Formelsammlung zum Starterstudium Mathematik

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1 Formelsammlung zum Starterstudium Mathematik Universität des Saarlandes ¼ Version.3

2 Inhaltsverzeichnis. Potenzgesetze. Vollständige Induktion 3. Betragsgleichungen, Betragsungleichungen 4 4. Folgen und Summen 5 5. Ableitungen 6 6. Grenzwerte 7 7. Stetigkeit 8 8. Gerade, Tangente, Normale, Newton-Verfahren 8 9. Integralrechnung 0 A. Griechisches Alphabet B. Zahlenmengen C. Beispiele

3 . Potenzgesetze Das n-fache Produkt a } a a {{... a} einer Zahl a Ê mit sich selbst wird als n-te Potenz a n n mal dieser Zahl bezeichnet. a wird als Basis, n als Exponent bezeichnet.. Definition Ist a > 0 so definieren wir a 0 := und für m, n Æ a m n := n a m und a m n := a m n. Im Speziellen ergibt sich dann a n := n a und a n := a n.. Satz (Potenzgesetze) Sind a, b > 0, so gelten die folgenden Rechenregeln: P: n, m É : a n a m = a n+m P: n, m É : (a n ) m = a n m = (a m ) n P3: n É : (a b) n = a n b n Unter dem Logarithmus einer Zahl u > 0 zur Basis b > 0, b, oder als Formel geschrieben x = log b (u), wird die reelle Zahl x verstanden, für die b x = u gilt. Kurz b x = u log b (u) = x..3 Satz (Logarithmengesetze) Sind a, b > 0 mit a, b, dann gelten folgende Rechenregeln: L: u, v > 0 : log a (u v) = log a (u) + log a (v) ( u, v > 0 : log u ) a v = log a (u) log a (v) L: u > 0, x É : log a (u x ) = x log a (u) (speziell log a u = log a (u)) L3: u > 0 : log a (u) = log a (u) = log b (u) log b (a) (speziell log a (u) = ln(u) ln(a) ) Weiterhin gilt (L) a > 0 : log n a = log(a) n.. Vollständige Induktion. Satz Sei a(n) eine Aussageform, deren Definitionsbereich aus den natürlichen Zahlen Æ besteht mit den folgenden Eigenschaften

4 ) a(n 0 ) ist wahr für ein festes n 0 in Æ ) Für alle natürliche Zahlen m n 0 gilt die Implikation a(m) = a(m + ). Dann ist a(n) wahr für alle natürliche Zahlen n n 0.. Bemerkung Das Beweisverfahren der Vollständigen Induktion erfogt in zwei voneinander unabhängigen Schritten.. Induktionsanfang: Man zeigt, dass die Aussageform a(n) für einen beliebigen aber festen Wert n 0 gilt, d.h. dass a(n 0 ) wahr ist.. Induktionsschritt: a(m) = a(m + ). Induktionsannahme (oder Induktionsvoraussetzung) a(m) sei wahr. Induktionsschluss Der Induktionsschritt bedeutet: Wenn a(m) wahr ist, dann ist a(m+) wahr. Es wird aber keinesfalls ausgesagt, dass a(m) oder a(m + ) tatsächlich wahr ist. m ist dabei beliebig..3 Beispiel (Gaußsche Summenformel) Zu zeigen ist die Aussage (Behauptung) n Æ : a(n) := ( n k = ) n(n + ). Induktionsanfang: Im ersten Schritt, dem Induktionsanfang ist zu zeigen, dass ein n 0 Æ existiert, für das die Aussage a(n 0 ) wahr ist. Probiere n 0 =. Zu zeigen Beweis k = ( + ) k = = ( + ) für n 0 = ist die Aussage a(n 0 ) wahr. Achtung: der Beweis gilt nur für n n 0, deshalb ist es günstig mit dem kleinsten n 0, für das a(n 0) wahr ist, zu beginnen. 3

5 . Induktionsschritt: a(m) = a(m + ) Im Induktionsschritt muss nun gezeigt werden, dass der Schluß von a(m) auf a(m + ) gültig ist. Induktionsannahme a(m) sei wahr für ein beliebiges aber festes m Æ, m n 0 m k = m(m + ) Zu zeigen m+ Beweis m+ k = (m + )((m + ) + ) k = m k + m+ k=m+ k = m k + (m + ) Ann. = m(m + ) + (m + ) = m + 3 m + = (m + )(m + ) 3. Betragsgleichungen, Betragsungleichungen 3. Definition Die Betragsfunktion : Ê Ê + 0 ist definiert durch: x x := { x für x 0 x für x < 0 3. Satz Für alle x, y Ê gelten folgende Eigenschaften i) x 0 iv) x = 0 x = 0 ii) x = x v) x y = y x iii) x y = x y vi) x x y = y für y 0 und folgende Äquivalenzen i) x < y x < y x > y ii) x y x y x y iii) x > y x > y x < y iv) x y x y x y v) x y x y x y. 4

