TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN"

Transkript

1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester 2004) Lösungen zu Aufgabenblatt 4 (7. Mai 2004) Präsenzaufgaben Aufgabe 20. Das Supremum ist nicht immer das Maximum. Welche der folgenden Mengen sind beschränkt, bzw. besitzen ein Maximum? Bestimmen Sie gegebenenfalls das Supremum bzw. das Maximum. M = { n n N\{0}} M 2 = { n i=0 M 3 = { n i= 2 i n N} i n N\{0}} M 4 = {sin(n π 3 ) n N} M 5 = {cos(n) 2 n N\{0}} Zur Wiederholung: Gegeben sei eine Menge M R. x R heißt obere Schranke von M, wenn für alle y M y x gilt, kurz M x. x R heißt Maximum von M, wenn x obere Schranke von M ist und x M. In diesem Fall ist x eindeutig und man schreibt x = max(m). x R heißt kleinste obere Schranke (Supremum) von M, wenn M eine obere Schranke besitzt, und x y für jede obere Schranke y von M gilt. In diesem Fall ist x eindeutig und man schreibt x = sup(m)..) M = { n n N\{0}} Die Menge M hat eine obere Schranke, zum Beispiel ist 0 eine obere Schranke oder 5 oder. Für die Menge M ist die kleinste obere Schranke. Da die ein Element von M ist, besitzt die Menge M auch ein Maximum, nämlich. 2.) M 2 = { n i=0 2 i n N} Es ist m 0 = = 2, m = + 2 = 2 2, m 2 = = 2 4, m 3 = = 2 8, usw. Obwohl jedes Mengenelement größer als das vorangegangene ist, ist die Menge nach oben beschränkt. Es gilt nämlich m n = 2 2 (Induktion!). n Offensichtlich ist m n < 2 für alle n N, dass heißt 2 ist obere Schranke von M 2. 2 ist sogar die kleinste obere Schranke M 2, also sup(m 2 ) = 2. Um das zu sehen, nehmen wir an y < 2 sei obere Schranke von M 2. Wählt man n großgenug, nämlich so, dass 2 n > /(2 y) ist, ergibt sich m n > y. Widerspruch! Da die Zahl 2 selbst kein Element der Menge M 2 ist, besitzt die Menge M 2 kein Maximum. 3.) M 3 = { n i= i n N\{0}} Die Menge M 3 besitzt keine obere Schranke und damit auch kein Maximum. Um dieses einzusehen, betrachten wir ein Element m N der Menge M 3 für ein sehr großes N N. Es gilt dann: m N = + + }{{} }{{ 4 } }{{ 8 } N >2 4 = 2 >4 8 = 2 Wir können also immer Gruppen von Summanden zu einer Zahl > 2 zusammenfassen. Da N N beliebig ist, können die Elemente aus M 3 beliebig großwerden. 4.) M 4 = {sin(n π 3 ) n N} Da für alle x R für den Wert von sin(x) immer sin(x) gilt, besitzt die Menge M 4 eine obere Schranke, zum Beispiel ist 3 7 eine obere Schranke oder 2 oder. Da sin(x) 2π periodisch ist, ist M 4

2 eine endliche Menge, M 4 = {sin(0), sin( π 3 ), sin( 2π 3 ), sin(π), sin( 4π 3 ), sin( 5π 3 )} = {0, 3 2, 3 2 }. Somit ist max(m 4 ) = sup(m 4 ) = ) M 5 = {cos(n) 2 n N\{0}} Für alle x R ist 0 cos(x) 2. M 5 besitzt also eine obere Schranke, nämlich z.b.. Die ist nicht in M 5 enthalten, da π irrational ist, und deswegen keine positive natürliche Zahl ein ganzzahliges Vielfaches von π sein kann. ist sogar kleinste obere Schranke von M 5 und damit besitzt M 5 kein Maximum. Das zu zeigen ist nicht ganz leicht, und übersteigt unsere bisherigen Möglichkeiten. Anmerkung für Interessierte: Auf elementare Weise kann man das zeigen in dem man zunächst benutzt, dass cos(x) x 2 ist. Wenn also n N nahe bei einem ganzzahligen Vielfachen von π liegt, dann ist auch cos(n) 2 nahe bei der ( Stetigkeit des Cosinus ). Dann braucht man noch einen Algorithmus um ganzzahlige Vielfache von π zu finden, die beliebig genau wieder fast ganzzahlig sind, wie zum Beispiel 7π 2.99, (3 7)π , ( )π ,.... Wie man diese Folge fortsetzt, findet man zum Beispiel auf der Seite Enjas/sequences/index.html, wenn man in die Suchmaske 7, 3, 4739 eingibt. Aufgabe 2. Wurzel Drei. Zeigen Sie, dass 3 keine rationale Zahl ist: 3 Q. Angenommen 3 ist eine rationale Zahl. Dann gibt es natürliche Zahlen a, b N, so daß ( ) a 2 b = 3 ist. Durch vollständiges Kürzen können wir a und b so wählen, dass ggt(a, b) =, d.h. in der (eindeutigen) Primfaktorzerlegung von a und b kommt keine Primzahl sowohl bei a als auch bei b vor. Aus ( ) a 2 b = 3 folgt a 2 = 3b 2 und somit muss a die 3 als Primfaktor enthalten, d.h. 3 teilt den Zähler a. Damit läßt sich a schreiben als a = 3n für eine Zahl n N und es ist a 2 = 3 2 n 2 = 3b 2, und weiter 3n 2 = b 2, was wiederum bedeutet, daß 3 ein Teiler von b ist. Damit ist gezeigt, dass ggt(a, b) 3, im Widerspruch zur Annahme dass ggt(a, b) =. Also gibt es keine solchen Zahlen a und b mit ( ) a 2 b = 3 und somit ist 3 keine rationale Zahl. Aufgabe 22. Konvergenz I Gegeben sei die prädikatenlogische Formel F, die die Variablen a, ε, N und n benutzt, F = a ε N n (Pos(ε) Nat(N) Leq(N, n)) Leq (dist(f(n), a), ε). Welche der folgenden Strukturen sind Modelle von F? Begründen Sie ihre Antwort!.) Universum U = R, Prädikate Pos(x) = (x > 0), Nat(x) = (x N), Leq(x, y) = (x y), die zweistellige Funktion dist(x, y) = x y und die Funktion { 0 falls x = 0, f(x) = sonst. 2.) Wie bei Teilaufgabe.), nur mit f(x) = x 2. x 2 Die prädikatenlogische Formel F soll beschreiben, dass eine Folge (hier eine Funktion) einen Grenzwert für große Argumente hat. Die übliche Schreibweise lautet folgendermassen: Eine Folge f hat genau dann einen Grenzwert (nämlich den Grenzwert a), wenn gilt was auch mit lim f(n) = a abgekürzt wird. n a R ε > 0 N N n N : f(n) a ε..) Dies ist ein Modell von F. Wähle für a = 0 und für N = N(ε) = ε, d.h. N ist die kleinste ganze Zahl, die größer-gleich ε ist. Insbesondere ist N. Nun ist N ε und für alle n N gilt f(n) 0 = n 2 0 = n 2 N 2 N ε. Man sagt, f(x) konvergiert gegen den Grenzwert 0 wenn x gegen undendlich strebt.

