Schriftliche Prüfung aus Control Systems 1 am

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1 TU Graz, Institt für Regelngs- nd Atomatisierngstechnik A Schriftliche Prüfng as Control Systems am Name / Vorname(n): Kenn-MatrNr: Gebrtsdatm: BONUSPUNKTE as Compterrechenübng: 3 erreichbare Pnkte erreichte Pnkte

2 TU Graz, Institt für Regelngs- nd Atomatisierngstechnik A Afgabe : Von einem linearen nd zeitinvarianten (LZI) System d x = Ax+ b laten für folgende drei dt Anfangszstände nd Eingangsfnktionen x () () () () (3) (3) (0) =, () t = σ(), t (0) =, () t = σ(), t (0) =, () t 0 x x 0 = () i () i x (0) die Systemantworten x () t =Γ () i (mit 0 τ t nd i =, K, 3 ): ( τ ) 3t 0 () () e (3) x () t =, () t =, () t t t e x x t = e e a) Bestimmen Sie die Antwort des Systems für Zeiten t af einen Anfangszstand (4) (4) 0 t x () = nd die Eingangsgröße t ) 0 () t = 3 σ ( = 3 t > b) Bestimmen Sie die Transitionsmatrix Φ( t) c) Bestimmen Sie die Dynamikmatrix A nd den Eingangsvektor b d) Zeichnen Sie für t ( ) 0 die Trajektorien des Systems in der ( x, x ) -Ebene Wählen Sie dafür () () (3) die oben angeführten 4 Anfangswerte x (0), x (0), x (0) nd x (4) () Der Richtngssinn für wachsende Zeiten t nd der asymptotische Verlaf für t soll dabei klar ersichtlich sein Afgabe : Gegeben sei das Strktrbild eines Systems mit der Eingangsgröße nd der Asgangsgröße y : - x x x 3 y -3 T a) Ermitteln Sie daz ein mathematisches Modell der Form = Ax + b, y = c x + d dt Verwenden Sie hierbei die eingezeichneten Zstandsvariablen = [ x x x ] b) Bestimmen Sie die zgehörige Übertragngsfnktion G s ( ) c) Unterschen Sie die Stabilitätseigenschaften des obigen Systems x 3 T

3 TU Graz, Institt für Regelngs- nd Atomatisierngstechnik A3 Afgabe 3: Betrachten Sie folgendes elektrische Netzwerk bestehend as idealen Baelementen, den Ohmschen Widerständen R, R, einer Indktivität L nd einer Kapazität C Die von der idealen Spannngsqelle gelieferte Spannng wird mit symbolisiert Mit y bezeichnen wir die Spannng an der Kapazität C Fassen Sie das Netzwerk als ein System mit der Eingangsgröße nd der Asgangsgröße y af R R L C y a) Führen Sie einen geeigneten Zstandsvektor x ein nd ermitteln Sie ein mathematisches Modell der Form, y d dt = Ax + b = c T x + b) Für welche Bateilwerte von R, R, L nd C ist das System beobachtbar? (Geben Sie eine mathematische Begründng an) c) Für welche Bateilwerte von R, R, L nd C ist das System steerbar? (Geben Sie eine mathematische Begründng an) Wählen Sie nn R = Ω, R = 00 kω, L= 0 H, C = 0 µ F nd: d) Berechnen Sie die Übertragngsfnktion G( s ) des Systems e) Begründen Sie, dass die Antwort yt ( ) des Netzwerkes für die Eingangsgröße t ( ) = 3 + sin( t) betragsmäßig beschränkt ist nd bestimmen Sie yt ( ) für t? 0

4 TU Graz, Institt für Regelngs- nd Atomatisierngstechnik B Schriftliche Prüfng as Control Systems am Name / Vorname(n): Kenn-MatrNr: Gebrtsdatm: BONUSPUNKTE as Compterrechenübng: 3 erreichbare Pnkte erreichte Pnkte

