L ö s u n g e n - T e i l 1

Transkript

1 L ö s u n g e n - T e i l Ermitteln von Zuordnungen und Anordnungen ) Wir bezeichnen mit b, e und h die Namen der Herren sowie mit E, M und I deren Berufe. Durch x Y halten wir fest, dass der Herr mit dem Namen x nicht den Beruf Y ausübt. Analog wird x = Y definiert. Aus (a) und (c) folgt h E und h I; [jeweils zwei verschiedene Personen]. Hieraus folgt () h = M; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus () folgt b M; [keine zwei Personen haben denselben Beruf]. Aus (b) folgt b I; [zwei verschiedene Personen]. Folglich gilt (2) b = E; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus () und (2) folgt (3) e = I; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Folglich ist Baumann der Elektriker, Eichler der Ingenieur und Hahn der Monteur. (Da dem Aufgabentext zu entnehmen ist, dass es genau eine solche Zuordnung gibt, ist eine Probe am Text zwar nützlich, um Fehler zu finden, aber aus logischer Sicht nicht erforderlich.) 2) Wir bezeichnen mit m, p und r die Namen der Mädchen sowie mit S, T und V die Sportarten. Durch x Y halten wir fest, dass das Mädchen mit dem Namen x nicht die Sportart Y ausübt. Analog wird x = Y definiert. Aus (a), (b) und (c) folgt m V und p V; [jeweils zwei verschiedene Personen]. Hieraus folgt () r = V; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus (a), (b) und (d) folgt m V und m T; [jeweils zwei verschiedene Personen]. Hieraus folgt (2) m = S; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus () und (2) folgt (3) p = T; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Folglich ist Marion die Schwimmerin, Petra die Tischtennisspielerin und Ruth die Volleyballspielerin. (Da dem Aufgabentext zu entnehmen ist, dass es genau eine solche Zuordnung gibt, ist eine Probe am Text zwar nützlich, um Fehler zu finden, aber aus logischer Sicht nicht erforderlich.) 3) Wir bezeichnen mit a, b, c und d die Vornamen, mit E, F, G und H die Familiennamen der vier Schüler. Durch x Y halten wir fest, dass der Schüler mit dem Vornamen x nicht den Familiennamen Y hat. Analog wird x = Y definiert. Aus (a) folgt H c und H b; [H war der erste Gast, c und b kamen später]. Aus (b) folgt H a; [H und a brachten verschiedene Geschenke]. Hieraus folgt () H = d; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus (a) folgt E c und E b; [c kam früher und b kam später als E]. Aus () folgt E d; [E hat nicht denselben Vornamen wie H]. Hieraus folgt (2) E = a; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus (b) folgt G a und G b; [G, a und b brachten verschiedene Geschenke]. Aus () folgt G d; [G hat nicht denselben Vornamen wie H]. Hieraus folgt (3) G = c; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus (),(2),(3) folgt F = b; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Folglich heißen die vier Gäste Alfred Erdbach, Bernd Freimuth, Christian Giebler und Detlef Hausmann.

2 4) Wir bezeichnen mit A, B und C die Familiennamen der Lehrer, mit De, En und Fr die Unterrichtsfächer sowie mit g, h und i die Vornamen der Lehrer. Aus (a) und (c) folgt A g; [g ist nicht der jüngste Lehrer]. Aus (d) folgt A h; [h und A sind zwei verschiedene Personen]. Hieraus folgt () A = i; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus (a) und (c) folgt A g; [Begründung siehe oben]. Aus (b) folgt B g; [B und g sind zwei verschiedene Personen]. Hieraus folgt (2) C = g; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus () und (2) folgt (3) B = h; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus (d) folgt A En; [En und A sind zwei verschiedene Personen]. Wegen () folgt hieraus (4) i En; [Einsetzen]. Aus (d) folgt h En; [h und En sind zwei verschiedene Personen]. Hieraus folgt (5) g = En; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus (b) folgt B Fr; [B und Fr sind zwei verschiedene Personen]. Wegen (3) folgt hieraus h Fr; [Einsetzen]. Aus (d) folgt h En; [Begründung siehe oben]. Hieraus folgt (6) h = De; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus (5) und (6) folgt (7) i = Fr; [letzte verbleibende Möglichkeit]. Aus (), (2), (3), (5), (6) und (7) folgt daher: Ingo Axtmann unterrichtet Französisch; Heiko Blechschmidt unterrichtet Deutsch; Gert Cornelius unterrichtet Englisch. (Da dem Aufgabentext zu entnehmen ist, dass es genau eine solche Zuordnung gibt, ist eine Probe am Text zwar nützlich, um Fehler zu finden, aber aus logischer Sicht nicht erforderlich.) 5) Wir kürzen die Namen der Städte mit Qu, Ro, Tü, St und die Namen der Berufe mit Ku, Ma ab. Durch X = Yz und X Yz wird festgehalten, dass die Dame X in der Stadt Yz wohnt bzw. nicht wohnt. Aus (b) folgt unmittelbar B St. Aus (c) folgt unmittelbar C St. Aus (a) und (b) folgt A = Ku und St = Ma, wegen Ku Ma also A St. Als letzte verbleibende Möglichkeit folgt hieraus () D = St. Aus (a) folgt unmittelbar A Tü. Aus (a) und (b) folgt B = Ma und Tü = Ku, wegen Ma Ku also B Tü. Da jede der Damen in genau einer Stadt wohnt, folgt aus () unmittelbar D Tü. Als letzte verbleibende Möglichkeit folgt hieraus (2) C = Tü. Aus (d) folgt B Ro, aus () folgt D Ro, aus (2) folgt C Ro. Als letzte verbleibende Möglichkeit folgt hieraus (3) A = Ro. Aus (), (2) und (3) folgt als letzte verbleibende Möglichkeit (4) B = Qu. Aus (a) und (2) folgt dann (5) A = C = Ku. Aus (b) und () folgt dann (6) B = D = Ma. Folglich gilt: Die Dame A wohnt in Rostock und ist Kunstlehrerin. Die Dame B wohnt in Querfurt und ist Mathematikerin. Die Dame C wohnt in Tübingen und ist Kunstlehrerin. Die Dame D wohnt in Stuttgart und ist Mathematikerin. 2