3 2.) Dies ist kein Modell von F. Angenommen es gäbe ein a, so daß es für alle ε > 0 ein N = N(ε) N gibt, so daß für alle n N die Ungleichung f(n) a = n 2 a ε erfüllt ist. Sei ε =. Setze n = max{n(), +a, 2}. Dann ist insbesondere n a und nach Annahme gilt f(n) a = n 2 a = n 2 a. Also ist n 2 + a, was nicht sein kann, da ja schon n + a und n 2 ist. Somit hat f(x) keinen Grenzwert wenn x gegen Unendlich strebt. Hausaufgaben Aufgabe 23. Konvergenz II Gegeben sei die prädikatenlogische Formel F, die die Variablen a, ε, N und n benutzt, F = a ε N n (Pos(ε) Nat(N) Leq(N, n)) Leq (dist(f(n), a), ε). Istdie folgende Struktur ein Modell von F? Begründen Sie ihre Antwort! Universum: U = R, Prädikate: Pos(x) = (x > 0), Nat(x) = (x N), Leq(x, y) = (x y), die zweistellige Funktion dist(x, y) = x y und die Funktion f(x) = 3x2 + 5x + 5 x 2 für x 0 und f(0) = 0. Wie in Aufgabe 22 beschreibt die prädikatenlogische Formel F, dass eine Folge (bzw. eine Funktion) einen Grenzwert für grosse Argumente besitzt. Vertrauter ist also vielleicht die folgende Formulierung: Eine Folge f hat genau dann einen Grenzwert (nämlich den Grenzwert a), wenn gilt a R ε > 0 N N n N : f(n) a ε. Dies ist ein Modell von F. Denn für a = 3, und für gegebenes ε > 0 wähle N = N(ε) N mit N(ε) > 0 ε. Dann ist für alle n N(ε) 3n 2 + 5n + 5 n 2 3 = n + 5 n 2 3 = 5 n + 5 n 2 5 n + 5 n = 0 n 0 N(ε) ε. Somit hat f(x) den Grenzwert 3 wenn x gegen Unendlich strebt, lim f(x) = 3. x Aufgabe 24. n+ Induktionen. Weisen Sie folgende Ungleichungen mit Hilfe vollständiger Induktion nach:.) Für alle n N, n 3 gilt n 2 2 n. 2.) Für alle n N, n 2 gilt n! 2 n, wobei n! = n..) a.) Wir zeigen zunächst (auch mit Hilfe von vollständiger Induktion), dass für alle n N mit n immer 2 n n gilt. Induktionsanfang: n = : = = 4 wahre Aussage Induktionsschritt n n + Induktionsvoraussetzung: Für alle n N, n gilt 2 n n. 2 n+ + 2 = 2 2 n n + 4 = 2 (2 n + 2) I.V. 2 (2 n+ ) b.) Wir zeigen nun (wieder mit Hilfe von vollständiger Induktion), dass für alle n N mit n 3 immer 2n + 2 n gilt. Induktionsanfang: n = 3 : = = 8 wahre Aussage Induktionsschritt n n + Induktionsvoraussetzung: Für alle n N, n 3 gilt 2n + 2 n.

