Funktionen. Mathematik-Repetitorium

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1 Funktionen 4.1 Funktionen einer reellen Veränderlichen 4.2 Eigenschaften von Funktionen 4.3 Die elementaren Funktionen 4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Funktionen 1

2 4. Funktionen Funktionen 2

3 4. Funktionen 4.1 Funktionen einer reellen Veränderlichen Argument Funktionswert unabhängige Variable Zuordnung abhängige Variable Definitionsbereich Wertebereich Definitionsbereich meist Intervall: oder natürlicher (=größtmöglicher) Definitionsbereich Beispiel 4.1: Funktionen 3

4 4. Funktionen Funktionen einer reellen Veränderlichen Veranschaulichung: kartesisches Koordinatensystem Schaubild, Kurve, Graph Funktionen 4

5 4. Funktionen Funktionen einer reellen Veränderlichen Beispiele von Funktionen (1): 1) lineare Funktion konstante Funktion 2) Parabel Funktionen 5

6 4. Funktionen Funktionen einer reellen Veränderlichen Beispiele von Funktionen (2): 3) Dirichlet-Funktion 4) Funktionen 6

7 4. Funktionen 4.2 Eigenschaften von Funktionen Eindeutigkeit: eindeutig eindeutig, umkehrbar Symmetrie: ungerade: gerade: Funktionen 7

8 4. Funktionen Eigenschaften von Funktionen Monotonie: monoton fallend: monoton steigend: streng monoton fallend: streng monoton steigend: streng monoton umkehrbar Beschränktheit: nach oben nach unten Funktionen 8

9 4. Funktionen Eigenschaften von Funktionen Extremwerte: Maximum: Minimum: Nullstellen: Ordinatenschnittpunkt: Funktionen 9

10 4. Funktionen Eigenschaften von Funktionen Periodizität: Periode T Bemerkung zur Umkehrfunktion: T Funktionen 10

11 4. Funktionen Eigenschaften von Funktionen Verknüpfungen: Verkettung: Reihenfolge beachten! Beispiele: a) Funktionen 11

12 4. Funktionen Eigenschaften von Funktionen b) c) Funktionen 12

13 4. Funktionen 4.3 Die elementaren Funktionen Signumfunktion, Betragsfunktion: Funktionen 13

14 4. Funktionen die elementaren Funktionen Potenzfunktion: Umkehrfkt.: Funktionen 14

15 4. Funktionen Exkurs: Potenzen und Wurzeln (1) a : Basis n Faktoren n : Exponent Potenzgesetze: k n n n n Funktionen 15

16 4. Funktionen Exkurs: Potenzen und Wurzeln (2) Negative Exponenten: Wurzeln: Potenzgesetze gelten für beliebige (reelle) Exponenten! Funktionen 16

17 4. Funktionen die elementaren Funktionen rationale Funktionen: endlich viele Additionen, Multiplikationen, (Divisionen) a) ganze rationale Funktionen = Polynome: Grad Koeffizient Verhalten für große Nullstellen: Funktionen 17

18 4. Funktionen rationale Funktionen Beispiel: Polynom vom Grad 4 mit Nullstellen bei 1 und -2: Faktorzerlegung (Polynomdivision): Satz: Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Beispiele: doppelte Nullstelle Funktionen 18

19 4. Funktionen rationale Funktionen b) echte rationale Funktionen: Zählerpolynom Nennerpolynom unechte rationale Funktion echte rationale Funktion Unechte rationale Funktion: Beispiel: Funktionen 19

20 4. Funktionen rationale Funktionen Nullstellen: Nullstellen des Zählers, Nenner 0 Pole: Nullstellen des Nenners; Zähler 0 mit VZW Verhalten in Polnähe: vertikale Asymptote ohne VZW Verhalten für große x : echte rationale Funktion 0 Beispiele: Funktionen 20

21 4. Funktionen die elementaren Funktionen trigonometrische Funktionen: Gradmaß: Bogenmaß: Umrechnung: Funktionen 21

22 4. Funktionen trigonometrische Funktionen beide Funktionen periodisch mit Periode 2π Funktionen 22

23 4. Funktionen trigonometrische Funktionen Wichtige Beziehungen trigonometrischer Funktionen. Additionstheoreme: Funktionen 23

24 4. Funktionen trigonometrische Funktionen Umkehrung: arcsin(x) sin(x) arccos(x) cos(x) Funktionen 24

25 4. Funktionen trigonometrische Funktionen Ergänzung: Umkehrung: Funktionen 25

26 4. Funktionen trigonometrische Funktionen Zusammenfassung: Wissenswertes über trigononmetrische Funktionen (1): Gradmaß Bogenmaß Schaubilder trigonometrische Formeln Umkehrung: Überlagerung trigonometrischer Funktionen Funktionen 26

27 4. Funktionen trigonometrische Funktionen Zusammenfassung: Wissenswertes über trigononmetrische Funktionen (2): allgemeine Sinusfunktion Amplitude Frequenz Phase Funktionen 27

28 4. Funktionen die elementaren Funktionen Exponentialfunktion: Potenzfunktion: Exponentialfunktion: : Basis Sonderfall: Bem.: Eigenschaften: Funktionen 28

29 4. Funktionen Exponentialfunktion Umkehrung: Logarithmusfunktion: Rechenregeln für Logarithmusfunktionen: Funktionen 29

30 4. Funktionen 4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Verhalten bei Annäherung an Funktionen 30

31 4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit in stetig hat für Grenzwert, in stetig; stetig Funktionen 31

32 4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Bemerkungen: Zur Erklärung eines Grenzwertes von für muss gelten, selbst muss nicht zum Definitionsbereich gehören. Zur Erklärung der Stetigkeit von in muss und in sein. Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft (Verhalten in ). Andere Schreibweise: Funktionen 32

33 4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Unstetigkeiten: Unstetigkeitsstelle ist unstetig in hebbare Unstetigkeit, d.h. Grenzwert existiert (der fehlende Punkt kann ergänzt werden) ist unstetig in, hebbar ist unstetig in, Unendlichkeitsstelle Dirichlet-Funktion ist in keinem Punkt stetig! Funktionen 33

34 4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Beispiel 4.2: Funktionen 34

35 4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Rechenregeln für Grenzwerte: Annahme: dann gilt: Annahme: stetig in, stetig in dann gilt: ist stetig in Funktionen 35

36 4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Konsequenz: alle Polynome stetig alle rationalen Funktionen stetig eineindeutig: Mit ist auch stetig Grenzwert für : Wenn für alle die zugehörigen Beispiel: Funktionen 36

37 Aufgaben im Tutorium Buch: A 4.2 A 4.3 A 4.5: 1. und 2. A 4.6 A 4.7 A 4.9 A 4.11: 1. Funktionen 37

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