2. Zehnerpotenzen 2.1 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten 2.2 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten 2.3 Zusammenfassung von 2.
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- Helge Fürst
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1 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Zusmmefssug: Poteze / Wurzel Potez 1 Ws ist eie Potez? 2 Poteze mit positivem Expoete 3 Poteze mit egtivem Expoete 4 Zusmmefssug vo 2. Zeherpoteze 2.1 Zeherpoteze mit positivem Expoete 2.2 Zeherpoteze mit egtivem Expoete 2.3 Zusmmefssug vo Poteze mit gleicher Bsis 3.1 Multipliktio 3.2 Divisio 3.3. Zusmmefssug vo Poteze mit gleichem Expoete 4.1 Multipliktio 4.2 Divisio 4.3 Zusmmefssug vo Beispiele 5.1 Beispiele zu 5.2 Beispiele zu Beispiele zu Beispiele zu Wurzel 6.1 Poteze ud Rdiziere 6.2 Poteze ud Rdiziere 6.3 Zusmmefssug vo Beispiele zu Wurzel 7.2 Poteziere/Rdiziere 7.3 Wurzel 8. Poteze mit rtiole Expoete 8.1 Rtiole Expoete 8.2 Defiitio 8.3 Potezgesetze für rtiole Zhle 8.4 Zusmmefssug vo Beispiele zu 8. ud Beispiele zu Beispiele zu Zusmmefssug 10.1 Zeherpoteze / Poteze 10.2 Potezgesetze im Bereich Z 10.3 Potezgesetze im Bereich R Wurzel 10.5 Poteziere vo Poteze
2 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Potez 1 Ws ist eie Potez? : Bsis :Expoet!!!! = -ml 2 Poteze mit positivem Expoete! 2 =! 3 Poteze mit egtivem Expoete 2-2 =1/(2) 2 = ¼ =0,25-2! 1/ 2 - =1/ Ds egtive Vorzeiche des Expoete bewirkt eie Bruch. 4 Zusmmefssug vo =!!...! -ml 2. - =1/ 3. : Bsis :Expoet
3 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Zeherpoteze 2.1 Zeherpoteze mit positivem Expoete Potezschreibweise Dezimlschreibweise Beschreibug Eie Eis mit 8 Nulle Eie Eis mit 7 Nulle Eie Eis mit 2 Nulle Eie Eis mit 1 Nulle Eie Eis mit 0 Nulle 2.2 Zeherpoteze mit egtivem Expoete Potezschreibweise Dezimlschreibweise Beschreibug ,1 Eie Eis der Nchkommstelle ,01 Eie Eis der 2. Nchkommstelle ,001 Eie Eis der 3. Nchkommstelle ,0001 Eie Eis der 7. Nchkommstelle ,00001 Eie Eis der 8. Nchkommstelle , Eie Eis der 9. Nchkommstelle - =1/ Ds egtive Vorzeiche des Expoete bewirkt eie Bruch.
4 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Zusmmefssug vo Eie Eis mit 1 Nulle Eie Eis mit 0 Nulle 10 0 = = ,1 Eie Eis der Nchkommstelle ,01 Eie Eis der 2. Nchkommstelle ,001 Eie Eis der 3. Nchkommstelle 10-1 =1/10 1 =1/ =1/10 2 =1/10*10=1/ =1/10 3 =1/10*10*10=1/1000
5 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Poteze mit gleicher Bsis 3.1 Multipliktio p * q =(!!... )! (!!... )=!!...! = p+q p Fktore q Fktore Beispiel zu 3.1: 6 3! 6-4 =6 3+(-4) =6-1 =1/6 1 =1/6 3.2 Divisio p Fktore p-q Fktore p : q = p / q =!!! /!!! =!!! /1=!!! (=0, p, q>0 ud p>q) q Fktore p-q Fktore p Fktore p-q Fktore p : q = p / q =!!! /!!! =1/!!! =1/ q-p = -(q-p) = p-q q Fktore (=0, p, q>0 ud p>q) Beispiel zu 3.2: 6 3! 6-4 =6 3-(-4) =6 7 =6! 6! 6! 6! 6! 6! 6= Zusmmefssug vo 3. Multipliktio p! q = p+q 2. Divisio p : q = p-q
6 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Poteze mit gleichem Expoete 4.1 Multipliktio p! b p =!!!! b! b! b=(b)(b)!! (b)=(b) p (p<0) p Fktore p Fktore p Fktore Beispiel zu 4.1: 2 2! 3 2 =(2*3) 2 =6 2 = Divisio: p Fktore p :b p =!!! /b! b! b=/b! /b!! /b=(/b) p (p>0 ud b=0) p Fktore p Fktore p Fktore Beispiel zu 4.2: 2 2 :3 2 =(2:3) 2 =(2/3 ) 2 =4/9 4.3 Zusmmefssug zu 4. Multipliktio p *b p =(! b) p 2. Divisio p :b p =(:b) p =(/b) p (=0; b=0)
