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1 Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Dipl.-Ing. Vladislav Nenchev M.Sc. Arne Passon Dipl.-Ing. Thomas Seel Fachgebiet Regelungssysteme Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Technische Universität Berlin Integrierte Lehrveranstaltung Grundlagen der Regelungstechnik Lösungen zur 3. Übung Aufgabe 3. a) MitU(s) = T c (s) undy(s) = T(s) ergeben sichg(s), G(jω), G(jω) db, G(jω) zu G(s) = s+ = s+, w i =. k G(jω) = jω + = +ω +j ω +ω ( ) G(jω) db = lg = lg ( +ω ) +ω G(jω) = arctan( ω) = arctan(ω) Die Berechnung einzelner Punkte von Frequenzgang, Amplitudengang und Phase ergibt G(j) = +j G(j) db = db G(j) = G(jω) = +j G(jω i ) = j G(jω) db lg ω ω i G(jω) = π G(jω i ) db = 3 db G(jω i ) = π 4 Damit ergibt sich das in Abb. gezeigte Bodediagramm und mit Re(G(jω)) > ω [, ) und Im(G(jω)) < ω [, ) die in Abb. gezeigte Ortskurve. Achtung: Um die korrekte Phase zu erhalten, muss vom Ergebnis des arctan noch π abgezogen werden, wenn G(jω) im zweiten oder dritten Quadranten liegt.

2 gain [db] 4 G(s) phase [ ] frequency [rad/s] Abb. : Bode-Diagramm a) Abb. : Ortskurve a) b) MitU(s) = I(s) undy(s) = ϕ(s) ergeben sich G(s), G(jω), G(jω) db, G(jω) zu b G(s) = s(as+) = s(s+), w i = G(jω) = ω +jω = ω ω 4 +ω +j ω ω 4 +ω G(jω) db = lg ω4 +ω = lg(ω4 +ω ) ( ) ( ) ω G(jω) = arctan = arctan ω ω Die Berechnung einzelner Punkte von Frequenzgang, Amplitudengang und Phase ergibt G(jω) = j ω G(jω) = j G(jω i) = j db lgω ω G(jω) db lgω 4 G(jω i ) db = 3 db = lgω = 4lgω ω G(jω) = π G(jω) = π G(jω i) = 3π 4 Damit ergibt sich das in Abb. 3 gezeigte Bodediagramm und mit Re(G(jω)) < ω [, ) und Im(G(jω)) < ω [, ) die in Abb. 4 gezeigte Ortskurve. Achtung: Um die korrekte Phase zu erhalten, muss vom Ergebnis des arctan noch π abgezogen werden, wenn G(jω) im zweiten oder dritten Quadranten liegt.

3 gain [db] phase [ ] frequency [rad/s] Abb. 3: Bode-Diagramm b) G(s) Abb. 4: Ortskurve b) c) Mit U(s) = F(s), Y(s) = Y(s) und dem KräftegleichgewichtF(t) = my(t)+b y(t)+ ky(t) ergeben sichg(s), G(jω), G(jω) db, G(jω) zu G(s) = ms +bs+k = s +bs+, w i = G(jω) = ω +bjω = ω ( ω ) +b ω +j bω ( ω ) +b ω G(jω) db = lg ( ω ) +b ω = lg( ω ) +b ω G(jω) = arctan bω ω Die Berechnung einzlner Punkte von Frequenzgang, Amplitudengang und Phase 3 ergibt G(j) = +j G(j) db = db G(j) = G(jω) = +j G(jω i ) = j b G(jω) db lgω 4 = 4lgω G(jω i ) db = lgb G(jω) = π G(jω i ) = π Damit ergibt sich das in Abb. 5 gezeigte Bodediagramm (Man beachte, dass der arctan mitπ periodisch ist!) und mit Re(G(jω)) > ω [,ω i ), Re(G(jω)) < ω (ω i, ) und Im(G(jω)) < ω [, ) die in Abb. 6 gezeigte Ortskurve. 3 Achtung: Um die korrekte Phase zu erhalten, muss vom Ergebnis des arctan noch π abgezogen werden, wenn G(jω) im zweiten oder dritten Quadranten liegt. 3

