Einführung in die Logik

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1 Einführung in die Logik Scriptum Wintersemester 2003 Thomas Grundmann 2004/5 Universität zu Köln Institut für Philosophie

2 1. Einführung: Logik in der Philosophie Logikveranstaltungen gehören zum Philosophiestudium und der Erwerb eines Logikscheins ist sogar obligatorisch für das Philosophiestudium. Immer wieder stellen Anfänger die Frage, was das Rechnen mit Formeln und Symbolen mit Philosophie zu tun hat. Warum gehört die Logik nicht ausschließlich zur Mathematik oder Informatik (wo Logikeinführungen ebenfalls stattfinden)? Antwort: Zu den klassischen Disziplinen der Philosophie gehört die Erkenntnistheorie (als allgemeine Methodenlehre des Wissenserwerbs) und die Sprachphilosophie. Die Logik leistet einen wichtigen Beitrag zu beiden. Erkenntnistheorie Der Wissenserwerb stützt sich in der Regel auf Argumente oder Begründungen (Ausnahme: direktes Wissen durch Wahrnehmung etc.). Die Erkenntnistheorie versucht, generelle Kriterien für die Unterscheidung zwischen guten und schlechten Argumenten aufzustellen. Dazu gehört auch die Untersuchung, ob die in diesen Argumenten vollzogenen Schlüsse korrekt oder gültig sind. Die Logik stellt die formalen Mittel bereit, um diese Frage beantworten zu können. Die Logik gehört also in den Bereich der Argumentationstheorie und Erkenntnistheorie. (Natürlich kann man auch ohne Studium der Logik korrekt argumentieren. Aber die Logik verbessert diese Fähigkeit und gibt uns vor allem in strittigen Fällen ein Kriterium an die Hand.) Häufig wird gesagt, dass die Logik die Gesetze unseres Denkens beschreibt. Das ist jedoch missverständlich. Die Logik beschreibt nämlich keine Naturgesetze (die niemals verletzt werden), sondern normative Gesetze oder Regeln des richtigen Denkens. Sie geben an, wie wir denken sollten. Diese Regeln können vom tatsächlichen Denken befolgt oder auch verletzt werden. Deshalb liefert uns die Psychologie (die nur die Naturgesetze des tatsächlichen Denkens beschreibt) keinen geeigneten Zugang zu den logischen Gesetzen. Sprachphilosophie Die Sprachphilosophie versucht die Bedeutung (die semantischen Eigenschaften) von Sätzen systematisch zu klären. Dabei fällt auf, dass die Bedeutung (häufig auch als 2

3 Wahrheitsbedingung) von Sätzen nicht allein von dem inhaltlichen Bezug (der Referenz) der in ihnen vorkommenden Ausdrücke abhängt, sondern auch von ihrer logischen Form. Die Logik kann also helfen, die Bedeutung umgangssprachlicher Sätze transparenter zu machen. 1 Wir nehmen in diesem Fall eine logische Analyse der Umgangssprache vor, um die Wahrheitsbedingungen expliziter zu machen (das heißt dann formale Semantik) Bsp. Die Sätze (1) Thomas und Peter sind Deutsche und (2) Thomas und Peter sind Geschwister sehen oberflächlich betrachtet sehr ähnlich aus, außer dass den beiden erwähnten Personen unterschiedliche Eigenschaften zugeschrieben werden. Doch aus (1) lässt sich folgern (1 ) Thomas ist ein Deutscher, während aus (2) nicht gefolgert werden kann (2 ) Thomas ist ein Geschwister. Das liegt daran, dass wir (1) analysieren können als: (1 ) Thomas ist ein Deutscher und Peter ist ein Deutscher, während wir (2) so verstehen müssen: (2 ) Thomas und Peter stehen in der Relation des Geschwisterseins zueinander. Dieser strukturelle Unterschied lässt sich auch formal-logisch ausdrücken. (1) enthält eine Konjunktion; (2) drückt eine Relation aus. Grenzen der Logik Die Logik ist also eine Hilfswissenschaft verschiedener Disziplinen der Philosophie (Erkenntnistheorie und Sprachphilosophie). Und sie ist nach der logizistischen Wende von Gottlob Frege auch Grundlage der Mathematik. Aber es ist sicher falsch, wenn man behauptet, dass die Philosophie sich auf die Logik reduzieren lässt (wie Anhänger des Logischen Empirismus behauptet haben). 1 Allerdings ist das unter Logikern umstritten. Frege, Tarski und neuerdings etwa Ansgar Beckermann sind der Auffassung, dass die Umgangssprache zu vieldeutig, unklar und vage ist, um logisch analysierbar zu sein. Montague, Davidson oder aber 3

4 2. Was ist ein Argument? Wenn wir argumentieren, dann versuchen wir jemanden (unter Umständen uns selbst) dazu zu bewegen, eine bestimmte Aussage (These) zu akzeptieren, indem wir andere Aussagen als gute Gründe für die These anführen. Unterscheidung Bericht bzw. Beschreibung Argument Bsp. Bericht Im Januar 1929 kommt Wittgenstein nach mehr als 15jähriger Abwesenheit, von einem kurzen Besuch im Sommer 1925 abgesehen, wieder nach Cambridge, um, wie er Ende 1928 an Keynes geschrieben hatte, Urlaub zu machen. Bsp. Argument (1) Der Tisch, den wir sehen, scheint kleiner zu werden, wenn wir uns von ihm entfernen; der wirkliche Tisch dagegen... erleidet keine Veränderung. Es war daher nur sein Bild, das dem Geiste gegenwärtig war. (Hume, Eine Untersuchung über den menschlichen Verstand, Hamburg 1993, S. 178) Dieses klassische Argument Humes für die Sinnesdatentheorie kann man so umformulieren, dass seine argumentative Struktur durchsichtiger wird: (1 ) Der Tisch, den wir sehen, wird kleiner, wenn wir uns von ihm entfernen. Der wirkliche Tisch wird nicht kleiner. Also: Wir sehen (nicht den wirklichen Tisch, sondern) ein geistiges Bild. Bem. Bei der Rekonstruktion des Arguments müssen wir zum Teil vom Wortlaut der ursprünglichen Passage etwas abweichen, um die argumentative Struktur zu verdeutlichen. Definition: Argument Ein Argument ist eine Folge von Aussagesätzen, mit denen der Anspruch erfüllt ist, dass ein Teil dieser Sätze (die Prämissen) einen Satz der Folge (die Konklusion) in dem Sinne stützen, dass es rational ist, die Konklusion für wahr zu halten, falls die Prämissen wahr sind. Tugendhat halten die Logik dagegen für ein geeignetes Mittel, um die Alltagssprache zu durchdringen. 4

5 Bem. 1 Wenn die Logik nach gültigen Argumenten sucht, dann muss sie folglich untersuchen, unter welchen Bedingungen es rational ist, die Konklusion für wahr zu halten, falls die Prämissen wahr sind. 2 Gute Argumente erfüllen dieses Kriterium. 3 Woran erkennt man die Prämissen und woran die Konklusion eines Arguments? Im Beispiel wird die Konklusion durch ein vorangestelltes daher sichtbar gemacht. Alternativ: also, deshalb, es folgt, das beweist, dass, das zeigt, dass, so dass usw. Prämissen werden dagegen kenntlich gemacht durch Ausdrücke wie: weil, da, denn, gegeben, nehmen wir an, dass usw. Die Normalform eines Arguments Um die Gültigkeit eines Arguments besser formalisieren und dann bewerten zu können, versuchen wir das Argument zunächst so umzuformulieren, dass wir es in seine Normalform bringen, in der die Struktur des Arguments vollkommen durchsichtig ist. Bedingungen für die Normalform: A) Die Prämissen und die Konklusion sind vollständig ausformuliert. B) Die Prämissen eines Arguments stehen getrennt voneinander am Anfang des Arguments. C) Die Konklusion steht durch eine Also gekennzeichnet am Ende des Arguments. D) Alle Informationen, die für das Argument überflüssig sind, werden weggelassen. E) Selbstverständliche Prämissen, die nicht explizit erwähnt werden, werden (in eckigen Klammern) hinzugesetzt. F) In jedem Argument gibt es nur eine Konklusion. Ein Argument in seiner Normalform sieht also schematisch so aus: Prämissen (1)... (2) (n)... Also: Konklusion: (n+1)... 5