3 6) I. Wenn es eine Zuordnung der Farben zu den Automarken gibt, welche die Bedingungen (a) bis (f) erfüllt, dann gilt: Der BMW kann wegen (a) nicht weiß, wegen (b) nicht grün oder schwarz und wegen (c) nicht blau sein. Hieraus folgt (als letzte verbleibende Möglichkeit) () Der BMW ist rot. Der Peugeot kann wegen (a) nicht weiß, wegen (a) und (d) nicht grün, wegen (e) nicht schwarz und wegen () nicht rot sein. Hieraus folgt (als letzte verbleibende Möglichkeit) (2) Der Peugeot ist blau. Der Audi kann wegen (a) nicht weiß, wegen (a) und (d) nicht grün, wegen () nicht rot und wegen (2) nicht blau sein. Hieraus folgt (als letzte verbleibende Möglichkeit) (3) Der Audi ist schwarz. Der Ford kann wegen (b) nicht grün oder schwarz sein, wegen () nicht rot und wegen (2) nicht blau sein. Hieraus folgt (als letzte verbleibende Möglichkeit) (4) Der Ford ist weiß. Aus (), (2), (3) und (4) folgt (als letzte verbleibende Möglichkeit) (5) Der Opel ist grün. Hieraus folgt: Wenn es eine Zuordnung der Farben zu den Automarken gibt, welche die Bedingungen (a) bis (f) erfüllt, dann kann dies nur die durch (), (2), (3), (4) und (5) angegebene Zuordnung sein. II. Wie man leicht nachweist, gilt: Diese Zuordnung erfüllt tatsächlich die Bedingungen (a), (b), (c), (d), (e) und (f). Aus I. und II. folgt, dass sich aus diesen Angaben eindeutig ermitteln lässt, welches Auto welche Farbe hat. Hinweis: Der Herleitung I. ist zu entnehmen, dass die Bedingung (f) an keiner Stelle verwendet wurde. Würde man in dieser Bedingung das vorkommende rot durch eine der vier anderen Farben ersetzen, dann kann man nur durch die Probe II. erkennen, dass (f) der aus (a), (b) und (c) abgeleiteten Feststellung () widerspricht und dass der geforderte Nachweis nicht erbracht werden kann. Bei der so abgeänderten Aufgabe würde man verlangen: Untersuche, ob sich aus diesen Angaben eindeutig ermitteln lässt,.... Auch bei der so formulierten Aufgabe wären die beiden Nachweise I. und II. erforderlich, und man würde in II. nachweisen, dass diese Aufgabe keine Lösung hat. 7) Bei Verwendung abkürzender Bezeichnungen lauten die Informationen, über die Egon verfügt, wie folgt: (a) Vornamen: a, j, si, st; Familiennamen: B, D, S, T. (b) a unmittelbar hinter si und unmittelbar vor S. (c) T unmittelbar hinter dem Sportler, dessen Vor- und Familienname den gleichen Anfangsbuchstaben hat. (d) a hinter B. I. Wenn sich aus diesen vier Informationen die Namen und die Reihenfolge eindeutig ermitteln lassen, dann gilt: Aus (a) und (c) folgt () T unmittelbar hinter S; denn nur bei S ist der Anfangsbuchstabe des Vor- und Familiennamens gleich. Aus (b) folgt die Reihenfolge si - a - S. 3

4 Wegen () folgt hieraus (2) si - a - S - T. Da si und S zwei verschiedene Personen bezeichnen, folgt hieraus, dass nur S = st gelten kann. Aus (2) und (d) folgt, dass nur B = si gelten kann (und dass a sogar unmittelbar hinter B sitzt). Folglich können (als letzte Möglichkeiten) nur noch D = a und T = j gelten. Damit ist nachgewiesen, dass nur folgende Namen nebst Reihenfolge die Bedingungen (a), (b), (c) und (d) erfüllen können: Siegfried Brietzke, Andreas Decker, Stefan Semmler, Jürgen Thiele. II. Wie man sich leicht überzeugt, erfüllen diese Angaben tatsächlich die gestellten Bedingungen. Aus I. und II. folgt, dass sich aus diesen vier Bedingungen die Namen und die Reihenfolge wie angegeben eindeutig ermitteln lassen. Wie den folgenden beiden Tabellen zu entnehmen ist, gibt es mindestens zwei Lösungen, welche die Bedingungen (a), (b) und (c) erfüllen: Platz Platz Vorname si a st j Vorname si a st j Familienname B D S T Familienname D B S T Damit ist nachgewiesen, dass Egon mit seiner Meinung Recht hatte. Teil c) Es gibt viele Möglichkeiten, (d) so durch (d ) zu ersetzen, dass die Aufgabe wieder eindeutig lösbar wird, z.b.: Andreas sitzt hinter Decker. Decker sitzt vor Brietzke. Brietzke sitzt hinter Decker. Semmler sitzt unmittelbar hinter Brietzke. Die Ersetzungen erhält man aus der 2. Tabelle. 8) Wir bezeichnen mit A, H, K, R die Geschenke und mit b, g, r, w die farbigen Schachteln. A r bedeute, dass das Armband nicht in der roten Schachtel liegt. Wenn eine Zuordnung zwischen den Geschenken und den Schachteln die gegebenen Bedingungen erfüllt, dann gilt: Aus (b), (e) und (f) folgt A r, A b und A g. Wegen (a) folgt hieraus (als letzte Möglichkeit) () A = w. Aus (c), (f) und (a) folgt analog R g, A g und K g, also (2) H = g. Aus (d), () und (2) folgt analog K b, A b und H b, also (3) R = b. Aus (), (2), (3) und (a) folgt (als letzte Möglichkeit) R r, A r und H r, also (4) K = r. Folglich kann nur die folgende Zuordnung die Bedingungen (a) bis (f) erfüllen: Das Armband liegt in der weißen Schachtel, der Ring in der blauen Schachtel, die Haarspange in der gelben Schachtel und die Kette in der roten Schachtel. Eine Probe am Text bestätigt, dass diese Zuordnung alle gestellten Bedingungen erfüllt. 4

5 Damit ist nachgewiesen, dass sich aus den Angaben eindeutig ermitteln lässt, welches Geschenk in welcher Schachtel liegt. R - H bedeute, dass der Ring im Regal links von der Haarspange liegt. Aus (c) und (2) folgt R - H, aus (f) und (2) folgt H - A, folglich gilt R - H - A. Aus (b) und (4) folgt K - A, aus (e) und (3) folgt R - A. Da keine weiteren Informationen über die Lage der Geschenke vorliegen, lässt sich die Reihenfolge im Regal nicht eindeutig ermitteln: sowohl die Reihenfolge K - R - H - A als auch die Reihenfolge R - K - H - A erfüllen die gestellten Bedingungen (a) bis (f). Sachaufgaben ) Wir bezeichnen mit b, o, a und m die Anzahlen der vier Obstsorten. Dann gilt nach Aufgabenstellung (a) b + o + a + m = 43, (b) m = 2 o, und (c) a = 3 b. Durch Einsetzen von (b) und (c) in (a) folgt b + o + 3 b + 2 o = 43 und hieraus durch Zusammenfassen () 4 b + 3 o = 43. Da die rechte Seite der Gleichung () ungerade ist, muss dies auch für die linke Seite zutreffen. Das ist genau dann der Fall, wenn o eine ungerade Zahl ist. Wir ermitteln alle Zahlenpaare (o; b), welche die Gleichung () erfüllen, durch systematisches Erfassen aller Möglichkeiten und halten die so erhaltenen Ergebnisse in einer Tabelle fest. Die zu jedem der Zahlenpaare (o; b) gehörenden Anzahlen m und a berechnen wir mit Hilfe von (b) und (c). Um etwaige Rechenfehler zu finden, machen wir eine Probe, indem wir überprüfen, ob die ermittelten vier Zahlen die Gleichung (a) erfüllen. o 43-3 o durch 4 teilbar? b m a Summe 40 ja nein ja nein ja nein ja Für o > 3 gibt es offensichtlich keine weiteren Lösungen. Folglich gibt es folgende vier Möglichkeiten für die Anzahlen der Früchte: Birnen Orangen Äpfel Mandarinen

