4.8. Prüfungsaufgaben zur Trigonometrie

Transkript

1 4.8. Prüfungufgen zur Trigonometrie Aufge 1: Retwinklige Dreiek mit eite und inkel In einem retwinkligen Dreiek ABC mit der Hypotenue ind die Ktete = 45 m und der inkel β = 61 gegeen. Berene die eiden felenden eiten und owie den inkel α. α = = 9 = 51,45 m in = in(α) 45 m Aufge 1: Retwinklige Dreiek mit eite und inkel In einem retwinkligen Dreiek ABC ind der inkel α = 41,4 und die Ktete = 17,3 m gegeen. Berene die felenden eiten und owie den inkel β. β = 90 α 48,6 = in( ) = 17,3 m in(41,4 ) 3,06 m = = (3, 06 m) (17,3 m) 15,1 m Aufge 1: Retwinklige Dreiek mit eite und inkel In einem retwinkligen Dreiek ABC ind die Ktete = 6, m und der inkel α = 5 gegeen. Berene die felenden eiten und owie den inkel β. β = 90 α = 38 = in( ) = 6, m in(5 ) 7,87 m = in(β) 8,87 m in(38 ) 4,84 m Aufge 1d: Retwinklige Dreieke mit eite und inkel In einem retwinkligen Dreiek ABC ind die Ktete = 6, m und der inkel β = 49 gegeen. Berene die felenden eiten und owie den inkel α. α = 90 β 41 = in( ) = 6, m in(41 ) 9,45 m = in(β) 9,45 m in(49 ) 7,13 m Aufge : Retwinklige Dreiek mit zwei eiten In einem retwinkligen Dreiek ABC ind die Hypotenue = 100 m und die Ktete = 45 m gegeen. Berene die felende eite owie die inkel α und β. = = (100 m) (45 m) 89,30 m β = in 1 ( ) = in 1 ( 45 m 100 m ) 6,74 α = 90 β 63,6 Aufge : Retwinklige Dreiek mit zwei eiten In einem retwinkligen Dreiek ABC ind die Kteten = 6, m und =,5 m gegeen. Berene die felende Hypotenue owie die inkel α und β. 1

2 = = (6, m) (,5 m) 6,68 m α = tn 1 ( ) = tn 1 ( 6, m,5 m ) 68,04 β = 90 α 1,96 Aufge 3: ntfernungen () Vor der rfindung de Rdr etimmte mn ntfernungen uf ee änli wie Menen und ndere Tiere mit zummenängendem efeld dur inkelmeung n einem Pr Augen in teilweie er großen optien ntfernungmeern. ie weit it d iff unten vom ntfernungmeer entfernt? 6 m 89,8 d = 3 m tn(89,8 ) 859,43 m Aufge 3: ntfernungen () Vor der rfindung de Rdr etimmte mn ntfernungen uf ee änli wie Menen und Vögel dur inkelmeung n einem Pr Augen in teilweie er großen optien ntfernungmeern. ie weit it d iff unten vom ntfernungmeer entfernt? 8 m 89,5 d = 4 m tn(89,5 ) 458,35 m Prolem 3: ditne (Oxford p 37 ex 11C o 5) Any wlk km due nort, te turn nd wlk noter 3 km in te diretion 35. Find er ditne nd erering from er trting point. x olution y = 3 km o(35 ),46 km x = 3 km in(35 ) 1,7 km 35 y ditne d = ering α = tn 1 x (y km) 4,78 km x y km 1,1 Prolem 3d: ditne (Oxford p 37 ex 11C o 8) Building X nd Y re ro te treet from e oter, 95 m prt. From point on te roof of Building X, te ngle of depreion to te e of Building Y i 55 nd te ngle of elevtion to te top of Building Y i 35. How tll re te two uilding? d α km