6 Bsp. (2) Es kann keine Leere sein, denn was leer ist, das ist nicht, und was nicht ist, kann nicht sein. (Melissus) Normalform (durch Umstellung nach B) und C)): (2 ) Was leer ist, das ist nicht. Was nicht ist, kann nicht sein. Also: Es kann keine Leere sein. (3) Das Töten von Kindern ist böse. Dennoch wurden in Bosnien Kinder getötet. Jemand hat also in Bosnien etwas Böses getan. Wenn jemand etwas Böses tut, dann sollte er bestraft werden. Also sollten diejenigen, die in Bosnien Kinder getötet haben, bestraft werden. Normalform (nach F)) entweder: (3 ) (i) Das Töten von Kindern ist böse. (ii) In Bosnien wurden Kinder getötet. Also: (iii) Jemand hat in Bosnien etwas Böses getan. Oder: (3 ) (i) Das Töten von Kindern ist böse. (ii) In Bosnien wurden Kinder getötet. (iii) Jemand hat in Bosnien etwas Böses getan. (iv) Wenn jemand etwas Böses tut, sollte er bestraft werden. Also: (v) Diejenigen, die in Bosnien Kinder getötet haben, sollten bestraft werden. (4) Wir sehen, dass Dinge, die nicht intelligent sind, wie etwa natürliche Körper, nach einem Ziel streben, und das ist daraus ersichtlich, dass sie immer oder fast immer auf dieselbe Weise danach streben, das beste Ergebnis zu erreichen (...). Was aber nicht intelligent ist kann nicht nach einem Ziel streben, solange es nicht durch ein mit Wissen und Intelligenz ausgestattetes Wesen darauf ausgerichtet ist, so wie der Pfeil auf sein Ziel durch den Schützen gerichtet wird. Also existiert irgendeine Intelligenz durch die alle natürlichen Dinge auf ihr Ziel ausgerichtet sind, und dieses Wesen nennen wir Gott. (Thomas von Aquin) 6

7 Normalform (nach D)): (4 ) (i) Dinge, die nicht intelligent sind, streben nach einem Ziel. (ii) Was nicht intelligent ist, kann nicht nach einem Ziel streben, solange es nicht durch ein mit Wissen und Intelligenz ausgestattetes Wesen darauf ausgerichtet wird. Also: (iii) Es existiert irgendeine Intelligenz. Bem. 1 Rechtfertigung von (i) gehört nicht in die Normalform. 2 Illustration von (ii) gehört nicht in die Normalform. 3 Die weiteren Folgerungen aus (iii) gehören nicht in dieses Argument. (5) Der Raum ist kein empirischer Begriff, der von äußeren Erfahrungen abgezogen worden (ist). Denn damit gewisse Empfindungen auf etwas außer mir bezogen werden,... muss die Vorstellung des Raumes schon zu Grunde liegen. (Kant, Kritik der reinen Vernunft) Normalform (nach B), C) und E)): (5 ) (i) Damit Erfahrungen auf äußere Gegenstände bezogen werden, muss die Vorstellung des Raumes bereits zu Grunde liegen. [(ii) Wenn eine Vorstellung einer Erfahrung zu Grunde liegt, dann ist sie nicht aus ihr abgezogen.] Also: (iii) Die Vorstellung des Raumes ist nicht aus der Erfahrung äußerer Gegenstände abgezogen. Schwierigkeiten bei der Herstellung der Normalform von Argumenten Oft sind mehrere Aussagen in einem Satz ausgedrückt. Lösung: Auspacken Die Reihenfolge ist oft umzukehren, da die Konklusion am Anfang, die Prämissen am Ende stehen. Lösung: Umstellen Ins Argument sind oft die Begründungen der Prämissen oder Zusatzinformationen hineingeschrieben. Lösung: Selektieren 7

8 Manchmal fehlen selbstverständliche implizite Annahmen. Lösung: Vervollständigen von enthymematischen Schlüssen (Hier muss man allerdings extrem zurückhaltend vorgehen. Man kann nämlich aus jedem Fehlschluss ein gültiges Argument durch Ergänzung von Prämissen machen. Ergänzt werden sollten nur ganz selbstverständliche Annahmen.) Bsp.: New York City liegt im State New York, also liegt Manhattan im Staate New York. Normalform: (i) New York City liegt im Staat New York. [(ii) Manhattan liegt in New York City.] Also: (iii) Manhattan liegt im Staat New York. Gegenbeispiel: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch, also ist p (Name für eine Aussage) wahr. ungültiger Schluss (es fehlt die Prämisse: p ist nicht falsch) 8

9 3. Aussagesätze und Aussagen Argumente bestehen aus einer Sequenz von Aussagesätzen (als Prämissen und als Konklusion). Aussagesätze sind jedoch nur ein Typ von Sätzen, daneben gibt es Ausrufesätze, Fragesätze, Bitten usw. Bsp. (1) Wie heiß war doch dieser Sommer! (2) Wer wird bei der nächsten Bundestagswahl gewinnen? (3) Würden Sie bitte an die Tafel kommen. (4) Zum WS 2003/04 hat Thomas Grundmann seine Lehrtätigkeit an der Universität des Saarlandes aufgenommen. Diese Sätze unterscheiden sich nach ihrer Funktion oder ihrem Modus. Aussagesätze sind dadurch gekennzeichnet, dass sie einen Wahrheitswert (wahr oder falsch) haben können. Nur um solche Sätze geht es der Logik, wenn sie die Gültigkeit von Argumenten untersucht. Thema der Logik sind also alleine Aussagesätze. Definition: Aussagesätze Aussagesätze sind Sätze, die wahrheitsfähig sind (d.h. wahr oder falsch sein können). Nicht nur Aussagesätze, sondern auch bestimmte geistige Zustände sind wahrheitsfähig. Dazu gehören vor allem Gedanken und Meinungen. Alles, was wahrheitsfähig ist, sagt etwas über die Welt aus (macht eine Behauptung darüber, was der Fall ist). Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann liegt ein propositionaler Gehalt vor. Definition: Propositionaler Gehalt und Proposition Aussagesätze und wahrheitsfähige geistige Zustände (wie Meinungen) sind Träger eines propositionalen Gehalts; sie drücken eine Proposition (Aussage) aus. Bsp. (5) Schnee ist weiß. (6) Snow is white. (7) Ich bin der Meinung, dass Schnee weiß ist. Die in (7) beschriebene Meinung hat denselben propositionalen Gehalt wie die Sätze (5) und (6). 9

