Tischlein deck dich. Problemstellung

Transkript

1 Tischlein deck dich Schule: Hohenstufen-ymnsium Kiserslutern Idee und Erproung der Unterrichtseinheit: riele Lpport (Literturhinweis:. M. Fredrich: ie Stzgruppe des Pythgors) ie folgende Unterrichtseinheit ist ein eispiel für Prolemstellungen zur Erreitung eines Thems, die von den m LK-Progrmm eteiligten Fchlehrerinnen und Fchlehrern entwickelt wurden. Stoffgeiet: Stz des Pythgors Intentionen: Eigentätigkeit der Schülerinnen und Schüler Selstständiges Entdecken der wesentlichen Schritte zum Stz des Pythgors Offene, prxisezogene Prolemstellung Prolemstellung die Kinder von Fmilie Schneider häufig ihre Freunde einlden, wurde ein neuer qudrtischer Tisch ngeschfft, der doppelt so groß ist wie der lte, der eenflls qudrtisch wr. neue Tischdecken teuer sind, eschließt Fmilie Schneider, us je zwei lten Tischdecken eine neue zu nähen. Sttionen uf dem Weg zum Stz des Pythgors 1. die lten Tischdecken für denselen Tisch estimmt wren, geht mn dvon us, dss eide die gleiche röße htten. Mn zerschneidet eide Tischdecken längs einer igonlen und setzt die vier rechtwinkligen reiecke so zusmmen, dss sich ihre rechten Winkel zu 360 ergänzen. egründung: lle Teildreiecke sind rechtwinklig-gleichschenklig und zueinnder kongruent. eshl entsteht ein Viereck mit rechten Winkeln und gleichlngen Seiten, lso ein Qudrt. 25

2 2. Wenn nun er die eine Tischdecke einen größeren Üerhng ht ls die ndere, die Tischdecken lso nicht gleich groß sind, muss mn nders zuschneiden. er wie? s Verfhren von 1. führt zu einer Tischdecke, die nicht qudrtisch ist. Es git mehrere Möglichkeiten, diesen Missstnd zu eheen. Möglichkeit 1: Es stört, dss H 1 und H 2 nicht zusmmenfllen. s reieck H 1 ist zu groß und ds reieck FEH 2 zu klein. s große reieck muss zu unsten des kleinen verkleinert werden. Mn knn ds reieck H 1 verkleinern, indem mn von us zu einem Punkt X uf schneidet, der zwischen und liegt. Systemtisches Proieren knn zu dem gesuchten Punkt X führen. E H 2 H 1 F Möglichkeit 2: levere Schülerinnen und Schüler werden zunächst einml usrechnen, wie lng die Seite des neuen Qudrts werden wird und dnn diese Seite von us so einfluchten, dss ihr Endpunkt uf liegt. So finden sie experimentell den Punkt X. Möglichkeit 3: die neue Tischdecke qudrtisch sein soll, muss ei X ein rechter Winkel uftreten. urch Proieren, z.. mit dem eodreieck, oder mit Hilfe des Thlesstzes wird der Punkt X gefunden. X E F H 1 =H 2 =H 3. ss der gefundene Punkt X wirklich zum Ziel führt, muss jetzt egründet werden. Im Einzelnen ist zu zeigen: (1) X = (2) HFX ist ein Qudrt. (1) Zu zeigen: X = H 1 ist ildpunkt von X ei einer rehung von reieck X um -90 um. => H 1 = + X H 2 ist ildpunkt von X ei einer rehung von X E F reieck XF um +90 um F. => H 1 = H 2 gilt nur dnn, wenn H 2 = + X + X = + X H 1 H 2 26