5 TU Graz, Institt für Regelngs- nd Atomatisierngstechnik B Afgabe : Von einem linearen nd zeitinvarianten (LZI) System d x = Ax+ b laten für folgende drei dt Anfangszstände nd Eingangsfnktionen x () () () () (3) (3) (0) =, () t = σ(), t (0) =, () t = σ(), t (0) =, () t 0 x x = 0 () i () i x (0) die Systemantworten x () t =Γ () i (mit 0 τ t nd i =, K, 3 ): ( τ ) t t () () e (3) e x () t =, () t =, () t t t e x x = e 0 a) Bestimmen Sie die Antwort des Systems für Zeiten t af einen Anfangszstand (4) 0 (4) 0 t x () = nd die Eingangsgröße t ) () t = σ( = t > b) Bestimmen Sie die Transitionsmatrix Φ( t) c) Bestimmen Sie die Dynamikmatrix A nd den Eingangsvektor b d) Zeichnen Sie für t ( ) 0 die Trajektorien des Systems in der ( x, x ) -Ebene Wählen Sie dafür () () (3) die oben angeführten 4 Anfangswerte x (0), x (0), x (0) nd x (4) () Der Richtngssinn für wachsende Zeiten t nd der asymptotische Verlaf für t soll dabei klar ersichtlich sein Afgabe : Gegeben sei das Strktrbild eines Systems mit der Eingangsgröße nd der Asgangsgröße y : - x x 3 x y 3 T a) Ermitteln Sie daz ein mathematisches Modell der Form = Ax + b, y = c x + d dt Verwenden Sie hierbei die eingezeichneten Zstandsvariablen = [ x x x ] b) Bestimmen Sie die zgehörige Übertragngsfnktion G s ( ) c) Unterschen Sie die Stabilitätseigenschaften des obigen Systems x 3 T

6 TU Graz, Institt für Regelngs- nd Atomatisierngstechnik B3 Afgabe 3: Betrachten Sie folgendes elektrische Netzwerk bestehend as idealen Baelementen, den Ohmschen Widerständen R, R, zwei Indktivitäten L nd L Die von der idealen Spannngsqelle gelieferte Spannng wird mit symbolisiert Mit y bezeichnen wir die Spannng an der Indktivität L Fassen Sie das Netzwerk als ein System mit der Eingangsgröße nd der Asgangsgröße y af R R L L y a) Führen Sie einen geeigneten Zstandsvektor x ein nd ermitteln Sie ein mathematisches Modell der Form, y d dt = Ax + b = c T x + b) Für welche Bateilwerte von R, R, L nd L ist das System beobachtbar? (Geben Sie eine mathematische Begründng an) c) Für welche Bateilwerte von R, R, L nd L ist das System steerbar? (Geben Sie eine mathematische Begründng an) Wählen Sie nn R = R = Ω, L = 0 H, L = 05H nd: d) Berechnen Sie die Übertragngsfnktion G( s ) des Systems e) Begründen Sie, dass die Antwort yt ( ) des Netzwerkes für die Eingangsgröße t ( ) = 4 + sin( t) betragsmäßig beschränkt ist nd bestimmen Sie yt ( ) für t? 0

7 TU Graz, Institt Regelngs- nd Atomatisierngstechnik Schriftliche Prüfng as Control Systems am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrikel-Nmmer: Bonspnkte as den MATLAB-Übngen: O ja O nein 3 4 erreichbare Pnkte erreichte Pnkte