3 olution e ve tn(35 ) = 1 95 m nd tn(55 ) = 95 m Te eigt of te lower uilding X i 1 = 95 m (tn(35 ) 135,7 m Te eigt of te iger uilding Y i 1 + = 95 m (tn(35 ) + tn(55 ) 0,5 m m 1 Prolem 3e: ditne (Oxford p 37 ex 11C o 9) Jo i wlking nort long trigt rod wen e pot tower in field to i rigt on ering of 018. After wlking noter 40 metre e notie te tower i now on ering of 066. If e ontinue wlking nort, ow loe will e p to te tower? olution tn(66 ) = d d nd tn(18 ) = x x 40 m x tn(66 ) = d = tn(18 ) (x + 40 m) 40 m tn(18 ) x = tn(66 ) tn(18 ) 40,6 m ditne d = x tn(66 ) 91,17 m Aufge 4: teigungwinkel ie groß it der teigungwinkel einer Rmpe, die uf einer treke von 0 m eine Höe von 3 m erreit? α = tn 1 ( 3 0 ) 8,53. x m 18 d Aufge 4: teigungwinkel ie groß it der teigungwinkel einer Rmpe, die uf einer treke von 100 m eine Höe von 5 m erreit? 5 α = tn 1 ( 100 ),86. Aufge 5: nittwinkel zweier Gerden In welem inkel neiden i die Gerden g 1 (x) = x und g (x) = 1 3 x + 1? : α = α 1 α = tn 1 (1) tn 1 ( 1 ) 45 (18,4 ) = 63,4 3 Aufge 5: nittwinkel zweier Gerden In welem inkel neiden i die Gerden g 1 (x) = 3 x und g (x) = x + 1? : α = α 1 α = tn 1 ( 3 ) tn 1 ( 1) 33,7 ( 45 ) = 78,7 Aufge 6: Pyrmiden Berene die ürigen Größen,, und α einer Pyrmide mit qudrtier Grundfläe, deren eitenknten einen eigungwinkel von α = 50 zur Grundfläe eitzen und deren Grundeite g = 10 m lng it. 3

4 Digonle d = g 14,14 m 1 d Höe = 7,07 m 8,4 m tn( ) tn(50 ) 1 d eitenlänge = o( ) eitenöe = g 7,07 m o(50 ) eitenwinkel α in 1 ( 11,06 m (8, 4 m) (5 m) 9,79 m ) 8,4 m in 1 ( 9,79 m ) 59,0 α α g Aufge 6: Pyrmiden Berene die ürigen Größen, g, und α einer Pyrmide mit qudrtier Grundfläe, deren eitenfläen einen eigungwinkel von α = 50 zur Grundfläe eitzen und deren Höe = 5 m eträgt. Grundeite g = = tn( ) Digonle d = eitenlänge = 10 m tn(50 ) g 11,87 m d eitenöe = = in( ) 5 m in(50 ) Kntenwinkel α in 1 ( ) in 1 ( 8,39 m (5 m (5,93 m) 7,76 m 6,53 m 5 m 7,76 m ) 40,1 α α g Aufge 7: ürfel (6) Die Oerfläe eine ürfel eträgt 384 m. ) Berenen ie die Länge der eitenknte! () ) Berenen ie die Länge einer Rumdigonlen! () ) ie groß it der inkel α, den die Rumdigonle mit einer Fläendigonlen einließt? () Oerfläe O = 6 eitenknte = Fläendigonle d f = Rumdigonle d = 8 m inkel α = in 1 ( 13,86 m ) 35,5 O 6 = 64 = 8 m (8 m) (8 m) 11,31 m (11,31 m) (8 m) 13,86 m Aufge 8: Retwinklige Dreieke mit trlentz (6) Von dem retwinkligen Dreiek ABC (vgl. kizze) ind gegeen: AB = 7,5 m und BC = 4 m ) Berene den inkel α () ) In d Dreiek ABC wird d Qudrt BDF eingezeinet (iee kizze). Berene die eitenlänge x. (4) α = tn 1 ( 4 m 7,5 m ) 8,07 4 m 7,5 m = x 7,5 m x 4 (7,5 m x) = 7,5 x 30 m = 11,5 x x,61 m 4