10 Indexikalität Es gibt Aussagesätze, deren Wahrheitswert nicht unabhängig von den Umständen ihrer Äußerung (vom Äußerungskontext) ist. Mit dem Kontext ändert sich der Wahrheitswert dieser Sätze. Bsp. (4 ) In diesem Semester hat Thomas Grundmann seine Lehrtätigkeit an der Universität des Saarlandes aufgenommen. (4 ) Im Wintersemester 2003/4 habe ich meine Lehrtätigkeit an der Universität des Saarlandes aufgenommen. (4 ) Im Wintersemester 2003/4 hat Thomas Grundmann seine Lehrtätigkeit an dieser Universität aufgenommen. Bem. (4 ) ist wahr, wenn der Satz im WS 2003/4 geäußert wird, wird er früher oder später geäußert, ist er dagegen falsch. (4 ) ist wahr, wenn der Satz von Thomas Grundmann geäußert wird, er wäre aber falsch, wenn er von Oskar Lafontaine geäußert würde. (4 ) ist wahr, wenn er an der Universität des Saarlandes geäußert wird, würde er aber beispielsweise an der Universität Tübingen geäußert, wäre er falsch. Für die Kontextabhängigkeit des Wahrheitswertes dieser Sätze sind sogenannte indexikalische Ausdrücke verantwortlich, wie ich, hier, jetzt, dort, morgen, hinter mir, in diesem Jahr, mein Vater usw. Indexikalische Ausdrücke haben keinen eindeutigen Bezug. Ihr Bezug hängt vom Äußerungskontext ab. Sätze, in denen indexikalische Ausdrücke vorkommen, nennt man indexikalische Sätze. Nichtindexikalische Sätze kann man als ewige Sätze bezeichnen, da sie einen ewigen Wahrheitswert haben. Problem: In Argumenten kommt es auf die Wahrheit an (bzw. darauf, ob die Wahrheit der Konklusion in der geeigneten Weise von der Wahrheit der Prämissen abhängt). Wie soll man dann mit indexikalischen Sätzen, deren Wahrheitswert schwankt, in Argumenten umgehen? Antwort 1: Wir betrachten nicht Satztypen, sondern Einzelvorkommnisse von indexikalischen Sätzen (Satz-Token), die immer einen bestimmten Wahrheitswert haben. Einwand: Die Logik möchte Typen von Argumenten nach ihrer Form bewerten und nicht einzelne Argumente. 10

11 Exkurs: Unterscheidung von Token und Type Token: einzelnes Vorkommen oder Einzelding (nicht wiederholbar) Type: Wiederholbares oder allgemeines Muster (kann mehrfach vorkommen) Bsp. (1) Wie viele Wörter enthält der folgende Satz? Schröder ist der Kanzler der Bundesrepublik 6 Token, aber nur 5 Typen (da der zweimal vorkommt). (2) Wieviele Buchstaben enthält der folgende Rahmen? A A A Antwort: Drei Token vom selben Typ. (Die Token müssen qualitativ nicht in allen Eigenschaften identisch sein, um zum selben Typ zu gehören. Es genügt, wenn die relevanten Eigenschaften identisch sind.) Antwort 2: Wir betrachten nicht Sätze, sondern die durch sie ausgedrückten Aussagen (Propositionen). Wir versuchen also, den propositionalen Gehalt eines in einem bestimmten Kontext geäußerten indexikalischen Satzes durch einen ewigen Satz anzugeben. Bsp: Wenn ich den indexikalischen Satz (4 ) äußere, dann können wir seinen propositionalen Gehalt durch (4) angeben. Generelle Strategie: In der Logik sollte man indexikalische Sätze vermeiden oder in ewige Sätze transformieren. Bem.: Indexikalische Ausdrücke in unserer Sprache haben eine besondere Funktion. Mit ihrer Hilfe können wir uns in einem gegebenen Kontext auf Gegenstände beziehen, ohne eine eindeutige Beschreibung des Gegenstandes zu kennen. Bsp.: In einer Wahrnehmungssituation beziehen wir uns auf Gegenstände vor uns als dies oder das dort. Der Sprecher bezieht sich auf sich mit ich und auf sein Gegenüber mit du. Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, können auch beschreibende Audrücke hinzugefügt werden: der Tisch dort, das Fenster dort hinten. Man kann jedoch auch auf andere Gegenstände außerhalb der Wahrnehmungssituation 11

12 bezugnehmen, indem man sie durch deskriptive Relationen mit indexikalisch individuierten Gegenständen verknüpft: der Vater von ihm, der Vorgänger dieses Kanzlers. Raumzeitliche Relationen bieten dafür einen universellen Rahmen: gestern, tausend Kilometer von hier usw. Diese Funktion des raumzeitlichen Rahmens für die Bezugnahme wurde von Peter Strawson in Individuals (1957) und Ernst Tugendhat in Einführung in die sprachanalytische Philosophie genauer untersucht. Verwenden und Erwähnen (use und mention) Es gibt einen wichtigen Unterschied zwischen dem Gebrauch bzw. der Verwendung eines Ausdrucks und seiner Erwähnung. Wenn wir sagen, dass Schröder nicht Kohl ist, dann erwähnen wir zwei verschiedene Kanzler der Bundesrepublik, und wir tun das, indem wir Namen für sie ( Schröder und Kohl ) verwenden. Wir können auch einen Audruck als Namen verwenden, um auf einen Gegenstand zu referieren oder diesen Ausdruck erwähnen, indem wir einen Namen für den Ausdruck (der selbst ein Name ist) bilden. Unsere Sprache stellt dafür ein einfaches Hilfsmittel zur Verfügung die Verwendung von Anführungszeichen. Bsp. (i) (A) Die Illias ist ein Epos. (F) (A ) Die Illias ist ein Epos. (W) (ii) (B) = 4 ist eine mathematische Wahrheit. (ungrammatisch, da ein Satz kein grammatisches Subjekt sein kann) (B ) = 4 ist eine mathematische Wahrheit. (W, wir beziehen uns mit Hilfe des Namens = 4 auf einen Satz, dem Wahrheit zugeschrieben wird.) (iii) (C) Tübingen besteht aus acht Buchstaben. (F, die Stadt besteht nicht aus Buchstaben) (C ) Tübingen besteht aus acht Buchstaben. (W, weil sich der Satz auf den Ausdruck Tübingen bezieht) Mit Hilfe von Anführungszeichen können wir uns also auf beliebige Ausdrücke der Sprache (Wörter oder ganze Sätze) beziehen. Wir können also mit der Sprache über Sprache reden. Dabei ist es jedoch wichtig, die Ebenen auseinander zu halten. Die Sprache, über die gesprochen wird, nennt man Objektsprache. Die Sprache, in der man über die Ausdrücke der Objektsprache spricht, nennt man Metasprache. Wichtig: Die durch das Anführungszeichen gebildeten Ausdrücke sind Namen der Metasprache!!!! 12

13 Bem.: Man kann dieselbe Sprache (das Deutsche) als Objekt- und Metasprache verwenden. Dieselben Zeichentypen gehören dann beiden Sprachen an. Aber jedes Token (Einzelvorkommnis) gehört immer nur einer Sprache an. In einem Satz, in dem über die Objektsprache gesprochen wird, gehören alle Ausdrücke der Metasprache an. 13