6 Nur bei den ersten beiden Möglichkeiten sind überhaupt mehr Birnen als andere Obstsorten im Korb. Mehr Birnen als Orangen ist bei diesen Möglichkeiten erfüllt, sichert also nicht die Eindeutigkeit der Lösung. Mehr Birnen als Mandarinen ist nur bei der ersten Möglichkeit erfüllt, ermöglicht der Großmutter also eine eindeutige Lösung der Aufgabe. 2) Wir bezeichnen mit z, p, e und a die Anzahlen der Kaugummis der vier verschiedenen Sorten. Dann gilt nach Aufgabenstellung (a) z + p + e + a = 7, (b) z = 2 p, (c) e = p -, (d) a = z - 6. Durch Einsetzen von (b) in (d) folgt () a = 2 p - 6. Durch Einsetzen von (b), (c) und () in (a) folgt (2) 2 p + p + p p - 6 = 7. Durch Zusammenfassen folgt hieraus 6 p - 7 = 7, durch beidseitige Addition von 7 folgt hieraus 6 p = 78 und durch beidseitige Division durch 6 folgt (3) p = 3. Durch Einsetzen von (3) in (b), (c) und () folgt z = 26, e = 2 und a = 20. Folglich gilt: Es gibt 26 Zitronenkaugummis, 3 Pfefferminzkaugummis, 2 Erdbeerkaugummis und 20 Apfelkaugummis. Probe am Text: Wegen = 7 befinden sich 7 Kaugummis im Automaten. Wegen 26 = 3 2 sind es doppelt so viele Zitronenkaugummis wie Pfefferminzkaugummis. Wegen 2 = 3 - sind es ein Erdbeerkaugummi weniger als Pfefferminzkaugummis. Wegen 20 = 26-6 sind es sechs Apfelkaugummis weniger als Zitronenkaugummis. Um mindestens zwei Kaugummis von der gleichen Geschmacksrichtung zu erhalten, muss man mindestens 5 Kaugummis entnehmen, da im extremen Fall die ersten 4 Kaugummis verschiedenen Sorten angehören können, wobei der fünfte Kaugummi dann stets einer der bereits vertretenen Sorten angehören muss. Teil c) In diesem Fall muss man mindestens 27 Kaugummis dem Automaten entnehmen, da ja die ersten 26 Zitronenkaugummis sein könnten. 3) Wir bezeichnen mit w, s und b die (in Thaler angegebenen) Preise der drei Tuchsorten. Dann gilt nach Aufgabenstellung (a) s = w + 2, (b) b = s + 3, (c) 2 w + 3 s + 7 b = 37. Durch Einsetzen von (a) in (b) folgt b = w , also () b = w + 5. Durch Einsetzen von (a) und () in (c) folgt 2 w + 3 (w + 2) + 7 (w + 5) = 37. 6

7 Durch Umformen folgt hieraus 2 w + 3 w w + 35 = 37, 2 w + 4 = 37, w = 96, : 2 (2) w = 8. Durch Einsetzen von (2) in (a) und () folgt s = = 0 und b = = 3. Folglich gilt: Ein weißes Tuch kostet 8 Thaler, ein schwarzes Tuch kostet 0 Thaler, ein blaues Tuch kostet 3 Thaler. Probe am Text: Wegen = 37 kosten die 2 Stück Tuch 37 Thaler. Wegen 0 = kostet ein schwarzes Tuch 2 Thaler mehr als ein weißes Tuch. Wegen 3 = kostet ein blaues Tuch 3 Thaler mehr als ein schwarzes Tuch. 4) Wenn man mit x die Anzahl der Schafe im größeren Pferch und mit y die Anzahl der Schafe im kleineren Pferch bezeichnet, dann gilt nach Aufgabenstellung (a) x + y = 99. Da nach Aufgabenstellung x durch 4 und y durch 7 teilbar sind, gilt (b) x = 4 m und y = 7 n, wobei m und n natürliche Zahlen bezeichnen. Ferner gilt nach Aufgabenstellung (c) m + n = 2. Durch Einsetzen von (b) in (a) folgt () 4 m + 7 n = 99. Aus (c) folgt m = 2 - n; durch Einsetzen in () folgt 4 (2 - n) + 7 n = 99, also 84-4 n + 7 n = 99, 3 n = 99-84, 3 n = 5. und daher (2) n = 5. Aus (2) und (c) folgt m = 6, wegen (b) also x = 4 6 = 64 und y = 5 7 = 35. Folglich befanden sich im größeren Pferch 64 Schafe und im kleineren Pferch 35 Schafe. Wegen = 99, 64 = 4 6, 35 = 7 5 und = 2 erfüllt diese Lösung die gegebenen Bedingungen. 5) Es sei n die Anzahl der Steine am Anfang. Dann lässt der erste Zwerg die Anzahl (n - n + 6 =) 3 n + 6 an Steinen zurück. 4 4 Der zweite Zwerg lässt die Anzahl [ 2 ( 3 n + 6) + 6 =] n + 0 an Steinen zurück Der dritte Zwerg lässt die Anzahl [ ( n + 0) + 6 =] n + an Steinen zurück Da diese Anzahl gleich der Hälfte der am Anfang enthaltenen Steine sein soll, gilt die Gleichung n + = n, also = n und daher n = Folglich waren am Anfang 44 Steine in der Schatztruhe. Die gefundene Zahl 44 ist die korrekte Anzahl: Nach dem ersten Zwerg lagen noch 39 Steine in der Truhe, nach dem zweiten noch 32, nach dem dritten noch 22, und dies ist die Hälfte von 44. 7

8 6) Bezeichnet man die Anzahl der Paranüsse mit p, dann folgt aus der Aufgabenstellung: Gewicht eines Stücks Anzahl der Stücke Gewicht aller Stücke Paranüsse 2 g p 2 p g Walnüsse 3 p 4 3 p g = 2 p g Haselnüsse p = 9 p 2 9 p g = 8 p g Rosinen 2 g = 2 g 3 9 p = 27 p 2 27 p g = 8 p g Packung ( =) 60 p g Da die Packung 600 g wiegt, muss 60 p = 600 und daher p = 0 gelten. Da die Packung 9 p Haselnüsse enthält, enthält sie 90 Haselnüsse. 7) Bezeichnet man die Länge der Brücke mit b und die gemeinsame Geschwindigkeit der beiden Züge mit v, dann gilt nach Aufgabenstellung () b m = v 57 s und (2) b + 60 m = v 47 s. Durch seitenweise Subtraktion der Gleichungen folgt 60 m = v 0 s, also (3) v = 6 m/s. Durch Einsetzen von (3) in (2) und Umformen folgt b + 60 m = 6 47 m, also b = 752 m - 60 m und daher b = 592 m. Folglich legen die Züge in einer Sekunde 6 Meter zurück und die Brücke ist 592 Meter lang. 8) Bezeichnet man die Länge der 2. Teilstrecke mit x, dann hat die. Teilstrecke nach Aufgabenstellung die Länge 2 x und die 3. Teilstrecke hat die Länge (3 2 =) 6 x. Da die Gesamtstrecke 20 m lang ist, lautet die Ansatzgleichung x + 2 x + 6 x = 20 m, also 9 x = 20 m und daher x = 20 9 m. Folglich ist die. Teilstrecke 40 9 Meter lang. Meter, die 2. Teilstrecke 20 9 Meter und die 3. Teilstrecke ) Bezeichnet man die Länge der Gesamtstrecke mit x, dann gilt nach Aufgabenstellung also und daher 2 x + x + 00 km = x, 5, x + 5 x km = 5 x, x km = 5 x - x, 500 km = 4 x x = 375 km. Wegen = 50 und = 25 folgt: Die Gesamtstrecke war 375 km lang, die beiden Teilstrecken waren 50 km bzw. 25 km lang. 8