8 TU Graz, Institt Regelngs- nd Atomatisierngstechnik Afgabe : Gegeben sei ein mathematisches Modell der Form: 3 = dt + m x p y = [ 0 5] x Hierbei sind m nd p reelle Parameter a) Ermitteln Sie die Bedingngen für die Parameter m nd p, damit das Modell steerbar bzw beobachtbar ist Für alle weiteren Berechnngen gilt: m = p = 0 b) Unterschen Sie die asymptotische Stabilität nd die BIBO-Eigenschaft des Systems Geben Sie mathematische Begründngen an! c) Berechnen Sie die Transitionsmatrix Φ ( t) d) Zeigen Sie, daß die Übertragngsfnktion obigen Systems drch ys ( ) 5 Gs ( ) = = s ( ) s s 4 x 0 = 0 ( + )( + ) gegeben ist Berechnen Sie die eingeschwngene Antwort y( t ) (t die Eingangsgröße: π () t = 6 6 cos t+ 4? 0 ) des Systems af Afgabe : Gegeben sei folgende Zsammenschaltng von drei Systemen G ( s), G ( s) nd G3( s) Fassen Sie diese als ein Gesamtsystem T( s ) mit der Eingangsgröße nd der Asgangsgröße y af: G( s) G( s) y Für die Übertragngsfnktionen gilt: ys ( ) s+ 3 T( s) = = s ( ) s s x 0 = 0 ( + )( + ) Ermitteln Sie die Übertragngsfnktion G 3( s) G () s 3 G ( s) = G ( s) = s + s + s

9 TU Graz, Institt Regelngs- nd Atomatisierngstechnik 3 Afgabe 3: Betrachten Sie folgendes elektrische Netzwerk bestehend as idealen Ohmschen Widerständen (R, R ), einer idealen Kapazität (C) nd einer idealen Indktivität (L) Die von der idealen Spannngsqelle gelieferte Spannng wird mit symbolisiert Mit y bezeichnen wir die Spannng an der Indktivität L Fassen Sie das Netzwerk als ein System mit der Eingangsgröße nd der Asgangsgröße y af C R R L y a) Führen Sie einen geeigneten Zstandsvektor x ein nd ermitteln Sie ein mathematisches Modell der Form: y dt = + = T Ax b c x + d Für die verwendeten Widerstände soll nn gelten: R = R = R b) Berechnen (!) Sie für eine Eingangsgröße t () = 0 σ () t die Grenzwerte: x = lim x ( t) y = lim y( t) t t Afgabe 4: Betrachten Sie ein System mit der Übertragngsfnktion: ys ( ) s+ 3 Gs ( ) = = s ( ) s+ s+ x 0 = 0 ( )( ) a) Bestimmen Sie nter Verwendng der Normalform (Steerbarkeitsnormalform) ein mögliches Zstandsrammodell für das System Gs ( ) b) Zeichnen Sie das dazgehörige Strktrbild

10 TU Graz, Institt Regelngs- nd Atomatisierngstechnik Schriftliche Prüfng as Control Systems am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrikel-Nmmer: Bonspnkte as den MATLAB-Übngen: O ja O nein 3 erreichbare Pnkte 5 erreichte Pnkte

11 TU Graz, Institt Regelngs- nd Atomatisierngstechnik Afgabe : Betrachten Sie folgendes elektrische Netzwerk bestehend as idealen Ohmschen Widerständen (R, R ), einer idealen Kapazität (C) nd einer idealen Indktivität (L) Der von der idealen Stromqelle gelieferte Strom wird mit i symbolisiert Mit y bezeichnen wir die Spannng am Widerstand R Fassen Sie das Netzwerk als ein System mit der Eingangsgröße i nd der Asgangsgröße y af i L R C R y a) Führen Sie einen geeigneten Zstandsvektor x ein nd ermitteln Sie ein mathematisches Modell der Form: i y dt = + = T Ax b c x + di Für die verwendeten Widerstände soll nn gelten: R = R = R b) Berechnen (!) Sie für eine Eingangsgröße i() t = i0 σ () t die Grenzwerte: x = lim x ( t) y = lim y( t) t t Afgabe : Gegeben sei das Blockschaltbild mit der Eingangsgröße nd der Asgangsgröße y: G( s) G( s) y G3( s) G () s 4 als Fnktion der Übertragngs- Ermitteln Sie die Übertragngsfnktion fnktionen G () s, G () s, G3( s) nd G ( s) 4 ys () T() s = s () x0 = 0