7 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Beispiele 5.1 Beispiele zu ) 7 3 b) Beispiele zu 2. ) 10 0 b) Beispiele zu 3. ) 7 2 *7-4 b) 7 2 : Beispiele zu 4. ) 6 3 *5 3 b) 6 3 :5 3 Lösuge: ) 7 3 =343 b) 2-2 = ¼ =0,25 ) 10 0 =1 b) 10-7 =1/ ) 7 2! 7-4 =1/49 b) 7 2 :7-4 =11702 ) 6 3! 5 3 =30 3 =27000 b) 6 3 :5 3 =(6/5) 3 = 1 91/125
8 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Wurzel 6.1 Poteze ud Rdiziere Poteziere x x Rdiziere Poteziere x x Rdiziere Der Rdikd eier -te Wurzel muss stets größer oder gleich 0 sei. 6.2 Poteziere ud Rdiziere Poteziere: M rechet mit eier Potez. x 0, x 1, x 2, x 3 Rdiziere/Wurzelziehe: M mcht us eier Wurzel eie Potez oder Zhl.!4=2 3!8=2, de 2! 2! 2=8 3!8=2 1 "
9 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Zusmmefssug vo 6. Poteziere x=2!x 2 =4 2. Rdiziere / Wurzelziehe!4=2 3. Wurzel 1 "
10 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Beispiele zu Wurzel )!4 b)!9 7.2 Poteziere/Rdiziere ) x 3 ; x=6 b) x 2 ; x=1 7.3 Wurzel ) 3!8 b) 3!27 Lösuge: ) 2 b) 3 2. ) 6 3 =216 b) 1 2 =1 3. ) 3!8 =2, de 2! 2! 2=8 b) 3!27=3, de 3! 3! 3=27
11 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Poteze mit rtiole Expoete 8.1 Rtiole Expoete!2 8 =2 4!2 4 =2 2!2 2 =2 1!2=2 ½ 3!5 27 =5 9 3!5 9 =5 3 3!5 3 =5 1 3!5=5 1/3 Überträgt m ds Gesetz für Poteze vo Poteze uf rtiole Expoete, so erhält m: ( 1/ )= 1/* = / = (>0 ud us N) derseits ist uch: (!) = (>0 ud us N) 8.2 Defiitio Defiitio: Für >0, p us Z ud q us N ist: Isbesodere ist für us N, >1 p q 1 " " q p 8.3 Potezgesetze für rtiole Expoete: Sid r ud s rtiole Zhle ud ud b positive reelle Zhle, so ist: Für Poteze mit gleicher Bsis: r! s = r+s ud r : s = r-s Für Poteze mit gleichem Expoete: r! b r =(*b) r ud r :b r =(:b) r Für Poteze vo Poteze: ( r ) s = r! s
12 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Zusmmefssug vo 8. Überträgt m ds Gesetz für Poteze vo Poteze uf rtiole Expoete, so erhält m: ( 1/ )= 1/* = / = (>0 ud us N) derseits ist uch: " " (>0 ud us N) 2. Defiitio: Für >0, p us Z ud q us N ist: Isbesodere ist für us N, >1 p q 1 " " q p 3. Potezgesetze für rtiole Expoete: Sid r ud s rtiole Zhle ud ud b positive reelle Zhle, so ist: Für Poteze mit gleicher Bsis: r! s = r+s ud r : s = r-s Für Poteze mit gleichem Expoete: r! b r =(! b) r ud r :b r =(:b) r Für Poteze vo Poteze: ( r ) s = r! s
13 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Beispiele zu Beispiele zu 8. Bereche. )!2 8 b)!2 2 c) 3!5*2 d) 9!x*x 10.2 Beispiele zu 9. Bereche. ) (!5 ) 3!5 b) b 3!2+1 /b 2!2-2 Lösuge: )!2 8 =! 2 4 b)!2 2 =!2 1 c) 3!5! 2 = 3!5! 3!2 3 = 3!5! 2 3 = 3!5! 8= 3!40 d) 9!x! x= 9!x!!x =!x! x =!x ) (!5 ) 3!5 =!5! 3!5 = 3*5 = 15 b) b 3!2+1 /b 2!2-2 =b 3!2+1-(2!2-2) b 3!2+1-2!2+2 =b!2+3
14 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Zusmmefssug 10. Zusmmefssug 10.1 Zeherpoteze / Poteze 10.2 Potezgesetze im Bereich Z 10.3 Potezgesetze im Bereich R Wurzel 10.5 Poteziere vo Poteze 10.1 Zeherpoteze / Poteze 10.1 =!!...! -ml 10.2 # 1 " 10.3 : Bsis :Expoet 10.4 Zeherpoteze mit positivem Expoet Eie Eis mit 1 Nulle Eie Eis mit 0 Nulle 10 0 = =10 15 Zeherpoteze mit egtivem Expoet ,1 Eie Eis der Nchkommstelle ,01 Eie Eis der 2. Nchkommstelle ,001 Eie Eis der 3. Nchkommstelle 10-1 =1/10 1 =1/ =1/10 2 =1/10*10=1/ =1/10 3 =1/10*10*10=1/1000
