, da das Produkt zweier Elemente aus Γ jede Gerade durch Z und jeden Punkt von H fest lässt. Daher sind sie wieder Elemente von Γ. 4

5 Noch zu zeigen bleibt das Untergruppenkriterium. Die zuα inverse Kollineation α 1 ist ebenfalls ein Element von Γ. Da αα 1 = id ist, muss auch α 1 jeden Punkt auf H und jede Gerade durch Z festlassen Lemma. Sei α eine Zentralkollineation von P mit Achse H und Zentrum Z. Sei P ein Punkt Z, der nicht auf H liegt und sei P'= α(p) das Bild von P. Dann ist α eindeutig bestimmt. Insbesondere gilt für das Bild eines jeden Punktes X, der weder auf H noch PP'(=PZ) liegt wobei F = PX H ist. α(x) = ZX F P, Beweis. Das Bild einer Zentralkollineation X = α(x) ist durch folgendes festgelegt: Es muss die Gerade ZX (wie auch jede andere Gerade durch Z) wieder auf sich selbst abgebildet werden. Da α eine Kollineation ist, liegt X also auf α(zx) = ZX. Der Punkt F := P X H ist ein Punkt der Achse H und damit Fixpunkt von α. Mit Lemma folgt X = α(x)iα(p X) = α(f P ) = α(f )α(p ) = F P. Abb. 3.1 Eindeutigkeit von Zentralkollineationen Da X nicht auf P P liegt, kann F auch nicht auf ZX liegen. Damit ist der Schnittpunkt X der verschiedenen Geraden ZX und F P eindeutig bestimmt. Es folgt, dass das Bild jedes Punktes Y auf ZP ebenfals eindeutig bestimmt ist. Denn wenn man (P, P ) durch ein Urbild-Bildpaar (R, R ) mit R R und R / ZP ersetzt - was sicher existiert, weil d 2 - dann sieht man, dass 5

6 Y = ZY F R (mit F = RY H) eindeutig bestimmt ist Korollar (Eindeutigkeit von Zentralkollineationen). Sei α eine Zentralkollineation von P mit Achse H und Zentrum Z. Wenn α nicht die Identität ist, so gilt: 1. Ist P Z ein Punkt, der nicht auf H liegt, dann ist P kein Fixpunkt von α. 2. Die Zentralkollineation α ist durch Vorgabe eines Urbild-Bildpaares (P,α(P)) mit P α(p ) eindeutig bestimmt. Beweis. 1. Annahme: P ist Fixpunkt von α. Zu zeigen: Jeder Punkt X bleibt unter α fest. Sei X nun kein Punkt der Geraden ZP. Mit Hilfe von Lemma ist dann α(x) = ZX F P = ZX F P = X, da X auf FP liegt. Betrachtet man einen (Fix-)Punkt X 0 auÿerhalb von PZ, so ergibt sich, dass jeder Punkt auf PZ ein Fixpunkt ist. Also is α die Idenitität und somit erhalten wir den Widerspruch. 2. folgt aus Lemma Korollar Achse und Zentrum einer Zentralkollineation α id von P sind eindeutig bestimmt. Beweis. α kann nicht zwei Achsen H und H' haben, denn sonst wäre jeder Punkt von H'\H - von denen es mindestens zwei geben muss - ein Fixpunkt von α, was im Widerspruch steht zu Lemma (1) Annahme: α hat zwei Zentren Z und Z'. Wenn P ein Punkt auÿerhalb der Achse H und der Geraden ZZ' ist, dann gilt für P = α(p ) : P IP Z und P IP Z. Daher muss P = P sein. Dies ist jedoch ein Widerspruch zu Lemma (1). Denition. Es sei α id eine Zentralkollineation eines projektiven Raumes P. α heiÿt Elation, wenn das Zentrum inzident mit der Achse ist und Homologie, wenn das Zentrum nicht mit der Achse inzidiert. Die Identität wird als Elation und als Homologie betrachtet. Bemerkung. Im nachfolgenden werden Elationen mit Achse H, sogenannte Translationen eine wichtige Rolle spielen. Wenn man die Gleichheit von zwei solchen Zentralkollineationen α und β nachweisen möchte, dann genügt es, für einen einzigen Punkt X 0 / H zu zeigen, dass α(x 0 ) = β(x 0 ) ist. Denn wenn X 0 := α(x 0 ) = β(x 0 ) ist, dann muss das Zentrum von α und β der Punkt X 0 X 0 H sein. Die Gleichheit von α und β folgt dann aus Lemma