3 Mit X + X = + folgt drus: + X = + ( + X) <=> X = (2) Zu zeigen: HFX ist ein Qudrt. sich die eiden spitzen Winkel jedes rechtwinkligen reiecks zu 90 ergänzen, folgt die Rechteckseigenschft us der Konstruktion (rehungen). X E F Nch Konstruktion sind die Strecken X und H gleich lng, nlog FX und FH. us X = und X = folgt X = FX. H 4. Üergng zum Stz des Pythgors Möglichkeit 1: Mn lässt die Schülerinnen und Schüler die Tischdeckenfigur mit einer vorgegeenen "Pythgors- Figur" vergleichen. Möglichkeit 2: Im Zusmmenhng mit der eweisführung von (2) werden die Seitenlängen der 4 kongruenten rechtwinkligen reiecke, die eim eweis eine zentrle Rolle spielen, ewusst gemcht und us der Figur die eziehung = c 2 gelesen. c eschreiung des Unterrichtsverlufs mit methodischen nmerkungen 1. Stunde Prolemstellung (reitsltt 1, Tfel; Unterrichtsgespräch; 10 min) reitsltt 1 enthält den ufgentext und drunter freien Rum zum Proieren. ilder von Schülerlösungen sind uf der Homepge der Schule zu finden (dresse siehe Seite 30). iskussion der Sitution, Formulierung der Frgestellung: Wie müssen die lten ecken zerschnitten und die Teile zusmmengesetzt werden? ie lten Tischdecken können uch verschieden groß sein (Üerhng). Tischdeckenprolem 1: egeen: Zwei Qudrte mit dem Flächeninhlt 2 esucht: Qudrt mit = 2 2. Tischdeckenprolem 2: egeen: Zwei Qudrte der Flächeninhlte 2 und 2, esucht: Qudrt mit = Lösung des Tischdeckenprolems 1 (reitsltt 1, verschiedenfrige Ppierqudrte, Schere, Kleer; ruppenreit; 15 min) strktion (reitsltt 1, Tfel; Unterrichtsgespräch; 15 min) Vergleich der "stellösungen"; Mthemtisierung der häufigsten Lösung mit egründung. Folgerung: s Qudrt üer der igonlen d eines Qudrtes der Kntenlänge ht einen Flächeninhlt, der doppelt so groß ist wie derjenige des usgngsqudrtes: d 2 = 2 2. Für die igonle eines Qudrtes mit der Seite gilt lso: d = 2 27

4 Husufge (reitsltt 1; Unterrichtsgespräch; 5 min) Von sechs vorgegeenen Figuren uf kriertem Ppier sollen der Flächeninhlt und der Umfng estimmt werden. Ferner wird gefrgt, wie sich Flächeninhlt und Umfng ändern, wenn mn die Figuren in doppeltem Mßst zeichnet. ilder von Schülerlösungen sind uf der Homepge der Schule zu finden (dresse siehe Seite 30). Klärung der ufgenstellung durch Lösen einer Teilufge. 2. Stunde esprechung der Husufge (Hefte, reitsltt 1; Unterrichtsgespräch; 5 min) Üertrgen der Lösung des ersten Tischdeckenprolems uf ds zweite; Tfel; Unterrichtsgespräch; 5 min) Sicherung durch zeichnen (reitsltt 2; 3 min) reitsltt 2 enthält die Formulierung des Tischdeckenprolems 2 und folgenden Hinweis: Ziel H 1 = H 2 isher nicht erreicht, d reieck zu klein und reieck EF zu groß ist. ilder von Schülerlösungen sind uf der Homepge der Schule zu finden (dresse siehe Seite 30). Experimentelle Lösung (reitsltt 2, zusmmenhängende, verschiedenfrige Ppierqudrte, Schere, Kleer; ruppenreit; 25 min) Zunächst versuchten die Schülerinnen und Schüler während der ruppenreit, die Lösung durch Flten längs der Kleeknte oder durch Schnitte prllel zu den Qudrtseiten zu finden. Mn enötigt ungefähr drei Ppierfiguren pro Schülerin zw. Schüler, dmit die Einzelnen keine ngst vor Fehlversuchen hen. Während der ruppenreit wurde der Impuls, ds kleine reick uf Kosten des großen zu vergrößern, noch einml wiederholt. rufhin fnden die Schülerinnen und Schüler sehr schnell die Lösung. Ein Schüler emerkte, dss ei X ein rechter Winkel enötigt wird. Leider km er nicht uf die Idee, einen Thleskreis zu zeichnen. In diesem Fll gelingt der eweis für X = mit Hilfe ähnlicher reiecke. Husufge (Tfel, Hefte; Lehrervortrg; 3 min) Zeichnet für = 3 cm, = 2 cm, wählt X so, dss H 1 = H 2, konstruiert H 1 und H Stunde Wiederholung nhnd der Husufge (Hefte; Tfel; Unterrichtsgespräch; 5 min) Erreitung einer egründung für: H 1 = H 2 <=> X = (Tfel, Hefte; Unterrichtsgespräch; 20 min) ie Schülerinnen und Schüler reiten n der Figur us der Husufge. Sicherung (Tfel, Heft; Unterrichtsgespräch; 3 min) Husufge (Tfel, Heft, Ppierfiguren (ndere Fren ls zuvor); Lehrervortrg; 2 min) 1. Teil: eweis von: s Viereck XH 1 F ist ein Qudrt. (H 1 =H 2 ) 2. Teil: Fertigt eine möglichst genue "stellösung" n. Üung (Hefte; Stillreit; 3 min) Konstruiert die Lösung des Tischdeckenprolems 2 für = 4 cm, = 2 cm. Rückge der 4. Klssenreit 4. Stunde 28