15 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Potezgesetze im Bereich Z Poteze mit gleicher Bsis Multipliktio p! q =(!!... )! (!!... )=!!...! = p+q p Fktore q Fktore Divisio p Fktore p-q Fktore p : q = p / q =!!! /!!! =!!! /1=!!! (=0, p, q>0 ud p>q) q Fktore p-q Fktore p Fktore p-q Fktore p : q = p / q =!!! /!!! =1/!!! =1/ q-p = -(q-p) = p-q q Fktore (=0, p, q>0 ud p>q) Poteze mit gleichem Expoete Multipliktio p! b p =!!!! b! b! b=(b)(b)!! (b)=(b) p (p<0) p Fktore p Fktore p Fktore Divisio p Fktore p :b p =!!! /b! b! b=/b! /b!! /b=(/b) p (p>0 ud b=0) p Fktore p Fktore p Fktore
16 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Potezgesetze im Bereich R Poteze mit gleicher Bsis Multipliktio p! q =(!!... )! (!!... )=!!...! = p+q p Fktore q Fktore Divisio p Fktore p-q Fktore p : q = p / q =** */ ** *=** */1=** * (=0, p, q>0 ud p>q) q Fktore p-q Fktore p Fktore p-q Fktore p : q = p / q =** */ ** *=1/ ** * =1/ q-p = -(q-p) = p-q q Fktore (=0, p, q>0 ud p>q) Poteze mit gleichem Expoete Multipliktio p *b p =** **b*b* b=(b)(b)* *(b)=(b) p (p<0) p Fktore p Fktore p Fktore Divisio p Fktore p :b p =** */b*b* b=/b*/b* */b=(/b) p p Fktore p Fktore p Fktore (p>0 ud b=0)
17 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Wurzel Wurze Rdiziere 3!8=2, de 2*2*2=8 3!8=2 1/ =! Wurzel Poteziere x x Rdiziere Poteziere x x Rdiziere Der Rdikd eier -te Wurzel muss stets größer oder gleich 0 sei.
18 Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG Poteziere: M rechet mit eier Potez. x 0, x 1, x 2, x 3 Rdiziere/Wurzelziehe: M mcht us eier Wurzel eie Potez oder Zhl.!4= Poteziere vo Poteze Poteziere vo Poteze ( p ) q = pq (3 2 ) 3 =9 3 =9*9*9= (3 2 ) 3 =3 2*3 =3 6 =3*3*3*3*3*3=729
Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze
R. Brik http://rik-du.de Seite 9.0.00 Poteze, Wurzel ud ihre Rechegesetze Der Potezegriff Defiitio: Eie Potez ist eie Multipliktio gleicher Fktore (Bsis), ei der der Epoet die Azhl der Fktore git. : =...
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthemtik Repetitiosufge Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Voremerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufge Poteze mit Musterlösuge F) Aufge Potezgleichuge mit Musterlösuge
ALGEBRA Potenzen Teil 2. Trainingsheft. Alle Regeln Musterbeispiele - Trainingsaufgaben. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
ALGEBRA Poteze Teil it egtive Expoete Triigsheft Alle Regel Musterbeispiele - Triigsufgbe Dtei Nr. 0 Std 9. Dezeber 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.the-cd.de 0 Potezreche
Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Durch Berechnung der entsprechenden Wurzel entsteht wieder der Wert der Basis.
. Wurzel Ds Wurzelziehe (Rdiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Durch Berechug der etsprechede Wurzel etsteht wieder der Wert der Bsis. poteziere Wurzel ziehe. Die Qudrtwurzel Ds Ziehe der Qudrtwurzel
Teil I.1 Rechnen mit reellen Zahlen
Brückekurs Mthetik Ihlt Teil I. Reche it reelle Zhle Sttliche Studiekdeie Leipzig Studierichtug Ifortik Reelle Zhle. Zhlbereiche.2 Grudrecherte.3 Potez- ud Wurzelrechug.4 Logrithe Dr. Christi Heller 2.
ALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Grudlge Muskript zur Wiederholug Dtei Nr. Dezember 00 Friedrich W. Buckel Itertsgymsium Schloß Torgelow Ihlt Poteze mit türliche Expoete Potezgesetze Poteze mit egtive gze Expoete
FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK. by Marcel Laube
FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK y Mrcel Lue EINFÜHRUNG... DIE OPERATIONS-STUFEN... OPERATIONE 1. STUFE: ADDITION UND SUBTRAKTION... BEZEICHNUNGEN... VORZEICHENREGEL... RECHENOPERATION. STUFE... MULTIPLIKATION:...