7 Dh: Translationen sind dann gleich, wenn sie mit einem einzigen anen Punkt dasselbe machen Lemma Es seien P ein projektiver Raum und α id eine Zentralkollineation mit Zentrum Z und Achse H. U sein ein Unterraum von P mit Z U, aber U H. Dann ist die Einschränkung von α auf U eine nichtidentische Zentralkollineation. Beweis. Weil Z U ist, bleibt U unter α fest. Daher ist auch die Einschränkung α von α auf U eine Kollineation von U. α ist sogar eine Zentralkollineation, da α den Punkt Z als Zentrum und U H als Achse hat. Insbesondere ist α nicht die Identität, da U H ist. Bemerkung. Wörtlich besagt das Lemma 3.1.6, dass α eine Zentralkollineation von U induziert. Später (in Satz ) werden wir zeigen, dass im Allgemeinen auch die Umkehrung gilt: Jede Zentralkollineation eines Unterraums wird von einer Zentralkollineation des gesamten Raumes induziert. Nun kommen wir dem Satz von BAER, ein sehr zentraler Satz dieses Kapitels, immer näher. Er wird den Zusammenhang zwischen dem Schlieÿungssatz von DESARGUES und der Existenz von Zentralkollineationen herstellen. Bevor wir aber an den Satz von BAER herangehen, brauchen wir noch folgendes Lemma über die Fortsetzung von Kollineationen Lemma Sei g 0 eine Gerade von P. Wir betrachten diejenige Rang 2- Geometrie P', die aus den Punkten von P, die nicht auf g 0 liegen und den von g 0 verschiedenen Geraden von P besteht. Sei α eine Kollineation von P'. Dann kann α auf eindeutige Weise zu einer Kollineation α von P ergänzt werden. Diese Kollineation α lässt die Gerade g 0 fest. Beweis. Um dieses Lemma zu zeigen, werden wir als erstes eine Behauptung aufstellen, aus der wir dann das Lemma folgern können. Behauptung: Seien g und h zwei Geraden, die g 0 im selben Punkt P schneiden. Dann haben auch die Geraden g = α(g) und h = α(h) die Eigenschaft, dass sie sich in einem gemeinsamen Punkt P' von g 0 schneiden. Beweis der Behauptung: g' und h' können keinen Punkt von P' gemeinsam haben, da α die Inzidenz von P' erhält. Hier müssen wir zwei Fälle unterscheiden: 1.Fall. Die Ordnung von P ist gröÿer als 2. g und h liegen in einer gemeinsamen Ebene. Laut Axiom 2 (Veblen-Young- Axiom) gibt es einen Punkt Q in P' und zwei Geraden m und n durch Q, die jeweils g und h in zwei verschiedenen Punkten schneiden. α bildet m und n auf zwei Geraden m' und n' ab, die durch einen Punkt Q' von P' gehen. Beide schneiden die Geraden g' und h' jeweils in verschiedenen Punkten. Daher liegen g' und h' in einer gemeinsamen Ebene von P. Genauer 7

8 gesagt in der von m' und n' aufgespannten Ebene. Somit schneiden sich die Geraden in P. Weil sie aber keinen Punkt von P' gemeinsam haben können, müssen sie sich in einem Punkt von g 0 schneiden. 2.Fall Die Ordnung von P ist gleich 2. Wenn wir annehmen, dass g, h und g 0 nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen, dann gibt es wie im 1.Fall in der Ebene, die g und h aufspannt, einen Punkt Q und zwei Geraden m und n durch Q, die beide g und h jeweils in verschiedenen Punkten schneiden. Dann schlieÿen wir weiter wie im 1.Fall. Wenn g, h und g 0 in einer gemeinsamen Ebene liegen, dann überdecken diese Geraden bereits alle Punkte dieser Ebene. Wir können keinen Punkt Q nden. Nun müssen wir noch einmal zwei Fälle unterscheiden. Wenn P nur eine Ebene ist, so ist alles weitere klar. Wenn P jedoch nicht nur eine Ebene ist, so gibt es eine Gerade l, die durch den Punkt P = g h g 0 geht, aber nicht in der von g und h aufgespannten Ebene liegt. Dann müssen wir unsere bisherigen Ergebnisse auf die Paare (l, g) und (l, h) anwenden: Da l,g und g 0 nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen, gehen l' und g' durch einen gemeinsamen Punkt von g 0. Ebenso gehen l' und h' durch einen gemeinsamen Punkt von g 0. Diese Punkte sind gleich, weil beide gleich dem Schnittpunkt von l' und g 0 sind. Also müssen auch g' und h' durch denselben Punkt von g 0 gehen. Damit ist die am Anfang angestellte Behauptun bewiesen. Daraus können wir nun folgendes für den Beweis des Lemmas schlieÿen: Für einen Punkt P' auf g 0 sei G P die Menge der Geraden von P' durch P. Dann gibt es einen Punkt P' auf g 0, so dass die Bilder der Geraden aus G P alle durch P' gehen. Mit anderen Worten, α(g P ) (G P ). Wendet man die entsprechenden Überlegungen auf α 1 an, dann erhält man auch die umgekehrte Inklusion und damit α(g P ) = (G P ). Nun denieren wir α so, dass die Einschränkung von α auf P' gleich α ist, dass α(g 0 ) = g 0 ist, und für einen Punkt P von g denieren wir α (P ) = P. Dann ergibt sich aus den obigen Überlegungen nicht nur, dass α die einzig mögliche Fortsetzung von α auf P ist, sondern dass die Abbildung α auch tatsächlich eine Kollineation ist. Damit können wir nun den Satz von BAER beweisen Lemma (Existenz von Zentralkollineation, BAER 1946). Es gelte in P der Satz von DESARGUES. Wenn H eine Hyperebene ist und Z, P, P' verschiedene kolineare Punkte von P sind, für die P, P' / H gilt, so existiert genau eine Zentralkollineation α von P, die auf P' abbildet, wobei H die Achse und Z das Zentrum von α sind. Beweis. - Eindeutigkeit: Dass die Zentralkollineation α eindeutig ist, wurde bereits in 3.1.4(b) gezeigt. - Existenz: Um die Existenz der Zentralkollineation α zu zeigen, wird nun wie folgt vorgegangen. Zunächst wird diejenige Rang 2-Geometrie P' betrachtet, 8

