Theoretische Überlegungen zur Ausbreitung von Infektionserregern auf Kontaktnetzen. Hartmut Lentz, Maria Kasper, Ansgar Aschfalk und Thomas Selhorst

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1 Theoretische Überlegungen zur Ausbreitung von Infektionserregern auf Kontaktnetzen Hartmut Lentz, Maria Kasper, Ansgar Aschfalk und Thomas Selhorst

2 Netzwerke / Graphen verschiedene Typen von Graphen: einfache Graphen, gerichtete Graphen, gewichtete Graphen, gruppierte Graphen,... Graphen bestehen aus Knoten und Kanten, die zwei Knoten miteinander verbinden Grundidee: Die Nachbarschaft zweier Punkte wird allein durch die Kanten definiert Verbindung Knoten

3 welche Größen beschreiben einen Graphen? Welche Informationen sind relevant? Wie beschreibt man sehr große Graphen? Rinder-Handelsnetz eines ostdeutschen Landkreises (2000 Knoten)

4 Wichtige Größen Topologie des Netzes kürzeste Wege zwischen zwei Punkten mittlerer kürzester Weg Relevanz einzelner Knoten Gruppierungen (Cluster) innerhalb des Netzes isolierte Inseln Welche Knotenpaare sind besonders häufig verbunden?

5 Darstellung von Graphen Adjazenzmatrix A (Nachbarschaftsmatrix). Elemente der Matrix: a ij = { 1, wenn i und j verbunden 0, sonst einfacher Graph: A symmetrisch. Gerichteter Graph: A nicht symmetrisch Beispiel: A = A = einfach 1 gerichtet 1

6 Adjazenzmatrix: Wege zwischen Punkten welche Knoten sind überhaupt voneinander erreichbar? Adjazenzmatrix: Anzahl der Verbindungen der Länge 1 n-te Potenz der Adjazenzmatrix: Anzahl der Verbindungen der Länge n Pfadmatrix: P = n A n Verbindung zwischen i und j, wenn p ij 0 Ein Graph heißt stark verbunden (strongly connected), falls p ij 0 i j

7 Adjazenzmatrix und Wahrscheinlichkeit Adjazenzmatrix enthält Information darüber, welche Punkte voneinander erreichbar sind Auch möglich: Wahrscheinlichkeiten als Einträge der Adjazenzmatrix. A B T = Nach 1 Schritt: /2 1/6 1/ /2 1/6 1/3 x = ( ) Übergangsmatrix xt = ( 0 1/2 1/6 1/3 ) Startposition Wahrscheinlichkeit für die Position nach n Schritten: xt n

8 Spektrum der Adjazenzmatrix Eigenvektoren der Adjazenzmatrix enthalten Informationen über die Relevanz einzelner Knoten. Idee: Relevanz eines Knotens proportional zur Relevanz der Knoten, die auf ihn zeigen (rekursive Definition) Anwendung: PageRank (google) Ax = λx Laplace-Matrix: Differenz aus Gradmatrix und Adjazenzmatrix L = K A Anzahl der 0-Eigenwerte = Anzahl der Komponenten des Netzes k-partiter Graph: es gibt keine Verbindung zwischen Knoten derselben Gruppierung. Bsp.: Heterosexuelles Kontaktnetzwerk Igor Mark Thomas Susi Katharina Anna Michael Julia

9 Zentralitätsmaße Wie wichtig sind einzelne Knoten? Anzahl der Verbindungen zum Knoten hin / vom Knoten weg: Grad des Knotens. In-Grad und Aus-Grad bei gerichteten Graphen Berechnung des Grades eines Knotens i: Aus-Grad(i) = j a ij In-Grad(i) = j a ji Gradverteilung relatives Vorkommen einzelner Grade im Netzwerk

10 Gradverteilung induziert verschiedene Netzwerktypen: exponentiell: p e λx Newman 2003 Potenzgesetz (power-law): p x α Netzwerke mit power-law Gradverteilungen werden skalenfreie Netze genannt skalenfrei: es gibt keine typischen Größenordnungen. Alle höheren Momente der Verteilung divergieren skalenfrei selbstähnlich. Beispiel: Dateigrößen auf einem Rechner: p(30 kbyte) = 4 p(50 kbyte) (3000 kbyte) = 4 p(5000 kbyte)

11 a b Figure 1 Exponential Albert et. al., 2000 Scale-free

12 Topologie und Dynamik Verteilung der Grade im Netzwerk hat Einfluss auf die Dynamik Netzwerk mit exponentieller Gradverteilung: SIS-Modell. Zeitliche Entwicklung des Anteils an Infizierten: stationäre Lösung: dρ dt = ρ(t)+λ k ρ(t)[1 ρ(t)] ρ = 0, wenn λ <λ c ρ = (λ λ c )/λ, wenn λ λ c epidemischer Schwellenwert λ c = k 1 ρ ρ k skalenfreies Netz:, k 2 λ c = k k 2 0

13 Zentralitätsmaße: Zwischenzentralität Zwischenzentralität (engl. betweenness): wie viele kürzeste Wege führen durch einen bestimmten Knoten? Punkte mit hoher Zwischenzentralität verbinden typischerweise voneinander (fast) isolierte Inseln Entfernen solcher Punkte kann zum Zerfallen des Netzes in kleinere Teilstücke führen C B (v) = s v t σ st (v) σ st

14 Mischungseigenschaften: Wer mit wem? wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Knoten mit der Eigenschaft x mit einem anderen Knoten der Eigenschaft y vernetzt ist? eine solche Eigenschaft ist z.b. der Grad oder auch die Zugehörigkeit zu einer Komponente Mischmatrix e: Einträge: Anzahl der Kanten, die Knoten der Eigenschaft i mit Knoten der Eigenschaft j verbinden Mischungskoeffizient: r = Tr e e2 1 e 2 Netzwerke mit r > 0 heißen geordnet (typisch für soziale Netzwerke), Netzwerke mit r < 0 heißen invers geordnet (typisch für fast alle anderen (!) Netzwerke)

15 Gruppenbildung stärkste Gruppe: Clique - jeder ist mit jedem vernetzt (stark) verbundene Komponente: jeder kann jeden direkt oder indirekt erreichen größte (stark) verbundene Komponente: Riesenkomponente (giant component) innerhalb der einzelnen Komponenten verbreiten sich Epidemien wie auf isolierten Inseln mittlerer Clustering-Koeffizient: Wahrscheinlichkeit, dass "der Freund meines Freundes auch mein Freund ist". C = 3 Anzahl der Dreiecke im Netzwerk Anzahl der verbundenen Tripel

16 Rinderhandel eines ostdeutschen Landkreises Gesamtes Netz: 1982 Knoten Größte stark verbundene Komponente: 423 Knoten

17 Zusammenfassung & Ausblick allein aus der Kenntnis über Nachbarschaftsbeziehungen können viele Eigenschaften des Netzwerks abgeleitet werden Beispiele: Zentralität, Cluster Die Topologie des Netzes hat einen entscheidenden Einfluss auf die Ausbreitung von Epidemien (SIS-Modell) Erweiterung um eine Zeitkomponente: Wartezeiten Wie sehr erschweren Wartezeiten den Ausbruch? Einbeziehung weiterer Netze: Wildtiere, Menschen,...

18 Danke... an die Mitarbeiter des FLI. Insbesondere Thomas Selhorst, Maria Kasper und Ansgar Aschfalk und Prof. Dr. Sokolov (HU Berlin) diese Arbeit wird finanziert über BMBF-Projekt ATLAS