TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7 (7. Jui 004 Präsezaufgabe Aufgabe 39. Kritisch. Die folgede Reihe kovergiere. Mit welche Kovergezkriterie ka ma dies jeweils beweise? ( Quotietekriterium Wurzelkriterium Majoratekriterium Leibizkriterium ( Quotietekriterium X Wurzelkriterium X Majoratekriterium X X Leibizkriterium X Die Kovergez der Reihe Für gilt (. Wir wisse scho, dass Die Kovergez der Reihe < ud ( läßt sich mit Majoratekriterium wie folgt beweise: ( (. läßt sich mit Vorlesugsstoff ud Majoratekriterium wie folgt beweise: < (vgl. Blatt4. Aufgabe 40. Kovergezkriterie, die Erste. Welche der folgede Reihe kovergiere? Begrüde Sie! Welche Kovergezkriterie eige sich?.. 3.! ( ( (((3 Bemerkug: I der Vorlesug wurde Majorate-, Quotiete- ud Wurzelkriterium ur für Reihe a mit a 0 für alle N vorgestellt. Für Reihe a mit a R beliebig wedet ma die Kriterie auf die Reihe b mit b a a. Ka ma die Kovergez der Reihe a achweise, so kovergiert die Reihe a sogar absolut. Damit folgt da auch sofort die gewöhliche Kovergez der Reihe a.

2 . Die Reihe! kovergiert (sogar absolut ach dem Quotietekriterium: Es ist a a a a ( (!! ((!!( 0 Somit gilt a a mit β < für hireiched große N.. Die Reihe ( (((3 kovergiert ach dem Leibizkriterium: Die Folge ( (((3 N ist eie mooto fallede Folge, ud für alle N gilt Es ist lim ( (((3 0. ( 6 6 (((3 lim ( lim 0 3 Diese Reihe kovergiert sogar absolut ach dem Majoratekriterium, da ( (((3 ((( Die Reihe ( kovergiert (sogar absolut ach dem Wurzelkriterium: Es ist ( ( Somit gilt z.b. a 3 4 mit β 3 4 < für hireiched große N. Aufgabe 4. Reihe-Folge, Divergez-Kovergez. Zeige Sie:. We die Reihe a kovergiert, da ist die Folge (a N eie Nullfolge. Bemerkug: Dies ist ei eifaches Kriterium zum Nachweis vo Divergez. Warum?. We die Reihe a absolut kovergiert, da kovergiert auch die Reihe a absolut.. Hierzu beutze wir das Cauchy-Kriterium für Reihe: Eie Reihe mk a kovergiert geau da, we es für jedes ε > 0 ei N ε N gibt mit a < ε für alle m m > N ε, k N. Wir wolle zeige, daß die Folge (a N gege Null kovergiert. Sei ε > 0 vorgegebe. Wir wähle N ε so, mk daß a < ε für alle m > N ε, k N, was möglich ist, da usere Reihe ach Voraussetzug kovergiert m ud so das CAUCHY-Kriterium awedbar ist. Isbesodere ist für alle m > N ε ud k 0 die Ugleichug mk a a m < ε erfüllt, was zu zeige war. m We also eie Reihe a gegebe ist, bei der die Folge (a keie Nullfolge ist, so ka die Reihe icht kovergiere.. Die Reihe a kovergiert absolut. Somit kovergiert die Reihe a. Nach Aufgabeteil. ist die Folge ( a N eie Nullfolge. Demach gibt es ei N N, so dass für alle N die Ugleichug a < gilt. Also gilt für alle N auch a < a. D.h. die kovergete Reihe a ist eie Majorate der Reihe a.

3 Hausaufgabe Aufgabe 4. Kovergezkriterie, die Zweite. Welche der folgede Reihe kovergiere? Begrüde Sie! Welche Kovergezkriterie eige sich? !, si( 9! (, k k (Hiweis: Beweise ud verwede Sie die Abschätzug! (, ( (Hiweis: Verwede Sie Aufgabe 4.. Bemerkug: I der Vorlesug wurde Majorate-, Quotiete- ud Wurzelkriterium ur für Reihe a mit a 0 für alle N vorgestellt. Für Reihe a mit a R beliebig wedet ma die Kriterie auf die Reihe b mit b a a. Ka ma die Kovergez der Reihe a achweise, so kovergiert die Reihe a sogar absolut. Damit folgt da auch sofort die gewöhliche Kovergez der Reihe a.. Die Reihe kovergiert, da sie ei geometrische Reihe mit q mit q < ist: (. Die Reihe für alle Die Reihe 5! kovergiert absolut. Das Quotietekriterium für a 5! ergibt si( 9! kovergiert (sogar absolut ach dem Wurzelkriterium, uter Verwedug der Ugleichug aus dem Hiweis. Es ist: si( 9!! a a 5! (!5 5 Hiweis (. Somit gilt z.b. a 3 4 mit β 3 4 < für hireiched große N. Wir weise u och die Ugleichug aus dem Hiweis ach: Behauptug: Für alle N, > 0 gilt:! (