9 0) Wenn man die gesuchte Zahl mit x bezeichnet, dann gilt Probe: linke Seite: 4 x + 5 x = x x + 25 x = 6 x x = 6 x x 27 x = 270 : 27 x = = = rechte Seite: = = 5 Rainer hat an die Zahl 30 gedacht. ) Wir bezeichnen mit t die Anzahl der für den Druck benötigten Tage. Wenn die Druckmaschine A pro Tag 2 drucken kann, dann gilt Wegen + = und die Druckmaschine B pro Tag 36 9 der Auflage + = t = 4 36 = 9 folgt hieraus 9 = t, also t = 9. Folglich dauert der Druck der Bücher 9 Tage, wenn man beide Maschinen gleichzeitig drucken lässt. Wenn die Druckmaschine C die Auflage in 8 Tagen drucken würde, dann schafft sie in einem Tag 8 der Auflage und es gilt Wegen + + = 6 = folgt hieraus =, t also t = 6. Folglich dauert der Druck der Bücher 6 Tage, wenn man alle drei Maschinen gleichzeitig drucken lässt. Teil c) Kommt eine vierte Maschine vom Typ C hinzu, dann gilt Wegen = 8 36 = 2 9 folgt hieraus 2 9 = t, also t = 4,5. Wegen 6-4,5 =,5 könnte man,5 Tage sparen, wenn man die 4. Druckmaschine zusätzlich einsetzen würde. 2) Wir bezeichnen mit g, m und k die Masse, welche in die großen, die mittleren bzw. die kleinen Gläser passt und geben diese jeweils in Gramm an. Dann gilt nach Aufgabenstellung für die obere Reihe: (a) g + 3 m + 3 k = 3600, mittlere Reihe (b) 2 g + 6 k = 3600, untere Reihe (c) 4 m + 6 k = Aus (b) und (c) folgt durch beidseitige Subtraktion 2 g - 4 m = 0, also 2 g = 4 m = = t. t.

10 und daher () g = 2 m. Aus (a), (c) und () folgt durch Gleichsetzen und Einsetzen 2 m + 3 m + 3 k = 4 m + 6 k, also 5 m + 3 k = 4 m + 6 k - 4 m - 3 k und daher (2) m = 3 k. Durch Einsetzen von (2) in () folgt (3) g = 6 k. Durch Einsetzen von (3) und (2) in (a) und durch Umformen folgt 6 k + 9 k + 3 k = 3600, 8 k = 3600, also (4) k = 200. Durch Einsetzen von (4) in (2) und (3) folgt m = 600 und g = 200. Probe: Obere Reihe: ( g, 3 m, 3 k) ; 200 g g g = 200 g g + 600g = 3600 g = 3,6 kg. Mittlere Reihe: (2 g, 6 k); g g = 2400 g g = 3600 g = 3,6 kg. Untere Reihe: (4 m, 6 k); g g = 2400 g g = 3600 g = 3,6 kg. Folglich enthält ein kleines Glas 200 g Marmelade, ein mittleres 600 g und ein großes 200 g. 3) Wir rechnen alle Geldbeträge in Grains um. Aus Minas = 60 Schekel und Schekel = 60 Grains folgt Wegen = 2400 und = 6000 folgt Minas = 3600 Grains. Minas = 6000 Grains. Ferner gilt 6 Schekel = 360 Grains. Wir bezeichnen mit d die gleichbleibende Differenz zwischen den Anteilen der acht Schwestern. Dann gilt nach Aufgabenstellung (360 - d) (360 + d) +( d) + ( d) + ( d) + ( d) + ( d) = Hieraus folgt (- d + d + 2 d + 3 d + 4 d + 5 d + 6 d) = d = d = 320 :20 d = 56. Folglich erhalten die Schwestern der Reihe nach 204, 360, 56, 672, 828, 984, 40 und 296 Grains. 4) Wir bezeichnen mit a, b und c die Anzahlen der 0 -Scheine, 20 -Scheine bzw Scheine. Dann gilt nach Aufgabenstellung (a) a + b + c = 29, (b) a = b -, (c) 2 b < c, (d) c < 3 b. Aus (a) und (b) folgt (b - ) + b + c = 29, also () 2 b + c = 30. Aus (c) und () folgt 2 b + 2 b < 30, also 4 b < 30 und daher (2) b 7. Aus (d) und () folgt 2 b + 3 b > 30, also 5 b > 30 und daher (3) b > 6. Aus (2) und (3) folgt b = 7, aus (b) folgt dann a = 6 und aus (a) folgt dann 3 + c = 29, also c = 6. Wegen = = 000 beträgt die Höhe des abgehobenen Geldbetrags 000 Euro. 0

11 Zahlen werden gesucht ) Ges.: Natürliche Zahl n ; Geg.: (a) n = ab ; (b) QS(n) = 3; (c) 5 n. Aus (a) und (c) folgt () b = 0 oder b = 5; [Teilbarkeitsregel für die 5]. Aus (a) und (b) folgt (2) a + b = 3; [Definition Quersumme ]. Aus b = 0 und (2) würde a = 3 folgen, was nicht gelten kann, weil stets a 9 gilt. Aus () folgt daher b = 5, und durch Einsetzen in (2) und Ausrechnen folgt a = 8. Folglich ist 85 die gesuchte natürliche Zahl. 2) Ges.: Zahlenpaare (x; y) aus natürlichen Zahlen; Geg.: (a) x + y = 8; (b ) (x - ) (y + ) = 0; (b 2 ) (x - ) (y + ) = 2; (b 3 ) (x - ) (y + ) = 4. Wenn ein Produkt gleich 0 ist, dann ist mindestens ein Faktor gleich 0. Da stets y + > 0 gilt, folgt aus (b ), dass x - = 0 und daher x = gelten muss. Durch Einsetzen in (a) folgt hieraus y = 7. Folglich gibt es in diesem Fall genau das Zahlenpaar (; 7) als Lösung. Durch systematisches Erfassen aller möglichen Fälle erkennt man, dass es genau 6 Möglichkeiten gibt, die Zahl 2 als Produkt zweier Faktoren darzustellen: 2 = 2 = 2 6 = 3 4 = 4 3 = 6 2 = 2. In folgender Tabelle werden diese 6 Fälle erfasst, welche die Bedingung (b 2 ) erfüllen, und es wird nachgeprüft, in welchen dieser Fälle auch die Bedingung (a) erfüllt ist. x - y + x y x + y Folglich gibt es in diesem Fall genau die beiden Zahlenpaare (3; 5) und (7; ) als Lösungen. Der folgenden Tabelle ist zu entnehmen, dass es kein Zahlenpaar gibt, das die Bedingungen (a) und (b 3 ) erfüllt. x - y + x y x + y

12 3) Bedingungen: (a) z = ab; (b) z = ba und z = z + 36; (c) b = 3 a. I. Wenn eine Zahl z die Bedingungen (a), (b) und (c) erfüllt, dann gilt: Da die Einerziffer b nicht größer als 9 sein kann, folgt aus (a) und (c), dass z nur eine der Zahlen 3, 26 oder 39 sein kann. Aus (b) folgt dann (wegen und ), dass nur die Zahl 26 alle gestellten Bedingungen erfüllen kann. II. Die Zahl 26 erfüllt tatsächlich alle gestellten Bedingungen: Sie ist zweistellig, und es gilt 62 = sowie 6 = 3 2. Aus I. und II. folgt, dass es genau eine Zahl z gibt, die alle gestellten Bedingungen erfüllt. Dies ist die Zahl 26. 4) Gegebene Bedingungen: (a) z = ab = 0 a + b; (b) a + b = 3; (c) z = ba und z = z I. Wenn eine Zahl z die Bedingungen (a), (b) und (c) erfüllt, dann gilt: Aus (a) und (c) folgt nach Definition von z und Einsetzen 0 b + a = 0 a + b Durch seitenweise Subtraktion folgt hieraus () 9 b = 9 a Aus (b) folgt nach Definition von QS(z) a + b = 3, also (2) a = 3 - b. Durch Einsetzen von (2) in () und Umformen folgt 9 b = 9 (3 - b) - 27, also 9 b = 7-9 b - 27, 8 b = 90 und daher (3) b = 5. Durch Einsetzen von (3) in (2) und Umformen folgt hieraus a = 8. Wegen (a) folgt hieraus: Wenn eine Zahl z die Bedingungen (a), (b) und (c) erfüllt, dann kann dies nur die Zahl 85 sein. II. Die Zahl 85 erfüllt tatsächlich alle gestellten Bedingungen: Sie ist zweistellig und es gilt = 3 sowie 58 = Aus I. und II. folgt, dass es genau eine Zahl z gibt, die alle gestellten Bedingungen erfüllt. Dies ist die Zahl 85. 5) I. Wir bezeichnen mit x die erste der beiden aufeinander folgenden Zahlen. Dann gilt nach Aufgabenstellung: 2 x (x + ) + = x (x + ) = 984 : 2 x (x + ) = 992 Wegen 30 3 = 930 < 3 32 = 992 < = 056 gilt: Wenn es zwei aufeinander folgende Zahlen gibt, welche die gestellten Bedingungen erfüllen, dann können dies nur die beiden Zahlen 3 und 32 sein. 2

