Mathematik für Naturwissenschaften Aufgaben mit Ergebnissen Differenzialrechnung

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1 Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Aufgaben mit sen Differenzialrechnung

2 Differenzialrechnung, Aufgaben ii Inhalt Steigung... Beweis?... 3 Spiel mit Eponenten... 4 Ableitung... 5 Skizze der Ableitung... 6 Umkehrung der Ableitung?... 7 Umkehrung der Ableitung? Mehrfaches Ableiten. Formel von Leibniz Passende Funktionen gesucht Produktregel für mehrere Faktoren...4 Zweimal Sinus...4 Zweimal Kosinus Zusammensetzung von zwei Funktionen, Kettenregel Hyperbelfunktionen cosh und sinh Hyperbolischer Tangens Spiel mit Eponenten Zusammensetzung von drei Funktionen Verallgemeinerte Kettenregel Areafunktionen...9 Artanh /04 Erstausgabe last modified: 6. November 003 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung, 405 Basel hwalser@bluewin.ch

3 Differenzialrechnung, Aufgaben Steigung Was stimmt an dieser Verkehrstafel nicht? Die eingezeichnete Rampe hat einen Steigungswinkel von 30 und daher eine Steigung tan ( 30 ) = % %. Beweis? Es ist ( 4 ) = 4 3. Wie lässt sich dieser Sachverhalt beweisen? Analog Vorlesung 3 Spiel mit Eponenten Gesucht ist je die erste Ableitung: a) f()= t cos t ( ()) 4 b) gt ()= cos 4 t 3 ( sin() ) a) = 4 cos() 3 b) g ( t)= 4 () t () t f t t t cos sin (wie bei a)) c) h ( t)= sin( t 4 ) 4t 3 d) = 6cos sin k t t t t 4 Ableitung Welches ist die erste Ableitung von a) f= ln ( ) = b) g ln ln = c) h ln ln ln () c) ht ()= cos t 4 d) kt ()= cos 4 t 4

4 Differenzialrechnung, Aufgaben a) f ln f = = = ln ln g ( )= ln ( ) b) g ( ) = c) h ln ln ln h = ln ln ( ) ln 5 Skizze der Ableitung Skizzieren Sie (ins gleiche Koordinatensystem) die Ableitungsfunktion der durch den Graphen gegebenen Funktion Umkehrung der Ableitung? Gesucht ist jeweils ein Beispiel einer Funktion f so, dass a) f = 4 b) f = 4 c) f = 4 d) f = ( 4 ) a) f 5 = 5 + C

5 Differenzialrechnung, Aufgaben 3 b) f 6 = + C+ D 30 c) f 7 C = + + D + E 0 d) f 7 C = + + D + E 0 7 Umkehrung der Ableitung? Gesucht ist jeweils ein Beispiel einer Funktion f() t so, dass a) f ()= t sin() t b) f ()= t sin() t c) f ()= t sin() t d) f ()= t si n t a) f()= t cos()+ t C b) f()= t sin()+ t Ct + D c) f t cos t t Dt E C ()= ()+ + + d) f t cos t t Dt E C ()= () Mehrfaches Ableiten. Formel von Leibniz f bedeutet die zweite Ableitung von f, also f = ( f ), entsprechend f die dritte Ableitung, f ( 4) die vierte Ableitung, usw.. (Beispiel: f= 7, f = 7 6, f = 4 5, f = 0 4, f ( 4) = ). Wie lautet die entsprechende Produktregel? a) ( fg )= b) ( fg ) = c) ( fg ) = d) ( fg) ( 4) = e) ( fg) ( 5) = f) Kommentar? () n = ( k ) k= 0 ( n) f) fg n ( k) ( n k) f g (Formel von Leibniz, verwandt mit binomischer Formel) 9 Passende Funktionen gesucht a) Gesucht ist ein Beispiel einer Funktion f so, dass f = f. b) Gesucht sind zwei verschiedene Funktionen f so, dass f = f. c) Gesucht sind drei verschiedene Funktionen f so, dass f ( 4) = f. a) f= ae b) f= acos, f= bsin c) f= acos, f= bsin, f= ce