5 Aufge 9: inutz (4) Um die Höe eine Turme, der jeneit eine Flue liegt, zu etimmen, eine Reie von Meungen vorgenommen, die u der neenteenden kizze ervorgeen. Berene die Höe de Turm. werden γ = = 60 = in( ) in( ) = tn(15 ) = 3,36 m = 100 m in(49 ) in(60 ) = 87,15 m Prolem 10: ine rule (Oxford p. 383 ex 11G o 3) Juli ee tree in field 40 from were e i tnding. e ten wlk km due out nd notie tt te tree i now 75 from er new poition. How fr i te tree from ot er fort nd eond poition on te rod? olution γ = = 105 (upplementry ngle) α = = 35 (ngle um) in(40 ) in(105 ) = = in(35 ) (ine rule) d d km 1 firt ditne d 1 = km in(105 ) in(35 ) eond ditne d = km in(40 ) in(35 ) 3,37 km,4 km km 40 γ 75 d d 1 α Prolem 11: ine rule (Oxford p. 385 ex 11H o 3) A ip i iling due wet wen te ptin ee ligtoue t ditne of 0 km on ering of 30. ) Drw digrm to model tie itution ) How fr mut te ip il efore te ligtoue i 16 km wy? ) How fr mut te ip il eyod ti point efore te ligtoue i gin t ditne of 16 km from te ip? d) t i te ering of te ligtoue from te ip te eond time te two re 16 km prt? olution ) α 1 = = 40 ) digrm: in( 1) in( 1) = d1 0 km = in(40 ) (ine rule in firt tringle) 16 km β 1 = in 1 0 km in(40 ) 16,53 16 km Attention: GDC ow ute upplementry ngle α 53,46 eue in(α) = in(180 α)! γ 1 = 180 α 1 β 1 13,46 (ngle um in firt tringle) firt ditne d 1 = 16 km in(13,46 ) 5,79 km in(40 ) ) α = 180 β 1 53,46 (upplementry ngle, ee ove) β = α 53,46 (eond tringle i ioele) γ = 180 α β 73,08 (ngle um in eond tringle) in(73,08 ) = in(53,46 ) (ine rule in eond tringle) d 16 km eond ditne d = 16 km in(73,08 ) 19,05 km in(53,46 ) d) eond ering i 90 + γ 143,46 Aufge 1: Koinutz (4) Zwien zwei Blken, die den inkel α = 60 ilden, oll zur tiliierung ein weiterer Blken der Länge = 7 m eingezogen werden (iee kizze). Au ätetien Gründen ollen dei die eiden treken und im Verältni : = 3: zueinnder teen. d d 1 β β 1 γ α γ 1 α

6 7 = + (1,5) 1,5 o(60 ) 49 = 1,75 = ± 7 5,3 m = 1,5 = 3 7 7,94 m Aufge 13: Koinutz (5) Vom Punkt P färt ein iff den Kur 34 mit einer Gewindigkeit von 35 km/. in zweite iff verlät P eine tunde päter unter dem Kur 6 O mit einer Gewindigkeit von 40 km/ (iee kizze). weler Zeit t (von der Afrt de erten iffe n gerenet) ind die eiden iffe 77,5 km voneinnder entfernt? 77,5 = (35(t + 1)) + (40t) 35(t + 1) 40t o(60 ) 0 = 145t 175t 4737,5 t 1 = 1,89 und t < 0 Aufge 14: Koinutz (5) In der Leittletik wird der Diku u einem Krei mit Rdiu r geworfen und oll dnn in einem ektor mit dem Mittelpunktwinkel 90 (Viertelkrei) uftreffen. Lndet der Diku im Punkt P neen der Huptritung, o wird nit die treke gemeen, ondern nur die Länge w. ) Betimme die urfweite w in Aängigkeit von, r und φ. rgeni: w = (in( )) r r (1 o() ) Begründe mit Hilfe de rgenie von ), d w it! = (w + r) + r (w + r) r o(φ) 0 = w + r(1 o(φ))w + r (1 o(φ)) w 1/ = r(1 o(φ)) ± r (1 o( )) o( ) = (in( )) r r (1 o(φ)) Prolem 15: oine rule (Oxford p. 389 ex 11 I o ) A iker leve mp nd wlk 5 km on ering of 058. He top for rek, ten ontinue wlking for noter 8 km on ering of 103. He top gin efore eding trigt k. How fr mut e wlk to get k to mp? olution γ 1 = 58 (oppoite ngle) γ = = 77 (upplementry ngle) γ = γ 1 + γ = 135 wlking ditne d = o(135 ) 1,07 km (oine rule) Prolem 16: oine rule (Oxford p. 389 ex 11 I o 5) ip A leve port nd il due et for 8 km. ip B leve from te me port nd il 49 km. Te ip re te 36 km prt. On wt ering w ip B iling? 58 γ γ d olution α = o ,50 (oine rule) Te ering ould eiter e 43,5 or 43,5 (ee drwing) α 8 km 6