4 2(n + ) + = 2n I.V. 2 n + 2 s.o. 2 2 n = 2 n+ c.) Nun zum eigentlichen Beweis: Induktionsanfang: n = 0 : 0 2 = = wahre Aussage n = : 2 = 2 = 2 wahre Aussage n = 2 : 2 2 = = 4 wahre Aussage n = 4 : 4 2 = = 6 wahre Aussage Induktionsschritt n n + 2.) Induktionsanfang: Induktionsvoraussetzung: Für alle n N, n 4 gilt n 2 2 n. (n + ) 2 = n 2 + 2n + I.V. 2 n + 2n + s.o. 2 n + 2 n 2 2 n = 2 2 n = 2 n+ n = 2 : 2! = 2 2 = 2 wahre Aussage Induktionsschritt n n + Induktionsvoraussetzung: Für alle n N, n 2 gilt n! 2 n. (n + )! = (n + ) n! I.V. (n + ) 2 n 2 2 n = 2 n Aufgabe 25. Das NEWTON-Verfahren. Gegeben sei die rekursiv definierte Folge x 0 = 000, x n = ( x n + 9 ), n N \ {0}. 2 x n.) Bestimmen Sie heuristisch (z.b. mit einem Rechner) den Grenzwert dieser Folge. 2.) Was passiert, wenn x 0 = 000 ist? 3.) Verändern sie die Rekursionsformel so, dass die Folge gegen a R konvergiert..) Das Maple-Programm Digits := 50: x := 000.0: for i from to 20 do x := /2*(x+9/x); printf("x%d = %.50f\n",i,x); end do: liefert x = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = x 9 = x0 = x = x2 = x3 =

5 x4 = x5 = x6 = x7 = x8 = x9 = x20 = Also ist die naheliegende Vermutung, dass die Folge den Grenzwert 3 besitzt. Es ist nämlich z.b. x n+ = 3, wenn x n = 3 ist. 2.) Hier ist der Grenzwert der Folge wohl 3. 3.) Es seien a R, b R\{0}, gegeben. Dann konvergiert die rekursiv definierte Folge x 0 = b, x n = (x n + a2 2 x n ), n N. gegen a, wenn a und b dasselbe Vorzeichen besitzen und gegen a, wenn sie ungleiches Vorzeichen haben. Wenn a = 0 ist, ist das Vorzeichen von b irrelevant.

6 Aufgabe 26. Der schiefe Turm von Babel. Snoopy hat sehr viele Karten von seinen Fans bekommen. Sein Stapel ist schon sehr eindrucksvoll! Snoopy könnte seinen Stapel aber noch viel effektvoller gestalten indem er nämlich seine Karten so stapeln würde, dass sein Turm zwar dieselbe Höhe behalten, aber viel breiter sein würde. Ist das möglich? Um diese Frage zu beantworten, gehen wir einmal davon aus, dass jeder Brief die gleichen Maße hat, gleich dick und gleich schwer ist und sein Schwerpunkt jeweils in der Mitte liegt. Unser Stapel soll nun nur einen linksseitigen Überhang erhalten, d. h. wir können uns den Stapel in einer Skizze wie folgt vorstellen: Sei nun B der oberste und B n (im Beispiel ist n = 5) der unterste Brief. Ferner bezeichne d i den Abstand des linken Randes des obersten Briefes zum linken Rand des i-ten Briefes. Angenommen, wir hätten beliebig viele Briefe. Können wir dann den oben skizzierten Stapel beliebig in die Breite wachsen lassen, ohne dass er umfällt? Wenn wir Sie schon so fragen, ist das wahrscheinlich sehr gut möglich, aber warum? Berücksichtigen Sie bei Ihren Überlegungen noch den Schwerpunkt eines Stapels von n Briefen. Wie muss der Schwerpunkt von einem Stapel von n Briefen auf einem n-ten Brief liegen, damit der Stapel nicht umkippt? Jeder Brief habe eine Länge von b cm. Dann beträgt die kürzeste Entfernung vom linken Rand jedes Briefes zu seinem Schwerpunkt S gerade s = b 2 cm. Der Schwerpunkt eines Stapels von n Briefen gleichen Gewichts mit Schwerpunkten jeweils an den Positionen p, p 2,..., p n liegt an der Position P n := p + p p n. n Wie in der Skizze angedeutet sei d i der Abstand des linken Randes vom obersten (ersten) Brief zum linken Rand des i-ten Briefes. Dann liegt der Schwerpunkt des ersten Briefes an der Position p = s = b 2, der Schwerpunkt des zweiten Briefes an der Position p 2 = d 2 + s, der Schwerpunkt des dritten Briefes an der Position p 3 = d 3 + s, usw. Allgemein liegt also der Schwerpunkt des n-ten Briefes an der Position p n = d n + s.

