Straßentunnel. die Bohrlinie der Bohrung II, also die Gerade durch B 1 und B 2, trifft und berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt B 3.

Transkript

1 $XIJDEH $QDO\WLVFKH*HRPHWULH NAME:. Barbitn Si di Aufgabntil. Bschribn Si dabi Ihr Vorghnswis und kommntirn Si Ihr Lösungn. Di Qualität dr ttlichn Bglitung wird mitbwrtt. Straßntunnl Um in alt, unfallträchtig Straß übr inn Alpnpass zu ntlastn, wird in Tunnl für in nu Straß durch in Brgmassiv gbohrt. Ein rst Bohrung I für inn Til ds nun Tunnls führt gradlinig vom Punkt A ( 0 00) zum Punkt A (7 50 0). Einr Einhit im Koordinatnsystm ntsprchn 0 m im Gländ. Gbn Si Ihr Ergbniss (durch Nährungswrt) auf inn Mtr gnau an. Di -y-ebn ntspricht dr Erdobrfläch auf Mrshöh. a) Stlln Si di Gradnglichung für di Bohrung I durch A und A auf. Brchnn Si, wi lang di Bohrung von A nach A daurt, wnn di Bohrung pro Tag um m vorangtribn wird. b) Zitglich wird in Bohrung II von B ( ) nach B ( ) durchgführt. Wisn Si nach, dass di Bohrungn I und II sich auch bi Vrlängrung nicht trffn könnn. Bstimmn Si, wi vil Mtr bi Bohrung II pro Tag gschafft wrdn müssn, damit bid Bohrungn (von A bis A bzw. von B nach B ) glich lang daurn. c) Bohrung I wird übr A hinaus bis zur doppltn Läng fortgführt. Brchnn Si dn nun Endpunkt A 3. Zur Kontroll Ihrr ignn Rchnung: A 3 ( 60 0) d) Im Punkt A 3 trifft di Bohrung I auf in shr hart Gstinsschicht. Dshalb wird von 9 r A 3 witr in Richtung v = 0 gbohrt. Prüfn Si, ob di Fortführung disr Bohrung 5 di Bohrlini dr Bohrung II, also di Grad durch B und B, trifft und brchnn Si ggbnnfalls dn Schnittpunkt B 3. ) Ermittln Si Zahln λ, µ und ν drart, dass gilt: A B = A A + µ A3 B3 + r ν BB A B λ. r r Prüfn Si, ob dr Vktor AB auf dis Art auch allin durch AA und 3 3 ausgdrückt wrdn kann, und gbn Si falls möglich dis Darstllung an. Dis Darstllungn könnn aus dn bishrign Ergbnissn ohn groß Rchnung hrglitt wrdn. Vrtilung dr Bwrtungsinhitn (BE) auf di Aufgabntil Aufgabntil a) b) c) d) ) Summ BE

2 $XIJDEH $QDO\WLVFKH*HRPHWULH NAME:. Barbitn Si di Aufgabntil. Bschribn Si dabi Ihr Vorghnswis und kommntirn Si Ihr Lösungn. Di Qualität dr ttlichn Bglitung wird mitbwrtt. Snot Auf inr Sglyacht wird in Prson bwusstlos. Dr Schiffsführr stzt sofort inn Notruf ab. Disr Notruf rricht in Küstnfunkstll sowi inn Fischkuttr im nährn Umkris dr Sglyacht. Von dr Küstnfunkstll läuft daraufhin unmittlbar in Snotrttungskruzr aus. Dr Kuttr nimmt bnfalls Kurs auf di gmldt Unglücksstll. a) Di Sglyacht mldt bim Notruf di Koordinatn ( 9 0). Di Koordinatn dr Küstnfunkstll sind (3 5 0). Bstimmn Si in Glichung dr Gradn, auf dr sich dr Rttungskruzr bwgn muss. b) Dr Rttungskruzr läuft konstant mit Knotn, das sind 0 km/h. Bstimmn Si di Zit (auf ganz Minutn grundt), nach dr r di Sglyacht rricht. ( Längninhit im Koordinatnsystm ntsprch km in dr Wirklichkit.) Zur Kontroll Ihrr ignn Rchnung: t min 8 r c) Di Kurslini ds Kuttrs ntspricht dr Gradn = 3 + n, n R. 0 0 Prüfn Si, ob dr Kuttr auf dism Kurs di gmldt Position dr Sglyacht trifft und brchnn Si ggbnnfalls di Größ ds Winkls, untr dm dr Kuttr auf dn Snotrttungskruzr trffn würd. d) Frtign Si in Zichnung nur in dr -y-ebn an, di dn Sachvrhalt vollständig darstllt (Winkl, all gnanntn Positionn sowi sinnvoll Darstllungn dr Richtungsvktorn). Wähln Si für di Längninhit: LE = 0,5 cm. ) Dr Rttungskruzr rricht di gmldt Unglücksstll als rstr. Lidr ist di Sglyacht mittlrwil durch in Strömung abgtribn wordn. Di Strömung stzt gnau rchtwinklig zur Kurslini ds Rttungskruzrs mit km/h in, und zwar aus Blickrichtung dr Bsatzung ds Rttungskruzrs nach sturbord, das ist dr smännisch Ausdruck für in Kursrichtung rchts. Bstimmn Si rchnrisch in vktorill Glichung für di Grad, auf dr di Sglyacht abgtribn wurd. Gbn Si auch in Gradnglichung an, in dr für dn Richtungsvktor r gilt: r =. f) Brchnn Si di nu Position dr Yacht. Vrtilung dr Bwrtungsinhitn (BE) auf di Aufgabntil Aufgabntil a) b) c) d) ) f) Summ BE

