Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 6

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1 Mtr.nr.: Nchnme: Vornme: Grundbegriffe der Informtik Aufgbenbltt 6 Tutorium: Nr. Nme des Tutors: Ausgbe: 2. Dezember 2015 Abgbe: 11. Dezember 2015, 12:30 Uhr im GBI-Briefksten im Untergeschoss von Gebäude Lösungen werden nur korrigiert, wenn sie rechtzeitig, in Ihrer eigenen Hndschrift, mit dieser Seite ls Deckbltt und in der oberen linken Ecke zusmmengeheftet bgegeben werden. Vom Tutor uszufüllen: erreichte Punkte Bltt 6: / 20 (Physik: 20) Blätter 1 6: / 104 (Physik: 101)

2 Aufgbe 6.1 ( ( ) = 14 Punkte) Es sei A ein Alphbet; es sei L die Menge ller formlen Sprchen über A, ds heißt, L = {L L A }; es sei f : L L eine Abbildung derrt, dss für jede formle Sprche S L und jede formle Sprche T L mit S T gilt: f (S) f (T); es seien die formlen Sprchen L n, n N 0, induktiv definiert durch L 0 = {}, für jedes n N 0 : L n+1 = f (L n ); und es sei L die formle Sprche n N 0 L n. ) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dss für jedes n N 0 gilt: L n L n+1. b) Beweisen Sie, dss f (L ) = L gilt. Eine formle Sprche mit dieser Eigenschft nennt mn Fixpunkt von f. Hinweis: Für jede Menge I und lle formlen Sprchen S i A, i I, gilt f ( i I S i ) = i I f (S i ). c) In dieser Teilufgbe sei A = {0, 1} und es sei L {0, 1} ({0, 1} L). (i) Geben Sie L 1, L 2 \ L 1 und L 3 \ L 2 so explizit wie möglich in der Form {... } n. (ii) Geben Sie einen rithmetischen Ausdruck E, in dem ds Symbol n vorkommt und die Sprchen L n, n N 0, nicht vorkommen, so n, dss für jedes n N 0 gilt: L n+1 \ L n = E. (iii) Geben Sie L ohne Bezug uf die formlen Sprchen L n, n N 0, n. (iv) Geben Sie eine kontextfreie Grmmtik G so n, dss die von ihr erzeugte formle Sprche L(G) gleich L ist. d) In dieser Teilufgbe sei A = {0, 1, ;} und es sei L {0, 1} + ({0, 1} + {;} L). Geben Sie eine kontextfreie Grmmtik G so n, dss L(G) = L gilt. e) In dieser Teilufgbe sei A = {(, )} und es sei G = (N, T, S, P) die Grmmtik mit den Nichtterminlsymbolen N = {S}, den Terminlsymbolen T = {(, )} und den Produktionen P = {S ε S(S)}. Geben Sie eine Abbildung f : L L so n, dss L = L(G) gilt.

3 Lösung 6.1 Nebenbei: Jede Abbildung g : A A induziert eine Abbildung f : L L vermöge L g(l) mit der gewünschten Eigenschft. Und für jedes n N 0 gilt L n = f n ({}). Und L = n N 0 f n ({}). Und f (L ) = n N 0 f n+1 ({}). ) Induktionsnfng: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Insbesondere gilt L 0 = {} f ({}) = L 1. Induktionsschritt: Es sei n N 0 derrt, dss L n L n+1. Dnn gilt L n+1 = f (L n ) f (L n+1 ) = L (n+1)+1. Schlussworte: Nch dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Behuptung. b) Es gilt f (L ) = f ( n N 0 L n ) = f (L n ) = L n+1 = n N 0 n N 0 = {} L k = L 0 L k L k = k N 0 L k = L. c) () L 1 \ L 0 = {0, 1}, L 2 \ L 1 = {00, 01, 10, 11}, L 3 \ L 2 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}. (b) E = 2 n+1. (c) L = {0, 1} + oder L = {0, 1} {0, 1} oder L = {w {0, 1} w 1} oder... (d) Die Grmmtik G = (N, T, B, P) mit den Nichtterminlsymbolen {B}, den Terminlsymbolen {0, 1} und den Produktionen {B 0 1 0B 1B} leistet ds Gewünschte. Nebenbei: Für jedes L L gilt f (L) = {0} {1} {0} L {1} L. Entfernt mn us diesem Ausdruck die Symbole {, } und, ersetzt durch, L durch B, = durch und f (L) durch B, so erhält mn die Produktionen in P. d) Die Grmmtik G = (N, T, S, P) mit den Nichtterminlsymbolen {S, B}, den Terminlsymbolen {0, 1, ;} und den Produktionen leistet ds Gewünschte. e) Die Abbildung leistet ds Gewünschte. {S B B;S, B 0 1 0B 1B} L {ε} L {(} L {)},

4 Aufgbe 6.2 (2 + 4 = 6 Punkte) Es sei G = (N, T, S, P) die Grmmtik mit den Nichtterminlsymbolen N = {S, U,, }, den Terminlsymbolen T = {} und den Produktionen P = {S U, U U ε,, } ) Leiten Sie us dem Strtsymbol ds Wort 7 b. Geben Sie dbei jeden Ableitungsschritt n. b) Zeichnen Sie den Ableitungsbum für ds Wort 16. Lösung 6.2 Aus dem Nichtterminlsymbol U sind lle Wörter über T gerder Länge bleitbr. Somit sind us U lle Wörter über T ungerder Länge bleitbr. Aus den Nichtterminlsymbolen und sind lle Wörter über T der Längen x n beziehungsweise q n, n N 0, bleitbr, wobei die nicht-negtiven gnzen Zhlen x n und q n, n N 0, wechselseitig induktiv definiert sind durch für jedes n N 0 : x 0 = 1, q 0 = 1, { xn+1 = q n + 3, q n+1 = 1 + x n + 1. Somit sind us und lle Wörter über T der Längen 1 + x n + 1 beziehungsweise q n + 2, n N 0, bleitbr. Es gelten x 0 = 1, q 0 = 1, x 1 = q = 4, q 1 = 1 + x = 3, x 2 = 6, q 2 = 6, x 3 = 9, q 3 = 8, x 4 = 11, q 4 = 11, x 5 = 14, q 5 = 13. ) D ds Wort ungerde Länge ht knn es über U us S wie folgt bgeleitet werden: S U U U U. b) D ds Wort gerde Länge ht, ist es nicht über U us S bleitbr. D 1 + x = 16 gilt, ist ds Wort über us S bleitbr.

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