14 4. Wahrheit, Gültigkeit und Schlüssigkeit Wir haben gelernt, wie man ein umgangssprachlich formuliertes Argument in seine Normalform bringt und welcher Art die Aussagen sein müssen, die das Argument in dieser Normalform enthält. In der Folge wird es um die Bewertung von Argumenten gehen. Wir wollen also herausfinden, ob ein gegebenes Argument gut oder schlecht ist. Hier muss man grundsätzlich zwei Hinsichten unterscheiden: die Gültigkeit und die Schlüssigkeit. Die Logik beschäftigt sich allein mit der Gültigkeit von Argumenten. Wann ist ein Argument gültig? Dafür muss die Wahrheit der Konklusion etwas mit der Wahrheit der Prämissen zu tun haben. Die Wahrheit der Konklusion muss von der Wahrheit der Prämissen abhängen. Das folgende Argument ist deshalb offensichtlich schlecht (und ungültig): (1) Im Jahre 79 wurde Pompeji zerstört. Also: Albert Einstein starb 1955 in Princeton. Hier sind zwar die Prämisse und die Konklusion wahr. Aber der Wahrheitswert der Konklusion hat nichts mit dem Wahrheitswert der Prämisse zu tun. Anders verhält es sich mit dem folgenden Argument: (2) Alle Fische fliegen. Alles, was fliegt, redet. Also: Alle Fische reden. Hier sind zwar Prämissen und Konklusion offensichtlich falsch und das ist natürlich schlecht, gemessen an dem Ziel von Argumenten, die Wahrheit zu etablieren, aber zwischen dem Wahrheitswert der Prämissen und dem Wahrheitswert der Konklusion gibt es einen Zusammenhang der folgenden Art: Wenn die Prämissen wahr wären, dann wäre auch die Konklusion wahr. Der Übergang von den Prämissen zur Konklusion ist deshalb begründet oder rational. Und das ist völlig unabhängig von der Tatsachenfrage, ob die Prämissen (und die Konklusion) tatsächlich wahr sind. Im Idealfall (wie in (2)) ist der Wahrheitszusammenhang zwischen den Prämissen und der Konklusion so stark, dass die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion regelrecht erzwingt. In diesem Fall ist es unmöglich, dass die Prämissen wahr sind und die Konklusion falsch ist. Es kann jedoch Argumente geben, die gegeben die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion nur wahrscheinlich machen. Dennoch empfinden wir auch hier in 14

15 vielen Fällen den Übergang von den Prämissen zur Konklusion als zulässig, gerechtfertigt oder rational. Beispiel: (3) Schwäne sind in der Regel weiße Vögel. Fritz besitzt einen Schwan. Also: Fritz besitzt einen weißen Vogel. In diesem Fall kann es zwar sein, dass die Konklusion falsch ist, selbst wenn die Prämissen wahr sind. Aber wenn die Prämissen wahr sind, scheint es eindeutig rational zu sein, die Konklusion für wahr zu halten. Damit ergibt sich die folgende Definition für ein gültiges Argument: Definition: Gültiges Argument Ein Argument ist gültig genau dann, wenn es tatsächlich rational ist, die Konklusion für wahr zu halten, wenn die Prämissen wahr sind. Wenn ein Argument als gültig bewertet wird, dann wird damit gesagt, dass es so ist, wie es sein soll. Ein Argument soll so sein, dass es rational ist, die Konklusion zu glauben, wenn die Prämissen wahr sind; und bei einem gültigen Argument ist das tatsächlich der Fall. Damit ist jedoch nur eine notwendige Bedingung dafür erfüllt, dass das Argument gut ist. Ein Argument kann also nur gut sein, wenn es gültig ist, aber nicht jedes gültige Argument ist deshalb bereits gut. Das wird deutlich, wenn wir uns gültige Argumente ansehen, die dennoch kritisierbar sind. (4) Alle Wale sind Fische Alle Delphine sind Wale. Also: Alle Delphine sind Fische. Dieses Argument ist gültig, denn es wäre sicher rational, seine Konklusion zu akzeptieren, wenn seine Prämissen wahr wären (da die Wahrheit seiner Prämissen die Wahrheit seiner Konklusion sogar erzwingt). Aber eine der Prämissen (die erste) ist falsch. Deshalb ist das Argument ungeeignet uns auf rationalem Wege zur Wahrheit zu führen. Wenn man bereits von etwas Falschem ausgeht, dann kann man wenn man rational verfährt bestenfalls noch zufällig die Wahrheit erreichen. Deshalb ist auch ein Argument, das von falschen Prämissen ausgeht, in einem bestimmten Sinne schlecht. Aber das betrifft nicht die Gültigkeit eines Arguments. Es betrifft nur Tatsachenfragen. 15

16 Wenn ein Argument also gültig ist und zusätzlich noch von ausschließlich wahren Prämissen ausgeht, dann nennen wir es schlüssig. Definition: Schlüssiges Argument Ein Argument ist schlüssig genau dann, wenn es gültig ist und alle seine Prämissen wahr sind. Die Frage, ob ein Argument schlüssig ist, kann nicht von der Logik allein beantwortet werden, weil die Tatsachenfragen, ob die Prämissen wahr sind, (normalerweise) nicht mit formalen Mitteln beantwortet werden können, sondern empirisch untersucht werden müssen. In der Logik konzentriert man sich auf die Bewertung der Gültigkeit eines Arguments. Bem.: Im Deutschen ist die Unterscheidung zwischen gültig und schlüssig umgangssprachlich ungebräuchlich. Manchmal wird Gültigkeit sogar mit Wahrheit gleichgesetzt (wenn man etwa von einer gültigen Annahme oder Prämisse spricht). Wir wollen die Begriffe Wahrheit, Gültigkeit und Schlüssigkeit deshalb immer im streng terminologischen Sinne verwenden. Im Englischen ist die Unterscheidung zwischen gültig (valid) und schlüssig (sound) umgangssprachlich gebräuchlicher. Ein gutes Argument ist ein Argument, dass gültig ist und ausschließlich wahre Prämissen hat. Ein Argument ist also gut genau dann, wenn es schlüssig ist. Definition: Gutes Argument Ein Argument ist gut genau dann, wenn es schlüssig ist. 16

17 5. Deduktive und nicht-deduktive Gültigkeit Die Logik untersucht wie wir gesehen haben nicht die Wahrheit der Prämissen, sondern allein die Gültigkeit eines Arguments. Hier gibt es nun eine wichtige Unterscheidung: Es gibt deduktiv gültige (kurz: deduktive) Argumente und solche, die nicht-deduktiv gültig sind. Im Falle eines deduktiv gültigen Argumentes muss die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion erzwingen. Es darf also nicht möglich sein, dass die Prämissen wahr sind und die Konklusion falsch ist. Der Übergang von den Prämissen zur Konklusion ist wahrheitswerterhaltend. Man sagt dazu auch: Die Konklusion folgt logisch aus den Prämissen. Definition: deduktiv gültiges Argument Ein Argument ist deduktiv gültig genau dann, wenn die Konklusion wahr sein muss (nicht falsch sein kann), falls alle Prämissen wahr sind (in diesem Fall folgt die Konklusion logisch aus den Prämissen). Wenn ein Argument deduktiv gültig ist, dann ist es selbstverständlich ein gültiges Argument im Sinne der Definition (S. 15), denn natürlich ist es rational die Konklusion zu glauben, wenn die Prämissen wahr sind, wenn die Prämissen die Wahrheit der Konklusion erzwingen. Häufig wird die Logik als Untersuchung der deduktiven Gültigkeit von Argumenten verstanden. Doch das ist eine unnötige Verengung. Argumente in der Philosophie, in den Wissenschaften und im Alltag sind häufig nicht deduktiv gültig; sie erzwingen nicht die Wahrheit der Konklusion. Dennoch scheinen sie in der Lage zu sein, ihre Konklusionen rational zu begründen. Wenn das richtig ist, dann wäre die allgemeine Definition der Gültigkeit (S. 15) auch von solchen nicht-deduktiven Argumenten erfüllt. Die Logik müsste dann auch die formalen Gesetze der Gültigkeit solcher nicht-deduktiven Argumente studieren. Hier ist es jedoch viel schwieriger als im Bereich der deduktiven Argumente, formale Gesetze der Gültigkeit anzugeben. Intuitiv machen wir den Unterschied auch hier, aber die Formalisierung bereitet erheblich mehr Probleme. Bsp. (1) Induktive Generalisierung: Alle bislang beobachteten Schwäne sind weiß Also: Alle Schwäne sind weiß. 17

