Kinematik des Massenpunktes

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1 Technische Mechanik II Kinematik des Massenpunktes Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010

2 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes Eindimensionale Punktbewegung Ebene Punktbewegung - Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor - Bewegung auf kreisförmiger Bahn - Darstellung in Polarkoordinaten Räumliche Punktbewegung - Frenet-Serret-Gleichungen - Darstellung in Zylinderkoordinaten 2. Kinematik des starren Körpers 3. Kinetik des Massenpunktes 4. Kinetik des starren Körpers 5. Stossprobleme Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 2/23

3 Eindimensionale Punktbewegung 1/10 Grundlegende Begriffe Kinematik Lehre von der geometrischen und analytischen Beschreibung der Bewegungszustände von Körpern Bewegung Zeitliche Ortsänderung eines Körpers relativ zu einem Bezugssystem Massenpunkt Idealisierung eines realen Körpers, nach der die gesamte Masse des Körpers in einem Punkt vereinigt ist Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 3/23

4 Eindimensionale Punktbewegung 2/10 Grundlegende Begriffe (Forts.) Bahnkuve Ortsraumkurve, entlang der sich ein Massenpunkt bzw. der Schwerpunkt eines Körpers bewegt y z Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 4/23

5 Eindimensionale Punktbewegung 3/10 Grundlegende Begriffe (Forts.) s-t-diagramm Grafische Darstellung des zurückgelegten Weges als Funktion der Zeit: s = s(t) s [m] s [m] s t s s t s t t [s] Gleichförmige Bewegung t t [s] Ungleichförmige Bewegung Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 5/23

6 Eindimensionale Punktbewegung 4/10 Grundlegende Begriffe (Forts.) s [m] s t t [s] Durchschnittsgeschwindigkeit v = s t Augenblicksgeschwindigkeit s(t 0 + t) s 0 v(t 0 ) = lim t 0 t }{{} = ds dt t=t0 Geschwindigkeit Differentialquotient des Weges nach der Zeit: v = ds dt Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 6/23

7 Eindimensionale Punktbewegung 5/10 Grundlegende Begriffe (Forts.) v-t-diagramm Grafische Darstellung der Geschwindigkeit eines bewegten Objekts als Funktion der Zeit: v = v(t) v [ ] m s v [ ] m s t v t [s] Gleichförmige Bewegung t v t [s] Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 7/23

8 Eindimensionale Punktbewegung 6/10 Grundlegende Begriffe (Forts.) v [ ] m s t v t [s] Durchschnittsbeschleunigung ā = v t Augenblicksbeschleunigung v(t 0 + t) v 0 a(t 0 ) = lim t 0 t }{{} = dv dt t=t0 Beschleunigung Differentialquotient der Geschwindigkeit nach der Zeit: a = dv dt Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 8/23

9 Eindimensionale Punktbewegung 7/10 Grundaufgaben Grundaufgabe der geradlinigen Bewegung Berechnung der zwei verbleibenden Größen, wenn eine der vier Größen t, s, v, a als Funktion einer der anderen Größen gegeben ist Definitionsgleichungen v = ds dt, a = dv dt Kombinationsmöglichkeiten t s v a t t(s) t(v) t(a) s s(t) s(v) s(a) v v(t) v(s) v(a) a a(t) a(s) a(v) Es gibt insgesamt 12 Grundaufgaben! Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 9/23

10 Eindimensionale Punktbewegung 8/10 Grundaufgaben (Forts.) Fall I: Ort, Geschwindigkeit oder Beschleunigung als Funktion der Zeit: s(t), v(t) oder a(t) s(t) d dt ( ) v(t) = ds dt d dt ( ) a(t) = dv dt = d2 s dt 2 s(t)=s 0 + v( t) d t ( )d t v(t) d dt ( ) a(t) = dv dt s(t)=s 0 + v( t) d t ( )d t v(t)=v 0 + a( t) d t ( )d t a(t) Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 10/23

11 Eindimensionale Punktbewegung 9/10 Grundaufgaben (Forts.) Fall II: Geschwindigkeit als Funktion des Ortes: v(s) t(s)=t v( s) d s ( )d s v(s) d ds ( )ds dt a(s) =v dv ds Fall III: Beschleunigung als Funktion des Ortes: a(s) t(s)=t v( s) d s ( )d s v(s)= v a( s) d s ( )d s a(s) Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 11/23

12 Eindimensionale Punktbewegung 10/10 Grundaufgaben (Forts.) Fall IV: Beschleunigung als Funktion der Geschwindigkeit: a(v) s(v)=s 0 + v a( v) d v ( )d v ( )d v a(v) t(v)=t a( v) d v Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 12/23

13 Ebene Punktbewegung 1/9 Ortsvektor Gewähltes Bezugssystem Rechthändiges kartesisches Koordinatensystem (raumfest) Darstellungsmöglichkeiten y r p (t) = p (t) e + y p (t) e y r p (t) = [ p (t) y p (t) ] y p e y r p Bahnkurve e Länge/ Betrag des Ortsvektors: r p = r p = 2 p + yp 2 p Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 13/23