Seminarstunden S-Std. (45 min) Nr. Modul Theorie Übungen. 14 Potenzieren und Radizieren 1 1
Mthemtik Grudlge Poteziere ud Rdiziere Mthemtik Grudlge für Idustriemeister Semirstude S-Std. (45 mi) Nr. Modul Theorie Üuge 4 Poteziere ud Rdiziere Ihlt 4 Poteziere ud Rdiziere... 4. Poteziere... 4..
6.1 Einführung Wenn bei einer Multiplikation lauter gleiche Faktoren auftreten, so wird dafür meistens die Potenzschreibweise gewählt.
Poteziere 6 Poteziere 6. Eiführug We bei eier Multipliktio luter gleiche Fktore uftrete, so wird dfür meistes die Potezschreibweise gewählt.... = Fktore Potezwert Es ist =, =, =, : Bsis oder Grudzhl, R
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7. Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergit. x x für 0 9 9 * : Wurzelexpoet, N ud : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer t) Poteziere: Bsis ud Expoet sid gegee,
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit
Uiversität Regesburg Nturwisseschftliche Fkultät I Didktik der Mthetik Dr. Güter Rotheier WS 008/09 Privte Vorlesugsufzeichuge Kei Aspruch uf Vollstädigkeit 5 7 Eleetrthetik (LH) ud Fehlerfreiheit. Zhlebereiche.5.
mathphys-online WURZELFUNKTIONEN Graphen der n-ten Wurzelfunktion y-achse
mthphys-olie WURZELFUNKTIONEN Grphe der -te Wurzelfuktio.5.5.5 0.5 0 0.5.5.5.5.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 = = = mthphys-olie Wurzelfuktioe Ihltsverzeichis Kpitel Ihlt Seite Die Wurzel ud Wurzelgesetze Die eifche
Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2 1
Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 1 Reche mit Poteze N bezeichet die Mege der türliche Zhle, Q die Mege der rtiole Zhle ud R die Mege der reelle Zhle. N bedeutet: ist eie türliche Zhl.
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthetik Repetitiosufgbe Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Vorbeerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufgbe Poteze it Musterlösuge F) Aufgbe Potezgleichuge it Musterlösuge
Zahlenbereiche. Jeder Zahlenbereich ist eine Erweiterung des vorigen und enthält diesen
Mthemtik Ihlt Zhlebereiche Recheopertioe Hierrchie der Recheopertioe Recheregel Brüche Recheregel für Brüche Klmmerreche Potezrechug Potezgesetze Ntürliche Zhle Zhlebereiche Jeder Zhlebereich ist eie Erweiterug
Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen
Techikerschule Aufge für Klusure ud Aschlussprüfuge Epoetilgleichuge, Logrithmusgleichuge Grudlgewisse: Recheregel zur Epoetil- ud Logrithmusrechug. Hiweise ud Formelsmmlug siehe Seite - 5. Bereche Sie.
R. Brinkmann Seite e) 2ad = 8a d. b) ( )( ) b) b 4b = 20b e) 2 3 5
R. Brik http://rik-du.de Seite 7.0.0 Lösuge Poteze II Ergeisse: E Ergeisse ) d 8 d e) d 8 d ) f) 8 E Ergeisse ) d 6 d d d ) y y y E Ergeisse ) + + 6 + E Ergeisse ) 8 + 8 7 + 0( ) ) 7 y + y 8 y + 9 E E6
Elementare Algebra. (Arithmetik, Schulmathematik) Seite
Ausgbe 2007-09 Eleetre Algebr (Arithetik, Schulthetik) Seite Betrg reeller Zhle 10 Bioe Itervlle 10 Liere Fuktioe 8 Liere Gleichuge 8 Mittelwerte Potezgesetze 6 Qudrtische Fuktioe 9 Qudrtische Gleichuge
f) n n 2 x x 4 für n gerade; x für n ungerade
R. Brik http://brik-du.de Seite 7.09.0 Lösuge Poteze I Ergebisse: E E E Ergebisse ( ) = 9 ; ( ) = 7 ; ( ) = 8 ; = ; 7 = ; = 7 ; = 9 ; ( ) = 7 9 Ergebisse x x x x x x ) ( + ) = + ( + ) = + c) x + x = (
2.1.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten
.. Poteze mit türliche Expoete Eie Potez (gelese: hoch ) ist eie bgekürzte Schreibweise für ds Produkt us gleiche Fktore : = wobei > eie türliche Zhl ist heisst Bsis, Expoet der Potez. Beispiele: 5 = =
Logarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines
Eie Gleichug höhere Grdes wie z. B. Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 I. Allgemeies k ch ufgelöst werde, idem m die Wurzel zieht. Tritt die Uekte jedoch im Epoete eier Potez uf, spricht
Also definieren wir: Die Definition ist damit unabhängig vom Kürzen oder Erweitern des Exponenten.