7 Nach obiger Formel liegt damit der Schwerpunkt S n eines Stapels von n Breifen an der Stelle P n := n (p + p p n ) = n (s + (d 2 + s) + (d 3 + s) + + (d n + s)) = n (d 2 + d d n + n s). Damit nun ein Stapel von n + Briefen nicht umkippt, muss der Schwerpunkt S n der ersten n Briefe vertikal auf dem (n + )-ten Brief liegen, d. h. für alle n N muss gelten Dies lässt sich umformen zu der Bedingung P n = n (d 2 + d d n + n s) d n+. n s + d 2 + d d n n d n+. Wir können davon aussgehen, dass wir im Grenzfall die Abstände d i maximal wählen können. Genaugenommen ist bei der Wahl aller Grenzfälle der Stapel weder stabil, noch kippt er tatsächlich um. Er ist in einer Art schwebendem Zustand. In der Praxis (und mit einer sehr ruhigen Hand) können wir aber die Briefe immer mit etwas weniger als dem maximalen Überhang stapeln - insofern ist es also durchaus erlaubt, an dieser Stelle wirklich den Grenzfall zu betrachten. Im Grenzfall gilt also: (n s + d 2 + d d n ) = n d n+. Subtrahieren wir nun von dieser Gleichung die im Grenzfall ebenfalls gültige Gleichung ((n ) s + d 2 + d d n ) = (n ) d n, so erhalten wir was sich weiter umformen lässt zu s + d n = n d n+ (n )d n, d n+ = d n + s n. Durch rekursives Einsetzen und mit d 2 = s erhalten wir d n+ = s + s 2 + s s n = s( n ) Die letzte Gleichung beschreibt eine Folge von Zahlen, die der Menge M 3 aus Aufgabe 20 sehr ähnlich ist. Wir hatten in Aufgabe 20 gesehen, dass die Menge M 3 keine obere Schranke besitzt. Durch die Multiplikation jedes Mengenelmentes mit einer Zahl s R, s > 0, ändert sich diese Eigenschaft nicht. Für unseren Stapel bedeutet dies, dass der Überhang beliebig gross werden kann, ohne dass der Stapel umkippt - sofern wir beliebig viele Briefe zur Verfügung haben. Ob Snoopy das gewusst hat?

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufgabe 45. Polynome sind stets stetig. Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker II Sommersemester 2004) Lösungen zu Aufgabenblatt

Mehr

A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung )

A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung ) Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien W. Auzinger WS 05/6 A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E (03.088). Übungstest (FR, 6..05) (mit Lösung ) Aufgabe. a ) Wandeln Sie die periodische Dezimalzahl

Mehr

Dem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff

Dem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff 47 5 Irrationales 5.1 Folgen, Konvergenz und Vollständigkeit Eine Abbildung a : N R definiert eine Folge von reellen Werten a 1 = a(1), a 2 = a(2), a 3 = a(3),... Solche Zahlenfolgen werden uns dazu dienen,

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 2003/2004) Aufgabenblatt 9

Mehr

Hauptsatz der Zahlentheorie.

Hauptsatz der Zahlentheorie. Hauptsatz der Zahlentheorie. Satz: Jede natürliche Zahl n N läßt sich als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben, n = p r 1 1 p r 2 2... p r k k, wobei p j Primzahl und r j N 0 für 1 j k. Beweis: durch

Mehr

Beispiel 27 (Beweis durch Widerspruch) Satz 28 3 ist irrational, d. h. Beweis: Widerspruchsannahme: 3 Q.

Beispiel 27 (Beweis durch Widerspruch) Satz 28 3 ist irrational, d. h. Beweis: Widerspruchsannahme: 3 Q. Beispiel 27 (Beweis durch Widerspruch) Wir nehmen an, dass die zu zeigende Aussage falsch ist und führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Satz 28 3 ist irrational, d. h. 3 / Q. Beweis: Widerspruchsannahme:

Mehr

Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt. Teil 1 von Martin Fabricius. Aufgabe 1

Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt. Teil 1 von Martin Fabricius. Aufgabe 1 Musterlösung zum Weihnahchtsübungsblatt Teil von Martin Fabricius Aufgabe a) Diese Aufgabe kann z. B. durch ausmultiplizieren gelöst werden: (433) 7 = 4 7 3 +3 7 + 7 +3 7 0 = 4 343+3 49+ 7+3 = 37+47+4+3

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/ Aufgabenblatt 6. Januar Präsenzaufgaben

Mehr

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren

Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis

Mehr

b liegt zwischen a und c.

b liegt zwischen a und c. 2 DIE ANORDNUNGSAXIOME 5 (2.4) a, b, c R : (a < b 0 < c) ac < bc Monotoniegesetz der Multiplikation Bezeichnungen a > b : b < a (> wird gelesen: größer als ) a b : a < b oder a = b a b : a > b oder a =

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Lösungen Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Kapitel I: Mengen Aufgabe

Mehr

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen

1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen 1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09

Mehr

Alternativ kann man auch die Differenz a n+1 a n betrachten:

Alternativ kann man auch die Differenz a n+1 a n betrachten: Aufgabe 1 Folgen auf Monotonie und Beschränktheit prüfen. a) Beschränktheit? Die Folge ( ) n N mit = n + ( 1) n ist nach unten beschränkt, denn es gilt n + ( 1) n n 1 1 für alle n N. Allerdings ist die

Mehr

,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5

,...) ist eine Folge, deren Glieder der Null beliebig nahe kommen. (iii) Die Folge a n = ( 1) n + 1 n oder (a n) = (0, 3 2, 2 3, 5 4, 4 5 3 Folgen 3.1 Definition und Beispiele Eine Abbildung a : Æ Ê heißt (reelle) Zahlenfolge. Statt a(n) schreiben wir kürzer a n und bezeichnen die ganze Folge mit (a n ) n Æ oder einfach (a n ), was aber

Mehr

aus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch!