14 Ebene Punktbewegung 2/9 Geschwindigkeitsvektor Punktbewegung von 1 nach 2 y [ ] 2 Sehnenvektor: r = 1 y 2 y 1 Geschwindigkeit mittlere: v = r t = 2 1 t 2 t 1 y 2 y 1 t 2 t 1 r aktuelle: v = lim t 0 t = dr dt = y 1 2 e y d dt dy dt 1 r s r 1 r 2 1 e 2 2 Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 14/23

15 Ebene Punktbewegung 3/9 Geschwindigkeitsvektor (Forts.) Ortsvektor als Fkt. der Bogenlänge: r(t) = r(s(t)) Grenzwert des Vektorbetrags: v(t) = dr dt = dr ds ds dt? Bahngeschwindigkeit lim r 2 1 s = dr ds = 1 Tangenteneinheitsvektor: e t = dr ds Der Geschwindigkeitsvektor liegt tangential zur Bahn und sein Betrag ist gleich dem Betrag der Bahngeschwindigkeit: v = v e t Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 15/23

16 Ebene Punktbewegung 4/9 Beschleunigungsvektor Komponenten-Schreibweise: a = dv dt = d2 r dt 2 = Alternative Darstellung: a = v de t dt + dv dt e t d 2 dt 2 d 2 y dt 2? Bahn-/ Tangentialbeschleunigung Tangentenvektor als Fkt. der Bogenlänge: e t (t) = e t (s(t)) v de t dt = de v2 t ds Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 16/23

17 Ebene Punktbewegung 5/9 Beschleunigungsvektor (Forts.) ϕ 1 e t1 e t 1 ϕ Grenzübergang: e t2 e t y e y lim e t 2 1 s = de t ds = 1 1 O ϕ O s ϕ Bahnkurve s e t2 2 e t1 Krümmungsradius e Orientierung in Richtung der Bahnnormalen Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 17/23

18 Ebene Punktbewegung 6/9 Beschleunigungsvektor (Forts.) Darstellung in kartesischen und natürlichen Koordinaten y y P a P O a e n an O a e t at e y a y e a = a + a y a = a n + a t = v2 en + dv dt e t Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 18/23

19 Ebene Punktbewegung 7/9 Bewegung auf kreisförmiger Bahn Bogenlänge (r = const) s(t) = rϕ(t) y e t Bahngeschwindigkeit v(t) = r ϕ Tangentialbeschleunigung a t (t) = r ϕ Normalbeschleunigung a n (t) = v2 (t) r O ϕ r e n P s Winkelgeschwindigkeit: ω = dϕ dt = ϕ Winkelbeschleunigung: α = d2 ϕ dt 2 = ϕ Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 19/23

20 Ebene Punktbewegung 8/9 Bewegung auf kreisförmiger Bahn (Forts.) Position [ cos ϕ r = r sin ϕ [ sinϕ Geschwindigkeit v = rω cos ϕ [ sinϕ Beschleunigung a = rα Winkelgeschwindigkeitsvektor ] ] ω ] [ + rω 2 cos ϕ sinϕ cos ϕ } {{ e t } } {{ e n } Vektor, dessen Betrag der Winkelgeschwindigkeit entspricht und der parallel zur Drehachse und senkrecht zu Bahnebene gerichtet ist, so dass gilt: v = ω r z ϕ ] r v y Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 20/23

21 Ebene Punktbewegung 9/9 Darstellung in Polarkoordinaten Kartesische Koordinaten, y Polarkoordinaten r, ϕ [ ] cos ϕ Basisvektoren e r = sin ϕ [ ] sinϕ e ϕ = cos ϕ Position r = r e r e ϕ y e r ϕ a ϕ a v ϕ r v a r v r Geschwindigkeit v = ṙ e r + r ϕe ϕ Beschleunigung a = ( r r ϕ 2 )e r + (r ϕ + 2ṙ ϕ)e ϕ Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 21/23

22 Räumliche Punktbewegung 1/2 e b Frenet-Serret-Gleichungen Raumkurve mit natürlichem Koordinatensystem e t e n r z Tangenteneinheitsvektor e t = dr ds Normaleneinheitsvektor e n = 1 κ de t ds y Binormaleneinheitsvektor e b = e t e n de t ds = κe n de n ds = τ e b κe t de b ds = τ e n Krümmung κ = Torsion τ = de t ds de b ds Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 22/23

23 Räumliche Punktbewegung 2/2 Darstellung in Zylinderkoordinaten Kartesische Koordinaten, y, z P Zylinderkoordinaten ρ, ϕ, z cos ϕ Basisvektoren e ρ = sinϕ, e z = 0 sinϕ e ϕ = cos ϕ 0 Position r = ρ e ρ + z e z z ρ r ϕ e ρ z e z y e ϕ Geschwindigkeit v = ρ e ρ + ρ ϕe ϕ + ż e z Beschleunigung a = ( ρ ρ ϕ 2 )e ρ + (ρ ϕ + 2 ρ ϕ)e ϕ + z e z Prof. Dr. U. Zwiers BTM2 23/23