13 II. Die beiden Zahlen 3 und 32 erfüllen tatsächlich diese Bedingungen: Es sind zwei aufeinander folgende Zahlen; ihr Produkt ist (3 32 =) 992; das Doppelte dieses Produkts ist 984 und der Nachfolger dieses Produkts ist 985. Aus I. und II. folgt, dass sich die Zahlen 3 und 32 aus den gestellten Bedingungen eindeutig ermitteln lassen. 6) Nach Aufgabenstellung gilt für das Alter x von Hans (x + 7) x = 33. Durch Umformen folgt hieraus 2 x x = 33, x + 20 = 33, - 20 x = 3. Folglich kann Hans nur 3 Jahre alt sein. Tatsächlich gilt = 20, 2 20 = 40, = 46 und 46-3 = 33. Folglich lässt sich das Alter von Hans aus dessen Angaben eindeutig ermitteln. Nach Aufgabenstellung gilt für das Alter y von Thomas (y + 7) y = 20. Durch Umformen folgt hieraus 2 y y = 20, 0 x + 20 = 20, y = 0. Da diese Gleichung von allen Zahlen y erfüllt wird, lässt sich das Alter von Thomas aus dessen Angaben nicht eindeutig ermitteln. 7) Bezeichnet man die gesuchten Zahlen mit x und y, dann gilt nach Aufgabenstellung (a) x + y = 77, x > y; (b) x = 3 y + 9. Aus (b) und (a) folgt durch Einsetzen und Umformen (3 y + 9) + y = 77, y = 68, : 4 () y = 42. Aus () und (b) folgt durch Einsetzen x = , also x = 35. Folglich können nur die Zahlen 35 und 42 alle gestellten Bedingungen erfüllen. Dies ist tatsächlich der Fall, denn es gilt = 77 und 35 : 42 = 3 Rest 9. Damit ist nachgewiesen, dass sich diese beiden Zahlen aus den gegebenen Bedingungen eindeutig ermitteln lassen. 8) Gegebene Bedingungen: (a) 00 = q x + 4 (mit x > 4), q N; (b) 90 = q 2 x + 8 (mit x > 8), q 2 N. I. Wenn es eine Zahl x gibt, welche die Bedingungen (a) und (b) erfüllt, dann gilt: Aus (a) folgt 96 = q x mit x > 4. Nach Definition der Teilbarkeit folgt hieraus () x 96 mit x > 4. Aus (b) folgt 72 = q 2 x mit x > 8, also (2) x 72 mit x > 8. Aus () und (2) folgt, dass x ein gemeinsamer Teiler von 96 und 72 ist, der größer als 8 ist. Die Menge der gemeinsamen Teiler von 96 und 72 ist {, 2, 3, 4, 6, 8, 2, 24}. 3

14 Da x > 8 gelten soll, folgt hieraus, dass nur die Zahl 24 die Bedingungen (a) und (b) erfüllen kann. II. Tatsächlich gilt 00 : 24 = 4 Rest 4 und 90 : 24 = 3 Rest 8. Aus I. und II. folgt: 24 ist die einzige Zahl, welche die Bedingungen (a) und (b) erfüllt. 9) Bezeichnet man die gesuchte zweistellige Zahl x, ihre Zehnerziffer mit a und ihre Einerziffer mit b, dann gilt nach Aufgabenstellung (a) x ist eine Primzahl; (b) x = 0 a + b; (c) 5 b + 4 a = x. Aus (b) und (c) folgt durch Gleichsetzen und Umformen 0 a + b = 5 b + 4 a - 4a - b 6 a = 4 b : 6 2 a = b () 3 Wegen b {, 2,..., 9} und () kann daher nur b {3, 6, 9} und daher x {23, 46, 69} gelten. Von diesen drei Zahlen erfüllt nur die 23 auch die Bedingung (a). Folglich hat Ruth die Hausnummer 23. Hinweis: Da dem Aufgabentext zu entnehmen ist, dass die Aufgabe genau eine Lösung hat, ist eine Probe zwar nützlich, um Fehler zu finden, aber aus logischer Sicht nicht erforderlich. 0) Das Ergebnis lautet stets 22. Man wähle drei Ziffern a, b, c aus den Ziffern von bis 9. Aus diesen Ziffern werden die sechs möglichen zweistelligen Zahlen gebildet, also ab, ac, ba, bc, ca, cb. Da xy = 0 x + y gilt, folgt für die Summe dieser Zahlen s = 0 2 (a + b + c) + 2 (a + b + c) = 22 (a + b + c). Folglich ist s durch (a + b + c) teilbar, und das Ergebnis lautet stets 22. Kombinatorik ) Durch systematisches Erfassen aller (lexikografisch geordneten) Fälle erhält man folgende 0 Wege: () ABCEF, (2) ABCF, (3) ABDECF, (4) ABDEF, (5) ABECF, (6) ABEF, (7) ACBDEF, (8) ACBEF, (9) ACEF, (0) ACF. Es fallen alle die Wege heraus, in denen die Wegverbindung CE oder EC vorkommt. Daher bleibenden folgende 6 Wege übrig: () ABCF, (2) ABDEF, (3) ABEF, (4) ACBDEF, (5) ACBEF, (6) ACF. 4

15 Bei kann auch folgendes Baumdiagramm die Lösung liefern: 2) Die gesuchten 6 Reihenfolgen (Anordnungen) lauten BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB. Dabei wurde das lexikografische Ordnungsprinzip (wie in einem Wörterbuch) verwendet. Bei der Anordnung BCD von drei Schülern hat ein vierter Schüler genau 4 Möglichkeiten sich einzureihen: ABCD, BACD, BCAD, BCDA. Da es 6 verschiedene Anordnungen von 3 Elementen (Schülern) gibt, folgt hieraus, dass es (6 4 =) 24 verschiedene Anordnungen von 4 Elementen gibt. (Hier wäre das Aufschreiben der lexikografisch geordneten 24 Anordnungen zwar noch möglich aber unangemessen aufwändig.) Teil c) Die in verwendete Lösungsidee lässt sich allgemein anwenden. Die Resultate werden in der folgenden Tabelle festgehalten. Anzahl der Elemente = = 2 2 = 2 = = 6 = = 24 = = 20 = = 720 = Es gibt 720 Möglichkeiten, 6 Schüler in verschiedenen Reihenfolgen aufzustellen. 2. Lösungsweg zu Teil c) Für die Belegung des. Platzes gibt es 6 Möglichkeiten, für die Belegung des 2. Platzes dann nur noch 5 Möglichkeiten, für die Belegung des 3. Platzes 4 Möglichkeiten,..., für die Belegung des 6. Platzes nur noch eine Möglichkeit. Folglich gibt es ( =) 720 Möglichkeiten, 6 Schüler in verschiedenen Reihenfolgen aufzustellen. Hinweis: Für solche Produkte aufeinander folgender Zahlen wird folgende abkürzende Bezeichnung eingeführt: n! = n (gelesen n-fakultät ). 3) Hier reicht es aus, die folgenden 0 möglichen Kombinationen am Zweier-Tisch zu ermitteln: AB, AC, AD, AE; BC, BD, BE; CD, CE; DE. Die gestellte Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn am Zweier-Tisch genau eine der Damen B oder D sitzen. Dies ist bei folgenden vier in angegebenen 0 Kombinationen nicht der Fall: AC, AE, BD und CE. 5