6 4. Folgen und Summen 4. Definition (Summenzeichen) Ist (a i ) n i= = a, a, a 3,..., a n eine Folge von Zahlen, so definieren wir die Summe n Zahlen a,..., a n durch i= a i der a i := a i= und ( k+ k ) a i := a i + a k+. i= i= Es ergibt sich also n a i = a + a a n. Außerdem trifft man die Konvention für n < m 4. Satz i= n i=m a i := 0 Seien (a k ) k und (b k ) k reelle Folgen. Sind m, n mit m n, so erhält man folgende Rechenregeln: a) Für alle λ, µ Ê gilt: n n n (λ a k + µ b k ) = λ a k + µ b k k=m k=m k=m (Linearität) b) Ist a k = c für alle k, so gilt: n n a k = c = (n m + ) c k=m k=m c) Für l mit m < l < n gilt: n l n a k = a k + a k k=m k=m k=l+ (Assoziativgesetz) d) Ist l so gilt: n a k = k=m n l k=m l a k+l = n+l k=m+l a k l (Indextransformation) 4.3 Definition (Fakultät) Die Fakultät ist definiert durch (n Æ): 0! =! := und (n + )! := (n + ) n! Somit ergibt sich für alle natürlichen Zahlen n: n! =... n 5

7 4.4 Definition (Binomialkoeffizient) Der Binomialkoeffizient ( n k) für alle n, k Æ0 ist definiert durch: n := k n! k!(n k)! für k n 0 für k > n 4.5 Satz (Binomischer Lehrsatz) Für reelle Zahlen a, b und n Æ gilt: (a + b) n = n k=0 n a n k b k = k n k=0 n a k b n k k Arithmetische und geometrische Folgen a) Arithmetische Zahlenfolgen sind definiert durch die rekursive Vorschrift a n+ = a n + d, wobei d Ê eine fest vorgegebene konstante Zahl ist. Offensichtlich gilt dann: a n = a + (n ) d (Bildungsgesetz der arithmetischen Folge) Ist (a k ) k eine arithmetische Zahlenfolge, so gilt: n k=m a k = n m + (a m + a n ) b) Geometrische Zahlenfolgen sind definiert durch die rekursive Vorschrift b n+ = b n q, wobei q eine fest vorgegebene reelle Zahl ist. Offensichtlich gilt dann: b n = b q n (Bildungsgesetz der geometrischen Folge) Ist (b k ) k eine nicht konstante geometrische Zahlenfolge, so gilt: n k=m 5. Ableitungen 5. Definition b k = b m bn+ b m b m+ b m Eine Funktion f : Ê (mit Ê) heißt differenzierbar im Punkt x 0, wenn der Grenzwert f(x) f(x 0 ) f l := lim = lim x x 0 x 0 x existiert. l wird die Ableitung von f an der Stelle x 0 genannt und man schreibt l = f (x 0 ) bzw. l = df dx (x 0). 6

8 Eine Funktion f heißt differenzierbar auf dem Definitionsbereich, wenn f in jedem x differenzierbar ist. Die Abbildung x df dx (x) = f (x) heißt Ableitung von f und man schreibt: df dx oder f. 5. Satz Seien f und g zwei reellwertige, auf dem gemeinsamen Definitionsbereich ( Ê) differenzierbare Funktionen und a, b Ê so gilt: a) Linearität ( a f(x) + b g(x)) = a f (x) + b g (x) b) Produktregel ( f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) c) Quotientenregel f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) [g(x)] für g(x) 0 d) Kettenregel (f ( g(x) )) = f ( g(x) ) 6. Grenzwerte 6. Satz } {{ } äußere g (x) }{{} inner Abl. Existieren lim f(x) und lim g(x), so gelten folgende Aussagen (analog für x ± ): a) lim ( a f(x) + b g(x) ) = a lim f(x) + b lim g(x) b) lim ( f(x) g(x) ) = lim f(x) lim g(x) c) lim f(x) g(x) = lim f(x) lim g(x) d) lim f ( g(x) ) = f ( lim g(x) ) für lim g(x) 0 falls f stetig ist mit a, b Ê 6. Satz (L Hospital) Sei x 0 Ê {, }, f und g differenzierbare Funktionen mit lim f(x) = lim g(x) = 0 f oder lim f(x) = lim g(x) = ± und existiert der Grenzwert lim (x) g (x) so gilt f(x) lim g(x) = lim f (x) g (x) für g (x) 0. 7

