Komplexe Netzwerke Gradverteilung der Knoten, Skalenfreiheit, Potenzgesetz

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1 Ernst Moritz Arndt Universität Greifswald Komplexe Netzwere Gradverteilung der Knoten, Salenfreiheit, Potenzgesetz Dr. Matthias Scholz 1 Begriffe und Definitionen 1.1 Graph Graph G=(V,E) V ist eine endliche Menge von Knoten E ist eine endliche Menge von Kanten Knoten v i V ; i = 1,..., N verbunden durch Kanten e E N ist die 1.2 Adjazenzmatrix (Nachbarschaftsmatrix) A = N x N quadratische Matrix a ij = 1 ; falls Kante von Knoten i zum Knoten j existiert a ij = ; sonst für einen ungerichteten Graphen ist A symmetrisch: a ij = a ji, A T = A Ein gerichteter Graph oder Digraph (directet graph) ist ein Graph, in dem alle Kanten eine Richtung haben. Beispiel (gerichteter Graph): A = C A D B Gewichtete Graphen Ein gewichteter Graph oder bewerteter Graph ist ein Graph, bei dem jeder Kante eine Zahl zugeordnet ist. 1

2 - Abstandsmatrix (Distanzmatrix) D d ij ist der Abstand zwischen Knoten i und j Beispiel: Straßennetz (Entfernung zwischen zwei Städten) - Ähnlicheitsmatrix (z.b.: Korrelationsmatrix) C Beispiel: Gen-Gen-Netzwer (Korrelation der Genexpression) 2 Gradverteilung der Knoten (node-degree distribution) Grad eines Knoten Kanten. (node-degree): Der Grad i eines Knoten i ist die Anzahl seiner Der Eingangsgrad (in-degree) ist die Anzahl der Kanten, die zu einem Knoten hinführen (gerichteter Graph). Der Eingangsgrad in eines Knotens i lässt sich über die Summe der Spalte i in der Adjazenzmatrix berechnen: in i = N j=1 Der Ausgangsgrad (out-degree) ist die Anzahl der Kanten, die von einem Knoten wegführen (gerichteter Graph). Der Ausgangsgrad out eines Knotens i lässt sich über die Summe der Zeile i in der Adjazenzmatrix berechnen: out i = Für ungerichtete Graphen ist der Eingangsgrad eines Knoten gleich dem Ausgangsgrad. N j=1 a ji a ij 2.1 Gradverteilung Die Verteilung der Knotengrade ist eines der wichtigsten Mermale zur Charaterisierung von Netzweren. Sie zeigt, wie unterschiedlich die Kanten auf die einzelnen Knoten im Netzwer verteilt sein önnen. Reale Netzwere zeigen in vielen Fälle eine Verteilung, die dem Potenzgesetz folgt (Barabási and Albert, 1999), siehe Abbildung 1. Bei einigen Netzweren ist aber eine leichte oder auch stärere Abweichung vom Potenzgesetz zu beobachten, bis hin zu einer Exponentialverteilung, siehe beispielsweise Amaral et al. (2). In gerichteten realen Netzweren sind der Eingangsgrad und der Ausgangsgrad häufig sehr ähnlich verteilt. 2

3 12 Zufallsgraph Binomialverteilung Potenzgesetz (salenfrei) polynomieller Zusammenhang 1 1 typische Abweichung Plot 1 3 Plot 1 3 Plot Abbildung 1: Gradverteilungen. Lins: lassische Annahme, dass die Grade aller Knoten um einen Durchschnittswert schwanen ( Zufallsgraphmodell). Mitte: typische ungleiche Gradverteilung realer Netzwere ( Potenzgesetz; Attrativitätsmodell). Rechts: öfters zu beobachtende Abweichung vom Potenzgesetz in Form einer leichten oder stäreren Abschwächung bei leinen Graden. Die Abweichung ann so star sein, dass die Gradverteilung eher der schnell abfallenden Kurve einer Exponentialverteilung als dem Potenzgesetz entspricht. Die Verteilungen sind jeweils mit linearen Salen (oben) und mit arithmischen Salen (unten) dargestellt. Graphgenerierungsmodelle: Das Zufallsgraphmodell erzeugt eine Binomialverteilung (bzw. Poissonverteilung) die sich bei großen Wahrscheinlicheiten p der Glocenurve einer Gaußverteilung (Normalverteilung) annähert und bei sehr leinen Wahrscheinlicheiten p einer Exponentialverteilung, aber nie einer polynomiellen Verteilung (Potenzgesetz). Das Attrativitätsmodell erzeugt eine Gradverteilung die (nur) dem Potenzgesetz folgt. Potenzgesetz (power-law): Das Potenzgesetz bezeichnet einen polynomiellen Zusammenhang f(x) = ax b, der bei omplexen Netzweren häufig zwischen den Graden der Knoten und ihrer Wahrscheinlicheit P () zu beobachten ist: P () γ Ein Potenzgesetz ergibt sich aus exponentiellem Wachstum, wenn sowohl die Anzahl 3

4 lin lin lin Exponential Potenzgesetz Abbildung 2: Exponentialverteilung versus Potenzgesetz. Eine Exponentialverteilung P () e λ fällt schneller ab als eine Verteilung nach dem Potenzgesetz P () γ. Die Wahrscheinlicheit star vernetzter Knoten ist daher bei einer Exponentialverteilung viel geringer als beim Potenzgesetz. (Knoten) als auch die Größe (Grad der Knoten) sich exponentiell ändert, siehe auch Abbildung 2. Bei einer Gradverteilung nach dem Potenzgesetz sind auch extrem star vernetzte Knoten nicht unwahrscheinlich. Salenfreie Netzwere (scale-free networs): Für Netzwere mit der Eigenschaft des polynomiellen Zusammenhangs (Potenzgesetz) zwischen Wahrscheinlicheit P () und Grad wurde von Albert-László Barabási auch die Bezeichnung salenfrei eingeführt. Netzwere mit einer Gradverteilung, die dem Potenzgesetz folgt, werden als salenfreie Netzwere bezeichnet. Salenfreiheit (Saleninvarianz) spielt eine große Rolle in der Chaostheorie und bedeutet, dass auf unterschiedlichen Salen immer wieder die gleichen Charateristien (Muster) auftreten (Selbstähnlicheit). Salenfreiheit, Saleninvarianz oder auch Salenunabhängigeit beschreibt die Eigenschaft eines Zustands, Vorgangs oder Verhältnisses, bei dem auch bei Veränderung der Betrachtungsgrößen (Salierung) die Charateristi weitestgehend erhalten bleibt: f(x) f(cx). 4

5 Literatur Amaral, L.A.N., Scala, A., Barthélémy, M., Stanley, H.E. Classes of small-world networs. PNAS, 97(21): , 2. Barabási, A., Albert, R. Emergence of scaling in random networs. Science, 286:59 512,