6 Differenzialrechnung, Aufgaben 4 0 Produktregel für mehrere Faktoren Es ist ( fg ) = fg+ f g. Gesucht ist eine entsprechende Formel für a) ( fgh ) b) ( fghi ) c) ( f 4 ) = ( ffff ) d) ( fgh ) a) ( fgh) = f gh + fg h + fgh b) ( fghi) = f ghi + fg hi + fgh i + fghi 4 3 c) ( f ) = ( ffff ) = 4 f f (Produktregel oder Kettenregel) d) ( fgh) = f gh + fg h + fgh + f g h + f gh + fg h Zweimal Sinus a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f= sin() tsin () t ; t ππ [, ]. (Erst überlegen, dann im Computer nachsehen!) = () ππ [ ] b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion g sin sin t ; t,. (Erst überlegen, dann im Computer nachsehen!) a) y f t = sin t sin t = sin t -π π - t - b) g t = sin sin t y -π π - t -

7 Differenzialrechnung, Aufgaben 5 Zweimal Kosinus a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f= cos() tcos () t ; t ππ [, ]. (Erst überlegen, dann im Computer nachsehen!) = () ππ [ ] b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion g cos cos t ; t,. (Erst überlegen, dann im Computer nachsehen!) a) y f t = cos t cos t = cos t -π π - t - b) g t = cos cos t y -π π - t - 3 Zusammensetzung von zwei Funktionen, Kettenregel Es sei: f : und g: sin. Gesucht sind: a) ( g o f ) b) ( f o g) 4 Hyperbelfunktionen Die Funktionen cosh ( cosinus hyperbolicus oder hyperbolischer Kosinus ) und sinh ( sinus hyperbolicus oder hyperbolischer Sinus ) sind wie folgt definiert: cosh= e +e und sinh= e e

8 Differenzialrechnung, Aufgaben 6 a) In der Figur sind die Funktionsgraphen von e und e eingetragen. Skizzieren Sie dazu die beiden Funktionsgraphen von cosh und sinh. Bemerkung: Der Funktionsgraph von cosh wird als Kettenlinie bezeichnet. b) Gesucht sind die Ableitungen cos h und sin h. Kommentar?

9 Differenzialrechnung, Aufgaben a) -5 b) cosh = sinh, sinh = cosh 5 cosh und sinh Die Funktionen cosh und sinh sind wie folgt definiert: cosh( e + e )= und sinh( e e )= Gibt es eine zu cos + sin = entsprechende Formel mit cosh und sinh? cosh sinh = 6 Hyperbolischer Tangens Es ist tanh= sinh cosh. a) Skizze oder Plot des Funktionsgraphen? b) lim tanh=? c) lim tanh=?

10 Differenzialrechnung, Aufgaben 8 d) Ableitung von tanh? a) y = tanh b) lim tanh= c) lim tanh= d) d d tanh tanh cosh = = 7 Spiel mit Eponenten Gesucht ist je die erste Ableitung: a) f()= t cos t ( ()) 4 b) gt ()= cos 4 t () c) ht ()= cos t 4 d) kt ()= cos 4 t 4 8 Zusammensetzung von drei Funktionen Es sei: f=, g = sin und h =. Wie viele Zusammensetzungen dieser drei Funktionen gibt es (Beispiele: h o g o f, g o h o f, )? Listen Sie die Zusammensetzungen auf und geben Sie einen möglichst großen Definitionsbereich an. Es gibt 3! = 6 Zusammensetzungen, nämlich (Definitionsbereiche eemplarisch):

11 Differenzialrechnung, Aufgaben 9 Definitionsbereich Zusammensetzung [ 0, π] hogo f = sin( ) R R R + 0 = sin = sin = sin [ 0, π] f ohog= sin R + 0 ho f og goho f go f oh = sin f ogoh 9 Verallgemeinerte Kettenregel Es sei: f=, g = sin und h =. Wie viele Zusammensetzungen dieser drei Funktionen gibt es (Beispiele: h o g o f, g o h o f, )? Listen Sie die Zusammensetzungen auf und geben Sie die im Definitionsbereich [ 0, ] gültige Ableitung an. Definitionsbereich Zusammensetzung Ableitung [ 0, ] hogo f = sin( ) cos( ) sin( ) [ 0, ] [ 0, ] [ 0, ] [ 0, ] ho f og= sin goho f = sin go f oh = sin f ohog= sin cos cos cos cos [ 0, ] f = o go h sin sin cos 0 Areafunktionen a) arcosh ( area cosinus hyperbolicus ) ist die Umkehrfunktion von cosh. Gesucht ist arcosh ( ). b) Was ist arsinh ( )?

12 Differenzialrechnung, Aufgaben 0 a) arcosh = b) arsinh = + Artanh artanh ( area tangens hyperbolicus ) ist die Umkehrfunktion von tanh. Gesucht ist artanh ( ). artanh =