9 7. Stetigkeit Eine Funktion f : Ê mit Ê bezeichnet man als stetig im Punkt x 0, wenn die Funktion an diesem Punkt definiert ist und weiter gilt, dass linksseitiger Grenzwert lim f(x) x x 0 gleich rechtsseitiger Grenzwert lim f(x) gleich Funktionswert f(x 0 ) an der Stelle x 0 sind. x x + 0 Die Funktion f heißt stetig, falls sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist. Wir sagen, f ist unstetig in x 0, wenn f in x 0 nicht stetig ist. Schließlich ist f unstetig, wenn f in mindestens einem Punkt des Definitionsbereiches unstetig ist. 7. Satz Sei f : Ê eine Funktion und x 0. Die Funktion f heißt stetig im Punkt x 0, wenn gilt lim f(x) = f(x 0 ) = lim f(x). x x 0 x x Satz Seien f, g : Ê mit Ê stetig. Dann sind auch f + g, αf (α Ê), f g und f g stetig, allerdings muss der Definitionsbereich von f g für den Fall, dass g eine oder mehrere Nullstellen hat, auf den Bereich := {x g(x) 0} eingeschränkt werden. Die Komposition f g zweier stetiger Funktionen ist ebenfalls stetig. 8. Gerade, Tangente, Normale, Newton-Verfahren Geradengleichung Allgemeine Geradengleichung: y = f(x) = m x + n Wobei m die Steigung angibt und n den y-achsenabschnitt. Falls g senkrecht auf f steht (g f), gilt: m f m g = Tangentengleichung Die Tangentengleichung durch den Punkt P = (x 0, f(x 0 )) an den Graph der differenzierbaren Funktion f ist gegeben durch t(x) = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ). Normalengleichung Die Normalengleichung durch den Punkt P = (x 0, f(x 0 )) an den Graph der differenzierbaren Funktion f ist gegeben durch n(x) = f (x 0 ) (x x 0) + f(x 0 ). 8

10 Newton-Verfahren Das Newtonverfahren (Newtonsche Näherungsverfahren) ist eines der Standardverfahren zur numerischen Lösung von nichtlinearen Gleichungen. Im Falle einer Gleichung mit einer Variablen lassen sich zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion f : Ê Ê Näherungswerte zu Lösungen der Gleichung f(x) = 0, d.h. Näherungen der Nullstellen dieser Funktion finden. Die grundlegende Idee dieses Verfahrens ist, die Funktion in einem Ausgangspunkt zu linearisieren, d.h. ihre Tangente zu bestimmen, und die Nullstelle der Tangente als verbesserte Näherung der Nullstelle der Funktion zu verwenden. Die erhaltene Näherung dient als Ausgangspunkt für einen weiteren Verbesserungsschritt. Diese Iteration erfolgt bis die Änderung in der Näherungslösung eine festgesetzte Schranke unterschritten hat. 6 5 t 0 (x) = 4x 5 4 t (x) =.5x (x 0, f(x 0 )) (x, f(x )) x =, 5 x 0 = Abbildung : Newtonverfahren f : Ê + Ê mit f(x) := x Beispielsweise ist die Gleichung e x = x + nicht analytisch lösbar, obwohl x = 0 die Gleichung löst. Diese Gleichung zu lösen ist äquivalent mit dem Nullstellenproblem der Funktion f : Ê Ê mit f(x) := e x +x. 9

11 Berechnet man die Nullstelle der Tangente t(x) = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) so ergibt sich 0 = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) x = x 0 f(x 0) f (x 0 ) Iteriert man diese Vorgehensweise, ergibt sich folgende Aussage. 8. Satz Sei f : [a, b] Ê eine stetig differenzierbare Funktion, die im Intervall ]a, b[ eine Nullstelle hat, so kann diese Nullstelle über die Iterationsformel x n+ = x n f(x n) f (x n ) approximiert werden. Vergleiche hierzu Abbildung auf Seite Integralrechnung 9. Satz (Partielle Integration) Sind f, g : [a, b] Ê stetig differenzierbare Funktionen, so ist f(x)g(x) f (x)g(x)dx eine Stammfunktion von f(x)g (x), d.h. es gilt: b a [ ] b b f(x)g (x)dx = f(x)g(x) a a f (x)g(x)dx 9. Satz (Substitution) Sei die Funktion f : Ê (mit Ê) stetig und die Funktion g : [a, b] Ê stetig differenzierbar. Gilt g([a, b]), so kann f g gebildet werden, und es gilt: b a f ( g(x) ) g (x)dx = g(b) g(a) f(y)dy wobei y = g(x) 0