7. Poteze mit rtiole Expoete Eiführedes Beispiel: Wir versuche ls Potez vo zu schreie. Bei dieser Erweiterug solle die isherige Potezgesetze gültig leie. x mit poteziert x x ( ) ( ) log 8 Also defiiere
Terme. Kapitel 2. Terme. Wertebereich. Summensymbol. Summensymbol Rechnen. Summensymbol. Aufgabe 2.1. Summensymbol Rechnen.
Terme Kpitel Terme Ei mthemtischer Ausdruck wie B R q q (q ) oder (x + )(x ) x heißt eie Gleichug. Die Ausdrücke uf beide Seite des -Zeiches heiße Terme. Sie ethlte Zhle, Kostte (ds sid Symbole, die eie
Algebra/Arithmetik. Eine Variable ist ein Platzhalter oder ein Stellvertreter für eine Zahl.
Algebr/Arithmetik 1. Grudbegriffe Geometrie: Lehre vo de Rumgrösse Algebr: Lehre vo de Gleichuge Arithmetik: Lehre vo de Zhlegrösse (Zhle, Vrible) Defiitio: Eie Vrible ist ei Pltzhlter oder ei Stellvertreter
Terme und Formeln Potenzen II
Terme ud Formel Poteze II Die eizige schriftliche Überlieferug der Mthemtik der My stmmt us dem Dresder Kodex. Ds Zhlesystem der Mys beruht uf der Bsis 0. Als Grud dfür wird vermutet, dss die Vorfhre der
DOWNLOAD. Potenzgesetze für rationale Exponenten. Michael Körner. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Grundwissen Wurzeln und Potenzen
DOWNLOAD Michel Körer Potezgesetze für rtiole Expoete Michel Körer Grudwisse Wurzel ud Poteze. 0. Klsse Bergedorfer Kopiervorlge Dowloduszug us dem Origiltitel: Kubikwurzel bzw.. Wurzel Aufgbe Wie groß
7 Ungleichungen und Intervalle
Mthemtik. Klsse 7 Ugleichuge ud Itervlle Aufgbe 0 Löse Sie folgede Ugleichuge > + 8 < 5 + + 7. Itervlle Um gze Bereiche vo reelle Zhle zugebe, wird die Schreibweise mit Itervlle verwedet. Beispiele [,
8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
Grundwissen Mathematik Klasse 9
Grudwisse Mthetik Klsse Reelle Zhle: Qudrtwurzel: ist die icht-egtive Lösug der Gleichug:. Merke: heißt Rdikd ud drf icht egtiv sei! Bsp.: 7 6, 7 7 Irrtiole Zhle: Jede Zhl, die sich icht ls Bruch drstelle
Inhalt 1. Zahlenbereiche / Zahlenmengen 2. Terme
Mthemtische Grudlge für die Eiggsklsse des TG Ihlt. Zhlebereiche / Zhlemege. Terme.. Grudbegriffe.. Summe ud Differeze.. Produkte.. Auflöse vo Klmmer.. Ausklmmer ud Ausmultipliziere... Ausklmmer... Ausmultipliziere...
Kurzfassung zur Wiederholung mit Wissenstest zum Potenzrechnen DEMO. für alle, die es brauchen. Datei Nr Stand 7.
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Kurzfssug zur Wiederholug mit Wissestest zum Potezreche für lle, die es bruche Dtei Nr. Std 7. Jur 08 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mthe-cd.de
Die Wurzel einer Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder a ergibt.
Wurzel Wurzelexpoet Radikad oder auch Basis Die Wurzel eier Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgeomme wieder a ergibt. Die -te Wurzel et ma auch Quadratwurzel, dabei lässt ma die (als Wurzelexpoet)
= a n: Wurzelexponent x: Radikand oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der ersten Wurzel wird einfach das Wurzelzeichen weggelassen.
Wurzelgesetze Gesetzmäßigkeite Grudlage Das Wurzelziehe (oder Radiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Daher sid die Wurzelgesetze de Potezgesetze sehr ählich. Die Wurzel aus eier positive Zahl ergibt
Potenzen und Wurzeln
Poteze ud Wurzel.) Poteze mit türliche ud gze Epoete: Epoet Potez: Bsis Ei Produkt us gleiche Fktore lässt sich ls Potez schreie er: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 (
6.1 Einführung Wenn bei einer Multiplikation lauter gleiche Faktoren auftreten, so wird dafür meistens die Potenzschreibweise gewählt.
