Kapitel 5. Univariate Zufallsvariablen. 5.1 Diskrete Zufallsvariablen

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1 Kapitel 5 Univariate Zufallsvariablen Im ersten Teil dieses Skriptes haben wir uns mit Daten beschäftigt und gezeigt, wie man die Verteilung eines Merkmals beschreiben kann. Ist man nur an der Population interessiert, die zu den Daten gehört, so ist eine solche Analyse unproblematisch. Oft ist man aber an der Verteilung eines Merkmals in einer Grundgesamtheit interessiert und kann aber nicht die gesamte Grundgesamtheit untersuchen. Man wird in diesem Fall eine Teilgesamtheit der Grundgesamtheit untersuchen. Der Schluss von der Teilgesamtheit auf die Grundgesamtheit ist fehlerbehaftet. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung erlaubt es nun, eine Aussage über den Fehler zu machen. Hierzu unterstellt man für das Merkmal ein Wahrscheinlichkeitsmodell und spricht von einer Zufallsvariablen. Wir unterscheiden diskrete und stetige Zufallsvariablen. 5.1 Diskrete Zufallsvariablen Beispiel 54 Wir betrachten Familien mit zwei Kindern, wobei uns die Anzahl der Mädchen interessiert. Offensichtlich kann es in einer Familie mit zwei Kindern, 1 oder 2 Mädchen geben. Wir suchen die Wahrscheinlichkeiten dieser drei Ausprägungen. Hierzu fassen wir die Geburt eines Kindes als einen Zufallsvorgang auf. Wir beobachten diesen Zufallsvorgang zweimal. Man spricht von einem verbundenen Zufallsvorgang. Die Ergebnismenge ist Ω={WW,WM,MW,MM}. Dabei steht W für weiblich und M für männlich. Es liegt nahe, ein Gleichmöglichkeitsmodell zu unterstellen. Es gelte also P ({WW}) =.25 P ({WM}) =.25 P ({MW}) =.25 P ({MM}) =

2 146 KAPITEL 5. UNIVARIATE ZUFALLSVARIABLEN Wir ordnen nun jedem Ergebnis die Anzahl der Mädchen zu. So sind 2 Mädchen in der Familie, wenn das Ergebnis WW beobachtet wurde. Abbildung 5.1 illustriert die Zuordnung. Abbildung 5.1: Illustration einer Zufallsvariablen 2 WW MW WM 1 MM Definition 5.1 Sei Ω die abzählbare Ergebnismenge eines Zufallvorgangs. Dann heißt die Abbildung X :Ω IR diskrete Zufallsvariable X. Für Zufallsvariablen verwenden wir im Folgenden Großbuchstaben. Die Werte, die die Zufallsvariable annimmt, bezeichnen wir mit Kleinbuchstaben. Beispiel 54 (fortgesetzt) Wir betrachten die Zufallsvariable X Anzahl der Mädchen in Familien mit 2 Kindern. X kann die Werte, 1 und 2 annehmen. Haben wir den Elementarereignissen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet, so können wir die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bestimmen, die über die Zufallsvariable X beschrieben werden. Hier interessieren uns vor allem Ereignisse der Form {ω X(ω) = x}. Beispiel 54 (fortgesetzt) Es gilt {ω X(ω) =} = {MM} {ω X(ω) =1} = {MW,WM} {ω X(ω) =2} = {WW}.

3 5.1. DISKRETE ZUFALLSVARIABLEN 147 Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen der Form {ω X(ω) = x} können wir folgendermaßen bestimmen: P ({ω X(ω) =x}) = {ω i X(ω i )=x} P ({ω i }). Für schreiben wir kurz P ({ω X(ω) =x}) P (X = x). Beispiel 54 (fortgesetzt) Es gilt P (X =) = P ({ω X(ω) =}) =P ({MM}) =.25 P (X =1) = P ({ω X(ω) =1}) =P ({MW})+P ({WM}) =.5 P (X =2) = P ({ω X(ω) =2}) =P ({WW}) =.25. Definition 5.2 Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Dann heißt die Funktion f X : IR IR mit x f X (x) =P (X = x) Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. Beispiel 54 (fortgesetzt) Es gilt.25 für x =.5 für x =1 f X (x) =.25 für x =2 sonst T X = {x f X (x) > } heißt der Träger von x. Beispiel 54 (fortgesetzt) Es gilt T X = {, 1, 2}. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f X (x) besitzt zwei Eigenschaften. Für alle x IR gilt f X (x). (5.1)