12 A. Griechisches Alphabet B. Zahlenmengen klein GROSS Name α alpha β beta γ Γ gamma δ delta ǫ, ε epsilon ζ zeta η eta θ, ϑ Θ theta ι iota κ kappa λ Λ lambda µ my ν ny ξ Ξ xi o omikron π, Π pi ρ, rho σ, ς Σ sigma τ tau υ Υ ypsilon φ, ϕ Φ phi χ chi ψ Ψ psi ω Ω omega Natürliche Zahlen Æ := {,, 3,...} Æ 0 := {0,,,...} Ganze Zahlen := {..., 3,,, 0,,, 3,...} Rationale Zahlen É := { p q p, q Æ} B. Beispiel Reelle Zahlen Ê := É irrationalen Zahlen e =, Ê und π = 3, Ê

13 C. Beispiele C. Beispiel zu den Potenzgesetzen a) a a 3 = (a a) (a a a) = a 5 = a +3 b) (a ) 3 = (a ) (a ) (a ) = (a a) (a a) (a a) = a 6 = a 3 c) (a b) = (a b) (a b) = a a b b = a b d) für a > 0: a = a, a 0 =, a n = a, n am a n = a m n C. Beispiel zu den Logarithmusgesetzen a) a x = b log a (b) = x für a, b > 0 und a, b denn a x = b ln(a x ) = ln(b) x ln(a) = ln(b) x = ln(b) ln(a) = log a(b) b) x = 8 log (8) = x also x = 3 c) ln(a) := log e (a) und lg(a) := log 0 (a) d) ln(e x ) = x = e ln(x) für x > 0 C.3 Beispiel zum Summenzeichen a) b) c) d) e) 4 k = ( a k +3 b k ) = a +3b +a +3b = a +a +3b +3b = (a +a )+3(b +b ) = a k + 3 b k 6 c = c + c + c = (6 4 + ) c k=4 4 k = ( ) + ( ) + ( 3) + ( 4) = k + 4 k k=3 3 k = = (k + ) = (0 + ) + ( + ) + ( + ) k=0 C.4 Beispiel zu arithmetschen Folgen

14 a) ist eine aritmetische Folge mit der Differenz d = a k+ a k = und a =. Es gilt also a = a = a + a 3 = a + = a + + = a + a 4 = a 3 + = a = a + 3. a k = a + (k ) d = + (k ) Bildungsgesetz b) ist eine aritmetische Folge mit der Differenz d = a k+ a k = 5 und a = 0 C.5 Beispiel zu geometrischen Folgen a) ist eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotient q = b k+ b k gilt also b = 3 b = b b 3 = b = b = b b 4 = b 3 = b = b 3. b k = b q k = 3 k Bildungsgesetz = und b = 3. Es b) ist eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotient q = b k+ b k = und b = 00 C.6 Beispiel zum Binomialkoeffizient n n =, =, n 0 n = k 0 = 7 5 = 3 n = n, n! k! (n k)! = n! (n k)! k! = n = n n n n k 0! 7! (0 7)! = 0! 7! 3! = 0! 3! (0 3)! = 0 3 5! 3! (5 3)! = 5! 3!! = = 5 4 = 0 3

15 C.7 Beispiel zum Binomischen Lehrsatz a) (a + b) = a + ab + b b) (a b) = a ab + b c) (a + b) (a b) = a b C.8 Beispiel zur Stetigkeit Wir wollen die Funktion f : Ê \ {0} Ê mit x x auf Stetigkeit untersuchen Abbildung : Graf der Funktion f : Ê \ {0} Ê mit x x. Betrachten wir den Fall x 0 0: Dann gilt lim f(x) = lim x = x 0 = f(x 0 ). Für x 0 0 ist f somit an jeder Stelle x 0 Ê \ {0} stetig. 4

16 Da die Stelle x 0 = 0 nicht im Definitionsbereich von f liegt, ist f auf dem gesamten Definitionsbereich stetig. C.9 Beispiel zu Ableitungen a) Sei f : Ê Ê mit x x. Dann ergibt sich für die Ableitung f (x 0 ) := lim an der Stelle x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f (x 0 ) = x x 0 lim x x 0 = (x x 0 ) (x + x 0 ) lim x x 0 = lim x + x 0 = x 0 und damit als Ableitung f : Ê Ê mit f (x) := x. 5

17 b) Tabelle zu häufigen Ableitungen f(x) f (x) c 0 x ax x n a nx n x x für x 0 x x für x Ê + e x e x ae x e ax e f(x) ae x ae ax e f(x) f (x) ln(x) x für x > 0 a ln(x) c g(x) a x für x > 0 c g (x) a x g(x) n sin(x) cos(x) a x ln(a) n g(x) n g (x) cos(x) sin(x) tan(x) cos (x) sin(g(x)) cos(g(x)) g (x) cos(g(x)) sin(g(x)) g (x) 6