16 Folglich erfüllen genau folgende 6 Verteilungen die gestellte Bedingung: AB CDE, AD BCE, BC ADE, BE ACD, CD ABE, DE ABC. Teil c) Wie in sind auch hier nur diejenigen Möglichkeiten zu betrachten, bei denen an jedem der beiden Tische genau eine der beiden Damen B oder D sitzen. Wenn Friederike den sechsten Stuhl an den Zweier-Tisch stellt, dann gibt es folgende 2 Möglichkeiten für die Verteilung: ABC DEF, ABE CDF, ABF CDE, ACD BEF, ADE BCF, ADF BCE, BCE ADF, BCF ADE, BEF ACD, CDE ABF, CDF ABE, DEF ABC. Wenn Friederike den sechsten Stuhl an den Dreier-Tisch stellt, dann gibt es folgende 8 Möglichkeiten für die Verteilung: AB CDEF, AD BCEF, BC ADEF, BE ACDF, BF ACDE, CD ABEF, DE ABCF, DF ABCE. Insgesamt gibt es daher (2 + 8 =) 20 verschiedene Möglichkeiten der Verteilung. (Hinweis: Da die beiden Tische durch an der Hecke bzw. mit gutem Ausblick unterschieden sind, ist nicht etwa ABC DEF dieselbe Verteilungsmöglichkeit wie DEF ABC, auch wenn bei beiden Möglichkeiten an beiden Tischen dieselben Damengruppen zusammen sitzen.) 4) Wenn es 2 Suppen S i und zu jeder dieser Suppen 4 Hauptgerichte H j gibt, dann gibt es genau (2 4 =) 8 verschiedene Teilmenüs (S i, H j ). Wenn es 8 Teilmenüs (S i, H j ) gibt und zu jedem dieser Teilmenüs 2 Nachspeisen N k, dann gibt es (8 2 =) 6 verschiedene Menüs (S i, H j, N k ). Folglich stimmt die Behauptung des Wirts, weil ja er nicht behauptet hat, dass er genau 6 Menüs anbietet. 5) Für O stehen drei Farben zur Verfügung, S muss eine der beiden anderen Farben haben, U wiederum eine der beiden Farben, die in S nicht auftreten. Folglich gibt es (3 2 2 =) 2 Möglichkeiten, die Kugeln zu färben. Für O gibt es 3 Wahlmöglichkeiten, für So dann 2 Möglichkeiten, da ja die Farbe von O nicht mehr zur Verfügung steht, für Su dann 2 Möglichkeiten, da ja die Farbe von So nicht mehr zur Verfügung steht und für U wieder 2 Möglichkeiten, da ja die Farbe von Su nicht mehr zur Verfügung steht. Folglich gibt es ( =) 24 Möglichkeiten die Kugeln zu färben. Wegen (2 2 =) 24 hat der Lehrling Recht. Teil c) Analog kann man herleiten, dass es in diesem Fall ( =) 08 Möglichkeiten gibt, die Kugeln zu färben. Da aber 24 4 = 96 gilt, hat der Lehrling hier nicht Recht. Hinweis auf einen anderen Lösungsweg für die Teile a) und b) Man hält die lexikografisch geordneten Lösungen in Form einer Tabelle fest, wobei man analog zu ermittelnde Lösungen nicht mehr alle hinschreibt, sondern nur deren Anzahl angibt. 6

17 O S U O So Su U b g b b g b g b g s g b s b s b g s b b s g g s g g analog 4 Möglichk. b s analog 4 Möglichk. s analog 4 Möglichk. g b analog 4 Möglichk. (3 4 =) 2 Möglichkeiten g s analog 4 Möglichk. s b analog 4 Möglichk. s g analog 4 Möglichk. (6 4 =) 24 Möglichkeiten Offensichtlich ist diese Lösungsmethode für den Teil c) nicht mehr angemessen. 6) Wir bezeichnen den Boden einer Dose mit B und die drei Streifen mit Su, Sm und So. Wie in der folgenden Tabelle angegeben, gibt es in diesem Fall genau 2 Möglichkeiten, die Dosen unterschiedlich zu bemalen. B Su Sm So rot blau rot blau blau rot blau rot Wenn drei Farben zur Verfügung stehen kann man B mit diesen 3 Farben bemalen, für Su stehen dann 2 Farben zur Verfügung, für Sm wiederum 2 Farben und für So auch 2 Farben. Folglich gibt es in diesem Fall insgesamt ( =) 24 Möglichkeiten, die Dosen unterschiedlich zu bemalen. Beachte, dass darunter auch die beiden rot-blauen Dosen aus sind. Teil c) Es sind vier Bereiche (B, Su, Sm, So) zu bemalen, und es sollen alle vier Farben verwendet werden. Für B kann man 4 Farben verwenden, für Su dann noch 3 Farben, für Sm dann noch 2 Farben und für So bleibt dann nur noch Farbe. Folglich gibt es (4 3 2 =) 24 verschiedene Möglichkeiten für das vierfarbige Bemalen der Dosen. Beachte, dass alle diese Dosen neu sind. Teil d) Alle zwei- und dreifarbigen Dosen haben nur die Farben Rot, Blau und Gelb. Für die Anzahl der zweifarbigen Dosen gilt: Wenn B eine der drei Farben aufweist, dann muss der angrenzende Su eine der beiden anderen Farben haben, und die anderen beiden Streifen sind in ihrer Farbe festgelegt. Folglich gibt es (3 2 =) 6 zweifarbige Dosen. Die Dosen aus sind enthalten. Da Annabella bis zum Ende von insgesamt 24 Dosen bemalt hat, müssen von diesen Dosen (24-6 =) 8 Dosen dreifarbig sein. Wie in Teil c) beschrieben, sind 24 Dosen vierfarbig. Folglich hat Annabella bisher ( =) 48 Dosen bemalt. 7

