Thema 11 Vektorwertige Funktionen, Kurven

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1 Them 11 Vektorwertige Funktionen, Kurven Definition 1 Eine Kurve in R n ist eine stetige Abbildung uf einem Intervll I mit Werten in R n. Wir verwenden den Buchstben c für Kurven und schreiben c = (c 1,...,c n ), wobei c i die Komponenten von c sind. Beispiele. I. Die Kreislinie in R ist die Kurve c(t) = (r cost, r sin t) mit Definitionsbereich [, π]. Hier ist r > der Kreisrdius. II. Eine Gerde in R n ist eine Kurve der Form wobei, b R n, b. III. Die Kurve mit Prmetrisierung heißt eine Schrubenlinie in R 3. c(t) = + tb, c(t) = ( cost, sin t, bt) Definition Flls c : I R n, sgen wir, dß c differenzierbr bzw. stetig differenzierbr ist, wenn ds Gleiche gilt für jedes c i. c = (c 1,...,c n ) ist dnn die Ableitung von c. Ähnlicherweise sgen wir, dß c integrierbr ist, flls dies für jedes c i gilt und setzen dnn ( ) c(t) dt = c 1 (t) dt,..., c n (t) dt. In diesem Zusmmenhng ist folgende Ungleichung wichtig: c(t) dt c(t) dt. ( bezeichnet die Länge eines Vektors us R n ). Beweis. Wir bemerken, dß ds Integrl c(t) dt der Limes der Riemnn-Summen c(ξ k )(t k t k 1 ) ist. Aus der Dreiecksungleichung folgt: c(ξ k )(t k t k 1 ) k k Die rechte Seite ist eine Riemnn-Summe für c(t) dt. k c(ξ k ) (t k t k 1 ). 1

2 Beispiel. Flls c und d diffenzierbr sind, dnn uch die sklre Funktion t (c(t) d(t)), und es gilt: d dt (c(t) d(t)) = (c (t) d(t)) + (c(t) d (t)). (Beweis wie bei der Produktregel in R). Bogenlänge. Sei c : [, b] R n ein Kurve. Mn definiert die Bogenlänge von c wie folgt: Betrchte zunächst eine Unterteilung P und bilde die Summe = t < t 1 < < t n = b L P = n c(t i ) c(t i 1 ). k=1 Die Kurve heißt rektifizierbr (mit der Bogenlänge L), flls zu jedem ǫ > ein δ > existiert, so dß für jede Unterteilung mit mx t i t i 1 < δ gilt L P L < ǫ. Beispiel. Flls die Kurve c stetig-differenzierbr ist (d.h. jede Komponente c i ist stetigdifferenzierbr), dnn ist c rektifizierbr und es gilt: L = c (t) dt. Als konkretes Beispiel berechnet mn sofort, dß die Länge der Kreislinie mit Rdius r gleich πr ist. Der Tngentenvektor. Sei c : I R n eine gltte Kurve. Flls c (t ), dnn heißt t ein regulärer Punkt der Kurve. Sonst ist t ein singulärer Punkt. Z.B. Ist der Ursprung eine Singulrität der Kurve c(t) = (t, t 3 ) (Neilsche Prbel). Die Kurve heißt gltt, flls jedes t [, b] ein regulärer Punkt ist. Flls t ein regulärer Punkt ist, dnn ist T c (t ) = c (t ) c (t ) ein Tngenteneinheitsvektor zur Kurve im Punkt t. Die Gerde t c(t ) + tc (t ) ist dnn die Tngentilgerde zur Kurve n der Stelle t. Flls c und d Kurven sind, so dß c(t ) = d(t 1 ) (d.h. der entsprechende Punkt ist ein Schnittpunkt der Kurven), dnn ist der Schnittwinkel von c und d n dieser Stelle der Winkel θ, wobei cos θ = (c (t ) d (t 1 )) c (t ) d (t 1 ).