aus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch! Bemerkungen: 1 Die Bedeutung von (und damit ) ist klar. wird oft, vor allem in Beweisen, auch als geschrieben (im Englischen: iff, if and only if). 2 Für zwei boolesche Aussagen A und B ist A B falsch

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen

Konstruktion der reellen Zahlen Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert

Mehr

Vorkurs Mathematik. Übungen Teil IV

Vorkurs Mathematik. Übungen Teil IV Vorkurs Mathematik Herbst 009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil IV. Folgen und die Konstruktion von R Im vorherigen Kapitel haben wir Z und Q über (formale) Lösungsmengen von Gleichungen der Form

Mehr

3 Vom Zählen zur Induktion

3 Vom Zählen zur Induktion 7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,

Mehr

Cauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit

Cauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit Vortrag zum Seminar zur Analysis, 10.05.2010 Michael Engeländer, Jonathan Fell Dieser Vortrag stellt als erstes einige Sätze zu Cauchy-Folgen auf allgemeinen metrischen Räumen vor. Speziell wird auch das

Mehr

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I

Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden

Mehr

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.

a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. 7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Bisher kennen wir bereits folgende Zahlenbereiche: N Natürliche Zahlen Z Ganze Zahlen Q Rationale Zahlen Bei

Mehr

Elementare Beweismethoden

Elementare Beweismethoden Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe

Mehr

Misterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version C)

Misterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version C) Misterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 14..009 (Version C Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen aus der Vorlesung

Mehr

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 2. Jeder Frosch ist glücklich, wenn alle seiner Kinder quaken können.

Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 2. Jeder Frosch ist glücklich, wenn alle seiner Kinder quaken können. Aufgabe 2.1 (3 Punkte) Gegeben sind folgende Aussagen: Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 2 Jeder Frosch ist glücklich, wenn alle seiner Kinder quaken können. Alle grünen Frösche

Mehr

Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:

Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist: Musterlösung Aufgabe a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [, ] R, die folgendermaßen definiert ist: f(x) := { für x R \ Q für x Q f ist offensichtlich beschränkt. Wir zeigen,

Mehr

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker Fachbereich Mathematik PD Dr. P. Ne WS 007/008 6.1.007 8. Übungsblatt zur Mathematik I für Chemiker Zur Erinnerung, die Formel für die Taylorreihe um die Stelle x 0 lautet f(x) n0 f (n) (x 0 ) (x x 0 )

Mehr

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,.

= (n 2 ) 1 (Kurzschreibweise: a n = n 2 ) ergibt die Zahlenfolge 1, 4, 9, 16, 25, 36,. 2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 2.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind (n N; auch

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 1 Hausaufgaben Aufgabe 1.1 Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl WS 008/09 Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge

Mehr

Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 2016/17

Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 2016/17 Blatt Nr. 3 Prof. F. Merkl Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 206/7 Aufgabe Das Guthaben G setzt sich zusammen aus der Summe aller bisherigen Einzahlungen multipliziert mit ( + p) k, wobei

Mehr

Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version A)

Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version A) Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 10.1.009 (Version A) Kennwort: Übungsgruppe: (Sie können ein beliebiges Kennwort wählen, um Ihre Anonymität zu wahren! Da die Probeklausur

Mehr

Lösungen. 1. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker

Lösungen. 1. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker MATHEMATISCHES INSTITUT WS 006/07 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. M. Schottenloher Dr. S. Tappe Version 5.. Lösungen zur. Klausur zur MIA: Analysis I für Mathematiker vom 6..06 Aufgabe. ( + Punkte) a)

Mehr

Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Analysis I. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching March 5, 07 Erinnerung (Euler Formel). e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Die Polarform von z = x + iy C sei Euler Formel z

Mehr

Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen. Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers Teilbarkeit

Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen. Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers Teilbarkeit Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers. 1.2.0 1 Teilbarkeit Einstieg 1.1 Zeige, dass 900 ein Teiler von 10! ist. Tipp: Schreibe 900

Mehr

Brückenkurs Rechentechniken

Brückenkurs Rechentechniken Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige

Mehr

Kapitel 2. Zahlenbereiche

Kapitel 2. Zahlenbereiche Kapitel 2. Zahlenbereiche 2.3. Reelle Zahlen Erweiterung des Zahlenbereichs der natürlichen Zahlen Ganze Zahlen Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} = N {0} N. Rationale Zahlen Q := { m } n m Z, n N. Beachte:

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 21. Januar 2016 Definition 8.1 Eine Menge R zusammen mit zwei binären Operationen

Mehr

HEUTE. Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch

HEUTE. Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch 04.11.05 1 HEUTE 04.11.05 3 Regeln für Programmabnahmen! Wiederholung: Regeln für Übungs- und Programmieraufgaben! Beweistechniken: vollständige Induktion, Widerspruch die Rundungsfunktionen und modulo

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Vollständige Induktion Aktualisiert: 1 Dezember 01 vers 100 Eine der wichtigsten Beweistechniken der Mathematik überhaupt ist die (vollständige) Induktion Wir nehmen

Mehr

Kapitel 2. Zahlenbereiche

Kapitel 2. Zahlenbereiche Kapitel 2. Zahlenbereiche 2.3. Reelle Zahlen Erweiterung des Zahlenbereichs der natürlichen Zahlen Ganze Zahlen Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } = N {0} N. Rationale Zahlen Q := { m n m Z, n N }. Beachte:

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: P. Engel, T. Pfrommer S. Poppitz, Dr. I. Rybak 14. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Sommersemester 009 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 Rationale und reelle Zahlen 2.1 Körper Ein Körper ist eine Struktur der Form à = (K,0,1,+, mit einer Grundmenge K, zwei zweistelligen Operationen + und, für die die Körperaxiome gelten: (K1 (K, 0, +

Mehr

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $

$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $ $Id: stetig.tex,v 1.11 2012/06/26 15:40:18 hk Exp $ 9 Stetigkeit 9.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine der Grundeigenschaften stetiger Funktionen nachgewiesen,

Mehr

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 26 1. Folgen R. Steuding (HS-RM)

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper

Mathematik I. Vorlesung 7. Folgen in einem angeordneten Körper Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 009/010 Mathematik I Vorlesung 7 Folgen in einem angeordneten Körper Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel. Beispiel 7.1. Wir wollen die Quadratwurzel einer natürlichen

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 3/4) Aufgabenblatt (9. Januar

Mehr

f(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0

f(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0 5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] R stetig. Ist f(a) < 0 und f(b) > 0, so existiert ein x 0 ]a, b[ mit f(x 0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis.

Mehr

Lösungen Klausur. k k (n + 1) n. für alle n N. Lösung: IA: Für n = 1 ist 1. k k + (n + 1) n+1. k k = k=1. k=1 kk = 1 1 = 1 2 = 2 1.

Lösungen Klausur. k k (n + 1) n. für alle n N. Lösung: IA: Für n = 1 ist 1. k k + (n + 1) n+1. k k = k=1. k=1 kk = 1 1 = 1 2 = 2 1. Lösungen Klausur Aufgabe (3 Punkte) Zeigen Sie, dass n k k (n + ) n k für alle n N. IA: Für n ist k kk 2 2. IV: Es gilt n k kk (n + ) n für ein n N. IS: Wir haben n+ k k k n k k + (n + ) n+ k IV (n + )

Mehr

Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I

Technische Universität Berlin. Klausur Analysis I SS 2008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis I 4.07.2008 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung

Mehr

Von den rationalen zu den reellen Zahlen

Von den rationalen zu den reellen Zahlen Skript zur Schülerwoche 016, zweiter Tag: Von den rationalen zu den reellen Zahlen Dr. Mira Schedensack 1. September 016 1 Einführung Dieser Vorlesung geht von der Menge der rationalen Zahlen aus und definiert

Mehr

Aufgabe 1 Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N. n(n + 1)(2n + 1) 6. j 2 = gilt.

Aufgabe 1 Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N. n(n + 1)(2n + 1) 6. j 2 = gilt. Aufgabe Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N j 2 j n(n + )(2n + ) gilt. Der Beweis wird mit Hilfe vollständiger Induktion geführt. Wir verifizieren daher zunächst den Induktionsanfang,

Mehr

Höher, Schneller, Weiter!

Höher, Schneller, Weiter! Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Höher, Schneller, Weiter! Das Extremalprinzip Das Extremalprinzip ist eine vielseitig einsetzbare Lösungstechnik für mathematische

Mehr

Lösungen 4.Übungsblatt

Lösungen 4.Übungsblatt Karlsruher Institut für Technology (KIT) WS 2011/2012 Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math.techn. Rainer Mandel Lösungen 4.Übungsblatt Aufgabe 13 (K) Bestimmen Sie sämtliche Häufungswerte

Mehr

Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen

Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Axel Wagner 18. Juli 2009 1 Voraussetzungen Zunächst wollen wir festhalten, was wir als bekannt voraussetzen: Es sei (Q, +, ) der Körper der rationalen

Mehr

5 Grundlagen der Zahlentheorie

5 Grundlagen der Zahlentheorie 5 Grundlagen der Zahlentheorie 1 Primfaktorzerlegung Seienm, n N + := {k N k > 0} Man schreibt n n, gesprochen m teilt n oder m ist ein Teiler von n, wenn es eine positive natürliche Zahl k gibt mit mk

Mehr

Mathematik 1 für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker Wintersemester 07/08 (Winkler) Musterprüfung mit Lösungen

Mathematik 1 für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker Wintersemester 07/08 (Winkler) Musterprüfung mit Lösungen Mathematik für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker Wintersemester 07/08 (Winkler Musterprüfung mit Lösungen. Sei T N. (a Unter welchen beiden Voraussetzungen an T garantiert das Induktionsaxiom (nach

Mehr

(b) Man nennt die Menge M beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.

(b) Man nennt die Menge M beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. 8 Punktmengen Für die Menge M = { 1 n ; n N } ist 1 = max(m), denn 1 M und 1 n 1 für alle n N. Die Menge M besitzt aber kein Minimum, denn zu jeder Zahl x = 1 n M existiert ein y M mit y < x, etwa y =

Mehr

Dezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule

Dezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule Berufsfeldbezogenes Fachseminar - Zahlentheorie Lisa Laudan Prof. Dr. Jürg Kramer Wintersemester 2014/2015 Dezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule 1.1

Mehr

Kapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Kapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion Kapitel 3 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion In Kapitel 1 haben wir den direkten Beweis, den modus ponens, kennen gelernt, der durch die Tautologie ( A (A = B) ) = B gegeben ist Dabei war B eine

Mehr

Kapitel 4 Folgen und Reihen

Kapitel 4 Folgen und Reihen Kapitel 4 Folgen und Reihen Inhalt 4.1 4.1 Konvergenzkriterien für für Folgen 4.2 4.2 Reihen 4.3 4.3 Achilles und und die die Schildkröte Seite 2 4.1 Konvergenzkriterien für Folgen Wiederholung (vgl. (vgl.