18 7) Wenn es 3 Gehäusearten G i und zu jeder Gehäuseart 4 Arten von Zifferblättern B j gibt, dann gibt es (3 4 =) 2 verschiedene Arten von (G i, B j ). Wenn es 2 Arten von (G i, B j ) gibt und zu jeder dieser Arten 2 Arten von Zeigern Z k, dann gibt es insgesamt (2 2 =) 24 verschiedene Uhren (G i, B j, Z k ). Folglich gibt es genau 24 voneinander verschiedenen Uhren, die sich unter Verwendung der angegebenen Teile herstellen lassen. 8) Das erste Mädchen hat 6 Stühle zur Auswahl, das zweite Mädchen nur noch 5, usw. Für die Anzahl der möglichen Reihenfolgen gilt daher = 6! = 720. Wenn man die Stühle nummeriert, dann können Beate und Elke auf folgenden Stuhlpaaren sitzen: (; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5), (5; 6). Da jedes dieser 5 Paare zweimal zu zählen ist (jeweils (B; E) und (E; B)), gibt es 0 Möglichkeiten. Die erste der restlichen vier Freundinnen hat dann 4 Stühle zur Auswahl, die zweite hat noch 3 Stühle zur Auswahl, usw. Folglich gibt es in diesem Fall insgesamt ( = 0 4! =) 240 mögliche Sitzordnungen. Teil c) Friederike setzt sich auf einen beliebigen Platz. Auf dem Platz links neben ihr sitzt eine der fünf Freundinnen, auf dem übernächsten Platz eine der vier restlichen Freundinnen, usw. Folglich gibt es in diesem Fall ( = 5! =) 20 verschiedene Möglichkeiten. Teil d) Beate und Elke besetzen zwei nebeneinander stehende Stühle. Angenommen, Elke sitzt rechts; dann können die restlichen vier Mädchen sich noch auf 4! verschiedene Arten setzen. Die gleiche Anzahl von Sitzverteilungen erhält man noch einmal, wenn Elke links sitzt. Folglich gibt es in diesem Fall (2 4! =) 48 mögliche Sitzordnungen. Teil e) Friederike hat eine ihrer Freundinnen als Partnerin in der Gruppe. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten. Von den übrigen vier hat die erste 3 mögliche Partnerinnen. Die beiden restlichen Mädchen haben keine Wahl mehr. Folglich gibt es in diesem Fall (5 3 =) 5 verschiedene Möglichkeiten. Hinweis auf einen anderen Lösungsweg: Kürzt man die Namen der Mädchen mit A, B, C, D, E, F ab, dann kann man (bei Verwendung des lexikographischen Ordnungsprinzips) durch systematisches Erfassen aller möglichen Fälle erkennen, dass es ( =) 5 solche Paare gibt. AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF 8

19 9) Für den linken Ärmel stehen vier Farben zur Verfügung. Für jeden dieser vier Ärmel gibt es vier verschieden gefärbte rechte Ärmel. Folglich gibt es (4 4 =) 6 unterschiedliche T-Shirts - die Farbauswahl reicht daher aus. In diesem Fall lassen sich diejenigen T-Shirt-Paare nicht mehr unterscheiden, die dasselbe Paar verschiedener Ärmel-Farben aufweisen, z.b. (rot; blau) und (blau; rot). Unter den 6 produzierten T-Shirt-Typen gibt es 4 mit gleichfarbigen Ärmeln, die restlichen 2 T-Shirt-Typen bilden 6 solcher Paare. Folglich waren nur noch (6-6 =) 0 T-Shirt-Typen unterscheidbar, und das reichte nicht aus. Teil c) Beim. Vorschlag gilt: Von den nun (5 5 =) 25 verschiedenen Typen sind - den Überlegungen in folgend - genau 5 Typen mit einfarbigen Ärmeln. Die restlichen 20 Typen bilden 0 Paare. Folglich gibt es nur (5 + 0 =) 5 unterscheidbare T-Shirts, das Problem ist nicht gelöst. Beim 2. Vorschlag gilt: Für jede der 2 Rumpf-Farben gibt es 3 Brustring-Farben. Folglich gibt es (2 3 =) 6 verschiedene Kombinationen von Rumpf und Ring. Nun können für jedes dieser Trikots 4 verschiedene Ärmel-Farben gewählt werden. Folglich gibt es jetzt (6 4 =) 24 verschiedene Trikots, das Problem ist gelöst. Hinweis: Die Lösungen der Teile a) und b) lassen sich durch folgende Tabelle veranschaulichen: (b; b) (b; g) (b; r) (b; w) (g; b) (g; g) (g; r)) (g; w) (r; b) (r; g) (r; r) (r; w) (w; b) (w; g) (w; r) (w; w) 0) Die Zwillinge können jeweils die 2 Hosen mit den 6 T-Shirts kombinieren, das ergibt (2 6 =) 2 Möglichkeiten. Diese Möglichkeit können dann alle mit den 2 Pullis kombiniert werden, das ergibt (2 2 =) 24 Möglichkeiten. Folglich haben die Zwillinge für (2 6 2 =) 24 Tage verschiedenartige Bekleidungsmöglichkeiten. Carola hat folgende Kleidungsstücke: Rock, 2 Hosen, 6 T-Shirts, 3 Pullis. Da sie den Rock anstelle einer Hose tragen kann, hat sie nun [( + 2) 6 3 =] 54 Möglichkeiten, sich verschiedenartig zu kleiden. Daniela hat folgende Kleidungsstücke: 3 Hosen, 8 T-Shirts, 2 Pullis. Folglich hat sie nun (3 8 2 =) 48 Möglichkeiten, sich verschiedenartig zu kleiden. 9

20 Verschiedene Aufgaben ) Um die gestellte Frage beantworten zu können, müssen wir die von den Schallwellen bzw. Rundfunkwellen benötigten Zeiten berechnen. In folgender Tabelle werden die gegebenen und die gesuchten Größen festgehalten: Weg Geschwindigkeit Zeit Schallwellen s = 2 m v = 340 m/sec t =? sec Rundfunkwellen s 2 = 000 km v 2 = km/sec t 2 =? sec s v Aus s = v t folgt t = s v sowie t 2 = 2 2 = = 2 m 340 m / sec 000 km km / sec = = 70 sec 300 sec. Hieraus folgt t > t 2. Folglich hört der Rundfunkhörer den Redner etwas früher als der Zuhörer im Saal. 2) Eine besonders einfache Lösung besteht darin, dass jeder Junge seine Freundin ans andere Ufer bringt und allein zurück rudert. Eine solche Lösung lässt sich günstig in Form einer Tabelle festhalten. Die abkürzende Bezeichnung des rudernden Jungen ist jeweils unterstrichen. Linkes Ufer Besatzung des Ruderbootes Rechtes Ufer B, S, C, T A, R B, S, C, T A R A, C, T B, S R A, C, T B R, S A, B C, T R, S A, B C R, S, T C A, B R, S, T C A B, R, S, T A, C B, R, S, T Da jetzt auch die Mädchen rudern sollen, liegt es nahe, die Mädchen zurück rudern zu lassen. Linkes Ufer Besatzung des Ruderbootes Rechtes Ufer A, R, B, S C, T A, R, B, S T C A, R, T B, S C A, R, T S B, C S, T A, R B, C S, T R A, B, C R S, T A, B, C R S A, B, C, T R, S A, B, C, T 20

21 3) Zwischen den drei älteren Kindern liegen jeweils (8 Monate =),5 Jahre. Folglich muss das 3. Kind ebenfalls gerade Geburtstag haben, denn es ist (,5 2 =) 3 Jahre jünger als das das. Kind. Die nun folgenden Kinder haben einen Altersabstand von (5 Monaten =),25 Jahren. Da das jüngste Kind auch gerade Geburtstag hat, muss die Multiplikation mit,25 eine ganze Zahl ergeben. Das gilt das erste Mal für (,25 4 =) 5 Jahre. Da dann nach dem 3. Kind noch 4 Kinder folgen müssen, hätte die Familie (3 + 4 =) 7 Kinder. Wegen,25 8 = 0 wäre die nächst mögliche Zahl für die Multiplikation die Zahl 8. Dann hätte die Familie (3 + 8 =) Kinder. Das ist durch die Aussage des Vaters aber ausgeschlossen, denn in einer Fußballmannschaft wären Kinder, und die bekommt er ja nicht voll. Folglich gilt: a) Die Familie hat 7 Kinder. b) Das 7. Kind wird 2 Jahre alt, das 3. Kind ist dann 5 Jahre älter und wird 7 Jahre alt. Das älteste Kind hat auch Geburtstag und wird ( =) 0 Jahre alt. c) Folgende Tabelle hält fest, wie das Alter der restlichen Kinder berechnet wird. Kind Alter in Jahren 7. 2, ,00 +,25 = 3, ,25 +,25 = 4, ,50 +,25 = 5, ,75 +,25 = 7, ,00 +,50 = 8,50. 8,50 +,50 = 0,00 Die Kinder haben, mit dem jüngsten beginnend, folgendes Alter: 2 Jahre, 3 Jahre und 3 Monate, 4 Jahre und 6 Monate, 5 Jahre und 9 Monate, 7 Jahre, 8 Jahre und 6 Monate, 0 Jahre. 4) Nach Aufgabenstellung gilt (a) E ist doppelt so schnell wie P. (b) K braucht für 3 km eine Stunde. (c) E ist pro Kilometer 6 min schneller als K. Aus (b) folgt, dass K für km (60:3 =) 20 min braucht. Aus (c) folgt dann, dass E für km (20-6 =) 4 min braucht. Aus (a) folgt dann, dass P für km (2 4 =) 28 min braucht. Weitere Folgerungen werden in einer Tabelle festgehalten. Es werden Strecken der Längen 6 km und 4 km benötigt. Zeit für das Zurücklegen von km 4 km 6 km K 20 min 80 min = h 20 min 20 min = 2 h E 4 min 56 min = 0 h 56 min 84 min = h 24 min P 28 min 2 min = h 52 min 68 min = 2 h 48 min 2

