5 Kontinuierliche Schwingungssysteme
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- Klaus Hermann
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1 31 Die bisher betrachteten diskreten Schwingungssysteme bestehen aus konentrierten massebehafteten Körpern, die an diskreten Stellen über Bindungen gekoppelt sind und damit über eine endliche Zahl f von unabhängigen Bewegungsfreiheiten verfügen. Diese lassen sich durch f verallgemeinerte Koordinaten beschreiben. Bei der Modellbildung erhält man eine dem Freiheitsgrad entsprechende Zahl von gewöhnlichen Differentialgleichungen weiter Ordnung, die für kleine Auslenkungen linearisiert werden können. Zusammen mit Bedingungen für die Anfangslage und -geschwindigkeit bilden sie ein Anfangswertproblem, dessen ösung sich als Superposition von Eigenlösungen darstellen lässt. Näherungsweise können damit auch Systeme mit verteilter Massen- und Steifigkeitsbelegung wie elastische Stäbe oder Balken modelliert werden, indem man diese in endliche Abschnitte diskretisiert, die selbst unverformbar sind und sich relativ ueinander bewegen können. Die Kopplung erfolgt über geeignete Bindungen und diskrete Steifigkeiten. Eine solche Modellierung wird umso genauer, je feiner diskretisiert wird, wodurch der Freiheitsgrad f wächst. Im Grenübergang f u einer eakten Modellierung kontinuierlicher Schwinger sind die verallgemeinerten Koordinaten durch stetige Verformungsfunktionen in Abhängigkeit des Ortes und der Zeit u erseten, die gewöhnlichen Differentialgleichungen gehen in partielle Differentialgleichungen beüglich Ort und Zeit über. Zur eindeutigen Festlegung des kontinuierlichen Schwingers sind die Anfangsbedingungen für die Verformungsfunktionen um problemspeifische Randbedingungen u ergänen. Typische Vertreter für eindimensionale kontinuierliche Schwinger sind die gespannte Saite, Stäbe mit ängs- und Torsionsschwingungen sowie Balken mit Transversalschwingungen.
2 Transversalschwingungen einer Saite Annahmen vorgespanntes, fadenförmiges Kontinuum (Dichte, Querschnitt A, Vorspannkraft S) w(, t) S biegeschlaff Vernachlässigung des Eigengewichts kleine Auslenkungen w Bewegungsgleichungen Momentaufnahme für einen gegebenen Zeitpunkt t Vereinfachung für kleine Auslenkungen w : w dw d tan 1 S w dl d d S ds sin w, cos 1 dl cos d d Vernachlässigung der Verschiebung in -Richtung ẇ. 2 w(, t) t 2, w 2 w(, t) 2 eindimensionale Wellengleichung ẇ. c 2 w mit c S A
3 33 Anfangsbedingungen Festlegen der Auslenkung an allen Orten für einen bestimmten Anfangseitpunkt t age: w(,) w () Geschwindigkeit: ẇ(,) ẇ () S Randbedingungen Festlegen der Auslenkung bw. Steigung an bestimmten Orten für alle Zeiten fester Rand freier Rand
4 ongitudinalschwingungen eines Stabes Annahmen homogener Stab (Dichte, Querschnitt A, Elastiitätsmodul E) Hooke sche Geset E u(, t) Bewegungsgleichungen Momentaufnahme für einen gegebenen Zeitpunkt t u N N dn d u du u.. 2 u(, t) t 2, u 2 u(, t) 2 eindimensionale Wellengleichung u.. c 2 u mit c E Anfangsbedingungen age: Geschwindigkeit: u(,) u () u. (,) u. () Randbedingungen fester Rand freier Rand
5 Torsionsschwingungen eines Rundstabes Annahmen homogener Stab (Dichte, Querschnitt A, polares Flächenträgheitsmoment I p, Schubmodul G) (, t) Hooke sche Geset G Bewegungsgleichungen Momentaufnahme für einen gegebenen Zeitpunkt t M d d M dm.. 2 (, t) t 2, 2 (, t) 2 eindimensionale Wellengleichung.. c 2 mit c G Anfangsbedingungen age: Geschwindigkeit: (,) (). (,). () Randbedingungen fester Rand freier Rand
6 Biegeschwingungen eines Balkens Annahmen schlanker Balken h (Dichte, Querschnitt A, aiales Flächenträgheitsmoment I, Elastiitätsmodul E) w(, t) Vernachlässigung der Schubverformung (Euler-Bernoulli-Balken) Vernachlässigung des Eigengewichts kleine Auslenkungen w Bewegungsgleichungen Momentaufnahme für einen gegebenen Zeitpunkt t d Vereinfachung für kleine Auslenkungen w : w dw tan 1 d cos 1 dl d M Q w dl Q dq M dm d Vernachlässigung des Massenträgheitsmoments ẇ. 2 w(, t) t 2, w IV 4 w(, t) 4 ẇ. EI A wiv
7 37 Anfangsbedingungen age: Geschwindigkeit: w(,) w () ẇ(,) ẇ () Randbedingungen feste Einspannung gelenkige agerung freier Rand
8 38
6 Eigenlösungen der eindimensionalen Wellengleichung
39 Kontinuierliche Systeme lassen sich als Schwinger mit unendlich vielen Freiheitsgraden interpretieren. Daher ist ein ähnliches ösungsverhalten wie bei linearen diskreten Systemen zu erwarten, d.h. die
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