4 Beweis: mit vollstädiger Iduktio: Iduktiosafag: : ( Iduktiosschritt : Iduktiosvoraussetzug:! ( Wir wolle (! ( zeige. Dazu bereche wir (! (! I.V. ( ( ( ( (. Die letzte Ugleichug folgt für alle > 0 aus der Biomische Formel für ( 4. Die Reihe ( ( a mit a k ( k k ( k kovergiert ach dem Leibizkriterium. k k ist positiv ud wächst mooto mit. Außerdem ist diese Partialsummefolge ubeschräkt (Aufgabe 0. Somit ist die Folge (a N mooto falled ud hat de Grezwert 0. Die Bediguge des Leibitzkriteriums sid also erfüllt. 5. Die Reihe ( divergiert ach Aufgabe 4, Aufgabeteil., weil die Folge (( N keie Nullfolge ist (Aufgabe 8. Aufgabe 43. Der Satz des PYTHAGORAS ud Biomialkoeffiziete. Es sei R. Wir defiiere die Reihe c( s( ( (!, ( (!.. Zeige Sie mit Hilfe des Quotietekriteriums, dass die Reihe c( ud s( absolut kovergiere. Erierug: Verwede Sie folgedes (erweitertes Quotietekriterium: Es sei a eie Reihe, ud es gebe ei q mit 0 q < ud ei N N, so dass a a < q für alle N gilt. Da kovergiert die Reihe a absolut.. Weise Sie die beide folgede Gleichuge ach: c( c( ud s( s(. 3. Defiitio: (Produkt zweier Reihe Aus zwei absolut kovergete Reihe a, b läßt sich eie eue Reihe c mit c defiiere. Diese eue Reihe heisst CAUCHY-Produkt vo a ud b. a k b k Satz: Für zwei absolut kovergete Reihe a, b kovergiert ihr CAUCHY-Produkt ( c gege de ( Grezwert a b. Nach Aufgabeteil. sid c( ud s( absolut kovergete Reihe. Bereche Sie die die erste vier Reiheglieder der Produktreihe c( c( ud s( s(. (Hierzu rechet ma tatsächlich wie mit uedliche Polyome i der Variable. 4. Was fällt bei Aufgabeteil 3. auf? Versuche Sie, de Satz des PYTHAGORAS s( c( herzuleite. Hiweis: I der Rechug habe sich Biomialkoeffiziete versteckt. Ei paar eileitede Worte zu de Folge c( ud s(: Der Grezwert der Reihe c( ist gleich cos ud der Grezwert der Reihe s( ist gleich si. Somit gebe die Formel eie mögliche Defiitio der Fuktioe Sius ud Cosius.

5 . Für die Reihe c( ( ( Da die Folge 4 6 < < ist. 4 6 N (! ist ( ( ((! ( (! Die Reihe s( ka geauso behadelt werde.. Die erste Gleichug ergibt sich, weil ( ist: (! (! ( (. gege Null kovergiert, gibt es eie Ide N N, so daß für alle N immer c( ( ( (! ( ( (! c(. ( Die zweite Gleichug ergibt sich aufgrud der Recheregel für kovergete Reihe ud der Tatsache ( : 3. Es gilt eierseits c(c( s( (! ( ( (! ( ( ( (! s(. (! ( (! 4 4! 6 6! ±! 4 4! 6 6! ± (! 4 4! ( 6 ( (! ( 4!! 4! ( ( ( 4 4! 4! 4! 6! ± ± (! ( 6 6!

6 ud adererseits gilt s(s( (! 3 3! 5!!! 5!! ( 3 3! 5! ( 7 7! 5! 7 ( 3 ( 7! ±! 3 3! 5 5! 7 7! ± ( 3 3!! ( 3 5 3! 3! 5!! ( 3 5 3! 5! 5 5! ! 8 ± ( 3 3! ( 7 7!! Hier fällt auf, daß die Summe der Koeffiziete vo i vo c(c( ud s(s( für i, 4, 6 gleich Null sid. Die Vorfaktore sid hier i eier ugekürzte Form agegebe, die scho eie Vermutug für de allgemeie Fall zulässt. 4. Es sei c c(c( mit c Ud es sei s s(s( mit s ( k k (k! } {{ } c ( k ( k. (( k! }{{} c k ( k k (k! } {{ } s ( k ( k. (( k! }{{} s k Um die Gleichug s( c( eizusehe, geügt es zu zeige, daß s c 0 für alle > gilt, da bleibt ämlich bei der kovergete Reihe s( c( ur c 0 übrig. Dazu erier wir us a die Defiitio der Biomialkoeffiziete ( r s r! s!(r s! ud a de biomische Lehrsatz ( y r s y r s. r ( r s0 s Also c s ( k k ( k (k! ( k (( k! ( k k ( k (k! ( k (( k! ( (k!(( k! ( ( ( (! ( ( (! ( ( ( k ( k ( ( ( (! 0. ( k ( k k (k!(( k! (*: Erweiter mit (! ud Verwedug der Biomialkoeffiziete. (**: Umidizierug: Zusammefasse gerader (k ud ugerader (k Werte. (***: Biomischer Lehrsatz.

7 Aufgabe 44. Eis ist icht eizigartig. Warum hat Lius Recht? Wieso ist 0, ? Hiweis: Schaue Sie sich die Dezimaletwicklug als Reihe a. Aus der Vorlesug ist bekat, daß die Dezimaldarstellug eier Zahl 0, a a a 3... mit a i {0,,..., 9} eie Schreibweise für de Grezwert der (kovergete Reihe ( a 0 ist. Hier ist 0, ( ( ( (