18 (2) Anfänger haben im Allgemeinen Schwierigkeiten mit der Logik. Hans ist ein Anfänger Also: Hans hat Schwierigkeiten mit der Logik. (3) Schluss auf die beste Erklärung (SBE) Das Barometer fällt. Also: Ein Sturm kommt (weil gilt, dass Ein Sturm kommt & Wenn ein Sturm kommt, dann fällt das Barometer die Prämisse nach dem deduktiv-nomologischen Schema erklärt und keine bessere Erklärung vorhanden ist) Exkurs: deduktiv-nomologisches Schema der Erklärung Die klassische Theorie wissenschaftlicher Erklärungen versteht solche Erklärungen nach dem folgenden Schema (DN-Schema oder HO-Schema nach den Erfindern Hempel und Oppenheimer benannt): Ein Sturm kommt. (Antezedenzbedingung oder Randbedingung) Wenn ein Sturm kommt, dann fällt das Barometer. (Gesetz) Also: Das Barometer fällt. (Explanandum) Bem.: 1 Die wissenschaftliche Erklärung ist ein deduktiv gültiges Argument mit besonderen Prämissen. Die Antezedenzbedingungen sind normalerweise singuläre Ereignisse. Das Gesetz ist ein genereller Satz, der kausale Zusammenhänge bezeichnet. 2 Während die Erklärung ein deduktives Argument ist, ist der SBE ein nichtdeduktiver Schluss vom Explanandum auf die erklärende Ursache. In der Philosophie, in den empirischen Wissenschaften und im Alltag spielen nicht-deduktive Argumente verschiedener Art also eine wichtige Rolle. Und wir gehen davon aus, dass sie eine rationale Begründung von Thesen ermöglichen. Die Logik müsste die Gesetze der nichtdeduktiven Gültigkeit dieser Argumente untersuchen. Aber bislang hat ihre Formalisierung erhebliche Probleme bereitet. Es gibt aber verschiedene Ansätze zu solchen induktiven Logiken. (Gegenwärtig wird viel vom nicht-monotonen Schließen gesprochen. In nichtmonotonen Schlüssen können gültige Schlüsse durch Hinzunahme weiterer Prämissen zu ungültigen Schlüssen werden. Das ist bei deduktiven Argumenten nicht der Fall.) 18

19 Weil die Logik nicht-deduktiver Argumente notorische Schwierigkeiten aufwirft, beschränken wir uns in der Einführung in die Logik auf die Gesetze deduktiver Gültigkeit. Nur diese werden uns im weiteren Verlauf der Vorlesung beschäftigen. Das hat aber allein praktische Gründe. Man sollte daher nicht sagen, dass die Logik sich nur mit deduktiven Argumenten beschäftigt. Das wäre eine unzulässige Verengung. Dennoch soll der Vollständigkeit halber auch nicht-deduktive Gültigkeit definiert werden: Definition: nicht-deduktiv gültiges Argument Ein Argument ist genau dann nicht-deduktiv gültig, wenn es gültig ist, aber nicht deduktiv gültig ist, d.h., wenn es rational ist, die Konklusion für wahr zu halten, wenn alle seine Prämissen wahr sind, obwohl die Wahrheit der Prämissen die Wahrheit der Konklusion nicht erzwingt. 19

20 6. Gültigkeit und die logische Form von Argumenten Die Logik im engeren Sinne, soweit sie uns hier beschäftigt, untersucht die deduktive Gültigkeit von Argumenten. Wie können wir überprüfen, ob ein Argument deduktiv gültig ist? Antwort: Die logische Form des Arguments muss derart sein, dass es kein Argument der gleichen Form gibt, dessen Prämissen wahr und dessen Konklusion falsch ist. Faustregel: Versuchen Sie zunächst die logische Form eines Argumentes in Normalform dadurch zu bestimmen, dass Sie für Teilsätze Buchstaben wie p, q oder r einsetzen und für Prädikate (Klassenbegriffe) Großbuchstaben wie S, M oder P. Verfahren Sie dabei immer so, dass Sie für gleiche Teilsätze oder gleiche Prädikate in einem Argument dieselben Buchstaben einsetzen. Sie bestimmen so die logische Form eines Arguments. Bilden Sie sodann (strukturgleiche) Argumente derselben Form, indem Sie für die Buchstaben andere Teilsätze bzw. Prädikate einsetzen. Wenn ein deduktiv gültiges Argument vorliegt, wird jede Einsetzung mit wahren Prämissen auch eine wahre Konklusion haben. Wenn Sie eine Einsetzung finden können, in der die Prämissen wahr, die Konklusion jedoch falsch ist, ist das Argument dieser logischen Form (deduktiv) ungültig. 2 Bsp. Kein Papagei ist ein Säugetier W Kein Säugetier ist ein Fisch W Also: Kein Papagei ist ein Fisch W Ist dieses Argument gültig? Logische Form: Kein P ist S Kein S ist F Also: Kein P ist F Einsetzung: Keine Katze (P) ist ein Vogel (S) Kein Vogel (S) ist ein Säugetier (F) Also: Keine Katze (P) ist ein Säugetier (F) W W F 20

21 Also ist das Argument (und alle strukturgleichen Argumente) ungültig! Einige weitere Beispiele (A) Wenn der Irakkrieg ein Angriffskrieg war, dann war er völkerrechtswidrig. Der Irakkrieg war ein Angriffskrieg. Also: Der Irakkrieg war völkerrechtswidrig. Logische Form: Wenn p, dann q. p Also: q Können Sie eine Einsetzung finden, deren Prämissen offensichtlich wahr und deren Konklusion offensichtlich falsch ist? (B) Wenn die Welt von Gott geschaffen wurde, dann ist sie gesetzmäßig und wohlgeordnet. Die Welt ist gesetzmäßig und wohlgeordnet. Also: Die Welt wurde von Gott geschaffen. Logische Form: Wenn p, dann q. q Also: p Einsetzung (Fido ist ein Hund): Wenn Fido eine Katze wäre, dann würde er vier Beine und einen Schwanz haben. W Fido hat vier Beine und einen Schwanz W Also: Fido ist eine Katze F Argumente dieser Form sind ungültig! (C) Logische Form: Wenn p, dann q nicht p Also: nicht q Einsetzung: Wenn p wahr ist, dann hat p einen Wahrheitswert. p ist nicht wahr W W 2 In der Folge meine ich mit Gültigkeit immer deduktive Gültigkeit, wenn nicht explizit etwas anderes gesagt wird. 21

22 Also: p hat keinen Wahrheitswert Kann F sein, wenn p falsch ist ungültige Argumentationsform!!! Problem dieser Methode: Wir können so niemals definitiv zeigen, dass ein Argument (oder eine Argumentform) gültig ist, denn es bleibt stets offen, ob nicht doch noch irgendwelche widerlegenden Instanzen gefunden werden können. Andererseits bleibt der Nachweis der Ungültigkeit auf unsere Phantasie angewiesen. Wir haben bislang kein rein mechanisches Verfahren, um die Gültigkeit von Argumenten zu prüfen. 22