3 Definition 3 (Prmetertrnsformtionen.) Seien c : [, b] R n und d : [ 1, b 1 ] R n zwei Kurven. Eine Prmetertrnsformtion zwischen c und d ist eine stetig-differenzierbre, bijektive Abbildung φ : [, b] [ 1, b 1 ] mit φ (t) für jedes t, so dß c = d φ. (Dnn ist φ 1 uch stetig differenzierbr). Flls φ (t) > für jedes t, dnn heißt φ orientierungserhltend, sonst ist φ orientierungsumkehrend. Bemerkung. I. Flls φ orientierungserhltend ist, dnn gilt T c (t) = T d (φ(t)) (t [, b]). (Für orientierungsumkehrende Abbildungen gilt: II. Bogenlänge: Es gilt: L(c) = L(d). T c (t) = T d (φ(t))). Bogenlängenprmetrisierung. Sei c eine gltte stetig-differenzierbre Kurve. Wir schreiben s = φ(t) = t c (u) du. φ ist eine Umprmetrisierung und wir setzen γ = c φ 1. Es gilt lso γ(s) = c(t). γ heißt die Bogenlängenprmetrisierung von c. Für Kurven γ mit Bogenlängenprmetrisierung gilt die einfche Formel T γ (s) = γ (s) für den Tngentenvektor. Kurvenintegrle. Seien 1,..., n stetige Funktionen uf einer Teilmenge U von R n, c eine stetig-differenzierbre Kurve in U. Wir definieren ds Kurvenintegrl der ersten Art c 1(x) dx n (x) dx n ls ds Riemnn-Integrl: [ 1 (c(t))c 1(t) + + n (c(t))c n(t)] dt. (Andere Schreibweise: c X ds, wobei X ds Vektorfeld ( 1,..., n ) ist). Der Integrnd 1 dx n dx n des obigen Integrls heißt eine Pfffsche Differentilform. Wir betrchten solche Formen hier ls formle Ausdrücke, die über Kurven integriert werden. (Physiklische Vernschulichung: Die Differentilform stellt etw ein Krftfeld dr, ds Kurvenintegrl ist die von einem Teilchen geleistete Arbeit, wenn es die Kurve durchläuft für eine subere begriffliche Erklärung siehe die Vorlesung Differentilgeometrie ). Ebene Kurven: Sei c : I = [, b] R eine ebene Kurve. In diesem Spezilfll ist s = t (ċ1 ) + (ċ ) dt 3

4 die Bogenlänge von c, L = (ċ1 ) + (ċ ) dt die Gesmtlänge. Flls (ċ 1 ) + (ċ ) = 1, dnn ht die Kurve Bogenlängenprmetrisierung. Wir benutzen wie oben den Buchstben s für die unbhängige Vrible und γ für die Prmetrisierung. In diesem Fll ist T(s) = (γ 1 (s), γ (s)) der Tngentenvektor zu γ im Punkt s. Es gilt T = 1. Sei N = D πt. N heißt der Normlvektor n γ und (T,N) bildet eine orthogonle Bsis für R (ds begleitende Zweibein). (D π ist der Opertor der Drehung um 9, d.h. D π ((ξ, η)) = ( η, ξ).) Es gibt eine reellvertige Funktion κ, sodß dt ds = κ(s)n(s), dn ds = κ(s)t(s). κ heißt die Krümmung von γ n der Stelle s. ρ = 1 heißt der Krümmungsrdius, κ C = γ(s) + 1 N(s) ds Krümmungszentrum, flls κ (nur definiert, wenn κ(s) ). κ(s) Kurvenintegrle,. Art: Für eine sklrwertige Funktion f definieren wir Bemerkung. c fds = f(c 1 (t), c (t)) ((ċ 1 ) + (ċ ) )dt. I. Fll c eine geschlossene Kurve ohne Durchkreuzungen ist, dnn ist ds Kurvenintegrl 1 (y dx xdy) c der Inhlt der von c eingeschlossenen Fläche. II. Flls X = grdf ds Grdientenfeld einer sklren Funktion f ist (siehe Kpitel 3), dnn gilt X ds = f(b) f() c wobei, b die Endpunkte von c sind. In diesem Flls ist ds Kurvenintegrl wegunbhängig. Dies ist der Fll, wenn X 1 y = X (flls der Definitionsbereich von x X keine Löcher ht). Beispiel. Berechne c X 1 dx + X dy wobei X(x, y) = (y, sinx), c die Kurve t (t, t ) (t [, 1]) X(x, y) = (x + y, x y), c die Kurve t (cost, sin t) (t [, π]). (1) Ds Integrl = (t 1 + ( sin t) t)dt = (t t sin t)dt 4