4 148 KAPITEL 5. UNIVARIATE ZUFALLSVARIABLEN Außerdem gilt {x x T X } f X (x) =1 (5.2) Man muss die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen X nicht notwendigerweise aus einem Zufallsvorgang gewinnen. Jede Funktion, die die Bedingungen in den Gleichungen (5.2) und (5.1) erfüllt, kann als Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen X aufgefasst werden. Es muss dann natürlich überprüft werden, ob die Wahl sinnvoll ist. Beispiel 55 Ein Statistiker betrachtet alle Bundesligaspiele, in denen höchstens 5 Tore fallen. Er unterstellt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl der Tore X, die Tabelle 5.1 zu finden ist. Tabelle 5.1: Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl der Tore in einem Bundesligaspiel x P (X = x) Um zu sehen, ob die Wahrscheinlichkeitsfunktion sinnvoll gewählt wurde, sollte man sie mit Daten konfrontieren. Der Statistiker betrachtet alle Spiele der Saison 21/22, in denen höchstens 5 gefallen sind, und bestimmt die relative Häufigkeit h(x = x) der Spiele, in denen x Tore gefallen sind. Diese sind in Tabelle 5.2 zu finden. In Statistik II werden wir Verfahren kennen lernen, mit denen wir überprüfen können, ob ein Wahrscheinlichkeitsmodell angemessen ist. Tabelle 5.2: Häufigkeitstabelle der Anzahl der Tore in einem Bundesligaspiel in der Saison 21/22, wobei nur Spiele betrachtet wurden, in denen höchstens 5 Tore fielen x n(x = x) h(x = x)

5 5.1. DISKRETE ZUFALLSVARIABLEN 149 Beispiel 56 Der Mathematiker Simon Newcomb bemerkte im Jahr 1881, dass in Logarithmentabellen die vorderen Seiten abgegriffener waren als die hinteren. Dies deutet darauf hin, dass Zahlen mit einer niedrigen Anfangsziffer häufiger sind als Zahlen mit einer hohen Anfangsziffer. Newcomb leitete folgende Wahrscheinlichkeit dafür her, dass die erste Ziffer X den Wert x annimmt: P (X = x) =log(x +1) log (x). dabei ist log der Logarithmus zur Basis 1. Tabelle 5.3 zeigt die Verteilung der Anfangsziffern der Einwohnerzahl deutscher Städte zusammen mit den Wahrscheinlichkeiten der 9 Ziffern nach dem Benford-Gesetz. Tabelle 5.3: Verteilung der der Anfangsziffern der Einwohnerzahl deutscher Städte x n(x = x) h(x = x) P (X = x) Wir sehen, dass die empirische Verteilung gut mit der theoretischen übereinstimmt. 6 Jahre nach Newcomb entdeckte der amerikanische Physiker Benford das Phänomen ebenfalls und stellte fest, dass eine Vielzahl von Datensätzen dieses Gesetz erfüllen. Nach ihm heißt es Benford-Gesetz. Sehr oft hängt die Wahrscheinlichkeitsfunktion von einer oder mehreren Größen ab, die wir Parameter nennen. Beispiel 57 Wir betrachten einen Produktionsprozess. Ein Produkt kann entweder defekt oder nicht defekt sein. Dem Produktionsprozess werden zwei Produkte entnommen. Wir sind an der Anzahl X der defekten Produkte interessiert und suchen eine geeignete Wahrscheinlichkeitsfunktion für X.

6 15 KAPITEL 5. UNIVARIATE ZUFALLSVARIABLEN Wir beobachten zweimal den gleichen Zufallsvorgang. Man spricht von einem verbundenen Zufallsvorgang. Sei D i, i =1, 2, das Ereignis, dass das i-te entnommene Produkt defekt ist. Wir nehmen an, dass die Wahrscheinlichkeit eines defekten produktes bei beiden Zufallsvorgängen identisch ist. Es gilt also P (D i )=p für i =1, 2mit p 1. Außerdem seien die beiden Zufallsvorgänge unabhängig. Dies heißt, dass alle Ereignisse des einen Zufallsvorgangs unabhängig von allen Ereignissen des anderen Zufallsvorgangs sind. Es gilt also P (D 1 D 2 ) = P (D 1 )P (D 2 )=p 2 P (D 1 D 2 ) = P (D 1 )P (D 2 )=p(1 p) P (D 1 D 2 ) = P (D 1 )P (D 2 )=(1 p)p P (D 1 D 2 ) = P (D 1 )P (D 2 )=(1 p) 2 Schauen wir uns nun die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X an. Es gilt P (X =) = P (D 1 D 2 )=(1 p) 2 P (X =1) = P (D 1 D 2 )+P(D 1 D 2 )=p(1 p)+(1 p)p = 2p(1 p) P (X =2) = P (D 1 D 2 )=p 2 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X hängt von dem unbekannten Parameter p ab. Im Rahmen der schließenden Statistik werden wir lernen, wie man datengestützt geeignete Werte für p finden kann. Man spricht vom Schätzen von p. Neben Ereignissen der Form {ω X(ω) = x} betrachten wir noch Ereignisse der Form {ω X(ω) x}. Definition 5.3 Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Dann heißt F X (x) =P ({ω X(ω) x}) (5.3) die Verteilungsfunktion von X. Für F X (x) =P ({ω X(ω) x})