23 7. Aussagenlogik: Syntax Wir werden nun eine künstliche Sprache einführen, in der wir Aussagesätze und Argumente formalisieren können. Beim Formalisieren geht es um die Form der Sätze und ihre Wahrheitswerte, nicht um ihren spezifischen Inhalt. Wir betrachten zunächst die Sprache der Aussagenlogik (AL). Jede Sprache ist durch zwei Aspekte charakterisiert: ihre Syntax und ihre Semantik. In der Syntax geht es um zwei Fragen: 1. Was sind die Grundzeichen (oder Grundausdrücke) der Sprache? 2. Wie erzeugt man aus diesen Grundzeichen die Sätze der Sprache? In der Semantik geht es dagegen um die folgenden Fragen: 1. Was bedeuten die Grundzeichen der Sprache? 2. Unter welchen Bedingungen sind die Sätze der Sprache wahr? Die Semantik wird im nächsten Abschnitt behandelt. Hier wollen wir uns zunächst mit der Syntax beschäftigen. Die Grundzeichen von AL, der Sprache der Aussagenlogik, gehören drei Klassen an: Deskriptive Zeichen Logische Zeichen Hilfszeichen 1. Deskriptive Zeichen: AL enthält nur einen Typ von Zeichen, nämlich Satzbuchstaben. Das sind Zeichen für ganze Sätze. Sie stehen für atomare (nicht weiter zerlegbare) Aussagesätze. Als Satzbuchstaben verwenden wir p, q, r, s, t... (oder p 1, p 2, p 3,...) 2. Logische Zeichen: AL enthält fünf logische Zeichen, die man auch Junktoren (von lat. Jungere verbinden) nennt. Mit ihrer Hilfe kann man aus einfachen Sätzen komplexe Sätze konstruieren.,,,, (umgangssprachlich: nicht, und, oder, wenn-dann, genau-dann-wenn) 3. Hilfszeichen: AL hat als Hilfszeichen die beiden Klammern: (, ) 23

24 Das sind alle Grundzeichen von AL. Syntax: Grundzeichen von AL AL enthält als deskriptive Zeichen: Die Satzbuchstaben p, q, r, s, t..., als logische Zeichen: Die Junktoren,,,,, und als Hilfszeichen: Die beiden Klammern `(`und `)`. Bem. 1 Es werden in der Literatur auch andere Zeichen verwendet für auch: Tilde für auch: & oder. für auch: (horseshoe) 2 Zum besseren Einprägen: kommt vom lat. vel und bedeutet oder 3 Namen für die Junktoren Negationszeichen Und-Zeichen Konjunktionszeichen Oder-Zeichen Adjunktionszeichen Wenn-dann-Zeichen Subjunktionszeichen Genau-dann-wenn-Zeichen Bisubjunktionszeichen Wir können also jetzt aus den Grundzeichen die Sätze von AL erzeugen. Zunächst sind alle Satzzeichen zulässig: P, q, r, s, t,... Dann können wir weitere Sätze bilden, indem wir das Negationszeichen vor einen Satzbuchstaben schreiben: p, q, r, s, t... 24

25 Und wir können weitere Sätze bilden, indem wir zwischen zwei Sätze das Konjunktionszeichen, das Adjunktionszeichen, das Subjunktionszeichen bzw. das Bisubjunktionszeichen schreiben und das Ganze in Klammern setzen: (p q) (r s) (r s) (q t) (p q) (p q) ( p s) ((p r) q) (p (q p)) Definition: Sätze von AL A ist genau dann ein Satz von AL, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i) A ist ein Satzbuchstabe von AL; (ii) B und C sind Sätze von AL, und A ist gleich B, (B C), (B C), (B C) oder (B C). Die Sätze von AL werden nach den in ihnen vorkommenden Junktoren benannt: A Negation (A B) Konjunktion (A B) Adjunktion (A B) Subjunktion (A B) Bisubjunktion Beachte: A und B können dabei beliebige atomare oder zusammengesetzte Sätze sein. Die Sätze werden immer nach ihrer Form, nicht nach der Form ihrer Teilsätze benannt. Bsp. (p q) Negation ( p s) Negation (p (q p)) Adjunktion 25

26 Zum Schluss wird noch eine Verabredung zur Klammerersparnis getroffen: Klammerersparnis-Regel 1. Äußerste Klammern dürfen weggelassen werden. 2. und binden stärker als und. Beispiele: (p q) wird abgekürzt als p q ((p q) r) wird abgekürzt als p q r 26

27 8. Die Semantik von AL Wir wollen uns nun mit der Semantik von AL beschäftigen, also mit den Fragen, was die Grundzeichen bedeuten und wann die Sätze von AL wahr sind. Da unsere Sätze Aussagesätze sind, deren propositionaler Gehalt beliebig ist und von dem abgesehen werden kann, bleibt nur noch der Wahrheitswert der Sätze übrig. Dies ist der einzige Aspekt der Bedeutung, der uns in der Aussagenlogik interessiert. Die Wahrheitswerte der Sätze von AL werden durch eine Abbildung festgelegt eine Bewertung V -, die jedem Satzbuchstaben p, q, r, s, t... einen der beiden Wahrheitswerte w (wahr) oder f (falsch) zuordnet. Definition: Bewertung (Interpretation) V Eine Bewertung (Interpretation) V ist eine Abbildung, die jedem Satzbuchstaben von AL (p, q, r, s, t...) einen der beiden Wahrheitswerte w oder f zuordnet. Wann ist ein beliebiger Satz von AL wahr unter V bzw. falsch unter V? Definition: Wahrheitsbedingungen bezüglich von V Ist V eine Bewertung der Sprache AL, dann ist ein Satz A von AL genau dann wahr bezüglich V, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i) A ist ein Satzbuchstabe und V(A) = w (ii) A ist eine Negation (hat die Form B) und V(B) = f (iii) A ist eine Konjunktion (hat die Form B C) und V(B) = w sowie V(C) = w (iv) A ist eine Adjunktion (hat die Form B C) und mindestens einer der beiden Sätze B und C ist wahr unter V (v) A ist eine Subjunktion (hat die Form B C) und es ist nicht der Fall, dass B wahr unter V ist und C falsch unter V ist. (vi) A ist eine Bisubjunktion (hat die Form B C) und B und C sind beide wahr oder beide falsch unter V. Wesentlich anschaulicher lässt sich die Abhängigkeit des Wahrheitswertes eines zusammengesetzten Satzes von den Wahrheitswerten seiner Teile mit Hilfe der Wahrheitstafeln angeben: 27

28 (I) Negation p p w f f w (II) Konjunktion p q p q w w w w f f f w f f f f (III) Adjunktion p q p q w w w w f w f w w f f f (IV) Subjunktion p q p q w w w w f f f w w f f w (V) Bisubjunktion p q p q w w w w f f f w f f f w 28

29 Beispiel: Nehmen wir eine beliebigen Bewertung V 1 : V 1 (p) = w V 1 (q) = f V 1 (r) = f V 1 (s) = f V 1 (t) = w Dann sind wahr unter V 1 : q p q r s p t Falsch unter V 1 sind: p q (p q) p q 29