6 6. Eiführug We bei eier Multipliktio luter gleiche Fktore uftrete, so wird dfür meistes die Potezschreibweise gewählt.... Fktore Potezwert Es ist,,, : Bsis oder Grudzhl, R * N,,, : Expoet oder Hochzhl,
Formelsammlung Chemietechnik
EUROPA-FACHBUCHREIHE für Chemieberufe Wlter Bierwerth Formelsmmlug Chemietechik. Auflge VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourey, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Strße 23 4278 H-Gruite Euro-Nr.: 763 Autor Wlter
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Übungen zu den Potenzgesetzen
Üuge u de Potegesete Multiplitio ud Divisio vo Potee it gleicher Bsis. ) d p d q d p q. ). ) + + + p p + p p p + +. ) ²(³ + ) ³( + ) ³(² - ) ( + - ) ( + - ) - ( + ). ) (² + ³)² ( )² ( + )² ( )² (² + ³)²
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Formelsmmlug Chemietechik Berbeitet vo Wlter Bierwerth. Auflge 205. Broschüre im Order. c. 96 S. ISBN 978 3 8085 76 3 Formt (B x L): 5,2 x 2,5 cm Gewicht: 46 g schell ud ortofrei erhältlich bei Die Olie-Fchbuchhdlug
Mathematische Grundlagen 1. Zahlenrechnen
Mthemtische Grudlge. Zhlereche Ihltsverzeichis:. Zhlereche..... Die Grudrecherte..... Reche i der Mege der türliche Zhle..... Reche i der Mege der gze Zhle... 5.. Reche i der Mege der rtiole Zhle... 7...
c) Wir betrachten alle möglichen Potenzen der natürlichen Zahlen. In welchen Fällen endet das Ergebnis einer Potenz immer auf eine 1?
Aufge : Poteze ) We die Zhl elieig oft mit sich selst multipliziert wird, d edet ds Ergeis immer uf eie. Git es och mehr Zhle, die diese Eigeschft esitze? ) Welche Edziffer esitzt die ute stehede Summe?
Kommutativgesetz 1.) a + b = b + a Entsprechende Umformungen gelten. Assoziativgesetz 3.) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
03.05.0 Elemetre Termumformuge Kommuttivgesetz. + + Etsprehede Umformuge gelte... für Sutrktio ud Divisio iht. Assozitivgesetz 3. ( + + + ( + + + 4. (... (... 5. ( + - + ( - + - 6. (. :. ( :. : Etsprehede
9. Jahrgangsstufe Mathematik Unterrichtsskript
. Jhrggsstufe Mthetik Uterrichtsskript. Die ioische Forel Beispiel: Auftrg: Bereche die Gestfläche der oe stehede Figur uf zwei verschiedee Arte!. Möglichkeit. Möglichkeit: Teilflächeerechug Mit Zhleeispiel
5.6 Additionsverfahren
5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
6.1 Einführung Wenn bei einer Multiplikation lauter gleiche Faktoren auftreten, so wird dafür meistens die Potenzschreibweise gewählt.
Poteziere 6 Poteziere 6. Eiführug We bei eier Multiplitio luter gleiche Ftore uftrete, so wird dfür meistes die Potezschreibweise gewählt.... Ftore Potezwert : Bsis oder Grudzhl, R * N,,, : Expoet oder
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für
1. Grundlagen. 2. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 3. Vektorrechnung. 4. Trigonometrische Funktionen. 5. Differentialrechnung. 6.
Ihlte Brüceurs Mthemti Fchhochschule Hover SS 0 Dipl.-Mth. Coreli Reiterger. Grudlge. Poteze, Wurzel, Logrithme. Vetorrechug 4. Trigoometrische Futioe. Differetilrechug. Itegrlrechug 7. Mtrize, Liere Gleichugssysteme
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
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Terme und Formeln Potenzen I
Terme ud Formel Poteze I Die Mrgrit philosophic ist die älteste gedruckte llgemeie Ezyklopädie us dem Jhr 0 i lteiischer Sprche. Ds Werk ethält ls Uiversits literrum ds gesmte Wisse des späte Mittellters.