9 welche aus den Punkten von P besteht, die nicht auf ZP liegen und aus den Geraden von P besteht, welche von ZP verschieden sind. In P' wird nun eine Abbildung α deniert. Wenn wir zeigen können, dass dies eine Kollineation von P' ist, so folgt mit Lemma 3.1.7, dass sich α zu einer Kollineation von P fortsetzen lässt. Denition der Abbildung α in P': Jeder Punkt von H soll ein Fixpunkt sein. Für einen Punkt X / H sei X':= α(x) := ZX FP', wobei F = XP H ist. Der Hauptteil des Beweises besteht darin, zu zeigen, dass α eine Kollineation ist. Zuerst soll nun gezeigt werden, dass α eine bijektive Abbildung auf der Punktmenge von P' ist: - Injektvität: Seien X 1 und X 2 zwei verschiedene Punkte in P', dann kann o.b.d.a. angenommen werden, dass X 1 und X 2 nicht auf H liegen. Wenn nun X 1, X 2 und Z kollinear sind, dann sind F 1 := X 1 P H und F 2 := X 2 P H verschieden. Daraus folgt nun auch, dass auch α(x 1 ) und α(x 2 ) zwei verschieden Punkte auf der Geraden durch X 1, X 2 und Z sind. Wenn X 1, X 2 und Z nicht kollinear sind, dann sind auch α(x 1 ) und α(x 2 ) verschieden (denn α(x 1 ) liegt auf der Geraden ZX 1 und α(x 2 ) liegt auf der Geraden ZX 2 ). Somit ist nun α injektiv. -Surjektivität: Da Y 0 = ZY FP, mit F = YP' H, das Urbild des Punktes Y ist, folgt daraus die Surjektivität. Nun wird nachgewiesen, dass drei kollineare Punkte wieder in kollineare Punkte übergeführt werden - dann ist α eine Kollineation. Die nachfolgende Behauptung wird für den Beweis der obigen Aussage von Nutzen sein: Behauptung: Für je zwei Punkte X und Y aus P' schneiden sich die Geraden XY und X'Y' in einem Punkt der Achse H. Beweis der Behauptung: O.B.d.A. wird angenommen, dass die Punkte X und Y nicht in H liegen. Im trivialen Fall sind P, X und Y kollinear. Dann sind auch P', X' und Y' kollinear, da X' und Y' auf der Geraden durch F:= PX H und P' liegen. Insbesondere schneiden sich XY = PX und X'Y' = X'P' in dem Punkt F der Hyperebene H. 9

10 Abb. 3.3.: trivialer Fall Im allgemeinen Fall, in welchem X, Y und P nicht kollinear sind, sind die Punkte F 1 := PX H F 2 := PY H verschieden. Laut Voraussetzung liegt P' nicht in H, also sind auch die Geraden F 1 P' und F 2 P' verschieden. Also sind auch X', Y' und P' nicht kollinear. Daher erfüllen die Dreiecke X, Y, P und X', Y', P' die Voraussetzungen des Satzes von Desargues, wobei Z das Zentrum ist. Wenn man nun den Satz auf diese Dreiecke anwendet, folgt daraus, dass die Punkte F 1, F 2 und XY X'Y' kollinear sind, wobei XY X'Y' unser gesuchter Punkt ist. Insbesondere muss auch XY X'Y auf H liegen. Somit wurde die Behauptung bewiesen. Abb. 3.4.: allgemeiner Fall 10