7 5.1. DISKRETE ZUFALLSVARIABLEN 151 schreiben wir F X (x) =P (X x). Beispiel 54 (fortgesetzt) Die Verteilungsfunktion F X (x) vonx ist gegeben durch F X (x) = für x<.25 für x<1.75 für 1 x<2 1 für x 2 Abbildung 5.2 zeigt die Verteilungsfunktion. Abbildung 5.2: Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen x Wir sehen, dass sie eine Treppenfunktion ist, die monoton wächst. Die Verteilungsfunktion F X (x) einer Zufallsvariablen X besitzt folgende Eigenschaften, die wir ohne Beweis angeben. F X (x) ist monoton wachsend. F X (x) ist rechtsseitig stetig. lim F X(x)= x lim F X(x)=1 x

8 152 KAPITEL 5. UNIVARIATE ZUFALLSVARIABLEN Mit Hilfe der Verteilungsfunktion kann man unter anderem folgende Wahrscheinlichkeiten bestimmen. P (X = a) =F X (a) lim x a F X (x) P (X a) =F X (a) P (X <a)=f X (a) P (X = a) P (X >a)=1 F X (a) P (a <X b) =F X (b) F X (a) P (a X b) =F X (b) F X (a)+p (X = a) P (a X<b)=F X (b) F X (a) P (X = b)+p (X = a) P (a <X<b)=F X (b) F X (a) P (X = b) Beispiel 54 (fortgesetzt) Es gilt P (X 2) = F X (2) =.6 Oft ist man an einer Funktion einer Zufallsvariablen interessiert. Das folgende Beispiel stammt aus dem unveröffentlichten Skript zur Vorlesung Statistik nach der Grundausbildung von Bernd Streitberg. Beispiel 58 Ein Teilchen bewegt sich auf den ganzen Zahlen, wobei es im Nullpunkt startet. Bei jedem Schritt geht es zufällig nach rechts oder links. Das Teilchen möge drei Schritte machen. Uns interessiert die Anzahl der Schritte nach links. Offensichtlich kann es keinen, einen oder zwei Schritte nach links machen. Die Ergebnismenge ist Ω={LLL, LLR, LRL, RLL, LRR, RLR, RRL, RRR} Da das Teilchen sich zufällig bewegt, ist jedes der Elementarereignisse gleich wahrscheinlich. Es gilt also P ({LLL}) =.125 P ({LLR}) =.125 P ({LRL}) =.125 P ({LRR}) =.125 P ({LRR}) =.125 P ({RLR}) =.125 P ({RRL}) =.125 P ({RRR}) =.125

9 5.2. STETIGE ZUFALLSVARIABLEN 153 Wir betrachten nun die Position X des Teilchens nach 3 Schritten. Geht das Teilchen zum Beispiel dreimal nach rechts, so befindet es sich auf der 3. Tabelle 5.4 gibt für jedes Ergebnis ω Ω den Wert der Zufallsvariablen X an. Tabelle 5.4: Ergebnisse und zugehörige Werte einer Zufallsvariablen ω RRR RRL RLR LRR RLL LRL LLR LLL x Da das Teilchen sich zufällig bewegt, ist jedes Elementarereignis gleich wahrscheinlich. Somit erhalten wir folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion von X: x P (X = x) Uns interessiert nun die Verteilung von Y = X, dem Abstand des Teilchens vom Nullpunkt. Die Zufallsvariable Y kann die Werte 1 und 3 annehmen. Es gilt P (Y =1)=P (X = 1) + P (X =1)=.75 P (Y =3)=P (X = 3) + P (X =3)=.25 Wie das Beispiel zeigt, kann man die Verteilung einer Funktion Y = g(x) einer diskreten Zufallsvariablen X folgendermaßen bestimmen: P (Y = y) = P (X = x) (5.4) {x g(x)=y} 5.2 Stetige Zufallsvariablen Im Beispiel 11 auf Seite 23 haben wir das stetige Merkmal Alter betrachtet. Bei einem stetigen Merkmal bilden wir Klassen und bestimmen die relativen Häufigkeiten der Klassen. Die Häufigkeitsverteilung stellen wir mit einem Histogramm dar. Abbildung 2.7 auf Seite 25 zeigt das Histogramm des Alters. Das Histogramm ist die graphische Darstellung der empirischen Dichtefunktion ˆf : IR IR. Für alle x IR gilt ˆf(x). (5.5)