3 $XIJDEH $QDO\VLV NAME:. Barbitn Si di Aufgabntil. Bschribn Si dabi Ihr Vorghnswis und kommntirn Si Ihr Lösungn. Di Qualität dr ttlichn Bglitung wird mitbwrtt. Aufgab 3 - Eponntialfunktion Di für all rlln Zahln dfinirt Funktion f mit f ( ) ( + ) wrdn im Folgndn auf charaktristisch Eignschaftn untrsucht. = und ihr Graph G f a) Bstimmn Si di Schnittpunkt mit dn Koordinatnachsn und untrsuchn Si G f auf rlativ Etrmpunkt und drn Art sowi auf Wndpunkt; gbn Si akt Wrt an. Ohn Nachwis dürfn Si vrwndn: b) Untrsuchn Si mit 0 lim ( ) + f ( ) = ( ). + mit Hilf von mindstns zwi Probinstzungn und nnnn Si Ihr Vrmutung für disn Grnzwrt. c) Zichnn Si dn Graphn G f für,5 < < 8 nur aufgrund Ihrr bishrign Ergbniss. Koordinatnsystm: LE = cm. d) Brchnn Si dn Inhalt A dr Fläch im. Quadrantn, di von dr -Achs, dr y- Achs und dm Graphn G ingschlossn wird. Ohn Nachwis dürfn Si vrwndn, dass mit Stammfunktion von f ggbn ist. f F( ) ( 6) = in ) Ihr in c) gzichnt Kurv wird nun für 0 als das sitlich Profil inr Rodlbahn btrachtt. Im höchstn Punkt H (0 ) startt in Rodlr und gwinnt mit stärkr wrdndm Gfäll an Fahrt. In inm Punkt ist das Gfäll maimal. Gbn Si zunächst disn Punkt und das Gfäll dort an. Bstimmn Si sodann dn spätr vom Rodlr rrichtn Punkt P 0% ( y), an dm das Gfäll auf 0 % ds maimaln Gfälls abgnommn hat. Hilf zu Til ): Vrwndn Si in Ihrr Rchnung, dass 0 % in gutr Nährung durch dn Faktor rstzt wrdn kann. 3 Vrtilung dr Bwrtungsinhitn (BE) auf di Aufgabntil Aufgabntil a) b) c) d) ) Summ BE