12 TU Graz, Institt Regelngs- nd Atomatisierngstechnik 3 Afgabe 3: Gegeben sei ein mathematisches Modell der Form: = dt x + 3 y = x + [ ] a) Zeichnen Sie das dazgehörige Strktrbild b) Ist das Modell asymptotisch stabil? Geben Sie eine mathematische Begründng an! c) Ist das Modell BIBO-stabil? Geben Sie eine mathematische Begründng an! d) Ist das Modell steerbar? Geben Sie eine mathematische Begründng an! e) Ist das Modell beobachtbar? Geben Sie eine mathematische Begründng an! f) Berechnen Sie die Transitionsmatrix Φ ( t) g) Skizzieren Sie für () t 0den Verlaf der Trajektorien (mit Angabe des Richtngssinnes für wachsende Zeiten t ) in der x x Ebene für folgende Anfangszstände: () 3 () 3 (3) 3 (4) x0 =, 0, 0, 0 3 x = = = 3 x 0 x Hierbei mss der asymptotische Verlaf der Trajektorien (t ) erkennbar sein!

13 TU Graz, Institt für Regelngs- nd Atomatisierngstechnik Schriftliche Prüfng as Control Systems am NACHNAME: Vorname(n): Kenn-MatrNr: Bonspnkte as Matlab-Übng: O Ja O Nein 3 4 erreichbare Pnkte erreichte Pnkte

14 TU Graz, Institt für Regelngs- nd Atomatisierngstechnik Afgabe : Betrachten Sie folgendes ideale elektrische Netzwerk bestehend as zwei Indktivitäten L nd zwei Ohmschen Widerständen R Die von der Spannngsqelle gelieferte Spannng wird mit symbolisiert Mit y bezeichnen wir die Spannng an der rechten Indktivität Fassen Sie das Netzwerk als ein System mit der Eingangsgröße nd der Asgangsgröße y af L R R L y a) Führen Sie einen geeigneten Zstandsvektor x ein nd ermitteln Sie ein mathematisches Modell der Form: dt = Ax + T b y = cx + d b) Berechnen (!) Sie für die Eingangsfnktion () = σ ( t) Afgabe : t die Grenzwerte: x = lim x ( t) y = lim y( t) t Gegeben sei folgendes mathematische Modell eines Systems mit der Eingangsgröße, dem Zstandsvektor x nd der Asgangsgröße y: x& = 0 α 0 x+ α 0 ( α + 3) y = x [ 0 ] Hierbei sei α ein reeller Parameter a) Zeichnen Sie das zgehörige Strktrbild des Systems G s des obigen Systems 0 t b) Bestimmen Sie die zgehörige Übertragngsfnktion ( ) c) Bestimmen Sie den größtmöglichen Wertebereich für den Parameter α, damit das obige mathematische Modell asymptotisch stabil ist d) Ermitteln Sie den größtmöglichen Wertebereich für den Parameter α, damit das System die BIBO-Eigenschaft afweist e) Ist das mathematische Modell beobachtbar? (Begründen Sie Ihre Antwort!)

15 TU Graz, Institt für Regelngs- nd Atomatisierngstechnik 3 Afgabe 3: Gegeben sei folgendes mathematische Modell Ordnng: dt = Ax Asgehend von einem speziellen Anfangszstand x (0) wrde die zgehörige Lösng x () t ermittelt: t 4t e e x () t = 4t t 4e + 3e a) Bestimmen Sie die z obigem mathematischen Modell gehörige Transitionsmatrix Φ ( t) b) Ermitteln Sie die Dynamikmatrix A des mathematischen Modells c) Skizzieren Sie in der Zstandsebene die Trajektorien (mit Angabe des Richtngssinnes für wachsende Zeiten t ) für folgende Anfangszstände: () 3 () (3) 0, 0, 0 x = = 0 x 3 x = 5 (hierbei mß der asymptotische Verlaf der Trajektorien (t ) erkennbar sein) Afgabe 4: Für die Übertragngsfnktionen zweier LZI-Systeme gilt: System : G ( s) System : G ( s) ( ) ( ) y s s = = s s + s + 4s+ 3 x0 = 0 ( ) ( ) y s s = = s s s x0 = 0 Berechnen Sie die eingeschwngenen Antworten (für t 0 ) Systeme af die Eingangsgrößen: π () t = () t = 3sin t+? ( ) y t nd y t der beiden ()

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