22 Um die Insel zu erreichen, brauchen Emil Stunde und 24 Minuten, Karl 2 Stunden und Peter 2 Stunden und 48 Minuten. Teile b) und c) Wenn P um 9.00 Uhr aufbricht und 2 h 48 min zum Erreichen der Insel braucht, dann kommt er um.48 Uhr an. Da P genau 30 min Pause macht, verlässt er die Insel um 2.8 Uhr und erreicht nach 2 h 48 min das Bootshaus um 5.06 Uhr. Da 2 6 km = 4 km gilt, ist der vereinbarte Treffpunkt T genau 4 km von der Insel entfernt. 3 Für diese Strecke braucht P genau h 52 min. Folglich erreicht Peter den Treffpunkt T um 4.0 Uhr. Wie man die Ankunftszeiten der anderen beiden Jungen sowie deren Pausenzeiten berechnet, ist der folgenden Tabelle zu entnehmen. Dabei werden die Spalten in folgender Reihenfolge gefüllt: Treffen T, Abfahrt I, Pause, Ankunft B. Abfahrt B Ankunft I Pause Abfahrt I Treffen T Ankunft B P 9:00 Uhr :48 Uhr 30 min 2:8 Uhr 4:0 Uhr 5:06 Uhr K 9:30 Uhr :30 Uhr h 20 min 2:50 Uhr 4:0 Uhr 4:50 Uhr E 0:00 Uhr :24 Uhr h 50 min 3:4 Uhr 4:0 Uhr 4:38 Uhr Folglich gilt: Peter, Karl und Emil kommen um.48 Uhr,.30 Uhr bzw..24 Uhr auf der Insel an und sind um 5.06 Uhr, 4.50 Uhr bzw Uhr beim Bootshaus zurück. Emil hat Stunde und 50 Minuten Pause gemacht, Karl nur Stunde und 20 Minuten. 5) Von der Grundfläche und auch von jeder Seite aus betrachtet sieht die Pyramide so aus: Wenn man die Anzahl der Orangen in der n-ten Schicht mit g n bezeichnet und die Schichten von der Spitze ausgehend durchnummeriert, dann gilt g = = =, g 2 = g + 2 = + 2 = 3, g 3 = g = ( + 2) + 3 = 6, g 4 = g = = 0, g 5 = g = = 5, g 6 = g = = 2, g 7 = g = = 28. Folglich gilt für die Anzahl p 7 der Orangen einer siebenschichtigen Pyramide p 7 = = 84. Auf analoge Weise erhält man g 8 = = 36, p 8 = = 20; g 9 = = 45, p 9 = = 65; g 0 = = 55, p 0 = = 220; g = 55 + = 66, p = = 286; g 2 = = 78, p 2 = =

23 Wegen 286 = p < 300 < p 2 = 364 und = 4 gilt daher: Mit 300 Orangen kann man eine elfschichtige Pyramide aufbauen und behält dabei noch 4 Orangen übrig. 6). Lösungsweg: Rückwärtsrechnen ohne Verwendung von Variablen Wenn man zu den 2 am Ende verbliebenen Murmeln noch die 3 Murmeln dazuzählt, die Uwe mehr als ein Viertel der vorhandenen Murmeln verloren hat, sind das 24 Murmeln. Diese 24 Murmeln müssen dann drei Viertel der Murmelanzahl vor dem zweiten Spiel sein. Folglich hatte Uwe vor dem zweiten Spiel [(24 : 3) 4 =] 32 Murmeln. Die gleiche Überlegung stellt man wieder an: Zu den 32 Murmeln zählt man die 2 Murmeln dazu, die er mehr als dein Drittel der vorhandenen Murmeln verloren hat; das sind dann 34 Murmeln. Diese 34 Murmeln müssen nun zwei Drittel der vor dem Spiel vorhandenen Murmeln sein. Folglich hatte Uwe vor dem Spiel [(34 : 2) 3 =] 5 Murmeln. 2. Lösungsweg: Verwenden von Gleichungen mit Variablen Es sei y die Anzahl der Murmeln vor dem 2. Spiel und x die Anzahl der Murmeln vor dem. Spiel. Dann verliert Uwe nach Aufgabenstellung im 2. Spiel ( y + 3) Murmeln. 4 Wegen y - ( 4 y + 3) = y - 4 y - 3 = 3 4 y - 3 bleiben Ihm nach dem 2. Spiel noch ( 3 4 y - 3) Murmeln. Da dies nach Aufgabenstellung 2 Murmeln sind, gilt 3 y - 3 = 2, also 3 y = 24 und da- 4 4 her y = 32. Nach Aufgabenstellung verliert Uwe im. Spiel ( + 2) Murmeln. 3 x 2 2 Wegen x - ( + 2) = x = - 2 bleiben ihm nach dem. Spiel noch ( - 2) 3 x 3 x 3 x 3 x Murmeln. Da die Anzahl der Murmeln nach dem. Spiel gleich der Anzahl der Murmeln vor dem 2. Spiel ist, gilt 2 3 x - 2 = y. Wegen y = 32 folgt hieraus 2 3 x - 2 = 32, also 2 3 x = 34 und daher x = 5. Probe: Uwe verliert im. Spiel ( =) 9 Murmeln, ihm verbleiben daher (5-9 =) 32 Mur- 3 meln. Beim zweiten Spiel verliert er ( =) Murmeln, ihm verbleiben daher (32 - =) 2 4 Murmeln. Damit ist nachgewiesen, dass das Resultat 5 alle gestellten Bedingungen erfüllt. Uwe besaß vor dem ersten Spiel 5 Murmeln. 23

24 7) Bezeichnet man die Telefonnummer mit x, dann folgt aus der Aufgabenstellung unmittelbar (a) z = abcde mit a,b,c,d,e {2, 3, 5, 7}; (b) c = d, die anderen Ziffern sind paarweise verschieden; (c) a + b + c + d + e = 22. Aus (b) und (c) folgt a + b + 2c + e = 22. Wegen = 7 und 22-7 = 5 folgt hieraus und aus (a), dass c = d = 5 und daher z = ab55e gelten muss. Weiterhin folgt aus (a), dass a,b,e {2, 3, 7} gelten muss. Da es genau (3 2 =) 6 Möglichkeiten gibt, die drei Ziffern a, b und e anzuordnen, folgt: Jens muss höchstens 6 Telefonnummern ausprobieren, um die richtige zu ermitteln. Diese Telefonnummern (der Größe nach geordnet) lauten: 23557, 27553, 32557, 37552, 72553,