Einführung in die Codierungstheorie

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1 11. Dezember 2007

2 Ausblick Einführung und Definitionen 1 Einführung und Definitionen 2 3

3 Einführung und Definitionen Code: eindeutige Zuordnung von x i X = {x 1,.., x k } und y j Y = {y 1,..., y n } Sender Codierer Übertragungskanal Decodierer Empfänger Ziele der Codierung möglichst viele Fehler zu korrigieren geringer Aufwand Blockcodes und Faltungscodes

4 Einführung und Definitionen (n, k) Block-Code Quadrupel (X, Y, E, D), X, Y endliche Mengen E : X k Y n, injektiv D : Y n X k, surjektiv E steht für Codierer, D für Decodierer Rate R := k n 1

5 Einführung und Definitionen DMC discrete memoryless channel P ist die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten P = (p x,y ) x X,y Y mit p x,y = p(y x) p(y x) 0 für alle x, y und y p(y x) = 1 für alle x BSC binary symmetric channel X = Y = {0, 1} ( ) 1 p p P = mit 0 p 1 p 1 p 2

6 Fehler werden erkannt und Wiederholung angefordert wenig zugefügte Information nötig aber Verzögerungen Paritycheck - Code ein Codewort a 1,.., a n {0, 1} n heißt von gerader Parität, falls Anzahl der Zeichen 1 unter den a i gerade ist a 1,.., a n 1 a 1,.., a n 1, a n n 1 a n a i mod 2 i=1

7 Prüfziffersysteme dienen zum Erkennen von Eingabefehlern Beispiele: ISBN, EAN ( Strichcode ), Kontonummern ISBN (International Standard Book Number) gibt Auskunft über Buch, Land, Verlag Bsp.: gewichtete Prüfziffer: a 10 : 9 ia i mod 11. i=1 wenn a mod 11 setzt man a 10 = X

8 Prüfziffersysteme ISBN (International Standard Book Number) Kontrollgleichung: 10 i=1 ia i 0 mod 11. Ändern einer Ziffer: 80% aller Fehler 10 i=1 i k 10 ia i + kx k = i=1 ia i k (a k x }{{ k ) 0 mod 11 } 0 mod 11 Vertauschen zweier Ziffern: 10% der Fehler 10 i=1 i k,j 10 ia i + ka j + ja k = i=1 ia i + (j k)(a k a j ) 0 mod 11 }{{} 0 mod 11

9 und Wiederholungscode keine Verzögerungen durch mehrmalige Übertragung eventuell viel zusätzliche Information notwendig Wiederholungscode n-fache Wiederholen der einzelnen Bits n = 3 : und p E = p (2 Übertragungsfehler) + p (3 Übertragungsfehler) = 3p 2 (1 p) + p 3 = 3p 2 2p 3 < p, da p < 1 2 für p = 0, 02 ist p E = 0,

10 Hammingabstand x = x 1,.., x n und y = y 1,.., y n Wörter der Länge n über dem Alphabet X Hammingabstand und Hamminggewicht Minimalabstand d(x, y) = {1 i n x i y i } d(c) = min d(x, y) x,y C x y

11 Hammingabstand und Hamminggewicht Fehlerkorrigierbarkeit Ein Code mit d(c) 2t + 1 ist ein t-fehlerkorrigierender Code. Ein Code mit d(c) t + 1 ist ein t-fehlererkennender Code. Hamminggewicht Anzahl der von 0 verschiedenen Komponenten eines Wortes x aus X n

12 (7,4)-Hamming-Code 7 Stellen, davon 3 Prüfstellen und 4 Informationsstellen Codierungsvorschrift ist (a 3, a 5, a 6, a 7 ) (a 1,.., a 7 ) mit a 1 a 3 + a 5 + a 7 mod 2 a 2 a 3 + a 6 + a 7 mod 2 a 4 a 5 + a 6 + a 7 mod 2 3 Prüfbedingungen 1001 XX 1X Kombination verletzter Prüfbedingungen identifiziert Fehler eindeutig

13 Kugelpackungsschranke d(c) 2t + 1 und ist x C X n Kugel: K t := {x X n d(x, y) t} Mächtigkeit einer Kugel mit Radius t in X n : K t (x) = t i=0 ( n i ) (q 1) i, X = q, x C Kugelpackungsschranke t ( ) n (q 1) i C q n i Beweis: i=0 Wegen d(c) 2t + 1 ist K t (x) K t (x ) = für x, x C, x x. Also: X n x C K t(x). Aus der Mächtigkeit einer Kugel folgt: q n = X n x C K t(x) = x C K t(x) = C t ( n ) i=0 i (q 1) i.

14 Kugelpackungsschranke Gleichheit gilt genau dann wenn jedes Wort von X n in einer eindeutig bestimmten Kugel mit Radius t liegt ein Code mit dieser Eigenschaft heißt perfekter Code Wiederholungscodes mit ungerader Wortlänge und Hamming-Codes sind perfekte Codes

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