11 Aus obiger Behauptung ergibt sich nun, dass α eine Kollineation von P' ist, da: Seien nun X, Y, W drei Punkte auf einer Geraden g und seien X', Y', W' ihre Bilder unter der Kollineation α. Dann folgt aufgrund der Behauptung, dass Q = XY X'Y' = g X'Y' ein Punkt von H ist. Weiters gilt, dass Y' auf g':=qx' ist. Da aber auch XW X'W' = g X'W' ein Punkt von H ist, muss dies der Schnittpunkt von g mit H, also der Punkt Q sein. Das heiÿt X'W' = X'Q = g', also liegt W' auch auf QX' = g'. Somit liegen nun alle Bildpunkte auf einer gemeinsamen Geraden und damit ist α eine Kollineation von P'. Aus Lemma folgt nun, dass α zu einer Kollineation α* von P fortgesetzt werden kann. Es bleibt noch zu zeigen, dass α* eine Zentralkollineation ist. Die Achse von α* ist H und das Zentrum ist Z (siehe dazu Lemma 3.1.9) Lemma. Sei α eine Kollineation von P, zu welcher es eine Hyperebene H derart gibt, dass für jeden Punkt X aus H gilt: α(x) = X. Dann gibt es einen Punkt Z von P, sodass jede Gerade durch Z eine Fixgerade ist. Kurz gesagt: Jede axiale Kollineation ist zentral. Beweis. Falls es einen Punkt Z / H gibt, für welchen α(z) = Z gilt, so ist Z ein Zentrum, denn jede Gerade, welche durch Z geht, hat die Form ZP, P H. Es gilt für diese Gerade: α(zp) = α(z) α(p) = ZP Betrachten wir nun den Fall, dass es keinen Punkt auÿerhalb von H gibt, der ein Fixpunkt ist. Sei dafür P / H. Behauptung. Pα(P) H ist eine Fixgerade. Sei Z:=P α(p) H, dann ist α(pα(p)) = α(pz) = α(p)α(z) = α(p)z = α(p) P Nun muss gezeigt werden, dass der oben betrachtete Punkt Z das Zentrum von α ist. Dazu muss gezeigt werden, dass jede Gerade g durch Z eine Fixgerade unter α ist. Es kann dafür vorausgesetzt werden, dass g nicht in α liegt. Behauptung. Für jeden Punkt Q / H, Q / P α(p) geht die Gerade Q α(q) durch den Punkt Z:= P α(p) H Denn: Sei S:=PQ H. Dann ist S = α(s) I α(pq) = α(p) α(q) Die Punkte S, P, Q, α(p), α(q) liegen also alle in einer gemeinsamen Ebene E. Daher müssen sich die Geraden Qα(Q) und Pα(P) in einem Punkt X von E schneiden. Für diesen Punkt X gilt nun, da die Geraden Qα(Q) und Pα(P) Fixgeraden sind: 11

12 α(x) = α(pα(p)) α(qα(q)) = Pα(P) Qα(Q) = X. Dh. X muss in H liegen und somit der Punkt Pα(P) H = Z sein. Daher gehen alle Geraden der Form Qα(Q) durch Z. Dies bedeutet nun aber, dass jede Gerade, die nicht in H liegt, aber durch Z geht, von dieser Form ist - also ist jede Gerade durch Z eine Fixgerade. Bemerkung. Wenn α id ist, dann ist der Punkt Z nach eindeutig bestimmt. Nun soll als einfache Anwendung des Satzes von BAER die Umkehrung von Lemma bewiesen werden Satz. Sei P ein desarguesscher projektiver Raum der Dimension d 2. Dann wird jede Zentralkollineation α* eines Unterraums U von P von einer Zentralkollineation von P induziert. Genauer: Für jeden Unterraum V, welcher zu U disjunkt ist, gibt es eine Zentralkollineation von P, die α* induziert. Die Achse von α geht durch V und enthält die Achse von α*. Beweis. Sei Z das Zentrum und H* die Achse von α*. Sei H eine Hyperebene von P durch V mit H U= H*. Für einen beliebigen Punkt Q von U, mit Q Z und Q / H*, gilt: Q'=α*(Q). Laut dem Satz von BAER gibt es eine Zentralkollineation α von P mit Zentrum Z und Achse H, sodass Q auf Q' abgebildet wird. Sei nun α' die von α in U induzierte Zentralkollineation (vgl. Lemma 3.1.6). α' und α* besitzen dasselbe Zentrum und dieselbe Achse und beide bilden Q auf Q' ab. Daraus folgt nun, dass α* = α'. Also wird α* (=α') von der Zentralkollineation α von P induziert. 12