30 9. Übersetzung umgangssprachlicher Sätze in AL Wir haben die künstliche Sprache AL eingeführt, um ein Hilfsmittel für die Bewertung der Gültigkeit umgangssprachlicher Argumente bereitzustellen. Dieses Hilfsmittel können wir jedoch nur verwenden, wenn wir die umgangssprachlichen Argumente, um die es uns geht, in AL übersetzen können. Einfache (atomare) Sätze bereiten dabei keine Probleme, da wir für sie einfach Satzbuchstaben einsetzen können. Doch wie sieht es mit der Übersetzung umgangssprachlicher Ausdrücke in logische Junktoren aus? Dabei muss Folgendes berücksichtigt werden: Die fünf Junktoren in AL sind rein wahrheitsfunktionale Ausdrücke, d.h. der Wahrheitswert der durch sie gebildeten komplexen (molekularen) Sätze hängt allein vom Wahrheitswert ihrer Teilsätze ab. 3 Wenn wir nach einer passenden Übersetzung satzverknüpfender Ausdrücke der Umgangssprache in AL suchen, dann müssen wir in erster Linie darauf achten, dass die Wahrheitsbedingungen der einander zugeordneten Sätze sich entsprechen, denn in der Logik geht es uns um die Wahrheit (nicht um rhetorische Elemente der Sprache). Wenn wir keine wahrheitskonditionalen Entsprechungen finden, dann können wir auch nach Übersetzungen in AL suchen, die schwächer sind als die Aussagen der Umgangssprache, so dass gilt: Die Übersetzungen in AL sind immer dann wahr, wenn die Sätze der Umgangssprache wahr sind (auch wenn das Umgekehrte nicht gilt). Wir dürfen dieses Verfahren wählen, weil wir in diesem Fall von der Ungültigkeit in AL auf die Ungültigkeit in der Umgangssprache zurückschließen dürfen. NEGATION (1) Paul ist nicht klug V(p) = Paul ist klug (1 ) Es ist nicht der Fall, dass Paul klug ist (Paraphrase) (1 ) p Merke: Wenn man einen mit Hilfe des Ausdrucks nicht gebildeten Satz A der Umgangssprache problemlos mit Hilfe eines Es ist nicht der Fall, dass... Satzes paraphrasieren kann, dann kann man A als Negation übersetzen. Hilfestellung: Niemand lässt sich als nicht jemand, nichts als nicht etwas und kein als nicht ein verstehen. Sätze, die Ausdrücke mit der Vorsilbe un enthalten, lassen 3 AL hat außerdem die Besonderheit, dass sie alle Aussagesätze als wahrheitsdefinit betrachtet, also als entweder wahr oder falsch. Wahrheitswertlücken oder unbestimmte Wahrheitswerte werden von der klassischen Logik nicht berücksichtigt. 30

31 sich nicht immer als Negation analysieren (vgl. unverschämt nicht verschämt, aber: unvollkommen = nicht vollkommen ) KONJUNKTIONEN Durch die Konjunktion lassen sich sehr viele Sätze übersetzen, die ein und enthalten, und zwar ganz gleich, ob dieses und zwischen zwei Sätze, zwei Namen oder zwei Prädikaten steht. (1) Hans ist blond und Hans ist groß V(p) = Hans ist blond V(q) = Hans ist groß (1 ) p q (2) Hans ist blond und groß Übers.: (1 ) (3) Hans und Jürgen sind groß V(r) = Jürgen ist groß (3 ) q r Probleme: (A) Manchmal drückt und in der Umgangssprache eine zeitliche Abfolge aus, die das Konjunktionszeichen nicht ausdrückt. (4) Hans zieht sich die Schuhe aus und geht ins Bett (4 ) Hans zieht die Schuhe aus und geht danach ins Bett (Paraphrase) Lösung: Wenn wir (4) durch (4 ) übersetzen: (4 ) p q V(p) = Hans zieht die Schuhe aus V(q) = Hans geht ins Bett, dann ist (4 ) zumindest immer wahr, wenn (4) wahr ist. (B) Manchmal wird durch und eine Relation ausgedrückt: (5) Hans und Gerda sind befreundet (5 ) Hans ist befreundet und Gerda ist befreundet (keine gute Paraphrase) Lösung: Dann lässt sich der umgangssprachliche Satz nicht als Konjunktion übersetzen! (C) Ausdrücke wie aber, sondern und obwohl indizieren auch eine Konjunktion. 31

32 Aber nehmen wir die beiden folgenden Sätze: (6) Hans ist nicht dumm, aber faul (7) Hans ist nicht dumm und Hans ist faul ( p q). Besagen sie tatsächlich dasselbe? Lösung: Vom logischen Standpunkt (bei dem es nur auf die Wahrheitsbedingungen ankommt) besagen sie dasselbe. (6) ist wahr dann und nur dann, wenn (7) wahr ist. Sie haben jedoch eine unterschiedliche Konnotation (Frege: Beleuchtung ). (6) deutet einen Gegensatz an. Für die Logik ist dieser rhetorische Aspekt irrelevant! ADJUNKTIONEN Im Deutschen gibt es zwei verschiedene Arten des oder : das ausschließende Oder und das nicht-ausschließende Oder. (I) Das nicht-ausschließende Oder: (1) Hans kommt zur Party oder Helga kommt zur Party 1. Lesart: (1) ist wahr genau dann, wenn Hans zur Party kommt, Helga zur Party kommt oder beide zur Party kommen. (1 ) p q V(p) = Hans kommt zur Party V(q) = Helga kommt zur Party (II) Das ausschließende Oder: entweder oder 2. Lesart: (1) ist wahr genau dann, wenn Hans zur Party kommt oder Helga zur Party kommt, aber nicht beide zur Party kommen. Der Satz wäre falsch, wenn beide Teilsätze wahr sind. (1 ) (p q) Dieser Satz ist wahr genau dann, wenn es nicht der Fall ist, dass Hans und Helga beide kommen oder beide nicht kommen. SUBJUNKTIONEN Ein umgangssprachliches wenn dann ist niemals rein wahrheitsfunktional. Die Wahrheit des Satzes hängt auch von einem inhaltlichen Zusammenhang zwischen den Teilsätzen ab. Deshalb ist die Übersetzung durch die wahrheitsfunktionale Subjunktion problematisch und bereitet erfahrungsgemäß Anfängern besonders große Probleme. (1) Wenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz älter als Paul. 32

33 Wenn wir diesen Satz als Subjunktion verstehen, dann wäre er bereits dann wahr, wenn es nicht der Fall ist, dass Fritz der Vater von Paul ist, (also wenn der Vordersatz falsch ist) oder wenn Fritz älter als Paul ist (der Hintersatz wahr ist). Die folgenden Sätze wären also wahr, wenn sie als Subjunktionen verstanden würden: (2) Wenn der Mond ein Schweizer Käse ist, dann ist Tübingen eine Universitätsstadt (Vordersatz falsch) (3) Wenn Paris die Hauptstadt von Frankreich ist, dann ist Meerwasser salzig (Hintersatz wahr) Intuitiv finden wir das aber ungenügend, weil die in diesen Sätzen beschriebenen Tatsachen in keinem inhaltlichen Zusammenhang stehen. Umgangsprachlich ist dieser Zusammenhang für die Wahrheit des Satzes erforderlich. Dennoch: Wir übersetzen umgangssprachliche Wenn-dann-Sätze generell als Subjunktionen. Dafür gibt es im Wesentlichen zwei Gründe: Erstens ist die Subjunktion immer dann wahr, wenn der umgangssprachliche Wenndann-Satz wahr ist. Damit ist die Subjunktion eine schwache Übersetzung des Wenndann-Satzes. (Und wenn die Subjunktion falsch ist weil der Vordersatz wahr und der Hintersatz falsch ist -, dann kann auch der umgangssprachliche Wenn-dann-Satz nicht wahr sein.) Bsp. Wenn der Satz (1) Wenn Fritz der Vater von Paul ist, dann ist Fritz älter als Paul wahr ist, dann ist auch die Subjunktion p q (mit V(p) = Fritz ist der Vater von Paul; V(q) = Fritz ist älter als Paul) wahr. Beweis: Wenn (1) wahr ist und p wahr ist, dann ist auch q wahr. Damit ist aber die Wahrheitsbedingung der Subjunktion erfüllt! Zweitens hat die umgangssprachliche Wenn-dann-Verknüpfung sehr unterschiedliche Bedeutungen (zeitlicher, kausaler, semantischer Zusammenhang). Die Subjunktion könnte den gemeinsamen Kern herausgreifen. Also: (1) wird in AL als (1 ) übersetzt: (1 ) p q Die Bewertung V wie oben. 33