Mehr

Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen

Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen Vortrag im Rahmen des Proseminars zur Analysis, 17.03.2006 Albert Zeyer Ziel des Vortrags ist es, die Vollständigkeit auf Basis der Konstruktion von R über die CAUCHY-Folgen zu beweisen und äquivalente

Mehr

Kapitel 1. Grundlegendes

Kapitel 1. Grundlegendes Kapitel 1 Grundlegendes Abschnitt 1.4 Vollständige Induktion Charakterisierung der natürlichen Zahlen Die Menge N 0 = {0, 1, 2, 3,...} der natürlichen Zahlen läßt sich wie folgt charakterisieren: 1. 0

Mehr

1 Theorie der Kettenbrüche II

1 Theorie der Kettenbrüche II Theorie der Kettenbrüche II Vom ersten Vortrag erinnern wir, dass sich jede reelle Zahl α wie folgt darstellen lässt: α = a 0 + a + a 2 + mit a 0 Z und a i N >0 für jedes i Die Kettenbruchdarstellung lässt

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 8 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P13) Primfaktorzerlegungen Die Primfaktorzerlegungen lauten: a) 66 =

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 0/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNSCHE UNVERSTÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF DRDR JÜRGEN RCHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MCHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für nformatiker Wintersemester 23/24 Aufgabenblatt 2 23 Januar 24 Präsenzaufgaben

Mehr

4. Weitere Eigenschaften der reellen Zahlen: Geordnete Körper

4. Weitere Eigenschaften der reellen Zahlen: Geordnete Körper 40 Andreas Gathmann 4. Weitere Eigenschaften der reellen Zahlen: Geordnete Körper Wir haben bisher von den reellen Zahlen nur die Körpereigenschaften, also die Eigenschaften der vier Grundrechenarten ausgenutzt

Mehr

Beispiel: Bestimmung des Werts 3 2 ( 2 1, 4142) Es gilt 3 1,41 = 3 141/100 = , 707. Es gilt 3 1,42 = 3 142/100 = , 759.

Beispiel: Bestimmung des Werts 3 2 ( 2 1, 4142) Es gilt 3 1,41 = 3 141/100 = , 707. Es gilt 3 1,42 = 3 142/100 = , 759. (4) Exponential- und Logarithmusfunktionen Satz Für jedes b > 1 gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion exp b : R R + mit folgenden Eigenschaften. exp b (r) = b r für alle r Q Die Funktion exp b ist

Mehr

Serie 4 2 = 10. ) ist). Dann gilt für alle n n 0

Serie 4 2 = 10. ) ist). Dann gilt für alle n n 0 Serie 4. Aufgabe 336 Punkte) Gegeben seien zwei reelle Zahlenfolgen durch a n : 0 n, n N b n : n n, n N Bestimmen Sie die Grenzwerte a bzw. b der Folgen a n ) n N bzw. b n ) n N. Geben Sie jeweils zu gegebenem

Mehr

Elementare Beweistechniken

Elementare Beweistechniken Elementare Beweistechniken Beispiel: Satzform (Pythagoras) Voraussetzung: Gegeben sei ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck, die Länge der Hypothenuse sei c und die Längen der anderen Seiten seien a und

Mehr

Analysis 1, Woche 2. Reelle Zahlen. 2.1 Anordnung. Definition 2.1 Man nennt eine Anordnung für K, wenn: 1. Für jeden a K gilt a a (Reflexivität).

Analysis 1, Woche 2. Reelle Zahlen. 2.1 Anordnung. Definition 2.1 Man nennt eine Anordnung für K, wenn: 1. Für jeden a K gilt a a (Reflexivität). Analysis 1, Woche 2 Reelle Zahlen 2.1 Anordnung Definition 2.1 Man nennt eine Anordnung für K, wenn: 1. Für jeden a K gilt a a (Reflexivität). 2. Für jeden a, b K mit a b und b a gilt a = b (Antisymmetrie).

Mehr

Vollständigkeit. Andreas Schmitt. Ausarbeitung zum Proseminar zur Topologie im WS 2012/13

Vollständigkeit. Andreas Schmitt. Ausarbeitung zum Proseminar zur Topologie im WS 2012/13 Vollständigkeit Andreas Schmitt Ausarbeitung zum Proseminar zur Topologie im WS 2012/13 1 Einleitung Bei der Konvergenz von Folgen im Raum der reellen Zahlen R trifft man schnell auf den Begriff der Cauchy-Folge.

Mehr

20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen

20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20 Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen 20.1 Folgen und Reihen von Funktionen 20.3 Die Supremumsnorm 20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20.7 Das Cauchy-Kriterium

Mehr

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

GRUNDLAGEN MATHEMATIK Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 2. Folgen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen Mathematik

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Oliver Matte Max Lein Zentralübung Mathematik für Physiker 2 Analysis ) Wintersemester 200/20 Lösungsblatt 5 2..200) 32. Häufungspunkte Sei a

Mehr

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen

Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden

Mehr

Übung zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität

Übung zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Reidl Ries Rossmanith Sanchez Tönnis WS 2012/13 Übungsblatt 7 26.11.2012 Übung zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Aufgabe T15 Entwickeln Sie ein

Mehr

Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen

Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen In dieser Zusammenfassung werden die für uns wichtigsten Eigenschaften der komplexen und reellen Exponentialfunktion sowie der Winkelfunktionen

Mehr

1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen

1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 13 1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen Dieser Abschnitt handelt von den gewöhlichen ganzen Zahlen Z und ihren Verknüpfungen plus und mal. Man kann die natürlichen

Mehr

Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom

Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom 27.10.2011 Aufgabe III.1 (4 Punkte) Sei Ω R

Mehr

Lösungen zum Übungsblatt 5

Lösungen zum Übungsblatt 5 Lösungen zum Übungsblatt 5 Mirko Getzin Universität Bielefeld Fakultät für Mathematik. Dezember 203 Ich gebe keine Gewähr auf eine vollständige Richtigkeit der Lösungen zu den Übungsaufgaben. Das Dokument

Mehr

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion

Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten

Mehr

Übungsblatt 2 - Analysis 2, Prof. G. Hemion

Übungsblatt 2 - Analysis 2, Prof. G. Hemion Tutor: Martin Friesen, martin.friesen@gmx.de Übungsblatt 2 - Analysis 2, Prof. G. Hemion Um die hier gestellten Aufgaben zu lösen brauchen wir ein wenig Kentnisse über das Infimum bzw. Supremum einer Menge.

Mehr

Leitfaden a tx t

Leitfaden a tx t Leitfaden -0.7. Potenz-Reihen. Definition: Es sei (a 0, a, a 2,...) eine Folge reeller Zahlen (wir beginnen hier mit dem Index t 0). Ist x R, so kann man die Folge (a 0, a x, a 2 x 2, a 3 x 3,...) und

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen $Id: folgen.tex,v.7 200//29 :58:57 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Konvergenz einer reellen oder komplexen Folge gegen

Mehr

Klausur zur Analysis I WS 01/02

Klausur zur Analysis I WS 01/02 Klausur zur Analysis I WS 0/0 Prof. Dr. E. Kuwert. Februar 00 Aufgabe (4 Punkte) Berechnen Sie unter a) und b) jeweils die Ableitung von f für x (0, ): a) f(x) = e sin x b) f(x) = x α log x a) f (x) =

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 2

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 2 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 2 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 2 Hausaufgaben Aufgabe 2.1 Sei [a, b] R ein Intervall und ( ) n N [a,

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2014

Mathematik I Herbstsemester 2014 Mathematik I Herbstsemester 2014 www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 32 1 Stetigkeit Grenzwert einer

Mehr

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2016 Prof. Manfred Einsiedler Philipp Wirth. Lösung 3

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2016 Prof. Manfred Einsiedler Philipp Wirth. Lösung 3 D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analsis I HS 016 Prof Manfred Einsiedler Philipp Wirth Lösung 3 Diese Woche werden nur Lösungen zu den Aufgaben 4, 5 und 6 zur Verfügung gestellt 4 a Nach Folgerung (i aus den Axiomen

Mehr

4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen

4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen 4.2 R ist archimedisch geordnet 4.5 Q liegt dicht in R 4.7 Existenz von Wurzeln nicht-negativer reeller Zahlen In diesem Paragraphen werden wir zum ersten

Mehr

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik UNIVERSITÄT ULM Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Prof. Dr. Helmut Maier, Hans- Peter Reck Gesamtpunktzahl: 100

Mehr

13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma

13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma 13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma Handout zur Funktionalanalysis I von H. Glöckner, 25.11.2008 Wichtige Teile der modernen Mathematik beruhen auf dem sogenannten Auswahlaxiom der Mengenlehre. Dieses

Mehr

Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die kontinuierlich ablaufende Zeit.

Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die kontinuierlich ablaufende Zeit. Kapitel 4 Reelle Zahlen 4.1 Die reellen Zahlen (Schranken von Mengen; Axiomatik; Anordnung; Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die

Mehr

eine Folge in R, für die man auch hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte.

eine Folge in R, für die man auch hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte. Analysis, Woche 5 Folgen und Konvergenz A 5. Cauchy-Folgen und Konvergenz Eine Folge in R ist eine Abbildung von N nach R und wird meistens dargestellt durch {x n } n=0, {x n} n N oder {x 0, x, x 2,...

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Dr. B. Ackermann, M. Borgart, Dr. I Rybak, M. Kutter, J. Veenman 14. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 1 Wintersemester 010/11 Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den

Mehr

Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen

Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen Kapitel III Stetige Funktionen 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 16 Konvergenz von Funktionen 17 Logarithmus und allgemeine Potenz C 1 14 Stetigkeit

Mehr

( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( )

( ) Dann gilt f(x) g(x) in der Nähe von x 0, das heisst. Für den Fehler r(h) dieser Näherung erhält man unter Verwendung von ( ) 64 Die Tangente in x 0 eignet sich also als lokale (lineare) Näherung der Funktion in der Nähe des Punktes P. Oder gibt es eine noch besser approximierende Gerade? Satz 4.9 Unter allen Geraden durch den

Mehr