5 esprechung der Husufge (Folie; Lehrervortrg; 3 min) Erläuterung der wichtigsten eweisschritte. Ein Schüler htte den eweis vollständig, ei zweien fehlte nur wenig. Husufge: usformulierung des eweises In der nächsten Stunde htte nch dieser Husufge etw ein Viertel der Schülerinnen und Schüler einen zufriedenstellenden eweis im Heft, ein weiteres Viertel ewies nur, dss es sich um ein Rechteck hndelt. ie Hälfte der Klsse wr mit dem eweis üerfordert. Vergleich der Tischdeckeneweisfigur mit der Pythgors-Figur (Folie, reitsltt 3; Unterrichtsgespräch; 5 min) reitsltt 3 enthält die eiden Figuren uf Seite 27. ilder von Schülerlösungen sind uf der Homepge der Schule zu finden (dresse siehe Seite 30). Sicherung (Tfel, Heft; Unterrichtsgespräch; 20 min) Zweite Lösung des Tischdeckenprolems 2 (mit Hilfe eines rechtwinkligen reiecks): 1. Zeichne zwei Qudrte mit = 3 cm, = 2 cm so, dss ist. 2. Ergänze die eiden senkrecht zueinnder verlufenden Seiten durch die Strecke c zu einem rechtwinkligen reieck. 3. s Qudrt üer c ht den Flächeninhlt = efinition: Im rechtwinkligen reieck nennt mn die längste Seite Hypotenuse, die kürzeren Seiten Ktheten. Stz des Pythgors: In jedem rechtwinkligen reieck ist die Summe der Flächeninhlte der Qudrte üer den Ktheten gleich dem Flächeninhlt des Qudrts üer der Hypotenuse. In mthemtischer Kurzschreiweise: reieck rechtwinklig mit der Hypotenuse c ==> = c 2 Üung (erechnung von Seitenlängen rechtwinkliger reiecke; Tfel, Hefte; Unterrichtsgespräch, Stillreit; 15 min) Husufge (Tfel, Hefte; Lehrervortrg; 2 min) 1. Flächenverwndlung für = 3 cm, = 4 cm 2. Seitenlängenerechnungen im uch Erfhrungen im Unterricht ie Prolemstellung wurde von den Schülerinnen und Schülern schnell erfsst. ies zeigte sich drin, dss in den "stelphsen" lle intensiv reiteten. s Tischdeckenprolem 1 wurde, einschließlich eweis, von den Schülerinnen und Schülern weitgehend selstständig gelöst. ie Idee X ε zur Lösung von Tischdeckenprolem 2 km erst nch dem kzentuierten Impuls, ds große reieck zu unsten des kleineren zu verkleinern. nn llerdings wr die Lösung llen sofort klr. mit knn im "herkömmlichen" Unterricht wohl nicht so ohne weiteres gerechnet werden. er eweis, dss ds Viereck XHF ein Qudrt ist, wr für viele Schülerinnen und Schüler erwrtungsgemäß sehr schwer. Hier sollten vor llem die leistungsstärkeren Schülerinnen und Schüler gefordert und gefördert werden. er Üergng zur Pythgors-Figur sowie die Flächenverwndlungsidee (zwei Qudrte ein Qudrt) wr für die Schülerinnen und Schüler ohne Schwierigkeiten einsichtig. 29

6 ie Vorussetzung des Stzes von Pythgors (Rechtwinkligkeit) erg sich völlig selstverständlich us der eweisfigur zu Tischdeckenprolem 2. Im weiteren Verluf des Unterrichts wren sich die Schülerinnen und Schüler dieser Vorussetzung stets ewusst. (Hoffentlich leit dies uch so!) Eine detillierte eschreiung des Unterrichtsverlufs und ilder von reitslättern der Schülerinnen und Schüler sind uf der Homepge der Schule zu finden: LK- PROJEKT "SINUS" "TISHEKENPROLEM" 30