5 () Ds Integrl = π ((cost + sin t)( sin t) + (cost sin t) cost)dt = π (cos t sin t)dt. Rumkurven: Sei c(t) = (c 1 (t), c (t), c 3 (t)) eine Kurve in R 3. Wiederum definieren wir s = L = t (ċ1 ) + (ċ ) + (ċ 3 ) dt (ċ1 ) + (ċ ) + (ċ 3 ) dt. c ht Bogenlängenprmetrisierung, flls ds dt = 1 ds heißt (ċ 1 ) + (ċ ) + (ċ 3 ) = 1. Dnn gilt: T(s) = γ (s) ist ein Einheitsvektor der Tngentenvektor. N(s) = T (s) ist der Normlvektor T (s) B(s) = T(s) N(s) ist die Binormle. Stz 4 Es gibt eine positive Funktion κ und eine reelle Funktion τ, sodß T = κn N = κt + τb B = τn. κ(s) heißt die Krümmung von c, τ(s) die Windung, ρ = 1 ist der Krümmungsrdius, κ C = c(s) + ρ(s)n(s) ds Krümmungszentrum (τ ist ein Mß für die Abweichung der Kurve von der Ebene, der Schmiegebene, die von T,N ufgespnnt wird). Beispiel. Die Schrubenlinie c(t) = 1 (cost, sin t, t). Es gilt: (ċ 1 ) + (ċ ) + (ċ 3 ) = 1 d.h. die Kurve ht Bogenlängenprmetrisierung: T(s) = ċ(s) = 1 (sin s, coss, 1) T (s) = 1 (coss, sin s, ) N(s) = (coss, sin s, ) B(s) = N(s) T(s) = 1 (sin s, coss, 1). Aus T (s) = κ(s)n(s) sieht mn, dß κ(s) = 1. Aus B (s) = τ(s)n(s) und N (s) = 1 (coss, sin s, ) sieht mn, dß τ(s) = 1. 5

6 Für eine llgemeine Kurve c(t) = (c 1 (t), c (t), c 3 (t)), d.h. nicht notwendigerweise mit Bogenlängenprmetrisierung, gilt T = ċ ċ, B = ċ c ċ c κ = N = B N ċ c ċ 3 τ = [ċ, c,... c ] ċ c Beispiel. Für c(t) = (1 + t, t, t 3 ) gilt Dher gilt: ċ = (t, 1, 3t ), c = (,, 6t),... c = (,, 6) ċ c = ( 6t, 6t, ), [ċ, c,... c ] = 1. κ = (36t + 36t 4 + 4) 1 (4t t 4 ) 3 1 τ = (4t t 4 ) 3 T = B = (t, 1, 3t ) (4t t 4 ) 1 16t, 6t, ) 36t + 36t 4 + 9t 4 ) 1 N = ( 18t4 +, 4t 18t 3, 6t + 1t 3 ). (4t t 4 ) (36t t 4 + 4) 1 Beispiel. Die Kugeloberfläche x + y + z = R entspricht dem Würfel c(s, t) = (R sin s cost, R sin s sin t, R coss) ( s π, t π). Die Kugeloberfläche besitzt keinen Rnd (genuer, der Rnd ist gewissermßen trivil). Der Zylinder x + y = r, z h entspricht dem Würfel c(s, t) = (r coss, r sin s, t) s π, t h. Der Rnd des Zylinders besteht us den Kreisen und (mit geeigneter Orientierung). s (r cos s, r sin s, ) s (r coss, r sin s, h) k-würfel, Ketten: Wir können den Begriff einer Kurve wie folgt verllgemeineren: 6

7 Definition 5 Ein k-würfel in R n ist eine gltte (etw stetig-differenzierbre) Abbildung c : [, 1] k R n. Eine Kette von k-würfeln ist eine formle Kombintion n 1 c n r c r von k-würfeln, wobei die Koeffizienten n i gnze Zhlen sind. Flls c ein k-würfel ist, dnn ist der Rnd c von c die k 1-Kette k 1 ( o i c i u c), i=1 wobei bzw. i o c : (t 1,...,t k 1 ) c(t,...,t i 1, 1, t i+1,...,t k ) i uc : (t 1,..., t k 1 ) c(t,..., t i 1,, t i+1,...,t k ). Beispiele von Kurvenintegrlen us der Physik: 1. Art: Q = (c C V dt + RT dv ) wobei V Q = Wärmemenge eines idelen Gses V = Volumen c V = spezifische Wärme (V konst.) R = Gskonstnte. Art: T = ds wobei T die Zeit, die ein Lichtstrhl benötigt, um die Kurve C zu C c(x,y) durchlufen, und c(x, y) die Lichtgeschwindigkeit im Punkt (x, y) eines (inhomogenen) Mediums ist. Beispiele. Berechne C X 1 dx + X dy wobei ) X(x, y) = (y, sinx), C die Kurve φ(t) = (t, t ) (t [, 1]) b) X(x, y) = (x + y, x y), C die Kurve φ(t) = (cost, sin t) (t [, π]). ) Ds Integrl = b) Ds Integrl = π (t 1 + ( sin t) t)dt = (t t sin t)dt ((cost + sin t)( sin t) + (cost sin t) cost) dt = π (cos t sin t) dt. 7

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