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo Polyome 9 Für Experte Komplexe
Grundlagen Mathematik 9. Jahrgangsstufe
Grudlge Mthetik 9. Jhrggsstufe ALGEBRA. Uter der (Qudrt-)Wurzel Zhl, die qudriert ergit : der positive Zhl versteht diejeige positive heißt dei der Rdikd.. Rtiole Zhle Q = lle Brüche zw. edliche oder uedlich
Grundwissen Mathematik 9. Klasse. Eigenschaften - Besonderheiten - Beispiele
Grudwisse Mthemtik 9. Klsse Theme Erweiterug des Zhlebereichs reelle Zhle Eigeschfte - Besoderheite - Beispiele Jede rtiole Zhl k ls Bruch geschriebe werde: = q p Dieser Bruch stellt etweder eie gze Zhl,
Formelsammlung WS 2005/06
Forelslug WS 005/06 FH Düsseldorf Fhereih Mshieu ud Verfhrestehik Mthetik für Igeieure Prof. Dr. W. Sheideler Ausreitug: Sevd Mer Ihltsverzeihis. Zeihe für esodere Zhleege 3. Poteze 3 Reheregel für Poteze
1.Weiterentwicklung der Zahlvorstellung
Grudwie Mthemtik 9.Kle Gymium SOB.Weiteretwicklug der Zhlvortellug Defiitio der Qudrtwurzel: Für 0 it diejeige icht egtive Zhl dere Qudrt ergibt. heißt Qudrtwurzel, heißt Rdikd. Beipiele: 0,5 0,5 64 8
Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen
Fchbereich Mthemtik Algebr ud Zhletheorie Christi Curill Grudlge der Mthemtik LPSI/LS-M) Lösuge Bltt WiSe 00/ - Curill/Koch/Ziegehge Präsezufgbe P3)-d) Für jede der vier Mege gilt, dss die dri ethltee
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo
von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer
vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (
MATHEMATIK BASICS. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Marc Peter Rainer Hofer. Ausgefülltes Exemplar für Lehrpersonen (Folienvorlagen)
MATHEMATIK BASICS Mrc Peter Rier Hofer Poteze, Wurzel ud Logrithme Ausgefülltes Eemplr für Lehrpersoe (Folievorlge) Impressum Iteret: Folievorlge ud Lerkotrolle www.hep-verlg.ch/mt/mth.sics/ ISBN -9090-96-
Jetzt ändert sich die dritte Stelle nach dem Komma nicht mehr, man hat also vier zählende Stellen
9. M setze = ud bereche mit Hilfe der Folge (9.5) die dritte Wurzel us uf vier zählede Stelle geu. = + + =,, =,, =.75, 4 =,48889, =,449, =,4478 Jetzt ädert sich die dritte Stelle ch dem Komm icht mehr,
A 2 Die Cramersche Regel
Die Crmersche egel Mtrixschreibweise eies liere Gleichugssystems Die Crmersche egel 5 Wir gehe vo der llgemei Gestlt eies liere Gleichugssystems us : Gegebe seie m (reelle oder komplexe) Zhle ik (i,,,
Fachbereich Mathematik
OSZ Kfz-Techik Berufsoberschule Mthemtik Oberstufezetrum Krftfhrzeugtechik Berufsschule, Berufsfchschule, Fchoberschule ud Berufsoberschule Berli, Bezirk Chrlotteburg-Wilmersdorf Fchbereich Mthemtik Arbeits-
Ableitungsregeln. Produkte- und Quotientenregel. Ableitung einiger wichtiger Funktionen. Kettenregel. Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik DIFFERENTIATION Ableitugsregel (f + g) = f + g (cf) = c f, c R ( ) = (c) =, c R Dmit köe wir Polyome bleite: Beispiel. ( 5 + 3 + ) = ( 5 ) + 3( ) + () = 5 4 + 3 = 5 4 + 6 Produkte- ud
Fachschaft Mathematik der Staatlichen Fachoberschule und Berufsoberschule Augsburg
Fchschft Mthemtik der Sttliche Fchoberschule ud Berufsoberschule Augsburg Auf de folgede Seite sid i kurzer Form die Schverhlte der Algebr drgestellt, mit eiige relevte Übugsbeispiele, i der Regel ch Schwierigkeitsgrd
von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer
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Quadratwurzeln Armin P. Barth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH. Skript. Quadratwurzeln
Qudrtwurzel Armi P. Brth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH Skript Qudrtwurzel Qudrtwurzel Armi P. Brth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH Qudrtwurzel spiele eie sehr wichtige Rolle i der Mthemtik. Drum versuche wir, i diesem
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Christoph Hindermann. Vorkurs Mathematik Wichtige Rechenoperationen
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Hs Wlser, [0090331] Teilfolge der Fibocci-Folge 1 Worum geht es? Wir wähle us der Fibocci-Folge 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 33 377 Teilfolge us ud frge ch dere Rekursiosformel.
Kurze Einführung in die elementare Mathematik von Dr.-Ing. Herbert Voß
Kurze Eiführug i die elemetre Mthemtik vo Dr.-Ig. Herbert Voß Erstfssug 972/73 Überrbeitug 995 2 Ihltsverzeichis MATHEMATISCHE HILFSMITTEL 3. Grudlge der Aussgelogik 3.. Verküpfuge 3... Die Ud -Verküpfug
Kapitel I Zahlenfolgen und -reihen
Kpitel I Zhlefolge ud -reihe D (Zhlefolge) Ist jeder Zhl geu eie Zhl R,,,, eie (reelle) Zhlefolge bilde M schrieb: Die heiße Glieder der Zhlefolge zugeordet, so sgt m, dss die Zhle B Eie Zhlefolge ist
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.2 Algebra Grundrechenarten
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthetik Kpitel 3. Alger Grudreherte Verfsser: Hs-Rudolf Niedererger Elektroigeieur FH/HTL Vordergut, 877 Nidfur 055-654 87 Ausge: August 008 www.i.h 5. Ferur 04 TG
ZAHLENFOLGEN Teil 1. Einführende Beispiele Arithmetische Folgen INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Datei Nr
ZAHLENFOLGEN Teil Eiführede Beispiele Arithmetische Folge Dtei Nr. 400 Friedrich Buckel Std: August 006 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mthe-cd.de Ihlt Eiführede Beispiele. Erste Defiitio. Beispiele:
Kapitel 2. Terme. oder (x + 1)(x 1) = x 2 1
Kapitel 2 Terme Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme / 74 Terme Ei mathematischer Ausdruck wie B R q q (q ) oder (x + )(x ) x 2 heißt eie Gleichug. Die Ausdrücke auf beide Seite des
Analysis I SS Zusammenfassung Stephan Weller, Juli 2002
Alysis I SS 2 Zusmmefssug Steph Weller, Juli 22 Ihlt. Vollstädige Idutio ud Ugleichuge 2. Folge ud Reihe 3. Kovergez ud Stetigeit 4. Differetitio, lole Extrem, Kovexität 5. Itegrtio, Sustitutiosregel ud
Wird der Potenzbegriff auf negative Exponenten erweitert, dann können auch sehr kleine Zahlen gut dargestellt werden.
