7. Triangulation von einfachen Polygonen

Transkript

1 1 7. Triangulation von einfachen Polygonen

2 2 Ziel Bessere Laufzeit als O(n log n) durch schnelleres Berechnen der Trapezzerlegung des Polygons.

3 3 Idee Finde Methode, den Anfangspunkt einer Strecke in der Trapezzerlegung schnell zu lokalisieren. Brauchen also Ersatz für Konfliktlisten.

4 4 Datenstruktur zur Punktlokalisierung l s 1 r s 1 t 1 t 2 l s 1 s 1 r s 1 t 1 t 2 s 1 t 4 t 3 t 4 t 3

5 5 Datenstruktur zur Punktlokalisierung l s 1 r s 1 t 1 t 2 t 1 s 1 t 3 t 2 t 4 t 4 t 3 ls 2 s 2 r s 2

6 6 Datenstruktur zur Punktlokalisierung t 2 l s 1 r s 1 ls 2 s 1 t t 3 1 t 2 t 1 t 4 t 5 t 5 t 4 t 3 r s 2

7 7 Datenstruktur zur Punktlokalisierung l s 1 t 2 ls 2 s 1 r s 1 t 1 t 1 t 2 t 4 t 3 r s 2 t 7 t 5 t 5 t 4 t 3 t 7

8 8 Datenstruktur zur Punktlokalisierung l s 1 t 2 l s 2 s 1 r s 1 r s 2 t 1 t 5 t 7 t 1 t 2 t 4 t 3 t 7 s 2 t 4 t 3 t 5 s 2 t 6 t 6

9 9 Datenstruktur zur Punktlokalisierung l s 1 t 2 l s 2 s 1 r s 1 r s 2 t 1 t 2 t 3 t 1 s 2 t 7 t 5 t 7 s 2 t 4 t 4 t 3 t 5 s 2 t 6 t 6

10 10 Datenstruktur zur Punktlokalisierung l s 1 t 2 l s 2 t 1 t 2 s 1 r s 1 r s 2 t 1 s 2 t 7 s 2 t 4 s 2 t 5 t 7 t 4 t 3 t 5 t 3 s 2 t 6 t 6

11 11 Vorgehen allgemein 1. Linken Endpunkt lokalisieren und Trapez vertikal zerlegen. 2. Rechten Endpunkt lokalisieren und Trapez vertikal zerlegen. 3. Strecke durch die Trapezzerlegung verfolgen und Trapeze horizontal zerlegen.

12 12 Erwarteter Aufwand Verfolgen der Strecke: O(1) pro Trapez Lokalisieren der Endpunkte:???

13 13 Bezeichnungen P s 1,..., s n Menge der n Kanten des Polygons zufällige Permutation der Kanten in P P i = {s 1,..., s i } T P i Trapezzerlegung der ersten i Strecken / Kanten DP i DS zur Punktlokalisierung für die ersten i Strecken

14 14 Kosten der Punktlokalisierung Lemma 1 Der erwartete Aufwand, um einen festen Punkt q mit der Datenstruktur DP i in der Trapezzerlegung T P i zu lokalisieren, beträgt O(log i). Beweis: Sei t j das Trapez in T P j, das q enthält. Angenommen wir kennen t i 1.

15 15 Kosten der Punktlokalisierung Was ist die erwartete Anzahl von Vergleichen, um t i zu finden? 1. Fall: t i = t i 1 Dann sind keine weiteren Vergleiche notwendig. 2. Fall: t i t i 1 Dann ist mindestens eine der Seiten von das Hinzunehmen von entstanden. s i O 1 i Die Wahrscheinlichkeit dafür ist. t i durch

16 16 Kosten der Punktlokalisierung Beispiele zum 2. Fall: q q T P i 1 T P i

17 17 Kosten der Punktlokalisierung Beispiele zum 2. Fall: q q T P i 1 T P i

18 18 Kosten der Punktlokalisierung Beispiele zum 2. Fall: q q T P i 1 T P i

19 19 Kosten der Punktlokalisierung Wir erwarten also O 1 i weitere Vergleiche. Aufsummieren: i l=1 1 l = H i Ologi Gesamtlaufzeit: n i=1 1 logi On n log n = On log n

20 20 Beobachtung Wenn wir für einen festen Punkt q das Trapez t j kennen, dann erwarten wir Vergleiche, um für zu finden. O log k j t k k j Denn: k l= j1 1 l = H k H j O log k j

21 21 Idee Wir lassen den Algorithmus in Phasen ablaufen. Am Ende einer Phase lokalisieren wir jede Polygon Ecke in der aktuellen Trapezzerlegung. Das beschleunigt die Punktlokalisierung in der nächsten Phase! Punkte sind Ecken eines Polygons. => Lokalisierung mittels Wandern durch Trapezzerlegung.

22 22 Bezeichnungen log 0 n = n log h n = loglog h 1 n für h0 N h = n log h n log n = max{h N log h n 1}

23 23 Algorithmus von Seidel (1991) 1. s 1,..., s n zufällige Permutation der Strecken i n P 2. T {s 1 } berechnen 3. Für h = 1 bis log n: { Phase h } 3.1. Für i = N h 11 bis N h: Füge s i i n T P i 1 ein Verfolge Polygonzugdurch T P N h und lokalisiere alle Ecken. 4. Für i = N log n1 bis n: Füge s i i n T P i 1 ein.

24 24 Analyse 1. On 2. O1 N h 3.1. i=n h 11 log i N h 1 N h i=n h 11 log n n log h 1 n N h i=n h 11 log n n log h 1 n N hlog h n On

25 25 Analyse Es gilt : 1 log log n n 2 Damit : N log n= n log log n n n 2 n 2 n 4. i=n log n1 log i n N log n i=1 log 2i n n log2 On Übrig bleibt Schritt 3.2.

26 26 Analyse Lemma 2 Sei R eine zufällig gewählte r Teilmenge von P. Dann ist der Erwartungswert der Anzahl X von Schnittpunkten zwischen Strahlen in der Trapezzerlegung T(R) von R und Strecken in P\R in O(n). Beweis: Für eine Teilmenge M von P und eine Strecke s aus M sei deg(s,t(m)) die Zahl der auf s treffenden Strahlen in T(M).

27 27 Analyse s 1 M = {s 1, s 2, s 3 } s 2 degs 2,T M = 4 degs 1,T M = 0 s 3

28 28 Analyse Für jede Teilmenge M von P gilt: s M degs,t M 4 M E[ X ] = R P R = r 1 n r s P R degs,t R {s } = 1 R' P n R' = r1 r s R' degs,t R ' 1 R' P n R' = r1 r n r1 4r1 = 4r1 n r = 4n r On

29 29 Analyse Zusammenfassung: Pro Phase: O(n) Anzahl Phasen: Olog n Laufzeit: On log n

30 30 Bemerkungen On log n erreicht man auch mit einem Teile und Herrsche Algorithmus nach Clarkson, Cole und Tarjan ('91). On erreichte zuerst ein deterministischer Algorithmus von Chazelle ('90). Dieser ist aber sehr komplex und somit eher von theoretischem Interesse. On erreicht auch ein weniger komplexer randomisierter Algorithmus nach Goodrich, Amato und Ramos ('00).