4 gain [db] 4 6 k =. k = k = phase [ ] frequency [rad/s] Abb. 5: Bode-Diagramm c) Abb. 6: Ortskurve c) Aufgabe 3. Die Lösung erfolgt in vier Schritten, siehe dazu das Handout zum Zeichnen von Bodediagrammen und Nyquist-Ortskurven. Um die Lösung der Aufgabe möglichst anschaulich darzustellen, wurden alle Übertragungsfunktionen durch Faktorisierung in die bekannten Grundfunktionen zerlegt. Der Amplituden- und Phasengang dieser Grundfunktionen wurden dann als Geradenapproximation farbig in ein gemeinsames Bodediagramm geplottet. Die Geradenapproximation der Gesamtübertragungsfunktion ergibt sich durch die additive Überlagerung der Grundfunktionen, diese ist stets schwarz eingezeichnet. Den tatsächlichen Verlauf von Amplituden- und Phasengang der Gesamtübertragungsfunktion können Sie der gestrichelten Kurve entnehmen. Neben den Bodediagrammen ist auch die zugehörige Nyquist-Ortskurve abgebildet. Hinweis: Zum Vergleich mit Ihrer eigenen Lösung sollten Sie auf folgende Punkte achten: Knickfrequenzen ω i Anstiege des Amplitudengangs db db, 4,... dec dec Grenzwerte des Amplitudengangs für ω und ω Phase an der Knickfrequenz ω i Grenzwerte der Phase für ω und ω Beachten Sie außerdem, dass Linien hintereinander liegen können! 4

5 Abb. 7: Bode-Diagramm a) G(s) = s(+s) Abb. 8: Ortskurve a) Abb. 9: Bode-Diagramm b) G(s) = (+s) +s Abb. : Ortskurve b) Abb. : Bode-Diagramm c) G(s) = (.5s) +.5s Abb. : Ortskurve c) 5

6 Abb. 3: Bode-Diagramm d) G(s) = +7s+s +34s+s Abb. 4: Ortskurve d) Abb. 5: Bode-Diagramm e) G(s) = +s s+s Abb. 6: Ortskurve e) Abb. 8: Ortskurve f) Im Re Abb. 7: Bode-Diagramm f) G(s) = 4(+.s) s(.+s) Abb. 9: Zoom f) 6

7 Abb. : Ortskurve g) Im Re Abb. : Bode-Diagramm g) G(s) = s+s +8s+s Abb. : Zoom g) ( Abb. 3: Bode-Diagramm h) G(s) = (+4s) +.5 s+(s ) ) s +s 3 Abb. 4: Ortskurve h) 7

8 Abb. 6: Ortskurve i) Im Re Abb. 5: Bode-Diagramm i) G(s) = (8s+s ) (+s)(4+s+s ) Abb. 7: Zoom i) Abb. 8: Bode-Diagramm j) G(s) = 5(+.s) ( s(+.5s) +.6 s +( s 5 5) ) Abb. 9: Bode-Diagramm k) G(s) = +89s+9s +s 3 (+s+s +s 3 )(.s) 8

9 Abb. 3: Ortskurve j) Abb. 3: Ortskurve k) Im Im Re Abb. 3: Zoom j) Re Abb. 33: Zoom k) 9

10 Aufgabe 3.3 Mit den in Tabelle zusammengefassten Merkmalen der Frequenzgänge G i (jω) der zu untersuchenden ÜbertragungsfunktionenG i (s), i {,,3,4,5} G G db ω ω G G db db dec fürω ω i G (s) db db 4 db dec.5 < G (s) db db 4 db dec.5;.5 G 3 (s) db db 4 db dec n.d. 4 G 4 (s) db 6dB db dec.5 n.d. G 5 (s) db db 6 db dec Tabelle : Merkmale der zu untersuchenden Frequenzgänge. ζ i.5;.5; n.d. ergeben sich folgende Zuordnungen: A G = (s+) B G 3 = s(s+) C G 5 = (4s+)(s+)(s+) D G = ( s ) +. s+.5.5 E G 4 = s s+ Aufgabe 3.4 Lösungsansatz: Zeichnen Sie an beliebig vielen Stellen (mindestens aber für ω, ω und einen Zwischenwert) die Tangenten an den Amplitudengang. Berechnen Sie die jeweilige Phase, die zum Anstieg des Amplitudengangs passt und zeichnen Sie diese in das Phasendiagramm ein. Verbinden Sie am Ende alle Punkte zu einer glatten Kurve. Beachten Sie hierbei, dass für minimalphasige Systeme nur positive Knickfrequenzen ω auftreten können. Hinweis: Die hier abgebildeten Bodediagramme stellen keine Geradenapproximationen dar und dienen nur zum qualitativen Vergleich der Ergebnisse. 4 nicht definiert

11 a) Geraden Approximation Phase[ ] Amplitude[db] Frequenz[rad/s] b) Geraden Approximation Phase[ ] Amplitude[db] Frequenz[rad/s] c) Geraden Approximation Phase[ ] Amplitude[db] Frequenz[rad/s]

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