10 154 KAPITEL 5. UNIVARIATE ZUFALLSVARIABLEN Außerdem gilt: ˆf(x) dx =1. (5.6) Die Wert der empirischen Verteilungsfunktion ˆF (x) an der Stelle x ist gleich der Fläche unter der empirischen Dichtefunktion bis zur Stelle x. Es gilt also ˆF (x) = x ˆf(u) du. (5.7) Wir können nun in Analogie zu dieser Eigenschaft eine stetige Zufallsvariable über die Verteilungsfunktion F X (x) =P (X x) definieren. Definition 5.4 Eine Zufallsvariable X heißt stetig, wenn eine Funktion f X : IR IR existiert, sodass für die Verteilungsfunktion F X (x) vonx gilt: F X (x) = x f(u) du (5.8) Die Funktion f X (x) heißt Dichtefunktion der Zufallsvariablen X. Für alle x IR gilt f X (x). (5.9) Außerdem gilt: f X (x) dx =1. (5.1) Jede Funktion, die die Bedingungen in den Gleichungen (5.9) und (5.1) erfüllt, kann als Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen aufgefasst werden.

11 5.2. STETIGE ZUFALLSVARIABLEN 155 Beispiel 59 Gegeben sei folgende Funktion f : IR IR mit f(x) = {.1 für x 1 sonst Offensichtlich gilt Außerdem gilt f(x) für alle x IR. f(x) dx = 1.1 dx = [ ] 1.1 u =1 =1. Es handelt sich also um die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen. Dies ist die Dichtefunktion einer auf [, 1] gleichverteilten Zufallsvariablen. Abbildung 5.3 zeigt die Dichtefunktion. Abbildung 5.3: Dichtefunktionfunktion der Gleichverteilung auf [, 1] f(x) x Für die Verteilungsfunktion F X (x) gilt F X (x) =für x< und F X (x) =1 für x>1. Für x 1 gilt: F X (x) = x f(u) du = x.1 du = [ ] x.1 u =.1x.

12 156 KAPITEL 5. UNIVARIATE ZUFALLSVARIABLEN Also gilt für x< F X (x) =.1 x für x 1 1 für x>1 Abbildung 5.4 zeigt die Verteilungsfunktion. Abbildung 5.4: Verteilungsfunktion der Gleichverteilung F(x) x Beispiel 6 Gegeben sei folgende Funktion f : IR IR mit f(x) = { e x für x sonst Offensichtlich gilt f(x) für alle x IR. Außerdem gilt [ ] f(x) dx = e x dx = e x = ( 1) = 1. Es handelt sich also um die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen. Dies ist die Dichtefunktion einer mit Parameter λ = 1 exponentialverteilten Zufallsvariablen. Abbildung 5.5 zeigt die Dichtefunktion.

13 5.2. STETIGE ZUFALLSVARIABLEN 157 Abbildung 5.5: Dichtefunktionfunktion der Exponentialverteilung mit Parameter λ = f(x) x Für die Verteilungsfunktion F X (x) gilt F X (x) =für x<. Für x gilt: F X (x) = x x [ ] x f(u) du = e u du = e u = e x ( 1) = 1 e x. Also gilt F X (x) = { für x< 1 e x für x Abbildung 5.6 zeigt die Verteilungsfunktion. Abbildung 5.6: Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit λ = F(x) x

14 158 KAPITEL 5. UNIVARIATE ZUFALLSVARIABLEN Mit Hilfe der Verteilungsfunktion kann man wie bei einer stetigen Zufallsvariablen die relevanten Wahrscheinlichkeiten mit den Formeln auf Seite 152 bestimmen. Dabei ergeben sich einige Vereinfachungen. Die Verteilungsfunktion F X (x) einer stetigen Zufallsvariablen X ist eine stetige Funktion. Hieraus folgt, dass für eine stetige Zufallsvariabe X für alle x IR gilt denn P (X = x) =, P (X = x) = F X (x) lim u x F X (u) =F X (x) F X (x) =. Somit gilt bei einer stetigen Zufallsvariablen: P (X <a)=f X (a) P (X = a) P (X >a)=1 F X (a) P (a <X b) =F X (b) F X (a) P (a X b) =F X (b) F X (a) P (a X<b)=F X (b) F X (a) P (a <X<b)=F X (b) F X (a) Beispiel 59 (fortgesetzt) Es gilt P (2 <X<6) = F X (6) F X (2) =.6.2 =.4

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