4 $XIJDEH 6WRFKDVWLN NAME:. Barbitn Si di Aufgabntil. Bschribn Si dabi Ihr Vorghnswis und kommntirn Si Ihr Lösungn. Di Qualität dr ttlichn Bglitung wird mitbwrtt. Aufgab - Handy am Stur Auf inr Durchgangsstraß soll dr Antil dr Autofahrr untrsucht wrdn, di währnd dr Fahrt das Handy bnutzn. Wir nhmn an, dass di Autofahrr unabhängig voninandr tlfonirn odr nicht tlfonirn. Di Wahrschinlichkit dafür, dass in Autofahrr tlfonirt, si p. a) Bstimmn Si für p = 5 % di Wahrschinlichkitn dafür, dass untr 0 vorbifahrndn Autos - kin Fahrr, - gnau in Fahrr bzw. - mindstns in Fahrr sin Handy bnutzt. b) Ermittln Si di unbkannt Wahrschinlichkit p dafür, dass untr 0 vorbifahrndn Autos mit inr Wahrschinlichkit von 95 % mindstns ins von inr tlfonirndn Prson glnkt wird. c) Brchnn Si für p = 5 % di Anzahl dr Autos, di man mindstns übrprüfn muss, damit mit inr Wahrschinlichkit von 95 % odr mhr mindstns inmal in Fahrr bim Tlfonirn bobachtt wird. d) Bi bkanntr Wahrschinlichkit p = 5 % kontrollirt man di vorbifahrndn Autos so lang, bis man inn tlfonirndn Fahrr ntdckt, höchstns abr 0 Fahrzug. Bstimmn Si di Wahrschinlichkit dafür, dass tatsächlich 0 Fahrzug kontrollirt wrdn müssn. ) Das Erignis, dass bi inr Kontroll von 0 Fahrzugn di rstn vir Autos von kinr tlfonirndn Prson glnkt wrdn, abr trotzdm untr dn 0 Fahrrn gnau zwi Prsonn währnd dr Fahrt das Handy bnutzn, wrd mit B bnannt. Ermittln Si di Wahrschinlichkit P(B) allgmin in Abhängigkit von p. Vrtilung dr Bwrtungsinhitn (BE) auf di Aufgabntil Aufgabntil a) b) c) d) ) Summ BE

5 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH6WUD HQWXQQHO Aufgabntil Erwartt Listung BE in AFB Erbracht Listung I II III BE Bgutachtung a) Gradnglichung dr Grad A A g : 5 r = 0 + r 0 00 Abstand d(a,a ) = 6,5 Das ntspricht ca. dr Läng m, di Bohrung daurt 56 Tag 3 b) Gradnglichung dr Grad B B g : 75 0 r = 90 + s 0 7 Di Richtungsvktorn sind paralll Punktprob odr Idntitätsprüfung führt auf inn Widrspruch Folgrung: Gradn sind cht paralll Abstand d(b,b ) = 50, 99 Das ntspricht ca. m Tunnlläng; bi 56 Tagn Bohrung müssn m pro Tag gschafft wrdn c) In g wird r = gstzt: A 3 ( 60 0) d) Gradnglichung durch A 3 ) g 3 : 9 r = 60 + t LGS lösn: s =,5 und t = Schnittpunkt mit g ist B 3 (50 0 ) r r r r r r r A B = A A + A B,5B B 3 3 A B = 7A A + A B Summ 9 möglich BE 35 rricht BE: Bi dr Bmssung dr Anzahl dr Bwrtungsinhitn und bi dr Zuordnung zu dn Anfordrungsbrichn wurd di Daur dr Untrrichtszit im ma-3 bis zur Probklausur brücksichtigt und von dn inhaltlichn Vorgabn im Fachbrif vom ausggangn.

6 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH6HHQRW Aufgabntil Erwartt Listung a) Gradnglichung durch Punkt, z.b. 3 8 r = 5 + m, m R b) c) Abstandsbstimmung für Punkt, Ergbnis: d = 60 6, Strcknläng: ca. 6, km d t = 0,03 h min v Ortsvktor für ( 9 0) instzn, Ergbnis: Dr Punkt ligt auf dr Kurslini ds Kuttrs. Dr Kuttr würd untr inm Winkl von ca. 36 auf dn Snotrttungskruzr trffn. d) Zichnung BE in AFB Erbracht Listung I II III BE Bgutachtung 5 6 Zwischnsumm 0 0

7 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH6HHQRW ) Übrtrag 0 0 Bstimmung ins orthogonaln Vktors untr Bachtung dr Bdingung z = 0, 7 7 Ergbnis z.b.: odr. 0 0 Angab inr Gradnglichung, z. B.: 7 r = 9 + a 0 0 Gradnglichung mit normirtm Richtungsvktor: 7 / 65 r 3 = 9 + a / f) Brchnung dr nun Position mit dr Zit t min (aus b): (, 8, 0) 5 Summ 3 8 möglich BE 35 rricht BE: Bi dr Bmssung dr Anzahl dr Bwrtungsinhitn und bi dr Zuordnung zu dn Anfordrungsbrichn wurd di Daur dr Untrrichtszit im ma-3 bis zur Probklausur brücksichtigt und von dn inhaltlichn Vorgabn im Fachbrif vom ausggangn.