. Poteze mit gze Epoete Wird der Potezegriff f egtive Epoete erweitert, d köe ch sehr kleie Zhle gt drgestellt werde. Ws edetet 0? Die Defiitio wird so festgelegt, dss die isherige Potezgesetze gültig
Mathematik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösungen zu Serie 6
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Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17
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Vektorrechnung. Ronny Harbich, 2003
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Glossar zum Brückenkurs "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" 1
Glossr zum Brückekurs "Mthemtik für Wirtschftswisseschftler" GLOSSAR Abbildug Eie eideutige Zuordug f zwische zwei Mege X ud Y heißt Abbildug oder Fuktio us X i Y. M schreibt: f: X Y. f heißt Abbildug
Carmichaelzahlen und andere Pseudoprimzahlen
Crmichelzhle ud dere Pseudoprimzhle Christi Glus 26.05.2008 1 Der fermtsche Primzhltest Erierug 1 (Kleier Stz vo Fermt). Für p prim, Z, ggt(, p) 1 gilt: p 1 1 (mod p) Algorithmus 2 (Fermtscher Primzhltest).
Die Logarithmusfunktion
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4.1 G sei Gruppe (mit multiplikativ geschriebener Verknüpfung) und a G. Dann heißt. falls a k 1 G k 1 ord(a) := k 1 a k = 1 G sonst
15 Wichtige Sätze ud Defiitioe zu 4: Ds qudrtische Rezirozitätsgesetz us der Vorlesug: LV-NR 150 39 Verstltug Diskrete Mthemtik II, 4.0 std Dozet Holtkm, R. 4.1 G sei Grue (mit multiliktiv geschriebeer
Mathematik p sitiv! Lösungen. Wolfram Thorwartl Günther Wagner Helga Wagner LÖSUNGEN. 6. Klasse AHS
Reifeprüfug durchgeführt. Diese eue Form der Mtur, uf die ereits der. Klsse higereitet wird, erfordert spezielle Grudkompeteze ud veretztes mthemtisches Deke. Im vorliegede Lösugsd sid lle Üugseispiele
Freiarbeit zum Thema Potenzgesetze (Bearbeiter: P. Bahrt, Isaac- Newton- Oberschule)
. Vorbemerkuge: Freirbeit zum Them Potezgesetze (Berbeiter: P. Bhrt, Isc- Newto- Oberschule) Im Rhmepl sid zur Behdlug dieses Schgebietes eischließlich der Potezfuktioe Uterrichtsstude vorgesehe. Mit dieser
Inhaltsverzeichnis. Ein dummer Roboter Pascal Schmidt 3. Teilbarkeit spezieller Zahlen durch 6 Niko Kinas 21
zeitug für mthemtik m mpg trier / heft 4 / jur 08 Ihltsverzeichis Seite Ei dummer Roboter Pscl Schmidt Fkultäte ud Nulle Teil Stmmbrüche ls Summe vo Stmmbrüche Teil Summe vo Primzhle Teil Meikel Diely,
Matrix Theorie FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN PROF. DR. PETER SPARLA MATHEMATIK 1 1
Mtrix Theorie FCHBEREICH BUINGENIEURWESEN PROF. DR. PETER SPRL MTHEMTIK htug! Dieses Folieskript soll de Studierede eiiges mehisher Shreibrbeit behme ud dzu beitrge, sih uf ds eigetlihe Fh ud seie vielfältige
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG. 1. Berechnen Sie von Hand und Beachten Sie dabei die Reihenfolge der Operationen:
Üuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG Block Die Musterlösuge werde Aed uf der Vorkurs-Hoepge ufgeschltet!. Bereche Sie vo Hd ud Bechte Sie dei die Reihefolge der Opertioe:
Analysis I Probeklausur 2
WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
Das Rechnen mit Logarithmen
Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:
Definition einer Gruppe
Defiitio eier Gruppe Uter eier Gruppe versteht i der Mthetik eie Ahl vo Eleete, die durch Regel i Beiehug stehe. Bediguge für eie thetische Gruppe: I. Verküpfug weier beliebiger Eleete (ud dit uch ds Qudrt