34 Andere Anwendungen (i) Nur-dann-wenn Sätze sollen als Subjunktionen übersetzt werden (4) Hans kommt nur dann zur Party, wenn Helga kommt (4 ) Wenn Helga nicht kommt, dann kommt auch Hans nicht (Paraphrase) (4 ) p q V(p) = Helga kommt zur Party V(q) = Hans kommt zur Party (4 ) q p (Kontraposition) Merke: Umgangssprachliche Sätze der Form A nur dann, wenn B können wir durch die Subjunktion der Form B A oder durch eine Subjunktion der Form A B übersetzen. (ii) Hinreichende Bedingung (5) A ist eine hinreichende Bedingung für B (5 ) Wenn A, dann B (Paraphrase) (5 ) A B (iii) Notwendige Bedingung (6) A ist eine notwendige Bedingung für B (6 ) Wenn nicht A, dann auch nicht B (Paraphrase) (6 ) A B (6 ) B A BISUBJUNKTIONEN Dieser Junktor entspricht der Subjunktion in beiden Richtungen. A B ist wahr genau dann, wenn (A B) (B A) wahr ist. Die Bisubjunktion ist die korrekte Übersetzung für umgangssprachliche Sätze, in denen Ausdrücke wie dann und nur dann, wenn oder genau dann, wenn auftreten. Bsp. (1) Hans kommt dann und nur dann zur Party, wenn Paul kommt (1 ) Hans kommt zur Party, wenn Paul kommt, und Hans kommt nicht zur Party, wenn Paul nicht kommt (Paraphrase) V(p) = Hans kommt zur Party V(q) = Paul kommt zur Party (1 ) (q p) ( q p) 34

35 (1 ) (q p) (p q) (1 ) p q Wie übersetzt man A es sei denn, B? (2) Hans kommt zur Party es sei denn, dass Paul kommt (2 ) Wenn Paul zur Party kommt, kommt Hans nicht, und, wenn Paul nicht kommt, kommt Hans (Paraphrase) (2 ) (q p) ( q p) Bewertung (V) wie oben. (2 ) (p q) ( q p) (2 ) p q Notwendige und hinreichende Bedingung (3) A ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für B (3 ) A B BEISPIELE FÜR DIE ÜBERSETZUNG UMGANGSSPRACHLICHER SÄTZE IN AL (1) Hans und Klaus kommen nicht beide (1 ) (p q) V(p) = Hans kommt V(q) = Klaus kommt (2) Hans und Klaus kommen beide nicht (2 ) p q V(p) = Hans kommt V(q) = Klaus kommt (3) Hans kommt nur, wenn Klaus kommt (3 ) Hans kommt nicht, wenn Klaus nicht kommt (3 ) q p (3 ) p q (4) Wenn die Arbeitslosigkeit weiter steigt, wird die Koalition die Wahl verlieren, es sei denn, dass die Opposition versagt 35

36 V(p) = Die Arbeitslosigkeit steigt weiter V(q) = Die Koalition wird die Wahl verlieren V(r) = Die Opposition versagt (4 ) p (q r) (5) Wenn dieses Haar vom Täter stammt, dann ist Hans entweder nicht der Täter oder er hat versucht, eine falsche Spur zu legen, und sich die Haare gefärbt V(p) = Dieses Haar stammt vom Täter V(q) = Hans ist der Täter V(r) = Hans hat versucht, eine falsche Spur zu legen V(s) = Hans hat sich die Haare gefärbt (5 ) p ( q r s) Grundregel für die Paraphrasierung normalsprachlicher Sätze Die logische Struktur eines umgangssprachlichen Satzes wird oft erst durch eine geeignete Paraphrase sichtbar. Paraphrasieren ist also ein nicht notwendiger, aber hilfreicher erster Schritt bei der Formalisierung normalsprachlicher Sätze. Dabei gilt die Regel: Die Wahrheitsbedingungen der Paraphrase dürfen höchstens schwächer, sollten aber möglichst dieselben sein wie die des ursprünglichen Satzes! Man muss also mindestens sicherstellen, dass die Paraphrase unter den Umständen wahr ist, unter denen der ursprüngliche Satz wahr ist. 36

37 10. Logische Wahrheit Mit Hilfe der Bewertungen V haben wir semantische Eigenschaften der Sätze in AL beschrieben. Die Bewertung legt die Wahrheitsbedingungen und die Wahrheitswerte der Sätze fest. Im Abschnitt 8 stand der Wahrheitswert im Vordergrund. Im Abschnitt 9 (wo es um die Übersetzung normalsprachlicher Sätze ging) standen die Wahrheitsbedingungen im Vordergrund. Jetzt soll der Begriff der logischen Wahrheit für AL definiert werden. Die Grundidee dieser Definition besteht darin, die Bewertungen V variieren zu lassen und dabei darauf zu achten, ob sich bei einem Satz einmal der Wahrheitswert f ergibt oder ob sich immer der Wahrheitswert w einstellt. Ergibt sich immer der Wahrheitswert w, dann handelt es sich um eine logische Wahrheit. Sobald zumindest einmal der Wahrheitswert f vorkommt, liegt keine logische Wahrheit vor. Intuitiv betrachtet soll der Begriff der logischen Wahrheit ungefähr das Folgende erfassen: Ein Satz ist eine logische Wahrheit genau dann, wenn er wahr ist allein kraft seiner Form, aber unabhängig von seinem sonstigen Gehalt. Die Form, um die es hier geht, ist die sogenannte logische Form. Und der sonstige Gehalt, von dem wir absehen wollen, ist eben der propositionale Gehalt, also das, was der Satz über die Welt aussagt. Von dem Gehalt eines Satzes haben wir zunächst die Wahrheitsbedingungen und seinen Wahrheitswert (mittels der Bewertung V) erfasst. Wenn wir vom Gehalt abstrahieren wollen, dann müssen wir uns auch noch von der Bewertung V des Satzes unabhängig machen. Das erreichen wir dadurch, dass wir V variieren lassen, d.h. alle Bewertungen durchspielen. Dabei kommen alle Wahrheitswertbelegungen der atomaren Sätze vor. Dies entspricht einem hypothetischen Durchlaufen aller Gehalte für alle Sätze. Logische Wahrheit liegt vor, wenn ein Satz bei diesem Durchlaufen aller möglichen Wahrheitswertbelegungen immer den Wahrheitswert w zugewiesen bekommt. So haben wir die logische Wahrheit als etwas bestimmt, was eine Unabhängigkeit vom sonstigen Gehalt aufweist. Was ist unter der logischen Form zu verstehen? Die logische Form eines Satzes in AL ist durch die Junktoren und die Art und Weise, wie der Satz aufgebaut ist, festgelegt. Die Bedeutung der Junktoren ist durch die Definition ihrer Wahrheitsbedingungen festgelegt und in den Wahrheitstafeln fixiert. Die Bedeutung der logischen Zeichen besteht genau darin, wie sie die Wahrheitswerte komplexer Sätze in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten ihrer atomaren Teilsätze festlegen. Ihre Bedeutung besteht also in einer Wahrheitswertfunktion. 37