8 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH([SRQHQWLDOIXQNWLRQ Aufgabntil D Erwartt Listung Brchnung von f ( 0) = und Angab von S (0 ), Nnnn dr Bdingung y f ( ) = 0 für Nullstlln, Lösn dr Glichung 0 = ( + ) =, BE in AFB Erbracht Listung I II III BE Bgutachtung Aussag zu 0 für all rlln Zahln und Angab von S ( 0). Nnnn inr hinrichndn Bdingung für lokal Etrma, z. B. f ( ) = 0 f ( ) 0, Brchnung von f ( ) =, Vrwndn dr notwndign Bdingung f ( ) = 0, Lösn von 0 = = 0. Brchnung von f (0) = < 0 und Aussag, dass 0 in rlativ Maimalstll ist sowi Angab von H (0 ). Nnnn inr hinrichndn Bdingung für Wndstlln, z. B. f ( ) = 0 f ( ) 0, Vrwndn dr notwndign Bdingung f ( ) = 0, Lösn von 0 = ( ) = und Brchnn von f ( ) = ( ). Zwischnsumm 5 0

9 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH([SRQHQWLDOIXQNWLRQ Noch a) Brchnung von f () = 0 Übrtrag 5 0 und Aussag, dass in Wndstll ist; akt Brchnung von f () und Angab von W ). ( 8 b) Wrttabll mit mindstns zwi Wrtpaarn und Angab von lim ( + ) = 0. + c) Zichnung d) ) Ansatz 0 A = ( + ) d und Brchnung von A = ( 6), 0 5,75 ( FE A = 6 + 8, ) A Angab von W ) und Brchnung ( 8 ds Gfälls im Wndpunkt durch f () =. Ansatz für das Gfäll im Punkt P 0% : f ( ) = 0, = ; 3 Aufstlln dr Glichung = 8 und Angab dr Lösung (ohn Rchnung) sowi ds Punktn P (8 0 ) bzw. 0% P 0% (8 0,). Summ 8 3 möglich BE 35 rricht BE:

10 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH+DQG\DP6WHXHU Aufgabntil a) Erwartt Listung Brnoulliktt dr Läng n=0 mit dr Trffrwahrschinlichkit p=0,5. P(X=0)= B(0;0,5;0)=0,85 0 = 0,97 P(X=)=B(0;0,5;)=0,37 BE in AB Erbracht Listung I II III BE Bgutachtung P ( X ) = P( X = 0) = -B(0;0,5;0)=-0,85 0 =0,803 b) X lifrt di Anzahl dr tlfonirndn Fahrzuglnkr. Es ligt in Brnoulliktt dr Läng n=0 mit dr unbkanntn Trffrwahrschinlichkit p vor, wobi mindstns Trffr mit 95% Wahrschinlichkit rzilt wrdn soll: P ( X ) = P( X = 0) = 0, B (0; p;0) = 0,05 ( ) 0 p p 0, p = 0,05 0,59 c) P ( X ) = P( X = 0) 0, 95 0 n 0 = 0,05 P( X = 0) = 0,5 0,85 = 0, 85 n log0,05 0,85 0,95 ; n 8, log0,85 Man muss wnigstns nunzhn Autos kontrollirn, um mit mindstns 95% Wahrschinlichkit inn Fahrr mit Handy zu findn. 8 n Zwischnsumm 0 6

11 LFKWI UGLH+DQGGHU3U IOLQJH $XIJDEH+DQG\DP6WHXHU Übrtrag 0 d) X lifrt di Anzahl dr bi dism Vorghn kontrollirtn Autos. E hab di Bdutung, dass im 0. Auto in tlfonirndr Fahrr sitzt odr im 0. Auto immr noch kin tlfonirndr Fahrr sitzt: P(E)=(-p) 9 p+(-p) 0 =(-p) 9 =0,85 9 =0,3 bi bkanntm p=0,5. 5 ) Di rstn vir sind kin Handybnutzr, Erignis F: P(F) = (-p) ; bi dn nächstn schs sind zwi Handybnutzrn dabi: Brnoulliktt dr Läng n=6 mit gnau zwi Trffrn 6 B(6;p;)= ( p) p. Somit rhält man P(B)=P(F)B(6;p;) 8 = 5 p ( p) Summ 9 möglich BE 35 rricht BE: